Luận văn Về cấu trúc thứ tự trong các vành không giao hoán

Định lý Cho I là một tập con khác rỗng của vành R . Các mệnh đề sau tương đương: i) I là ideal của R ; ii) Với mọi ,x y I∈ và , , ,r R x y I x I rx I∈ + ∈ − ∈ ∈ và ;xr I∈ iii) Với mọi ,x y I∈ và , ,r R x y I rx I∈ − ∈ ∈ và xr I∈ . 1.6. Định nghĩa ideal nguyên tố Một ideal I của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu I R≠ và với hai ideal , ,M N R MN I⊆ ⊆ thì M I⊆ hoặc N I⊆ . 1.7. Định nghĩa ideal tối đại Một ideal I của vành R được gọi là ideal tối đại nếu I R≠ và nếu M là một ideal thỏa I M R⊂ ⊂ thì I M= hoặc M R= . 6 1.8. Định lý − Định nghĩa Giả sử I là ideal của vành R . Khi đó ta xét nhóm thương của nhóm cộng Abel R I . • Lớp xy I+ chỉ phụ thuộc vào các lớp x I+ và y I+ mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử đại diện ,x y từ các lớp đó. Và ta gọi xy I+ là tích của hai lớp x I+ và y I+ . • R I cùng với hai phép toán: Phép cộng: ( ),x I y I x y I+ + + + Phép nhân: ( ),x I y I xy I+ + + là vành, gọi là vành thương của R trên I . Nhận xét: 1) Nếu R là vành giao hoán thì vành thương R I cũng giao hoán. 2) Nếu vành R có đơn vị e thì vành thương R I có đơn vị e I+ . 1.9. Định nghĩa đồng cấu vành Một ánh xạ f từ vành R vào vành 'R được gọi là một đồng cấu vành nếu f bảo toàn các phép toán, nghĩa là ,x y R∀ ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x f y f xy f x f y + = + = 7 Một đồng cấu từ vành R vào vành R được gọi là một tự đồng cấu của R . Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu từ R vào 'R thì ta nói R đẳng cấu với 'R . Kí hiệu: 'R R≅ . 1.10. Các ví dụ về đồng cấu vành 1) Ánh xạ đồng nhất Rid của vành R là một tự đẳng cấu, gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của R . 2) Giả sử A là vành con của vành R . Khi đó ánh xạ bao hàm :Ai A R→ định bởi ( )Ai x x= là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc. 3) Giả sử I là một ideal của vành R . Khi đó ánh xạ : RR Iπ → định bởi ( )x x Iπ = + là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc . 4) Giả sử , 'R R là hai vành. Khi đó ánh xạ : 'f R R→ định bởi ( ) '0Rf x = ( '0R là phần tử không của vành 'R ) là một đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường. 5) Cho R là một vành có đơn vị và a R∈ khả nghịch. Khi đó ánh xạ :f R R→ , định bởi ( ) 1f x axa−= là một tự đẳng cấu của R . 1.11. Mệnh đề Nếu : 'f R R→ là đồng cấu vành thì ( ) '0 0R Rf = và ( ) ( ),f x f x x R− = − ∀ ∈ . 1.12. Mệnh đề 8 Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành. Đặc biệt, tích của hai đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành cũng là một đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành. 1.10. Mệnh đề Ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành cũng là một đẳng cấu vành. 1.13. Định lý Cho đồng cấu vành : 'f R R→ và A là một vành con của R , 'A là vành con của 'R . Khi đó: i) ( )f A là vành con của 'R . ii) ( )1 'f A− là vành con của R . Hơn nữa, nếu 'A là ideal của 'R thì ( )1 'f A− cũng là ideal của R . Đặc biệt: ( )Im f f R= là vành con của 'R , ( )1 'ker 0Rf f −= là ideal của R . Ta gọi Im f là ảnh của f và ker f là hạt nhân của f . 