Luận văn Vành với các linh hóa tử hữu hạn sinh

trái đóng với hạng tử trực tiếp. Nếu mỗi R -môđun trái đều có một C - tiền phủ thì C sẽ đóng với tích trực tiếp. Chứng minh. Với bất kì họ môđun { }i i IF ∈ ⊂ C, i i I F ∈ ∏ có một C -tiền phủ : i i I F Fφ ∈ →∏ (theo giả thiết). Đặt :i i i i I p F F ∈ →∏ là phép chiếu thứ i . Khi đó tồn tại đồng cấu :i iF Fψ → sao cho , i i ip i Iψ φ = ∀ ∈ . Ta định nghĩa đồng cấu 16 : i i I F Fψ ∈ →∏ theo quy tắc ( ) ( ( ))i i Ix xψ ψ ∈= với mọi x F∈ . Với mỗi ( )i i I i i I x F∈ ∈ ∈∏ , ta đặt ( )i i Ix xφ ∈ = , khi đó (( )) (( )) ( ),i i i i i ix p x x xψ φ ψ= = = và do đó (( )) ( ) ( ( )) ( ),i i ix x x xψφ ψ ψ= = = hay 1 i i I Fψφ ∈ = ∏ . Vì vậy i i I F ∈ ∏ là một hạng tử trực tiếp của F , và vì thế i i I F ∈ ∈∏ C (theo giả thiết). Vậy C đóng với tích trực tiếp.  1.1.25 Định nghĩa. Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu : A Bχ → , mỗi đồng cấu :f A J→ , tồn tại đồng cấu :f B J→ sao cho f f χ= . 1.1.26 Định lý (Tiêu chuẩn Baer, [1]). R -môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan trái I của R và bất kì đồng cấu :f I J→ , luôn tồn tại phần tử q J∈ sao cho với mọi Iλ ∈ , ta có ( )f qλ λ= . Cho R là một vành. Ta xét các điều kiện sau : 1(C ) Bất kì đồng cấu :f I R→ với I là iđêan trái hữu hạn sinh của R , luôn tồn tại phần tử q R∈ sao cho với mọi Iλ ∈ , ta có ( )f qλ λ= . * 1(C ) Bất kì đồng cấu :f I R→ với I là iđêan trái xylic của R , luôn tồn tại phần tử q R∈ sao cho với mọi Iλ ∈ , ta có ( )f qλ λ= . 2(C ) 1 2 1 2( ) ( ) ( )r I I r I r I∩ = + với mọi cặp iđêan trái hữu hạn sinh 1 2,I I của R . 3(C ) ( ( ))r l I I= với mọi iđêan phải xylic I của R . 1.1.27 Định lý ([12, Theorem 1]). Các khẳng định sau là đúng đối với vành R bất kì : (i) R thỏa điều kiện *1(C ) khi và chỉ khi R thỏa điều kiện 3(C ) . (ii) R thỏa điều kiện 1(C ) khi và chỉ khi R thỏa điều kiện 2(C ) và 3(C ) . Chứng minh. (i) Giả sử R thỏa điều kiện *1(C ) . Bây giờ ta xét iđêan trái xylic ,Ra a R∈ . Lấy b là một phần tử bất kì trong ( ( ))r l a . Vì ( ) ( )l a l b⊆ nên tồn tại 17 đồng cấu : Ra Rbϕ → được xác định bởi ( ) , ra rb r Rϕ = ∀ ∈ . Theo *1(C ) , tồn tại phần tử c R∈ sao cho ( )a ac bϕ = = , và do đó b aR∈ . Vậy ( ( )) ( ( ))r l aR aR r l a= = .Ngược lại, giả sử R thỏa điều kiện 3(C ) . Lấy Ra là iđêan trái xylic của R và giả sử θ là một đồng cấu từ Ra vào R , đặt ( )a aθθ = , rõ ràng ( ) ( )l a l aθ⊆ . Vì vậy, theo 3(C ) ta có ( ( )) ( ( ))a R r l a R r l aR aR θ θ= ⊆ = , do đó tồn tại phần tử c R∈ sao cho a acθ = . Như vậy ta đã tìm được phần tử c R∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) , ra r a ra r ac ra c r Rθθ θ= = = = ∀ ∈ . (ii) Giả sử R thỏa điều kiện 1(C ) . Lấy 1 2,I I là hai iđêan trái hữu hạn sinh của R và b là một phần tử bất kì trong 1 2( )r I I∩ . Tiếp tục lấy c là một phần tử bất kì trong R , ta xét các đồng cấu sau: 1 1 1: I I c x xc θ →  và 2 2 2: ( ) y ( ) I I c b y c b θ → + + Vì 1 2( )b r I I∈ ∩ nên 1 2 1 2( ) ( ),x x x I Iθ θ= ∀ ∈ ∩ , do đó tồn tại đồng cấu : 1 2 1 2: ( ) ( ) I I I c I c b x y xc y c b θ + → + + + + + Theo 1(C ) , tồn tại phần tử a R∈ sao cho 1 2( ) ( ) , ,x y x y a x I y Iθ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ . Do đó ta có : 1 2( ), ( ) ( ).c a r I c b a r I− ∈ + − ∈ Vì vậy 1 2( ) ( ) ( ) ( )b c b a c a r I r I= + − − − ∈ + . Do đó 1 2 1 2( ) ( ) ( )r I I r I r I∩ = + . Vậy R thỏa điều kiện 2(C ) . Mặt khác R thỏa điều kiện 1(C ) nên thỏa điều kiện * 1(C ) kéo theo thỏa điều kiện 3(C ) . 