Luận văn Về cấu trúc vành goldie nửa nguyên tố

tử lũy đẳng trong R. Khi đó, eR là iđêan phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là vành chia. 1.43 Hệ quả: Cho R không có iđêan lũy linh khác không và 0e ≠ là một phần tử lũy đẳng trong R. Khi đó, eR là iđêan tối tiểu của vành R nếu và chỉ nếu Re là iđêan tối tiểu của vành R. 1.44 Định nghĩa: Phần tử x R∈ là chính quy phải nếu r 0x = thì 0.r = Phần tử x R∈ là chính quy trái nếu 0rx = thì 0.r = Phần tử x R∈ là chính quy nếu nó vừa chính quy phải và chính quy trái. Kí hiệu: ( )RC O là tập tất cả các phần tử chính quy của R. 13 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ GOLDIE Như chúng ta đã biết đối với một vành giao hoán thì vành các thương luôn tồn tại, nhưng đối với vành không giao hoán thì điều này không được đảm bảo. Tuy nhiên với các vành Noether nửa nguyên tố thì sự tạo thành vành các thương luôn có thể thực hiện được. Chương này sẽ đưa ra điều kiện về sự tồn tại vành các thương và đưa ra một công cụ để nghiên cứu vành Noether đó là số chiều đều. 2.1 Điều kiện Ore phải: Cho vành R với S là tập các phần tử chính quy trong R, S ≠∅ . Vành R được gọi là thỏa điều kiện Ore phải nếu a R∀ ∈ và s S∈ đều tồn tại một phần tử b R∈ và một phần tử y S∈ sao cho: ay sb= . Khi đó R được gọi là vành Ore phải. Vành thỏa mãn điều kiện Ore trái và phải là vành Ore. Miền nguyên R được gọi là miền Ore phải nếu (0)RC là tập Ore phải. 2.1.1 Định nghĩa: Lấy R là vành con của Q. Vành Q được gọi là vành các thương phải của R nếu thỏa các điều kiện sau: i). Mọi phần tử chính quy của Q là phần tử khả nghịch. ii) Mỗi phần tử trong Q đều có dạng 1ab− , trong đó ,a b R∈ và b là phần tử chính quy trong R. 2.1.2 Định lý: Vành R có một vành các thương bên phải khi và chỉ khi vành R thỏa mãn điều kiện Ore phải. Chứng minh: Lấy vành R thỏa mãn điều kiện Ore phải, S là tập các phần tử chính 14 quy của R. Ta xây dựng một quan hệ  trên tập hợp RxS như sau: ( , ) ( , ) , : bx dy S a b c d x y R ax cy R  = ∈ ⇔ ∃ ∈  = ∈  *Ta cần chứng minh  là quan hệ tương đương trên RxS. i) Tính phản xạ. ii) Tính đối xứng. iii) Tính bắc cầu. Giả sử ( , ) ( , )a b c d và ( , ) ( , ).c d f g Theo định nghĩa tồn tại x,y,x1,y1, R∈ sao cho: bx dy S ax cy R  = ∈  = ∈ và 1 1 1 1 . dx gy S ax fy R  = ∈  = ∈ Theo điều kiện Ore phải: 1 0.bxS dx R∩ ≠ Do đó tồn tại , 's S a R∈ ∈ sao cho: 1 .bxS dx R S= ∈ Vì bx dy= nên 1 'dys bxs dx a= = hay 1( ') 0.d ys x a− = Ta sẽ có : 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ') ( ) ' ( ') .a xs ax s cy s c ys c x a fy a f y a R= = = = = = ∈ 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ') ( ) ' ( ') .b xs bx s dy s d ys d x a gy a g y a R= = = = = = ∈ Nghĩa là ( , ) ( , ).a b f g Vậy quan hệ  là quan hệ tương đương. Kí hiệu tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ  là 1RS .