1.14. Định lý Đồng cấu vành : 'f R R→ là đơn cấu khi và chỉ khi { }ker 0Rf = . 1.15. Định lý đẳng cấu 1 Cho đồng cấu vành : 'f R R→ . Khi đó ánh xạ : 'ker Rf Rf → định bởi ( ) ( )kerf x f f x+ = là đơn cấu vành. Đặc biệt Im .ker R ff ≅ 9 1.16. Định lý đẳng cấu 2 Cho R là một vành và I là một ideal của R , A là một vành con của R . Khi đó I A+ là vành con của R ; I là ideal của I A+ ; I A∩ là ideal của A và ( )I AA AI I +∩ ≅ qua đẳng cấu vành x I A x I+ ∩ + . 1.17. Định lý đẳng cấu 3 Cho R là một vành và I là ideal của R . Khi đó: i) A là vành con của vành thương R I khi và chỉ khi A có dạng 'A I với 'A là vành con của R và 'A chứa I . ii) A là ideal của vành thương R I nếu và chỉ nếu A có dạng 'A I với 'A là ideal của R và 'A chứa I . Hơn nữa, ta có: ( ) ( ) '' R I R AA I ≅ qua đẳng cấu ( ) ( )' 'Ax I x AI+ + + . 1.18. Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác không trong R đều khả nghịch (đối với phép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia). 1.19. Định nghĩa Một thể giao hoán được gọi là một trường. 1.20. Định nghĩa Vành giao hoán R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác không luôn khác không. 10 1.21. Định nghĩa Một vành R được gọi là một miền nếu 0, 0 0R ab a≠ = ⇒ = hoặc 0b = . 1.22. Định nghĩa Cho R là một miền, miền 'R R⊇ gọi là một vành các thương của R nếu { }', , \ 0 : , .x R a b R ax R xb R∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ∈ 1.23. Định nghĩa đặc số của vành Vành R gọi là vành có đặc số 0s ≠ nếu s là số nguyên dương bé nhất thỏa . 0 ,Rs r r R= ∀ ∈ (*) Vành R gọi là vành có đặc số 0 nếu 0 là số nguyên duy nhất thỏa (*). 1.24. Mệnh đề Nếu vành R có đặc số 0s ≠ thì mọi phần tử không phải là ước của không trong vành đều có cấp bằng s . Nếu vành R có đặc số 0s = thì mọi phần tử không phải là ước của không đều có cấp vô hạn. Chứng minh. Xét vành R và giả sử r R∈ không phải là ước của 0. Nếu R có đặc số 0s ≠ , ta có 0sr = và r có cấp là n là một ước số của s . Ta chứng tỏ n s= . Với mọi x R∈ , ta có ( ) ( ) 0 0R Rnx r x nr x= = = và do r không phải là ước của 0R , suy ra 0Rnx = . Vậy n s= . Bây giờ nếu vành R có đặc số 0s = và giả sử r có cấp hữu hạn n . Lập luận như trên, ta có: 0Rnx = với mọi x R∈ , điều này trái với giả thiết R có đặc số 0s = . Vậy r có cấp vô hạn. 11 1.25. Hệ quả Đặc số của vành R có đơn vị 1 0R R≠ chính là cấp của phần tử đơn vị 1R trong nhóm cộng R (tức là số nguyên 0s > bé nhất sao cho .1 0R Rs = ). 1.26. Mệnh đề Nếu R là một miền thì hoặc R có đặc số 0 hoặc R có đặc số nguyên tố. Chứng minh. Vì { }0RR ≠ nên có , 0Rx R x∈ ≠ và do đó, nếu R có đặc số 0s ≠ thì phải có 1s > . Hơn nữa, nếu giả sử 's mm= với 1 , 'm m s< < thì phải có r R∈ sao cho ' 0Rm r ≠ , ngoài ra phần tử 'b m r= không phải là ước của 0 theo giả thiết, nên theo mệnh đề 1.24, b có cấp s và do m s< , ta có 0Rmb ≠ (*); nhưng mặt khác, ta có ( ) ( )' ' 0Rmb m m r mm r sr= = = = (mâu thuẫn với (*)). Vậy đặc số 0s ≠ phải là số nguyên tố. 1.27. Hệ quả Một miền nguyên, một thể hay một trường hoặc có đặc số 0 , hoặc có đặc số nguyên tố. 1.28. Định nghĩa module Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng Aben. M được gọi là một R −module phải nếu có một ánh xạ ( ) ( ): , , ,f M R M m r f m r mr× → = sao cho 1 2, ,m m m M∀ ∈ và ,a b R∀ ∈ thì: 12 i) ( ) .m a b ma mb+ = + ii) ( )1 2 1 2 .m m a m a m a+ = + iii) ( ) ( ).ma b m ab= Chú ý: RM là R −module phải, tương tự có R M là R −module trái, M vừa là R − module phải vừa là R −module trái gọi là song module. Kí hiệu: R RM . 1.29. Định nghĩa module con Cho R −module M và tập ,N M N∅ ≠ ⊂ được gọi là module con của M nếu: i) , : .x y N x y N∀ ∈ − ∈ ii) , : .a R x N xa N∀ ∈ ∀ ∈ ∈ Tất nhiên module con N là một R −module với phép toán cảm sinh và M N cũng là R −module được gọi là module thương. 1.30. Định nghĩa M được gọi là module đơn hay bất khả quy nếu 0MR ≠ và M có đúng hai module con là M và 0. 1.31. Định nghĩa Cho M là R −module, ( )A M là tập hợp các phần tử của R linh hóa toàn bộ M : ( ) { }: 0A M r R Mr= ∈ = . 13 1.32. Định nghĩa M là R −module trung thành khi và chỉ khi ( ) 0A M = . 1.33. Định nghĩa vành nguyên thủy Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một R −module bất khả quy và trung thành. 1.34. Định nghĩa căn Jacobson của một vành Căn Jacobson của một vành R là tập tất cả các phần tử của R mà linh hóa mọi R −module bất khả quy. Kí hiệu: ( )J R . Nếu R không có module bất khả quy thì ta đặt ( )J R R= . 1.35. Định nghĩa vành nửa nguyên thủy Nếu ( ) 0J R = thì R được gọi là vành nửa nguyên thủy. 1.36. Định nghĩa vành nguyên tố Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu ,a b R∀ ∈ sao cho ( )0aRb = thì ta có 0a = hoặc 0b = . 1.37. Định nghĩa quan hệ thứ tự Quan hệ hai ngôi ℜ trong một tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự trong X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) Phản xạ: ,x x x Xℜ ∀ ∈ . ii) Phản xứng: ,x y X∀ ∈ , nếu x yℜ và y xℜ thì x y= . 14 iii) Bắc cầu: , ,x y z X∀ ∈ , nếu x yℜ và y zℜ thì x zℜ . Quan hệ này mở rộng quan hệ “bé hơn hoặc bằng” trong tập hợp số thực và thường được kí hiệu là “≤”. Nếu với mọi cặp ( ),x y ta có x yℜ hoặc y xℜ thì quan hệ thứ tự ℜ được gọi là tuyến tính hay toàn phần, còn nếu trong X tồn tại các cặp phần tử không so sánh được với nhau thì ℜ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. 1.38. Định nghĩa Cho ( ),X ≤ là một tập sắp thứ tự. Khi đó ta định nghĩa: • Cận trên của một tập con A của X là phần tử x X∈ thỏa , .a x a A≤ ∀ ∈ • Một dây chuyền trong X là một tập con A của X thỏa ,a b A∀ ∈ thì a b≤ hoặc b a≤ . • Phần tử cực đại của X là phần tử 0x X∈ sao cho nếu 0,x X x x∈ ≤ thì 0x x= . 1.39. Bổ đề Zorn Nếu X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bộ phận và mọi dây chuyền tăng của X đều có cận trên nằm trong X thì X có phần tử cực đại. 1.40. Định nghĩa Một trường F là trường sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần “<” trên F sao cho , ,a b c F∀ ∈ , ta có: 15 , 0 ,0 0 . a b a c b c a b ab < ⇒ + < + < < ⇒ < 1.41. Định nghĩa Một trường là thực hình thức nếu 21 F− ∉∑ với { }2 2 21 ... / , ,1n iF a a n a F i n= + + ∈ ∈ ≤ ≤∑  là tổng của các bình phương trong F . 