18 Ngược lại, giả sử R thỏa điều kiện 2(C ) và 3(C ) . Khi đó R thỏa * 1(C ) vì (i). Giả sử 1 2 nI Ra Ra Ra= + + + là một iđêan trái hữu hạn sinh của R . Ta đi chứng minh R thỏa điều kiện 1(C ) bằng quy nạp theo n - số phần tử sinh của I . Rõ ràng R thỏa điều kiện 1(C ) với 1n = (theo (i)). Giả sử R thỏa 1(C ) với 1k n= − , ta cần chứng minh R thỏa 1(C ) khi k n= . Gọi : I Rϕ → là một đồng cấu bất kì từ I vào R và 1 2,ϕ ϕ lần lượt là hạn chế của ϕ trên và nRa . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại 1 2,c c R∈ sao cho 1 1( ) , x xc x Iϕ = ∀ ∈ và 2( ) , ny yc y Raϕ = ∀ ∈ . Vì 1ϕ và 2ϕ là trùng nhau trên 1 nI Ra∩ nên ta có 1 2 1( )nc c r I Ra− ∈ ∩ . Mặt khác, do R thỏa 2(C ) nên 1 1( ) ( ) ( )n nr I Ra r I r Ra∩ = + , vì thế 1 2 1 2c c b b− = − với 1 1 2( ), ( )nb r I b r Ra∈ ∈ . Ta đặt 1 1 2 2c c b c b= + = + . Dễ dàng kiểm tra được rằng ( ) , x xc x Iϕ = ∀ ∈ . Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, ta suy ra R thỏa điều kiện 1(C ) với mọi n∈ .  1.1.28 Định nghĩa. Môđun con N của R -môđun M được gọi là môđun con cốt yếu (essential submodule) của M nếu 0N K∩ ≠ với mọi môđun con 0K ≠ của M . 1.1.29 Định nghĩa. Nếu N là môđun con cốt yếu của môđun nội xạ E thì E được gọi là bao nội xạ của môđun N , kí hiệu ( )E N . Chú ý: Mọi môđun đều có bao nội xạ (xem [5, Proposition 7.13]). Cho M là R -môđun phải, khi đó ta có thể biến nhóm cộng aben ( , )RHom M R thành R -môđun trái với phép nhân ngoài được xác định theo cách sau: ( )( ) ( ( ))rf m r f m= với ( , ), , .Rf Hom M R m M r R∈ ∈ ∈ 1.1.30 Định nghĩa. R -môđun trái ( , )RHom M R được gọi là môđun đối ngẫu của R -môđun phải M , kí hiệu là *M . 19 1.1.31 Nhận xét. • Nếu M là môđun tự do hữu hạn sinh thì *M cũng là môđun tự do hữu hạn sinh. • Cho :f N M→ là đồng cấu môđun, dễ thấy ánh xạ * * *:f M N→ được xác định theo công thức *( )f fα α= với mọi *Mα ∈ là một đồng cấu môđun. Hơn nữa, nếu f là toàn cấu thì *f là đơn cấu. Chứng minh. Giả sử M là môđun tự do hữu hạn sinh với cơ sở hữu hạn là 1 2, , , nm m m . Với mỗi {1,2, , }i n∈  , ta định nghĩa các đồng cấu :i M Rϕ → như sau 1 ( ) 0 i j i j m i j ϕ = =  ≠ Khi đó *i Mϕ ∈ với 1,2, ,i n=  . Dễ thấy *M là môđun tự do hữu hạn sinh với cơ sở là 1 2, , , nϕ ϕ ϕ . (ii) Giả sử ánh xạ :f N M→ là toàn cấu. Khi đó ta có : * *( ) ( )f f f fα β α β α β= ⇔ = ⇒ = hay *f là đơn cấu.  1.1.32 Định nghĩa. R -môđun M được gọi là môđun xoắn yếu (torsionless) nếu M thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau : (i) Ánh xạ chính tắc ** * *( , ), ( ( )), ,RM M Hom M R m f f m m M f M→ = ∈ ∈  là đơn cấu. (ii) M có thể nhúng vào tích trực tiếp của một họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R . 1.1.33 Nhận xét. R -môđun /R I là xoắn yếu khi và chỉ khi I là linh hóa tử trái của một tập con khác rỗng X nào đó của R . 