Lý thuyết Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Miền chấp nhận được (feasible region) của một bài toán quy hoạch tuyến tính được xác định bởi một tập các bất đẳng thức Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. (Xem thêm: đẳng thức) • Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và • Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b. Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có • có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và • có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b. Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác. • Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều. Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó. Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm. Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là 1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình. 3. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến. Các tính chất Bất đẳng thức có các tính chất sau: Tính chất tam phân Tính chất tam phân phát biểu: • Với mọi số thực a và b, chỉ có một trong những quan hệ sau đây là đúng: o a < b o a = b o a > b Tính chất này suy ra từ tính sắp thứ tự đầy đủ của tập số thực. Tính chất bắc cầu Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức được phát biểu như sau: • Với mọi số thực a, b,c: o Nếu a > b và b > c thì a > c o Nếu a < b và b < c thì a < c Tính đảo Quan hệ bất đẳng thức có thể đảo chiều như ảnh qua gương theo nghĩa như sau: • Với mọi số thực, a và b: o Nếu a > b thì b < a o Nếu a a Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ được phát biểu như sau: Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực. Nghĩa là • Với mọi số thực a, b và c: o Nếu a > b thì a + c > b + c và a - c > b - c o Nếu a < b thì a + c < b + c và a - c < b - c Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau: Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chía)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực. Cụ thể: • Với mọi số thực a, b và c: o Nếu c là một số dương và a > b thì a × c > b × c và a/c > b/c o Nếu c là một số dương và a < b thì a × c < b × c và a/c < b/c o Nếu c là một số âm và a > b thì a × c < b × c và a/c < b/c o Nếu c là một số âm và a b × c và a/c > b/c Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết quả vẫn đúng. Ngược lại nếu ta áp vào hai vế của một bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì lúc ấy ta phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng. Điều đó có nghĩa là: 1. Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a ≤ b (hoặc a ≥b) và 1. f(x) là hàm đơn điệu tăng thì f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a)≥f(b)) (không đảo chiều) 2. f(x) là hàm đơn điệu giảm thì f(a) ≥ f(b) (hoặc f(a)≤f(b))(đảo chiều) 2. Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a b) và 1. f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì f(a) f(b)) (không đảo chiều) 2. f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì f(a) > f(b) (hoặc f(a)<f(b)) (đảo chiều) Kiểu ký hiệu ghép nối Ký hiệu a<b<c có nghĩa là a < b và b < c và do tính chất bắc cầu ta suy ra a < c. Dễ thấy rằng, cũng bằng các tính chất ở phần trên, chúng ta có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/chia cả ba số hạng này với cùng một số khác không và tùy vào dấu của số nhân/chia đó mà ta có đảo chiều bất đẳng thức hay không. Nhưng cần thận trọng vì bạn chỉ có thể làm điều đó với cùng một số, tức là a < b + e < c tương đương với a - e < b < c - e. Tổng quát hơn, kiểu ký hiệu ghép nối này có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng hạn a1 ≤a2 ≤...≤an có nghĩa là ai≤ai+1 với i = 1,2,...,n-1. Theo tính chất bắc cầu, điều này tương đương với ai≤aj với mọi 1≤i≤j≤n. Đôi khi, kiểu ký hiệu ghép nối được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong trường hợp này phải hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế cận nhau. Cho ví dụ, a c ≤ d có nghĩa là a c và c ≤d. Thường trong toán học, người ta ít xài kiểu ký hiệu này và trong ngôn ngữ lập trình, chỉ có một ít ngôn ngữ như Python cho phép dùng ký hiệu này. Các bất đẳng thức nổi tiếng Khi gặp các đại lượng mà không thể tìm được hoặc không dễ dàng tìm được công thức tính chính xác, các nhà toán học thường dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng tầm giá trị mà các đại lượng đó có thể có. Một vài bất đẳng thức thông dụng và có tên gọi riêng cho nó: • Bất đẳng thức Bunhia • Bất đẳng thức Azuma • Bất đẳng thức Bernoulli • Bất đằng thức Boole • Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz • Bất đẳng thức cộng Chebyshev • Bất đẳng thức Chernoff • Bất đẳng thức Cramer-Rao • Bất đẳng thức Hoeffding • Bất đẳng thức Holder • Bất đẳng thức Jensen • Bất đẳng thức Markov • Bất đẳng thức Minkowski • Bất đẳng thức Nesbitt • Bất đẳng thức Pedoe • Bất đẳng thức tam giác • Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Mẹo nhỏ cho học sinh Các học sinh thường bị lẫn lộn giữa ký hiệu lớn hơn và nhỏ hơn, vì hai ký hiệu này chẳng qua là ảnh qua gương lẫn nhau. Một mẹo nhỏ giúp học sinh dễ nhớ là dấu bất đẳng thức trông giống như một con cá sấu đói đang muốn ăn một con lớn hơn, vì thế, cái mõm mở ra luôn hướng về số 8 trong cả hai bất đẳng thức 3 3. Cũng có một mẹo khác là, đại lượng lớn hơn chỉ tay về phía đại lượng nhỏ hơn và nói "ha...ha, tôi lớn hơn bạn".