− Lớp tương đương với phần tử đại diện ( , )a b là /a bhoặc 1.ab− * Định nghĩa phép cộng trên 1RS− : Nếu 1/ , / RSa b c d −∈ thì theo điều kiện Ore , :x y m bx dy S∃ = = ∈ (rõ ràng / ax /a b m= và / /c d cy m= ). Ta định nghĩa phép cộng trên 1RS− như sau: 15 / / (ax ) / .a b c d cy m+ = + i) Phép cộng không phụ thuộc cách chọn m: Thật vậy, nếu ' ' ' ( ', ' )m bx dy S x y S= = ∈ ∈ và ' ( , ).mu m v u v S= ∈ Kéo theo ' .bxu bx v= Vì b S∈ nên ' .xu x v= Chứng minh tương tự ta có: ' .yu y v= Do đó: (ax+cy)u=(ax' ')v.cy+ Hay (ax ) / (ax' ') / .cy m cy m+ = + ii) Phép cộng không phụ thuộc cách chọn đại diện của lớp / .a b Thật vậy, nếu / '/ 'a b a b= thì ta có ', ', : ' ' ' ' .x y z S m bx dy b z∈ = = = Do đó: ax' ' .a z= Mặt khác: / / (ax ) / (ax' ') / '.t a b c d cy m cy m= + = + = + Vì thế ( ' ') / ' '/ ' / .t a z cy m a b c b= + = + * Định nghĩa phép nhân trên 1RS− : Nếu 1/ , / RS .a b c d −∈ Thì 1 1 1 1, :y S x R n bx cy S∃ ∈ ∈ = = ∈ ( lưu ý 1 1/ ax / , / /a b n c d n dy= = ), ta có định nghĩa: 1 1( / ).( / ) ax / .a b c d dy= * Phép nhân không phụ thuộc cách chọn 1 1,x y trong đẳng thức 1 1bx cy= và cách chọn đại diện / , / .a b c d Lấy / '/ '.a b a b= Chọn , : ' ' .u v S bu b v au a v∈ = ⇒ = Tồn tại , : ' ux ' .x R y S n b cvy b vx∈ ∈ = = = Khi đó 16 ( / )( / (aux) / ( ) ( ' ) / ( ) ( ' ')( / ). a b c d dvy a vx dvy a b c d = = = ● 1(RS , ,.)− + là một vành có phần tử đơn vị là 1/ 1. ● 1: RS , ( ) / 1R R aϕ ϕ−→ = là một đồng cấu vành. Hơn nữa, lấy , / 1a S a∈ có phần tử nghịch đảo trong 1RS− là 1( / 1) 1/a a− = Nếu 1/ Sa b R −∈ thì / ( / 1)(1/ ).a b a b= Điều này chỉ ra rằng 1RS− vành các thương bên phải của vành con Imϕ Vì thế R có vành các thương bên phải. 2.1.3 Định lý: R là miền Ore phải khi và chỉ khi R có vành các thương bên phải là vành chia. Chứng minh: Nếu R là một miền Ore phải thì theo định lý 2.1.2 , R có một vành các thương bên phải 1RS− . Ta sẽ chứng minh rằng 1RS− là vành chia. Thật vậy, lấy 1/ Sa b R −∈ và / 0a b ≠ suy ra 0.a ≠ Vì R là miền nguyên nên .a S∈ Vì thế 1/ Sb a R −∈ và là phần tử nghịch đảo của a / b. Do đó 1RS− là vành chia. Ngược lại, lấy ,a b A∈ và a, 0.b ≠ Vì tất cả các phần tử chính quy là khả nghịch trong 1 1 1, .RS a b RS− − −∈ Nên 1 1( , )a b xy x y R− −= ∈ hay .ax by= Suy ra R là vành Ore phải. Mà là vành chia được nên tất cả các phần tử khác 0 của R đều không là ước của 0. Do đó R là miền Ore phải. 17 2.1.4 Định lý : R là vành Ore phải và S là tập không rỗng các phần tử chính quy trong R thì bất kì 1 1 11 1 2 2,a b a b RS − − −∈ đều tồn tại s S∈ và 1 2,t t R∈ sao cho: 1 1( ) , 1,2.i i i ia b a t s i − −= = Chứng minh: Từ điều kiện Ore phải với 1 2,b b S∈ đều tồn tại 1 2,t t R∈ sao cho 1 1 2 2s .b t b t S= = ∈ Khi đó ta có 1 1 1 1 1 11 1( ) . ( ) .i i i i i i i ia b a b s s a b b t s a t s − − − − − −= = = 2.1.5 Định lý: Nếu R là vành Ore phải và S là tập không rỗng các phần tử chính quy trong R thì ta có: i) Nếu I là ideal phải của R thì 1 1{ , , }IS xs s S x I− −= ∈ ∈ là ideal phải của 1RS .− ii) Nếu 1 2 ... nI I I⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp các ideal phải của R thì 1 1 1 1 2 ... nI S I S I S − − −⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp các ideal phải của 1RS .