20 Chứng minh. ( )⇒ Giả sử R -môđun /R I là xoắn yếu. Khi đó tồn tại đơn cấu : / Jf R I R→ với JR là tích trực tiếp của họ J các bản sao của vành hệ tử R . Đặt (1 ) ( ) j Jj f I r ∈ + = và đặt { , }jX r j J= ∈ , dễ thấy ( )I l X= . ( )⇐ Giả sử ( )I l X= với X là một tập con khác rỗng nào đó của R . Xét đồng cấu : / Xf R I R→ được xác định bởi (1 ) ( )x Xf I x ∈+ = . Dễ dàng chứng minh được f là đơn cấu. Vậy /R I là môđun xoắn yếu.  21 § 2. Vành Tiết này sẽ nhắc lại định nghĩa và tính chất cơ bản của các lớp vành đặc biệt như: vành Noether, QF-vành, vành FP-nội xạ, . Những định nghĩa và tính chất này được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôi chủ yếu trong các tài liệu [2], [10], [11], [13], [14], [15] và [21]. Đầu tiên, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa vành Artin và vành Noether. 1.2.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Artin trái (t.ư, phải) nếu mọi dãy giảm các iđêan trái (t.ư, phải) 1 2 3L L L⊃ ⊃ ⊃ của R đều dừng. 1.2.2 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Noether trái (t.ư, phải) nếu mọi iđêan trái (t.ư, phải) của R đều hữu hạn sinh. Chú ý: Mỗi vành Artin trái đều là vành Noether trái (xem [15, p.21]), tuy nhiên điều ngược lại nói chung là không đúng (xem [5, p.109]). 1.2.3 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành nội xạ trái (t.ư, phải) nếu R R (t.ư, RR ) là môđun nội xạ. 1.2.4 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành tựa Frobenius (hay QF-vành) nếu R thỏa một trong các điều kiện tương đương sau: (i) R là vành Artin hai phía và thỏa cả hai điều kiện linh hóa tử sau: (a) ( ( ))r l J J= với mọi iđêan phải J của R (b) ( ( ))l r I I= với mọi iđêan trái I của R . (ii) R là vành Noether trái và là vành nội xạ trái. Kết quả sau là rất đẹp đối với môđun nội xạ và môđun xạ ảnh trên QF-vành : 1.2.5 Mệnh đề ([2, Proposition 31.1]). Một môđun trên QF-vành là môđun nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun xạ ảnh. 1.2.6 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành pseudo-coherent trái (t.ư, phải) nếu linh hóa tử trái (t.ư, phải) của mỗi tập con hữu hạn của R là iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh. 22 1.2.7 Nhận xét. R là vành pseudo-coherent trái khi và chỉ khi môđun con xylic của mỗi R -môđun trái tự do hữu hạn sinh là biểu diễn hữu hạn. Chứng minh. ( )⇒ Giả sử R là vành pseudo-coherent trái và giả sử /Rx R I≅ là môđun con xylic của R -môđun trái tự do hữu hạn sinh F . Do ,nF R n≅ ∈ nên tồn tại đơn cấu : / nf R I R→ . Đặt 1 2(1 ) ( , , , )nf I a a a+ =  , dễ thấy ( )I l A= với 1 2{ , , , }nA a a a=  . Vì R là vành pseudo-coherent trái nên I là iđêan trái hữu hạn sinh. Dãy khớp 0 / 0I R R I→ → → → chứng tỏ /R I là hay Rx là môđun biểu diễn hữu hạn môđun biểu diễn hữu hạn. ( )⇐ Giả sử môđun con xylic của mỗi R -môđun trái tự do hữu hạn sinh là biểu diễn hữu hạn và giả sử ( )I l X= với 1 2{ , , , }nX x x x=  . Xét đồng cấu : / nf R I R→ được xác định bởi 1 2(1 ) ( , , , )nf I x x x+ =  . Rõ ràng f là đơn cấu, do đó có thể xem /R I là môđun xylic của nR . Do đó /R I là môđun biểu diễn hữu hạn. Xét dãy khớp 0 / 0I R R I→ → → → , theo Mệnh đề 1.1.12 ta có I là iđêan trái hữu hạn sinh. Vậy R là vành pseudo-coherent trái.  1.2.8 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành coherent trái (t.