1.42. Định lý Artin- Schreier Một trường F là thực hình thức nếu và chỉ nếu F sắp thứ tự. 16 Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chương này sẽ trình bày các tính chất và mối quan hệ giữa vành tiền sắp thứ tự và vành sắp thứ tự, điều kiện để một tiền thứ tự trở thành một thứ tự, mối quan hệ giữa miền nguyên sắp thứ tự và vành các thương, mối quan hệ giữa vành sắp thứ tự Acsimet và tính giao hoán của vành. Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm thông thường của một vành sắp thứ tự như sau: 2.1. Định lý 2.1.1. Định nghĩa R là vành sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần " "< trên R sao cho , ,a b c R∀ ∈ , ta có: ; 0 ,0 0 . a b a c b c a b ab < ⇒ + < + < < ⇒ < 2.1.2. Định nghĩa Hình nón dương của thứ tự " "< là tập hợp { }: 0P c R c= ∈ < thỏa mãn ba tính chất sau: ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2.1 . 2.2 . . 2.3 \ 0 . P P P P P P P P R + ⊆ ⊆ ∪ − = 17 Nhận xét: Nếu cho tập P thỏa mãn 3 tính chất trên thì ta định nghĩa một thứ tự trên vành R bởi a b b a P< ⇔ − ∈ . Khi đó R là vành sắp thứ tự với " "< . Do đó, ta có P thỏa 3 tính chất trên là một thứ tự trên R . 2.1.3. Mệnh đề Nếu P là một thứ tự trên vành 0R ≠ thì ( ) ,1P P P∩ − =∅ ∈ và R là một miền có đặc số 0 . Chứng minh. Giả sử nếu ( )a P P∈ ∩ − thì a P∈ và ( )a P∈ − suy ra .a P− ∈ Ta có: ( )0 a a P P P= + − ∈ + ⊆ (mâu thuẫn với tính chất (2.3)). Do đó ( )P P∩ − =∅ . Mặt khác, ta cũng có 1 P∈ hoặc 1 P− ∈ vì ( )221 1 1 .P P P= = − ∈ ⊆ . Mở rộng với bất kỳ số tự nhiên n , ta có: .1 1 ... 1n P= + + ∈ . Do đó 0.charR = Cuối cùng, ta chứng minh R là một miền. Nếu { }, \ 0b c R∈ thì việc lựa chọn một cách thích hợp dấu của b và c cho ta ( )( ) .b c P P P± ± ∈ ⊆ và 0bc ≠ . Vậy R là một miền. Nhận xét: Mệnh đề trên cho ta điều kiện cần để một vành R có tồn tại một thứ tự trong R . Nhìn chung, các điều kiện này là không đủ để đảm bảo sự tồn tại của một thứ tự. Trong phần sau của luận văn, ta sẽ tìm ra một số điều kiện đủ để một vành tùy ý được sắp thứ tự. Ý tưởng đầu tiên là của J.P.Serre về sự mở rộng của khái niệm thứ tự là khái niệm tiền thứ tự. 18 2.1.4. Định nghĩa Một tiền thứ tự trong vành R là một tập con { }\ 0T R⊆ thỏa mãn hai tính chất sau: ( )2.4 ;T T T+ ⊆ ( ) { }1 12.5 ,..., \ 0 , ,...,m na a R t t T∀ ∈ ∈ thì tích của 1 1 1, ,..., , , ,...,m m na a a a t t lấy theo thứ tự bất kỳ đều nằm trong T . Chú ý: Cho phần tử tùy ý 1,..., ma a R∈ và các số 1,..., 0mi i ≥ , ta viết ( )11 ... mii mper a a T∈ là tích của 1 ... mi i+ + các nhân tử cho bởi 1 1 1,..., ,..., ,...., m m m i i a a a a   lấy theo thứ tự bất kỳ. Từ đó, tính chất (2.5) có thể viết dưới dạng như sau: ( )2 21 1... ...m nper a a t t T∈ với { }1 1,..., \ 0 , ,...,m na a R t t T∈ ∈ . 2.1.5. Mệnh đề Nếu T là một tiền thứ tự trên vành 0R ≠ thì ( ) ,1T T T∩ − =∅ ∈ và R là một miền có đặc số 0 . Nhận xét: 1) Bất kỳ thứ tự P nào trong R cũng là một tiền thứ tự (vì ta có ( ) ( )axa a x a= − − , suy ra P thỏa (2.4) và (2.5)). Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau: Trong vành [ ]x , ta gọi P là tập hợp các đa thức khác không có hệ số dẫn đầu dương, T là tập hợp các đa thức khác không có hệ số dẫn đầu dương và bậc lớn hơn 100. Khi đó, P thỏa các tính chất (2.1), (2.2) và (2.3) nên P là một 19 thứ tự, T thỏa các tính chất (2.4), (2.5) nên T là một tiền thứ tự. Nhưng T không thỏa tính chất (2.3) nên T không là một thứ tự. 2) Giao của một họ bất kỳ (không rỗng) của các thứ tự là một tiền thứ tự. 2.1.6. Bổ đề Với bất kỳ tiền thứ tự { }\ 0T R⊆ và bất kỳ phần tử 0 b R≠ ∈ , ta kí hiệu: ( ) { }{ }2 21 1 1 1... ... / ,..., \ 0 , ,..., , , , 0 .ib m n m nT per b a a t t a a R t t T i m n= ∈ ∈ ≥∑ Khi đó, các điều sau là tương đương: i) bT không là tiền thứ tự trong R ; ii) Phương trình ' 0t bt+ = có nghiệm , 't t T∈ . iii) Phương trình '' ' 0t t b+ = có nghiệm ', ''t t T∈ . Chứng minh. ) )i ii⇒ Ta có bT thỏa hai tính chất (2.4) và (2.5). Suy ra bT không là tiền thứ tự khi và chỉ khi 0 bT∈ , tức là khi và chỉ khi ( )2 21 1... ... 0 (*)i m nper b a a t t =∑ với { }1 1,..., \ 0 , ,...,m na a R t t T∈ ∈ .Ta có hai trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Nếu i chẵn thì ( )2 21 1... ...i m nper b a a t t T∈ . Trường hợp 2: Nếu i lẻ thì ( )2 21 1. ... ...i m nb per b a a t t T∈ . Thật vậy: 20 Vì T là tiền thứ tự nên nhóm các số hạng trong phương trình (*) mà i chẵn thì ta sẽ có phương trình 0, ,t r t T br T+ = ∈ ∈ ; nhưng trong (*) phải tồn tại một số hạng với i lẻ mà 0t = . Khi đó, nhân trái b ta có phương trình ' 0, 'bt t t br T+ = = ∈ . ) )ii i⇒ Giả sử phương trình ' 0t bt+ = có nghiệm , 't t T∈ suy ra 0 .bT∈ Vậy bT không là tiền thứ tự. ) )ii iii⇒ Giả sử phương trình ' 0t bt+ = có nghiệm , 't t T∈ suy ra ' 0 '' ' 0, '' .t b btb t t b t btb T+ = ⇒ + = = ∈ ) )iii ii⇒ Chứng minh tương tự. 2.1.7. Định lý Một tiền thứ tự { }\ 0T R⊆ là một thứ tự khi và chỉ khi T là tiền thứ tự tối đại. Chứng minh. ( )⇒ Giả sử { }\ 0T R⊆ là một thứ tự. Khi đó nếu tồn tại một tiền thứ tự ' , 'T T T T⊃ ≠ thì với '\a T T∈ ta có 'a T T− ∈ ⊆ và ( )0 ' ' 'a a T T T= + − ∈ + ⊆ (mâu thuẫn). Do đó T là tiền thứ tự tối đại. ( )⇐ Giả sử T là một tiền thứ tự tối đại. Khi đó nếu T không là một thứ tự thì tồn tại b sao cho b và b− đều không thuộc vào T . Mặt khác bT thỏa hai tính chất (2.4), (2.5) và ,b bT T T T⊃ ≠ . Theo bổ đề 2.1.6 phương trình 1 2 0t bt+ = có nghiệm 1 2,t t T∈ và phương trình 3 4 0t bt− = có nghiệm 3 4,t t T∈ . Mà 21 ( )( )5 2 4t bt bt T= ∈ nên ta có: 1 2 1 3 2 30 0t bt t t bt t+ = ⇔ + = ( )1 3 2 4 0t t bt bt⇔ + = 1 3 5 0t t t⇔ + = (mâu thuẫn). 2.2. Định lý R.E. Johnson 2.2.1. Định nghĩa Cho vành 0R ≠ , ta định nghĩa: ( ) ( ) { }{ }2 21 1... / ,..., \ 0m mT R per a a a a R= ∈∑ Nhận xét: ( )T R thỏa hai tính chất (2.4) và (2.5) nên ( )T R là một tiền thứ tự. 2.2.2. Định nghĩa Vành R là thực hình thức nếu ( )0 T R∉ .Trong trường hợp này, ( )T R là một tiền thứ tự trong R vì nó được chứa trong mỗi tiền thứ tự của R . Ta gọi ( )T R là tiền thứ tự yếu của R . 