− Chưng minh: i) Lấy ia I∈ và 1 1( 1,2).i ia b IS i − −∈ = Theo định lý 2.1.4 tồn tại s S∈ và 1t R∈ sao cho 1 1( ) ,( 1,2).i i i ia b a t i − −= = Ta có : 1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )a b a b a b s a b s − − − −+ = + 1 11 1 2 2( ) .a b a b s IS − −= + ∈ Suy ra 1IS− đóng với phép cộng (1). Vì 1 1S R RS− −⊆ nên 1 1 1 1. .IS RS IR S IS− − − −⊆ = (2). Từ (1), (2) suy ra là ideal phải của 1.RS− 18 ii) Lấy 1 1( 1, )i ia b IS i n − −∈ = và 1 1 11 1 2 2 ... 0.n na b a b a b − − −+ + + = Theo định lý 2.1.4 tồn tại s S∈ và it R∈ sao cho 1 1( ) , 1, .i i i ia b a t s i n − −= = Khi đó: 1 1 11 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0.n na t s a t s a t s − − −+ + + = Hay 1 1 2 2 ... 0.n na t a t a t+ + + = Do 1 2 ... nI I I⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp các ideal phải của R nên 0, 1,i ia t i n= ∀ = Suy ra 1 1( ) , 1, .i i i ia b a t s i n − −= = Nghĩa là 1 1 11 2 ... nI S I S I S − − −⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp các ideal phải của 1RS .− 2.1.6 Định lý : Nếu R là vành Ore phải và S là tập không rỗng các phần tử chính quy trong R thì ta có: i) Nếu I là ideal phải của 1RS− thì I R là ideal phải của R và 1 1( ) ( ) S .I R S I R R− −=  ii) Nếu 1 2 ... nI I I⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp các ideal phải của 1RS− thì 1 2( ) ( ) ... ( )nI R I R I R⊕ ⊕ ⊕   là tổng trực tiếp các ideal phải của R. Chứng minh: i) Hiển nhiên 1( ) .I R S I−∩ ⊆ Ngược lại, lấy 1 .x ab I−= ∈ Suy ra .a xb I R= ∈ ∩ Hay 1( ) .x I R S−∈ ∩ ii) Hiển nhiên. 2.1.7 Mệnh đề: Cho S là tập không rỗng chứa các phần tử chính quy của vành R và cho SQ R= thì: 19 i) Tập hữu hạn 1,..., nq q là các phần tử của Q có mẫu số chung thì tồn tại 1r ,...,rn R∈ và s S∈ sao cho i iq rs= với mỗi i. ii) Nếu eB Q thì rB R R∩  và ( ) .B B R Q= ∩ iii) Nếu D r R thì 1D , {ds /d D,s S}.rQ Q DQ −= ∈ ∈ Và {r R/rs , }.DQ R D s S∩ = ∩ ∈ ∀ ∈ iv) Nếu 1 2D , rD R với 1 2D 0D∩ = thì 1 2D 0.Q D Q∩ = v) Nếu I R và Q là Noether phải thì .IQ Q Chứng minh: i) Nếu 1i i iq a s −= ta sẽ tìm được , is S b R∈ sao cho i is b s= với mỗi i. ii) , iii), iv) Suy ra trực tiếp. v) Nếu s S∈ , thì sI I⊆ và 1I s I−⊆ điều này kéo theo dây truyền tăng { }ns IQ− của iđêan phải của Q theo giả thiết nó phải ổn định. Vì vậy ( )1n ns IQ s IQ− + −= với 0n ≥ suy ra 1s IQ IQ− = suy ra QIQ IQ= và .IQ Q 2.1.8 Định lý: Miền nguyên Noether phải bất kì là miền Ore phải. Chứng minh: Ta chứng minh rằng các phần tử khác không ,a b R∈ thì ' ' 0ab ba= ≠ với mọi ', 'a b R∈ . Chú ý rằng trong miền ore phải thì hai iđêan bất kì là giao nhau nên từ aR R 0b∩ ≠ suy ra điều phải chứng minh. Hoặc R không là miền Ore phải thì tổng aRnb∑ là tổng trực tiếp, mâu thuẫn với R là Noether phải. 2.1.9 Cho S là tập khác rỗng chứa các phần tử chính quy của R và M là R- môđun phải. Ta xây dựng môđun các thương SM : Đầu tiên cho: ass {m M/ms 0, }MS s S= ∈ = ∀ ∈ dễ dàng kiểm tra được 20 đây là môđun con của M. Cho / assMM M S= và xét {Hom(A,M)/A }F∈ . Ta xây dựng phép toán giống như SR trong SR -môđun. Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ SM M→ sao cho m m là phổ dụng và SRM R⊗ cũng là một SR - môđun. Mệnh đề: .R S SM R M⊗  Chứng minh: Tích chất phổ dụng của SM cho ta một ánh xạ và tích chất phổ dụng của ⊗ cho ta ánh xạ ngược lại. 2.2 Số chiều đều: 2.2.1 Định nghĩa: Giả sử N là iđêan của M sao cho với mọi iđêan khác không X của M ta có 0N X∩ ≠ . Khi đó ta gọi N là iđêan cốt yếu của M, và M là một mở rộng cốt yếu của N. Kí hiệu: eN M . Lấy tập A R⊂ , gọi {r R| 0}rannA Ar= ∈ = là linh hóa tử phải của R, {r R| 0}lannA rA= ∈ = là linh hóa tử trái của R, {r R/rA=Ar 0}.ann A = ∈ = Một ideal phải của R được gọi là linh hóa tử phải nếu có một tập A R⊂ sao cho ( )I rann A= . Ta kí hiệu: r(A) ( )rann A= và l(A) ( ).lann A= 2.2.2 Bổ đề: i) Nếu R là vành nguyên tố và I là iđêan khác không thì .e RI R ii) Nếu N là iđêan lũy linh của vành R thì .elannN R Chứng minh: i) Nếu 0 rX R≠  thì 0 .XI X I≠ ⊆ ∩ 21 ii) Nếu 0 rX R≠  , chọn k sao cho 0 kXN ≠ nhưng 1 0kXN + = . Thì .kXN X lannN⊆ ∩ 2.2.3 Bổ đề: Cho R là vành bất kì và M là R-môđun phải bất kì. i) Nếu eN P và eP M thì .eN M ii) Nếu 1 eN M và 2 eN M thì 1 2 .eN N M∩  iii) Nếu eN M , m M∈ và 1 {r R/mr N}m N− = ∈ ∈ thì 1 .e Rm N R −  iv) Nếu i e iN M với 1,2,...,i t= thì 1 1... ... .t e tN N M M⊕ ⊕ ⊕ ⊕ v) Nếu N M thì tồn tại 'N M sao cho ' 0N N∩ = và ' .eN N M⊕  vi) M có tính chất là môđun con cốt yếu duy nhất của chính nó nếu và chỉ nếu nó là nửa đơn. Chứng minh: i) và ii) Kiểm tra dễ dàng. iii) Nếu 0 rI R≠  mà 0mI = thì 1I m N−⊆ . Ngược lại 0mI ≠ thì 0mI N∩ ≠ và 1 0.I m N−∩ ≠ iv) Chứng ming bằng quy nạp. Xét 2k = ta có 1 20 X M M M≠ = ⊕ . Nếu 0iX M∩ ≠ với 1,2i = thì 0iX N∩ ≠ . Mặt khác nếu 1 2 1 20 m m x M M≠ + = ∈ ⊕ thì tồn tại r R∈ sao cho 1 10 m r N≠ ∈ do giả thuyết 2 0m r ≠ nhưng tồn tại s R∈ với 2 20 m rs N≠ ∈ . Rõ ràng ( )1 20 rs .x X N N≠ ∈ ∩ ⊕ v) Áp dụng bổ đề Zorn cho tập các môđun con X của M với 0N X∩ = chứa phần tử tối đại 'N . Giả xử rằng Y M với ( ') 0Y N N∩ ⊕ = . Thì 'X N Y= ⊕ thỏa 0N X∩ = và 0Y = và ' .eN N M⊕  vi) Suy ra trực tiếp từ v). 22 2.2.4 Định nghĩa: Cho môđun con N của M có một môđun con tối đại N’ sao cho ' 0N N∩ = . Khi đó N’ được gọi là môđun con phần bù của N. Môđun U là đều nếu 0U ≠ và mỗi môđun con khác không của U đều là môđun con cốt yếu. Môđun M được gọi là có số chiều đều hữu hạn nếu nó không bao hàm tổng trực tiếp vô hạn của môđun con khác không. 2.2.5 Bổ đề: Nếu M có số chiều đều hữu hạn và 0M ≠ thì M bao hàm một môđun con đều. Chứng minh: M là đều nên M chứa tổng các môđun con khác không : 0 1 2.M M M M= ⊇ ⊕ Lập lại lý luận trên với 1 2, ,...M M dẫn tới tổng trực tiếp ' ' 1 2 ...M M⊕ ⊕ Vì M đều nên tổng trực tiếp trên phải dừng xãy ra khi KM là đều. 2.2.6 Bổ đề: Nếu M có số chiều đều hữu hạn thì M chứa một môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp hữu hạn của môđun con đều. Chứng minh: Cho 1 ' n ii M U = = ⊕ là tổng trực tiếp của các môđun con đều iU của M. Giả sử M’ không là cốt yếu trong M thì tồn tại 0 X M≠  với ' 0M X∩ = . Do 2.2.5 X chứa môđun con đều 1nU + và 1 1' . n n ii M M U U+ =⊇ ⊕ =⊕ Ta lặp lại quá trình trên dẫn tới một tổng