ư, phải) nếu mỗi iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh của R đều là môđun biểu diễn hữu hạn. Theo Định lý 1.1.14, chúng ta có điều kiện tương đương sau: Vành R là vành coherent trái nếu ( )l a là iđêan trái hữu hạn sinh với mọi a R∈ và giao của hai iđêan trái hữu hạn sinh bất kì của R là iđêan trái hữu hạn sinh. Do đó nếu R là vành coherent trái thì linh hóa tử trái của mỗi tập con hữu hạn của R là iđêan trái hữu hạn sinh. Thật vậy, giả sử ( )I l X= với X R⊂ và X là tập hữu hạn, khi đó ( ) x X I l x ∈ = ∩ là hữu hạn sinh do X là hữu hạn và R là vành coherent trái. Vì vậy mỗi vành coherent trái đều là vành pseudo-coherent trái. 1.2.9 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành đối ngẫu trái (t.ư, phải) nếu mỗi iđêan trái là một linh hóa tử trái (t.ư, phải) (nghĩa là, với mọi iđêan trái (t.ư, phải) L , ( ( ))l r L L= (t.ư, ( ( ))r l L L= ). 23 1.2.10 Mệnh đề ([10, Lemma 3.1]). Cho { }Iλ λ∈Λ là một họ các iđêan phải của vành đối ngẫu hai phía R . Khi đó: ( ) ( ).l I l Iλ λλ λ ∈Λ ∈Λ ∩ = ∑ Kết quả trên vẫn đúng cho họ các iđêan trái của nhưng khi đó chúng ta phải thay thế các linh hóa tử trái bởi các linh hóa tử phải. 1.2.11 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Pseudo-Frobenius trái (t.ư, phải) nếu R R (t.ư, RR ) là môđun nội xạ và mỗi R -môđun trái (t.ư, phải) đều có thể nhúng vào tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R . Từ Định nghĩa 1.2.11, chúng ta dễ dàng nhận ra mỗi vành Pseudo-Frobenius trái đều là vành đối ngẫu trái. 1.2.12 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành CF trái (t.ư, phải) nếu mỗi R - môđun trái (t.ư, phải) xylic đều có thể nhúng vào một R -môđun trái (t.ư, phải) tự do nào đó. Như vậy, từ Định nghĩa 1.2.12, chúng ta có thể thấy rằng mỗi vành CF trái đều là vành đối ngẫu trái. Như chúng ta đã biết, R -môđun trái (t.ư, phải) M được gọi là môđun FP-nội xạ trái (t.ư, phải) nếu 1 ( , ) 0RExt L M = với mọi R -môđun trái (t.ư, phải) biểu diễn hữu hạn L . Từ định nghĩa môđun FP-nội xạ, một cách tự nhiên, chúng ta có định nghĩa vành FP-nội xạ như sau: 1.2.13 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành FP-nội xạ trái (t.ư, phải) nếu R R (t.ư, RR ) là môđun FP-nội xạ trái (t.ư, phải). 1.2.14 Mệnh đề ([13, Corollary 2.5]). Trong một vành FP-nội xạ trái (t.ư, phải), mỗi iđêan phải(t.ư, trái) hữu hạn sinh là linh hóa tử phải (t.ư, trái) của một tập con khác rỗng X nào đó của R . 1.2.15 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Baer trái (t.ư, phải) nếu R thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau: (i) Linh hóa tử trái (t.ư, phải) của mỗi tập con khác rỗng của R được sinh bởi một phần tử lũy đẳng. 24 (ii) Linh hóa tử trái (t.ư, phải) của mỗi tập con khác rỗng của R là một hạng tử trực tiếp của R R (t.