2.2.3. Định lý Cho vành 0R ≠ bất kỳ. Các điều sau là tương đương: i) R là thực hình thức. ii) R có một tiền thứ tự. iii) R có một thứ tự. Chứng minh. ) )iii i⇒ hiển nhiên. ) )i ii⇒ Giả sử R là thực hình thức. Khi đó R có một tiền thứ tự yếu ( )0 T R∉ chứa trong một tiền thứ tự T nào đó của R . 22 )ii iii⇒ Cố định một tiền thứ tự T trong R . Theo bổ đề Zorn, ta có thể mở rộng T thành tiền thứ tự tối đại 1T . Áp dụng định lý 2.1.7, ta có 1T là một thứ tự trên R . Vậy định lý đã được chứng minh. Trong lý thuyết của trường thực hình thức, điều nổi tiếng là bất kỳ tiền thứ tự T nào trong trường F cũng đều là giao của tất cả các thứ tự chứa T . Trong trường hợp ( )T T F= thì phần tử { }\ 0a F∈ là tổng của các bình phương trong F nếu và chỉ nếu 0a > trong mỗi thứ tự của trường F . Artin đã sử dụng kết quả này làm công cụ trong bài giải nổi tiếng của ông về vấn đề thứ 17 của Hilbert (những lưu ý về cấu trúc của hàm hữu tỉ nửa xác định dương). Tiếp theo, chúng ta sẽ xét sự tổng quát hóa các kết quả này từ trường đến vành tùy ý. 2.3. Định lý 2.3.1. Định nghĩa Cho T là một tiền thứ tự bất kỳ trong vành R , ta định nghĩa: { } { } { } { } 2 2 : , : ' , ' : , 0 : ' , ' 0 T a R at T t T a R t a T t T a R ab T b a R b a T b = ∈ ∈ ∈ = ∈ ∈ ∈ = ∈ ∈ ≠ = ∈ ∈ ≠ T gọi là cái bao đóng chia của T . Nhận xét: Ta có 0 ,T T T∉ ⊆ . Do đó T là một tiền thứ tự của R . 23 Thật vậy: Ta có 0 0T T∉ ⇒ ∉ . Do đó để chứng minh T là một tiền thứ tự của R ta cần kiểm tra T thỏa hai tính chất sau: ( )1 ;T T T+ ⊆ ( )2 Với { }1 1,..., , ,..., \ 0n ma a T c c R∈ ∈ thì ( )2 21 1... ...m nper c c a a T∈ . Kiểm tra tính chất (1): Giả sử 1 2,a a T∈ . Ta cần chứng minh 1 2a a T+ ∈ . Ta có: 1 2, , , 1,2i i ia a T a t T t T i∈ ⇒ ∈ ∈ ∀ = . Vì T là tiền thứ tự nên ta lại có ( ) ( ) ( )( )1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2t a t t a t T a a t a t a t a t a t a t T= ∈ ⇒ + = + ∈ 1 2a a T⇒ + ∈ . Kiểm tra tính chất (2): Với { }1 1,..., , ,..., \ 0n ma a T c c R∈ ∈ , ta cần chứng minh: ( )2 21 1... ...m nper c c a a T∈ tức là chứng minh ( )2 21 1... ... ,m nper c c a a t T t T∈ ∈ . Ta biết rằng ( )2 21 1... ...m nper c c a a là tích của các phần tử 1 1 1, ,..., , , ,...,m m nc c c c a a lấy theo thứ tự bất kỳ. Nếu ta sắp xếp các it T∈ sao cho i ia t T∈ thì với cách đặt ( ) ( )1 1 ... n nt a t a t T= ∈ ta có : ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 1 1 1... ... ... ... ... .m n m n nper c c a a t per c c a a t t T= ∈ Suy ra ( ) 2 2 1 1... ...m nper c c a a T∈ . Vậy T là một tiền thứ tự của R . 2.3.2. Định lý 24 Cho tiền thứ tự bất kỳ { }\ 0T R⊆ , cái bao đóng chia T của T là giao của tất cả các thứ tự 'T của R chứa T . Chứng minh. Với bất kỳ thứ tự P T⊇ , ta có P T⊇ . Từ 'P P T T= ⇒ ⊇ . Để hoàn tất chứng minh, ta cần chỉ ra rằng: với bất kỳ ( )0, , 'a a T a P P T a T≠ ∉ ⇒ ∉ ⊇ ∉ . Xét tập aT− được định nghĩa trong bổ đề 2.1.6. Vì a T∉ và theo bổ đề 2.1.6 nên aT− là một tiền thứ tự trong R và aT− có thể mở rộng thành một thứ tự P của R . Nhưng P T⊇ và .aa T P a P−− ∈ ⊆ ⇒ ∉ Vậy định lý đã được chứng minh. 2.3.2.1. Hệ quả Một tiền thứ tự { }\ 0T R⊆ là giao của một họ các thứ tự nếu và chỉ nếu T là “cái bao đóng chia” của nó ( ), :a R t T at T a T∈ ∈ ∈ ⇒ ∈ . 