trực tiếp vô hạn đều này vô lí. Suy ra M chứa một môđun con cốt yếu là tổng trực tiếp hữu hạn của môđun con đều. 23 2.2.7 Định lý: Cho M là môđun có số chiều đều hữu hạn và cho 1 n ii U = ⊕ là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con đều của M và là cốt yếu trong M. Thì: i) Tổng trực tiếp của các môđun con khác không của M có nhiều nhất n số hạng. ii) Tổng trực tiếp của môđun con đều của M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu nó có đúng n số hạng. Chứng minh: i) Cho 1 ... , 0k jV V M V⊕ ⊕ ∀ ≠ . Tập 2W ... kV V= ⊕ ⊕ không là cốt yếu của M. Do vậy, theo 2.2.3 iv) W 0,iU i∩ = ∀ thì 2 1... kV V U⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp. Lập lại quá trình trên k lần chứng tỏ rằng .k n≤ ii) Nếu môđun con không là cốt yếu nó có phần bù (do 2.2.3 v)) chứa môđun con đều ( do 2..2.5). 2.2.8 Định nghĩa: Số nguyên dương n cho bởi 2.2.6 được gọi là số chiều đều (hoặc số chiều Goldie) của M . Kí hiệu dimu M n= . Nếu M không có số chiều đều hữu hạn ta viết dimu M = ∞ . Dễ dàng có các tính chất sau: i) dim 1u M = nếu và chỉ nếu M là đều. ii) dim 0u M = nếu và chỉ nếu M = 0. iii) Nếu N M và dimu M n= thì dimu N n≤ , “=” xãy ra khi .eN M iv) 1 2 1 2dim( ) dim dim .u M M u M u M⊕ = + 2.2.9 Bổ đề: Cho S chứa các phần tử chính quy của vành R và là tập Ore phải sao 24 cho SQ R= . Cho rA R và rB Q . Thì: i) .e eA R AQ Q⇔  ii) .e eB Q B R R⇔ ∩  iii) dim dimA dimA .R Q Ru A u Q u Q= = iv) dim dim dim( ) .Q R Ru B u B u B R= = ∩ v) r dim dim .u Q ru R= Chứng minh: Được suy ra từ 2.1.7. 2.2.10 Mệnh đề: Cho R là vành nửa nguyên tố và A là iđêan. Thì: i) ( ).rann A lann A ann A= = ii) ann A là iđêan phần bù duy nhất của A trong R. iii) ann A là đều nếu và chỉ nếu ann A là iđêan nguyên tố tối tiểu. Chưng minh: i) 2AX 0 ( ) 0 0XA XA= ⇒ = ⇒ = và ngược lại. ii) Nếu 0A C∩ = với C R thì 0AC A C⊆ ∩ = , vì vậy C annA⊆ . Nó cách khác 2( ) 0A annA∩ = và 0A annA∩ = . iii) Cho B là giao của các iđêan nguyên tố tối tiểu của R không chứa A, rõ ràng 0A B∩ = và B annA⊆ do ii). Tuy nhiên Aa 0nnA = nếu P là nguyên tố tối tiểu và A P⊄ thì ann A P⊆ . Vì vậy ann A B⊆ . 2.2.11 Định lý: Cho R là vành nửa nguyên tố các điều kiện sau là tương đương: i) R RR có số chiều đều hữu hạn. ii) R có hữu hạn các iđêan nguyên tố tối tiểu. iii) R có hữu hạn các iđêan linh hóa tử. iv) R có điều kiện dây chuyền tăng trên các iđêan linh hóa tử. 25 Chứng minh i) ⇒ ii) d imRu n= thì có các iđêan đều 1,..., nU U sao cho 1 ... n e R RU U R⊕ ⊕  . Nếu i iP annU= thì do mệnh đề 2.2.10 iv), iP là nguyên tố tối tiểu và 0iP∩ = và đó là tất cả các iđêan nguyên tố tối tiểu. ii) ⇒ iii) Suy ra từ 2.2.10 iii). iii) ⇒ iv) Suy ra từ 2.2.8 v) và theo 2.2.10 iđêan linh hóa tử là iđêan phần bù. 2.3 Định lý Goldie phải: 2.3.1 Định nghĩa: Vành Goldie phải là vành thỏa các điều kiện sau: i) Thõa mãn điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải. ii) Có số chiều đều hữu hạn. 2.3.1 Mệnh đề: Ideal phải I của R là linh hóa tử phải khi và chỉ khi ( ( )).I r l I= Chứng minh: Thật vậy, ( ),( ).I r X X A= ⊆ Khi đó ta có ( ).X l I⊆ Vì thế ( ) ( ( ))I r X r l I I= ⊇ ⊇ (đpcm). 