ư, RR ). Chú ý: Khái niệm trái và phải trên vành Baer là đối xứng (xem [16, Proposition 7.46]), vì vậy từ đây về sau chúng ta sẽ gọi là vành Baer trái (hoặc phải) là vành Baer. 1.2.16 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành chính quy von Neumann nếu với mỗi a R∈ , luôn tồn tại x R∈ sao cho a xax= . Theo [15, Theorem 4.23] và [11, Lemma 2.2], ta có kết quả sau: 1.2.17 Mệnh đề. Các khẳng định sau là tương đương đối với vành R : (a) R là vành chính quy von Neumann. (b) Mỗi iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh được sinh bởi một phần tử lũy đẳng. (c) Mỗi iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh là một hạng tử trực tiếp của R R (t.ư, RR ). (d) Mỗi R -môđun trái (t.ư, phải) đều là môđun FP-nội xạ trái (t.ư, phải). Như vậy, theo Mệnh đề 1.2.17, chúng ta suy ra mỗi vành chính quy von Neumann đều là vành FP-nội xạ hai phía. 1.2.18 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành nửa đơn nếu ( ) {0}J R = . Theo [15, Theorem 4.14 and 4.25], ta có kết quả sau: 1.2.19 Mệnh đề. R là vành chính quy von Neumann và là vành Noether trái (t.ư, phải) khi và chỉ khi là R vành Artin hai phía nửa đơn. 1.2.20 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành PP trái (t.ư, phải) nếu mọi iđêan trái (t.ư, phải) xylic của R đều là môđun xạ ảnh. Ngoài ra, theo T.Y. Lam [16, Definition 7.45], vành PP còn được định nghĩa một cách tương đương như sau: Vành R là vành PP trái nếu linh hóa tử trái của mỗi phần tử trong R được sinh bởi một phần tử lũy đẳng. Như vậy, từ định nghĩa này, chúng ta dễ dàng thấy rằng mỗi vành Baer đều là vành PP hai phía. 1.2.21 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành PF trái (t.ư, phải) nếu mọi iđêan trái (t.ư, phải) xylic của R là môđun dẹt. 25 Rõ ràng mỗi vành PP trái đều là vành PF trái vì mỗi môđun xạ ảnh đều là môđun dẹt (xem [20, Proposition 3.46]). Chú ý: Khái niệm trái và phải trên vành PF là đối xứng (xem [14, p. 32]), do đó từ đây về sau chúng ta sẽ gọi vành PF trái (hoặc phải) là vành PF. Sơ đồ sau sẽ cho chúng ta thấy rõ mối liên hệ giữa các lớp vành trên. 26 Chương 2 VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH Chương này chúng tôi sẽ trình bày nội dung chính của luận văn, bao gồm: định nghĩa, những tính chất cơ bản và một số ứng dụng của vành AFG . Các kết quả này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [17]. § 1. Định nghĩa và tính chất cơ bản Định nghĩa và ví dụ 2.1.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành AFG trái (t.ư, phải) nếu với mỗi tập con khác rỗng X của R , linh hóa tử trái (t.ư, phải) của X là một iđêan trái (t.ư, phải) hữu hạn sinh. 2.1.2 Ví dụ. Dễ thấy mỗi vành Noether trái đều là vành AFG trái. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát điều ngược lại thì không nhất thiết đúng. Chẳng hạn, ta có thể chọn 1 2[ , , , , ]nR K x x x=   với K là một trường nào đó. Khi đó rõ ràng R là miền nguyên (vì thế là vành AFG hai phía) nhưng không là vành Noether. Như vậy vành AFG là một mở rộng thực sự của vành Noether. 