2.3.2.2. Hệ quả Trong một vành thực hình thức R , phần tử 0 a R≠ ∈ là hoàn toàn dương (tức là dương trong tất cả các thứ tự của R ) nếu và chỉ nếu tồn tại { }\ 0b R∈ sao cho ( )2ab T R∈ . Nhận xét: Tiền thứ tự yếu ( )T R không nhất thiết phải là cái bao đóng chia của chính nó, vì phần tử hoàn toàn dương a ở trên không cần thuộc vào ( )T R . Chẳng hạn, chúng ta xét một ví dụ minh họa như sau: 25 Cho [ ] ( )2 2 21 1,..., , , / ...n nR x x y z x x y z= + + − là thực hình thức và tiền thứ tự yếu của nó ( )T T R= không đóng chia, tức là T T≠ . Thật vậy: Ta có: ( ) ( ) { }{ }2 21 1... / ,..., \ 0m mT R per a a a a R= ∈∑ và R là thực hình thức tức là ( )0 T R∉ . Trong trường hợp R giao hoán, ( ) { }{ }2 / \ 0i iT R a a R= ∈∑ và R là thực hình thức tức là 2 0 0i ia a≠ ⇒ ≠∑ . Nếu xem R là vành giao hoán trong trường hợp này thì 2 2 21 ... nx x y z+ + − là một đa thức bất khả quy và ideal ( )2 2 21 ... nx x y z+ + − là ideal nguyên tố. Do đó R là miền nguyên. Trường thương F của R có thể xem như trường các phân thức hữu tỉ ( )1,..., ,nx x y . Ta có F là thực hình thức và R cũng vậy. Do đó để chỉ ra T không đóng chia, ta xét − đồng cấu :f R → được xác định bởi: ( ) ( ) ( ) ( )1 ... 0, 1nf x f x f y f z= = = = = − . Từ ( ) 0f T ≥ trong R và ( ) 1f z = − ta có z T∉ . Mặt khác, 2 2 2 1 ... ny z x x T z T= + + ∈ ⇒ ∈ . Vậy T T≠ . 2.4. Định lý Cho 'R R⊆ là các vành. Khi đó một thứ tự P của R có thể được mở rộng thành một thứ tự 'P của 'R nếu và chỉ nếu trong 'R ,0 không là tổng của các phần tử có dạng ( ) { }2 21 1 1 1... ... , ,..., '\ 0 , ,..., .m n m nper a a t t a a R t t P∈ ∈ Chứng minh. 26 ( )⇒ Hiển nhiên. ( )⇐ Giả sử 'T là tập tất cả các tổng của các phần tử có dạng ( )2 21 1... ...m nper a a t t không chứa 0 . Khi đó 'T là tiền thứ tự của 'R . Cho 'P là một thứ tự bất kỳ của 'R chứa 'T , ta có : ' ' 'P T R P R P P R⊆ ∩ ⊆ ∩ ⇒ = ∩ . Vậy P là một thứ tự. Nhận xét: Nếu R là miền bất kỳ thì bất kỳ thứ tự nào trên R cũng có thể mở rộng duy nhất thành một thứ tự trên vành các thương của nó. 2.5. Định lý Albert, Neumann, Fuchs 2.5.1. Định lý Cho R là một miền, 'R là vành các thương của R . Khi đó, bất kỳ thứ tự P nào của R đều mở rộng duy nhất thành một thứ tự 'P của 'R . Chứng minh. Đặt { }' ', , :P x R a b P axb P= ∈ ∃ ∈ ∈ . Giả sử { } ( )' ', : 1P x R a P ax P= ∈ ∃ ∈ ∈ Lấy ', , :x P a b P axb P∈ ∈ ∈ . Cố định một phần tử { }\ 0 :c R cax R∈ ∈ . Ta có thể giả sử rằng c P∈ , khi đó ( ) .c axb P P P∈ ⊆ . Điều này kéo theo ,cax P ca P∈ ∈ . Chứng minh tương tự, ta có: { } ( )' ', : 2P x R b P xb P= ∈ ∃ ∈ ∈ 27 Ta có: 'R P P∩ = và ( ) { }' ' '\ 0P P R∪ − = . Do đó để chỉ ra rằng 'P là một thứ tự của 'R , ta chỉ cần chứng minh: , ' 'x y P x y P∈ ⇒ + ∈ và 'xy P∈ . Từ (1) và (2) suy ra tồn tại , : ,a b P ax P yb P∈ ∈ ∈ . Mà ( ) ( ) ( )a x y b ax b a yb P+ = + ∈ và ( ) ( )( )a xy b ax yb P= ∈ . Do đó theo định nghĩa 'P , ta có: ', '.x y P xy P+ ∈ ∈ Vậy 'P là một thứ tự của 'R mở rộng từ P và tính duy nhất của 'P là hiển nhiên. Nhận xét: Định nghĩa của một thứ tự trên vành không dựa trên sự tồn tại của phần tử đơn vị. Vì thế, chúng ta có thể nói về thứ tự trên vành có thể không có đơn vị. Do đó, định lý trên cũng đúng cho bất kỳ vành 'R R⊆ có thể không có đơn vị, 'R là vành các thương của R . 