2.3.2 Định lý: (Điều kiện Goldie phải) . Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì R có một vành các thương phải, và vành các thương phải này là vành nửa đơn. Chứng minh: Cần các bổ đề sau. 2.3.2.1 Bổ đề: R là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải. Nếu I và J là ideal phải của R, I J⊆ và ( ) ( )l I l J≠ thì có phần tử a I∈ 26 sao cho 0aI ≠ và a 0I J∩ = . Chứng minh: - Vì J I⊆ nên ( ) ( ).l J l I⊇ Mà ( ) ( )l I l J≠ nên ( ) ( ).l J l I⊃ Theo điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải kéo theo điều kiện dãy giảm trên các linh hóa tử trái. Bây giờ ta lấy U là linh hóa tử trái nhỏ nhất thỏa ( ) ( ).l J U l I⊇ ⊃ Vì 0UI ≠ và A là nửa nguyên tố nên 0.UIUI ≠ Do đó tồn tại au IU∈ sao cho 0.UauT ≠ - Giả sử 0auI I∩ ≠ thì tồn tại x I∈ sao cho 0 .aux I≠ ∈ Vì x I∈ nên ( ) ( )l x l I⊇ , hơn nửa là ( ) ( ).U l x l I∩ ⊇ Do tính tối tiểu của U nên ( ) ( )U l x l I∩ = hay ( )U l x U∩ = (vì giao các linh hóa tử trái là linh hóa tử trái). Suy ra ( )U l x⊂ nên ux 0= (vô lí v 0aux ≠ ). ( ) ,auxl J U J⊇ ∈ suy ra 0.Uaux = Do đó ( ) ( )Uaux l x Uaux U Uaux l I⊂ ⇒ ⊂ ⇒ ⊂ (không xảy ra). Bổ đề được chứng minh. 2.3.2.2 Hệ quả: R là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải. Nếu xR và yR là hai ideal cốt yếu của R thì yxR là một ideal cốt yếu của R. Chứng minh: Lấy I là ideal phải khác 0 {a R:ya I}.B = ∈ ∈ Vì yR là ideal cốt yếu, 0B ≠ và yR 0yB I= ∩ ≠ nên theo định nghĩa của B ta được ( ) .r y B⊆ Mà 0yB ≠ và ( ) 0yr y = nên ( ) ( ( )).l B l r y≠ 27 Theo bổ đề 2.2.2.1, tồn tại u B∈ sao cho 0uB ≠ và ( ) 0.uB r y∩ = Vì 0uB là ideal phải trong R và uB B⊂ nên nếu ta đặt J uB= thì ta được 0J ≠ và ( ) 0.J r y∩ = Giả sử {a R:xa J}.K = ∈ ∈ Vì xR là ideal cốt yếu nên 0xK xR J= ∩ ≠ , hơn nửa 0.yxK ≠ Bên cạnh đó yJ yRyxK R⊆ ⊆ ⊆ nên yx 0.R I∩ ≠ Vì thế yxA là ideal cốt yếu. 2.3.2.3 Hệ quả: R là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải. Nếu xR là ideal cốt yếu trong R thì x là phần tử chính quy trong R. Chứng minh: i) Xét ( )l x Vì R là nửa nguyên tố nên ( ) 0.l R = Nếu ( ) 0l x ≠ thì áp dụng bổ đề 2.3.2.1 cho ideal , .I R J xR= = Vì xR là ideal cốt yếu nên ta có ( ) 0.l x = ii) Xét ( ).r x Ta có: 2( ) ( ) ...r x r x⊆ ⊆ Theo điều kiện dãy tăng các linh hóa tử phải thì tồn tại 0 :n > 1( ) ( ).n nr x r x += Nếu ( )na x R r x∈ ∩ thì na x y= và 10 nxa x y+= = (do 1( ) ( )n ny r x r x+∈ = và 0a = ). Do đó ( ) 0.nx R r x∩ = Theo hệ quả 2.2.2.2 thì nx R là ideal cốt yếu nên ta được ( ) 0.r x = Vậy x là phần tử chính quy trong R. 2.3.2.4 Bổ đề: Cho R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì R thỏa điều kiện dãy giảm 28 trên các linh hóa tử phải. Chứng minh: Lấy 1 2 ... ...nR R R⊃ ⊃ ⊃ ⊃ là dãy giảm nghiêm ngặt các linh hóa tử phải, nghĩa là 1( ) ( ), .n nl R l R n+≠ ∀ Áp dụng bổ đề 2.3.2.1 , ta tìm được một ideal phải khác 0 là 1i iI R +⊆ sao cho 1 0.i iI R +∩ = Khi đó iI tạo nên một tổng trực tiếp vô hạn các ideal phải trong R (mâu thuẫn với điều kiện R là vành Goldie phải). (đpcm). 