27 Tính chất cơ bản Sau đây là một số tính chất cơ bản của vành AFG , các tính chất này được thể hiện trong định lý sau: 2.1.3 Định lý. Cho R là một vành, các khẳng định sau là tương đương: (1) R là vành AFG trái. (2) Môđun đối ngẫu * ( , )RM Hom M R= của bất kì R -môđun phải xylic M là hữu hạn sinh. (3) Mỗi R -môđun trái xylic xoắn yếu đều là môđun biểu diễn hữu hạn. (4) Tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của RR là môđun xạ ảnh đơn. (5) Tích trực tiếp của một họ các R -môđun phải xạ ảnh đơn là xạ ảnh đơn. (6) Mỗi R -môđun phải xylic đều có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh. (7) Mỗi R -môđun phải xylic đều có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn. (8) Mỗi R -môđun phải đều có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn. Chứng minh. (1) (2)⇔ Lấy I là iđêan phải bất kì của R . Ta định nghĩa ánh xạ ( )*: / ( )R I l Iα → theo cách như sau: *(1), ( / ) .f f f R I∈ Dễ thấy α là đồng cấu. Hơn nữa, α là đẳng cấu, thật vậy: • α là đơn cấu vì Ker ( ) 0 (1) 0 ,f f f fα α θ∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ ≡ với θ là ánh xạ không. • Với mỗi ( )x l I∈ , do 0,xa a I= ∀ ∈ nên điều này kéo theo sự tồn tại của đồng cấu : /xf R I R→ được xác định bởi (1) .xf x= Rõ ràng ( ) ,xf xα = vì vậy α là toàn cấu. Bây giờ, giả sử ta có (1) và giả sử M là R -môđun phải xylic. Vì M là R - môđun phải xylic nên /M R J≅ với J là iđêan phải của R . Mặt khác R là vành AFG trái nên ( )l J là iđêan trái hữu hạn sinh, kết hợp với α là đẳng cấu, ta suy ra *( / )R J là hữu hạn sinh nên (2) thỏa. 28 Ngược lại, giả sử ta có (2). Lấy X là một tập con khác rỗng của R , đặt A là iđêan phải của R sinh bởi tập X , dễ thấy ( ) ( )l X l A= . Theo (2) ta có *( / )R A là hữu hạn sinh, bên cạnh đó α là đẳng cấu nên ta suy ra ( )l A là hữu hạn sinh hay ( )l X là hữu hạn sinh. Vậy R là vành AFG trái. (1) (3)⇒ Giả sử R là vành AFG trái và giả sử M là R -môđun trái xylic xoắn yếu. Do M là R -môđun trái xylic nên /M R I≅ với I là iđêan trái của R . Mà M là xoắn yếu nên /R I là xoắn yếu. Theo Nhận xét 1.1.33 ta suy ra iđêan trái I là một linh hóa tử trái. Mặt khác I là hữu hạn sinh do R là vành AFG trái. Dễ thấy /R I là môđun biểu diễn hữu hạn qua dãy khớp sau: 0 / 0I R R I→ → → → . Vậy M là môđun biểu diễn hữu hạn. (3) (1)⇒ Giả sử mỗi R -môđun trái xylic xoắn yếu đều là môđun biểu diễn hữu hạn. Lấy X là tập con khác rỗng bất kì của R và đặt ( ).I l X= Theo Nhận xét 1.1.33, ta suy ra /R I là R -môđun trái xylic xoắn yếu. Mà mọi R -môđun trái xylic xoắn yếu đều là môđun biểu diễn hữu hạn nên /R I là biểu diễn hữu hạn. Tiếp tục, ta xét dãy khớp 0 / 0I R R I→ → → → , theo Mệnh đề 1.1.12 ta có I là hữu hạn sinh. Vậy R là vành AFG trái. (2) (6)⇒ Giả sử M là R -môđun phải xylic. Vì *M là hữu hạn sinh nên tồn tại tập sinh hữu hạn *{ :1 }jS f M j n= ∈ ≤ ≤ . Ta định nghĩa đồng cấu : nf M R→ theo cách sau: 1 2( ( ), ( ), , ( )), .nx f x f x f x x M∈  Chúng ta sẽ đi chứng minh f là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh của M . Đầu tiên, ta cần chứng minh với mọi 1m ≥ và bất kì đồng cấu : mg M R→ , tồn tại : n mh R R→ sao cho g hf= . Đặt : mi R Rπ → là phép chiếu thứ i , 1 i m≤ ≤ . Do *i g Mπ ∈ nên tồn tại (1 )ijr R j n∈ ≤ ≤ sao cho 1 n i ij jj g r fπ = =∑ . Ta định nghĩa đồng cấu : nih R R→ theo quy tắc sau: 29 1 2 1 ( , , , ) , . n n ij j j j a a a r a a R = ∈∑  Do nR là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu : n mh R R→ sao cho i ih hπ= . Khi đó i i ihf h f gπ π= = và vì thế g hf= . Bây giờ, giả sử có đồng cấu : M Pβ → với P là R -môđun phải xạ ảnh. Khi đó, do P là xạ ảnh nên kéo theo P là xạ ảnh đơn và vì thế tồn tại R -môđun phải tự do hữu hạn sinh F và các đồng cấu : , :M F F Pγ α→ → sao cho .