2.5.2. Hệ quả Cho R là một miền và I là ideal khác không của R . Khi đó bất kỳ thứ tự trên I (xem như vành không có đơn vị) đều mở rộng duy nhất thành một thứ tự trên R . Chứng minh. Cố định một phần tử 0a ≠ trong I . Với bất kỳ x R∈ , ta có: ,ax I xa I∈ ∈ Vì R là một vành các thương của I , áp dụng định lý 2.5.1 ta có điều phải chứng minh. Nhận xét: Nói chung lớp các vành sắp thứ tự là quá rộng và khác biệt so với bất kỳ định lý về sự phân lớp tốt nào. Do đó, lớp con của vành sắp thứ tự Acsimet đủ nhỏ để có thể được mô tả hoàn toàn. 28 2.6. Định lý 2.6.1. Định nghĩa Cho a là phần tử dương trong vành sắp thứ tự ( ),R < . Khi đó: a là vô cùng lớn nếu ( ).1a n n> = với bất kỳ số nguyên 1n ≥ . a là vô cùng bé nếu 1na < với bất kỳ số nguyên 1n ≥ . 2.6.2. Bổ đề Cho vành sắp thứ tự ( ),R < . Hai tính chất sau là tương đương: (1) Với , 0a b > trong R , tồn tại số nguyên 1n ≥ sao cho na b> . (2) R không có phần tử vô cùng lớn lẫn vô cùng bé. Nếu (1) hoặc (2) đúng thì ( ),R < được gọi là vành sắp thứ tự Acsimet. Chứng minh. ( ) ( )1 2⇒ là rõ ràng. ( ) ( )2 1⇒ Giả sử ta có (2) và lấy , 0a b > . Từ (2) ta có: b n với , 1m n ≥ là các số nguyên thích hợp.Ta suy ra mna n b> > . Chú ý: Nếu ( ),R là vô cùng lớn nếu và chỉ nếu 1a− là vô cùng bé. Do đó, trong trường hợp này ( ),R < là vành sắp thứ tự Acsimet nếu và chỉ nếu R không có phần tử vô cùng lớn, nếu và chỉ nếu R không có phần tử vô cùng bé. 29 2.6.3. Định lý Cho ( ),R < là vành sắp thứ tự Acsimet. Khi đó: i) R là vành giao hoán; ii) ( ),R < đẳng cấu thứ tự với vành con duy nhất của  (với thứ tự cảm sinh). iii) Chỉ có duy nhất tự đẳng cấu thứ tự của R là ánh xạ đồng nhất. Ta sẽ sử dụng nhát cắt Dedekind để chứng minh định lý: Một nhát cắt Dedekind là một tập con A của tập hợp số hữu tỉ  thỏa các tính chất sau: i) A ≠∅ ; ii) \ A ≠∅ ; iii) A không chứa phần tử lớn nhất. iv) Với ,x y∈ , nếu ,x A y x∈ < thì y A∈ . Chứng minh định lý. Lấy a R∈ , đặt { }: , ,aU m n m n na m= ∈ < { }: , , 0,aL m n m n n m na= ∈ > ≤ Vì ( ),R < là Acsimet nên mỗi tập hợp này chứa một số nguyên. Đặc biệt, chúng là tập con không rỗng của  . Ta có { },a aL U là lát cắt Dedekind trên  . Do đó, { },a aL U xác định một số thực ( )f a . Xét ánh xạ :f R → . Giả sử 30 ( ) ( )a b f a f b . Đặt m là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn .na Khi đó: ( )1 1na m m n b a≥ − > + − − 1nb m m na⇒ > + > > . ( ) ( )1m mf b f a n n + ⇒ ≥ > ≥ . Đặc biệt f là đơn ánh. Tiếp theo xét hai phần tử tùy ý ,a b R∈ . Ta có: a b a bU U U ++ ⊆ và a b a bL L L ++ ⊆ . Suy luận từ tính chất của nhát cắt Dedekind ta có ( ) ( ) (