2.3.2.5 Bổ đề: Cho R là vành Goldie phải nửa nguyên tố. Nếu x R∈ và r( ) 0x = thì xR là ideal cốt yếu và x là phần tử chính quy. Chứng minh: Giả sử tồn tại ideal phải 0I ≠ của R. Ta sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này, các ideal phải ( 0)nx I n ≥ tạo thành một tổng trực tiếp vô hạn. Vì ( ) 0r x = nên 0.nx I ≠ Nếu có đẳng thức 20 1 2 ... 0 n na x a x a x a+ + + + = , trong đó ia I∈ và n là số nguyên dương bé nhất có tính chất này. Khi đó 0 0a I xR∈ ∩ = , ta thu được đẳng thức: ( )11 2 ... 0.n nx a x a x a−+ + + = Vì ( ) 0r x = nên 11 2 ... 0 n na x a x a −+ + + = (mâu thuẫn với tính tối tiểu của số nguyên dương n). Do R không có một tổng trực tiếp vô hạn các ideal phải nên ta được 0I xA∩ ≠ , nghĩa là xR là ideal cốt yếu, và theo hệ quả 2.2.2.3 thì x là phần 29 tử chính quy. 2.3.2.6 Bổ đề: R là vành Goldie phải nửa nguyên tố. Nếu I là ideal phải cốt yếu của R thì I chứa phần tử chính quy của R. Chứng minh: *Ta chứng minh một ideal phải 0I ≠ bất kì của vành R có chứa một phần tử x thỏa 2( ) ( ).r x r x= Vì R là vành nửa nguyên tố nên chứa phần tử không lũy linh. Xét tập hợp các linh hóa tử phải { ( ) | , 0}.nS r y y I y= ∈ ≠ Vì R là vành Goldie phải nên bất kì dãy giảm các phần tử của S đều có phần tử tối đại. Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại ( ).r x Vì 2( ) ( )r x r x⊆ nên 2( ) ( ).r x r x= *Bây giờ ta lấy I là ideal cốt yếu của R. Giả sử I không chứa bất kì phần tử d A∈ sao cho: ( ) 0.r d = Trong trường hợp này ta có thể xây dựng một dãy các phần tử 1 2, ,..., , 0,n ia a a I a i∈ ≠ ∀ thỏa điều kiện: i) 2( ) ( ), .i ir a r a i= ∀ ii) 0, .i ja a i j= ∀ < iii) 1 2 ... na R a R a R⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp. Giả sử ta có dãy 1 2, ,..., , 0,n ia a a I a i∈ ≠ ∀ thỏa điều kiện i), ii), iii). Lấy 1 2 1 2... ... .n nb a a a a R a R a R= + + + ∈ ⊕ ⊕ ⊕ Vì cách chọn I không chứa phần tử d R∈ sao cho: ( ) 0r d = nên 0b ≠ và 1 ( ) ( ). n i i r b r a = =  30 Lấy ( ) .X r b I= ∩ Vì I là ideal cốt yếu và ( ) 0r b ≠ nên X 0.≠ Theo cách chứng minh trên X có chứa phần tử lũy linh khác 0 là 1an+ sao cho 21 1r(a ) r(a ).n n+ += Vì 1a ( )n r b+ ∈ nên ta có 1 0, 1.i ia a i n+ = ∀ < + *Ta sẽ chứng minh 1 2 ... na R a R a R⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp. Lấy 1 2 1( ... ) .n ny a R a R a R a R+∈ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ 1 1 ,( , ). n n i i i i y a x a x x x A+ = = = ∈∑ Ta có: 21 1 1 1 1 1 0 . n n i i i a a x a a x a x+ = = = =∑ Do đó 21 1 1( ) ( )x r a r a∈ = hay 1 1 0.a x = Vì thế 1 1 . n n i i i a x a x+ = =∑ Giả sử a 0,j jx j i n= ∀ < < hay 1 . n n j j j i a x a x+ = =∑ Suy ra 210 . n i n i j j i i j i a a x a a x a x+ = = = =∑ Khi đó 0.i ia x = Tiếp tục quá trình trên ta được 0.y = Tức là ta có thể xây dựng được một tổng trực tiếp vô hạn các 1 2 1... ...n na R a R a R a R+⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ các ideal phải khác 0 . Suy ra R không có số chiều đều hữu hạn (vô lí). Vậy I phải chứa phần tử d R∈ sao cho: r( ) 0.d = Theo bổ đề 2.3.2.5 , d là phần tử chính