αγ β= (theo Định lý 1.1.18). Vì F là môđun tự do hữu hạn sinh nên tồn tại đồng cấu : nR Fϕ → sao cho .fϕ γ= Đặt λ αϕ= , rõ ràng fλ β= . Vậy f chính là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh của M . (6) (7)⇒ Giả sử M là R -môđun phải xylic. Theo (6) thì M có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh : M Pα → với P là R -môđun phải xạ ảnh. Ta sẽ đi chứng minh α chính là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn của M . Thật vậy, với bất kì R -môđun phải xạ ảnh đơn N và bất kì đồng cấu :f M N→ , luôn tồn tại một R -môđun phải tự do hữu hạn sinh F , các đồng cấu :g M F→ và :h F N→ sao cho f hg= (theo Định lý 1.1.18). Do α là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh của M và F là môđun xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu : P Fβ → sao cho gβα = . Vì thế ( )f hβ α= . Điều này chứng tỏ α là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn của M . (7) (5)⇒ Giả sử { }i i IM ∈ là một họ các R -môđun phải xạ ảnh đơn và N là môđun con xylic bất kì của i i I M ∈ ∏ . Bây giờ ta xét phép nhúng ɩ : i i I N M ∈ →∏ và đặt :i i i i I M Mπ ∈ →∏ là phép chiếu thứ i . Vì mỗi iM là xạ ảnh đơn nên tồn tại R - môđun phải tự do hữu hạn sinh iF , các đồng cấu :i ig N F→ , :i i ih F M→ sao cho iπ ɩ i ih g= (theo Định lý 1.1.18). Theo (7) thì N có một đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn :f N K→ , vì iF là xạ ảnh đơn nên tồn tại đồng cấu :i ik K F→ sao cho i ik f g= . 30 Vậy i i I M ∈ ∏ là xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18). (5) (8)⇒ Giả sử N là R -môđun phải. Theo Định lý 1.1.22, có một bản số vô hạn αℵ phụ thuộc vào Card N và Card R sao cho với bất kì đồng cấu :f N L→ với L là R -môđun phải xạ ảnh đơn, tồn tại một môđun con thuần khiết Q của L sao cho Card Q α≤ℵ và ( )f N Q⊆ . Khi đó ta có thể phân tích f như sau: 'f i N Q L→ → với '( ) ( ),f x f x x N= ∀ ∈ , i là ánh xạ nhúng và Q là xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.21). Bây giờ ta xét ( )i i Iϕ ∈ là họ tất cả các đồng cấu :i iN Qϕ → với Card iQ α≤ℵ và iQ là xạ ảnh đơn và ta định nghĩa đồng cấu : i i I h N Q ∈ →∏ theo cách sau: ( ( ))i i Ix xϕ ∈ . Theo (5) ta có i i I Q ∈ ∏ là R -môđun phải xạ ảnh đơn, đồng thời dễ dàng thấy rằng bất kì đồng cấu :g N M→ với M là R -môđun phải xạ ảnh đơn thì g luôn có sự phân tích qua một R -môđun phải xạ ảnh đơn jQ với j J∈ nên h chính là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn của N . (8) (4)⇒ Để chứng minh tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của RR là môđun xạ ảnh đơn, trước hết ta cần chứng minh lớp C các R -môđun phải xạ ảnh đơn trong phạm trù các R -môđun phải RMod là đóng với hạng tử trực tiếp. Giả sử 1 2P P P= ⊕ là R -môđun phải xạ ảnh đơn, ta cần chứng minh các , 1,2iP i = là các môđun xạ ảnh đơn. Để đơn giản, ta chỉ cần chứng minh 1P là xạ ảnh đơn, chứng minh tương tự đôí với 2P . Bây giờ ta gọi N là môđun con xylic bất kì của 1P và đặt ɩ : 1N P→ là ánh xạ nhúng. Ta nối kết 1 2N P P P→ = ⊕ bởi đồng cấu 1j ɩ , trong đó 1j là phép nhúng từ 1P vào P . Do P là xạ ảnh đơn nên tồn tại R -môđun phải tự do hữu hạn sinh F , các đồng cấu :g N F→ , :f F P→ sao cho 1j ɩ = fg (theo 31 Định lý 1.1.18). Đặt 1h fπ= với 1π là phép chiếu từ P xuống 1P , khi đó ta có 1 1 1( ) ( )hg fg jπ π= = ɩ =ɩ . Do đó 1P là môđun xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.18). Như vậy lớp C đóng với hạng tử trực tiếp. Điều này kéo theo C đóng với tích trực tiếp (theo Định lý 1.1.24). Do đó tích trực tiếp của họ nào đó các bản sao của RR là môđun xạ ảnh đơn (do RR ∈ C ). (4) (2)⇒ Giả sử A là một R -môđun phải xylic. Với mỗi tập chỉ số I , t có đồng cấu chính tắc * *: ( )I IR RR A Aα ⊗ → được định nghĩa như sau: *(( ) ) ( ) , ( ) ( ), , , .j j I R j j I j j jr x r x r R A x Aα θ δ δ θ θ∈ ∈⊗ = = ∈ ∈ ∈ Ta sẽ đi chứng minh α là toàn ánh. Thật vậy, lấy *( )j j If A∈ ∈ . Khi đó do RR là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu : IRA Rβ → sao cho ,j jf π β= trong đó : I j RR Rπ → là phép chiếu lên thành phần thứ j . Bên cạnh đó, theo (4) ta có IRR là môđun xạ ảnh đơn nên tồn tại một R -môđun phải tự do hữu hạn sinh nR , các đồng cấu : , :n n IRA R R Rγ ϕ→ → sao cho β ϕγ= . Gọi : n ip R R→ là phép chiếu lên thành phần thứ i và : ni R Rλ → là phép nhúng thứ i , 1,2, ,i n=  . Đặt (1)i ia ϕλ= và i ig p γ= . Khi đó, a A∀ ∈ ta có: 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ). n n j j j i i j i i i j f a a p a a g aπ β π ϕ λ γ π = = = = =∑ ∑ Do đó 1 n j j i ij f a gπ = = ∑ và vì vậy nên 1 ( ) ( ). n j j I i i j f a gα∈ = = ⊗∑ Vậy α là một toàn cấu, điều này kéo theo *A là R -môđun trái hữu hạn sinh (theo Mệnh đề 1.1.2). Cũng như các lớp vành khác, một cách tự nhiên, chúng ta sẽ đặt ra câu hỏi là : Liệu khái niệm trái và phải trên vành AFG có đối xứng hay không? Ví dụ sau sẽ giúp chúng ta làm rõ điều này. 32 2.1.4 Ví dụ. Chọn K là một trường với trường con L sao cho dimL K = ∞ và đồng thời tồn tại một đẳng cấu trường : K Lϕ → (chẳng hạn, có thể chọn 1 2 3 2 3( , , , ), ( , , )K x x x L x x= =    ). Đặt R K K= × , khi đó R là một vành với phép nhân được định nghĩa như sau: ( , ), ( ', ') , ( , )( ', ') ( ', ( ) ' ').x y x y R x y x y xx x y yxϕ∀ ∈ = + R có chính xác 3 iđêan phải : 0, , (0, )R K . Thật vậy, giả sử I là iđêan phải bất kì của R và 0I ≠ , ta xét các trường hợp sau: • Tồn tại ( , )a b I∈ với 0a ≠ . Vì ,L K là các trường và ϕ là đẳng cấu nên ( , )x y R∀ ∈ ,luôn tồn tại 1 1 1( ', ') ( , ( ) ( ))x y a x a y ba x Rϕ− − −= − ∈ thỏa ( , ) ( , )( ', ')x y a b x y I= ∈ . Do đó .I R= • Tồn tại (0, )b R∈ với 0b ≠ (do 0I ≠ ) Khi đó (0, ) (0, )y K∀ ∈ , tồn tại 1( ,1)b y R− ∈ (do ,L K là các trường) thỏa 1(0, ) (0, )( ,1)y b b y I−= ∈ . Cho nên (0, )I K= . Do đó R là vành Noether phải và vì thế R là vành AFG phải. Tuy nhiên, R không là vành AFG trái vì với (0,1) , ( )a R l a R= ∈ ⊆ là không hữu hạn sinh. Thật vậy, vì ( , ) (0, ( ))x y a xϕ= nên ( ) (0, )l a K= . Và với mỗi (0, ) (0, )z K∈ ta có : (0, ) {(0, ( ) ), } .R z x z x K Lzϕ= ∈ ≅ Mà dimL K = ∞ nên kéo theo ( )l a R⊆ là không hữu hạn sinh. Vậy vành AFG sẽ đối xứng khi nào? Mệnh đề sau là một câu trả lời cho câu hỏi đó. 2.1.5 Mệnh đề. Cho R là vành pseudo-coherent hai phía, các phát biểu sau là tương đương: (1) R là vành AFG trái. (2) R là v