quy trong A. 31 Chứng minh định lý 2.3.2 *Đầu tiên ta chỉ ra rằng R là vành Ore phải. Lấy a R∈ và .b S∈ Theo bổ đề 2.3.2.5, bR là ideal cốt yếu trong R. Suy ra X {u R:au bR}= ∈ ∈ cũng là ideal cốt yếu phải trong R. Theo bổ đề 2.3.2.6, X phải chứa phần tử chính quy x S∈ nên ax , .by y R= ∈ Do đó, R là vành Ore phải. Theo định lý 2.1.2 thì R có một vành các thương bên phải 1AS .Q −= *Bây giờ ta chứng minh Q là vành nửa đơn. Lấy I là ideal phải của Q thì 1I I R= ∩ là ideal phải của R. (định lý 2.1.6). Theo định lý 2.1.5, tồn tại một tổng trực tiếp tối đại các ideal phải 1 2 ... nJ I I I= ⊕ ⊕ ⊕ của R chứa 1.I Từ tính tối đại của J suy ra J là ideal cốt yếu. Theo bổ đề 2.3.2.6 thì J có chứa một phần tử chính quy. Do đó theo định lý 2.1.5, JQ = Q. Đặt 1 2 ... .nP I I I= ⊕ ⊕ ⊕ Theo định lý 2.1.5 ta có 1 1( ) .Q JQ I P Q I PQ= ⊕ = ⊕ Tồn tại một phần tử lũy đẳng e Q∈ sao cho .I eQ= Thật vậy, bất kì ideal phải nào của Q đều là chính quy. Vì thế vành Q là vành Noether phải và vành Goldie phải. Vì một ideal phải bất kì của Q đều được sinh bởi một phần tử lũy đẳng nên Q không có ideal lũy linh. (vì nếu e là một phần tử lũy đẳng khác 0 thì 0,ne e n= ≠ ∀ ) . Do đó Q là vành nửa nguyên tố. 32 Lấy I là ideal phải của Q thì I eQ= , trong đó 2e e= là phần tử lũy đẳng của Q. Vì e và 1f e= − là một cặp lũy đẳng trực giao nên ( ) ( )l I l e fQ= = và ( ) ( ).eQ r f r fQ= = Do đó bất kì ideal phải của Q đều là linh hóa tử phải. Mà Q là vành Goldie phải nửa nguyên tố nên theo bổ đề 2.3.2.4 thì Q thoả mãn điều kiện dãy giảm trên các hoán tử phải và vì thế Q là vành Artin phải. * Vành Artin phải và nửa nguyên tố là vành nửa đơn. 2.3.3 Cho R là vành nửa nguyên tố. Xét vành tự đồng cấu d(R )REn . Vành con của d(R )REn sinh bởi R và 1 được kí hiệu là 1.R Bổ đề: i) 1R R và R iđêan cốt yếu của 1.R ii) 1R là vành nửa nguyên tố. Chứng minh: i) Rõ ràng 1R R . Cho 10 rA R≠  . Chứng minh rằng AR .R⊆ Vì 1R được sinh bởi R và 1. Hơn nữa với ,a A r R∈ ∈ thì a và ar có thể được xem là tự đồng cấu của R. Nếu 0a ≠ thì ( ) 0a r ≠ với mọi r và AR 0≠ . Vì vậy R là một iđêan cốt yếu của 1.R ii) Nếu 1rA R với 2 0A = thì 2( ) 0A R∩ = vì thế 1R là nửa nguyên tố CHƯƠNG 3: VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ 33 Chương này sẽ nghiên cứu một số hệ quả và mở rộng của định lý Goldie. Bên cạnh đó ta sẽ thấy được mối quan hệ của vành R và vành ma trận ( )nM R ứng với vành các thương Q và vành các thương ( )nM Q . Chương này cũng tập trung vào các iđêan tối tiểu, nghiên cứu mối quan hệ đặc biệt của nó trong vành Goldie nửa nguyên tố. 3.1 Thứ tự trong vành các thương: 3.1.1 Mệnh đề: Nếu Q là vành Artin phải thì Q là vành các thương phải và mọi phần tử chính quy phải là khả nghịch. Chứng minh: Lấy s Q∈ là phần tử chính quy phải. Xét chuỗi giảm { }.ns Q Vì Q là vành Artin phải nên tồn tại n sao cho: 1n ns Q s Q+= hay 1 , .n ns q s q q Q+= ∈ Vì s là chính quy phải nên ns cũng là chính quy phải. Do đó ( 1) 0 1.ns sq sq− = ⇒ = Suy ra s là chính quy trái (vì as 0 . 0 0a sq a= ⇒ = ⇒ = ) s( s 1) ( 1) 0 s 1.q sq s q− = − = ⇒ = V