Lý thuyết thế trong địa vật lý (Phần 1)

→ ∞ , khi đó : 0)(lim 0 0 = ∞→ PV r Ta có : A = V(P) Vậy, thế tại điểm quan sát P bằng công mà trường lực thực hiện được khi di chuyển một đơn vị khối lượng từ vị trí không của thế (V = 0) đến điểm P nói trên. Đó là ý nghĩa vật lý của thế tại điểm quan sát P. Thứ nguyên của thế là thứ nguyên của công. Thế V là đại lượng ngược dấu với thế năng : V = - U. Như vậy, có nghĩa thế năng bằng công của trường lực khi di chuyển một khối lượng đơn vị từ điểm quan sát về vị trí không của thế năng. Chúng ta hãy xét hai trường hợp đặc biệt của công thức (1.33) : * Thứ nhất là phương di chuyển của khối lượng đơn vị vuông góc với phương của lực, lúc đó: Góc ( = 900, cos(F,s) = 0, từ (1.33) ta có : dV = 0 suy ra : V(x,y,z) = const (1.34) Đây là phương trình của một mặt mà trên đó, thế có giá trị không đổi, lực có phương vuông góc với mặt đó tại mọi điểm trên mặt (trùng với phương của pháp tuyến). Mặt này có tên là mặt mức hay mặt đẳng thế. Công thực hiện được khi di chuyển một chất điểm trên mặt đẳng thế luôn luôn bằng không. Thay đổi giá trị hằng số trong (1.34), ta sẽ nhận được một họ các mặt đẳng thế khác nhau. Các mặt đẳng thế không thể cắt nhau hay tiếp xúc với nhau, bởi vì nếu như vậy hóa ra thế là một hàm đa trị. * Thứ hai là cho khối lượng đơn vị di chuyển dọc theo phương và theo chiều tác dụng của lực ( trùng với chiều của pháp tuyến trong n’). Lúc đó : 18 Góc (F,s) = 00, cos(F,x) =1, dV= Fds = Fdn’ với dn’ là một đoạn của pháp tuyến trong (ds = dn’). 'dn dVF = (1.35) Nếu di chuyển ngược theo phương của lực (ds = dn) thì : Góc (F,s) = 180 0, cos (F,s) = -1 ta suy ra : dn dVF −= (1.36) Như vậy chỉ có lấy đạo hàm theo phương của pháp tuyến ta mới nhận được toàn phần của lực tác dụng. Biểu thức (1.36) ứng với phương của pháp tuyến ngoài, còn (1.35) ứng với phương của pháp tuyến trong. Thông thường, trong lý thuyết thế, người ta sử dụng pháp tuyến ngoài, vì vậy cho nên lực sẽ được biểu diễn bằng (1.36). Từ (1.36), ta có : F dVdn −= (1.37) Qua (1.37), ta rút ra rằng : khoảng cách theo phương pháp tuyến giữa hai mức vô cùng sát nhau không phải hằng số cho mọi vị trí mà tỉ lệ nghịch với lực. Ký hiệu h là khoảng cách hữu hạn tính dọc theo phương đường sức giữa hai mặt mức V = C1 và V = C2 nào đó không sát nhau, trong đó chiều dương của h trùng với chiều pháp tuyến ngoài n. Ta có : F dVdh −= Lấy tích phân dọc theo đường sức của lực : ∫∫ −= 2 1 1 0 C Cm h dV F dh ta có : mF CCh 21 −= Trong đó Fm là trị giá trung bình của lực trên đoạn h của đường sức. Như vậy, nếu biết hiệu thế giữa hai mặt đẳng thế, ta có thể xác định được đoạn đường sức nói trên. Mặc dù đoạn này có thể cong, nhưng luôn vuông góc với cả hai mặt đẳng thế và được xem là độ cao của mặt này so với mặt nọ. 19 §.3. Thế và trường lực của một số vật thể có dạng đơn giản. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp xác định thế và trường lực của một số vật thể có dạng đơn giản. Qua đó, chúng ta sẽ rút ra kết luận có tính chất đặc trưng, đúng cho trường hợp tổng quát. Chúng ta sẽ xác định các loại trường thế, vì biết được trường thế, chúng ta sẽ biết được giá trị của lực và hướng của lực tại một điểm bất kỳ và biết được phương trình các mặt đẳng thế nữa. Việc xác định thế chung quy là chọn một hệ tọa độ thích hợp sau đó tiến hành lấy tích phân. 1.Thế lớp cầu : Đây là trường hợp đặc biệt của lớp đơn với mật độ ε, có dạng hình cầu. Như vậy quả cầu ở đây vô cùng mỏng và rỗng ở bên trong. Chúng ta hãy xét các trường hợp : a/ Điểm quan sát P nằm ở không gian ngoài quả cầu. Chọn góc tọa độ O trùng với tâm quả cầu bán kính R. Khối lượng hấp dẫn được dàn mỏng vô cùng trên mặt quả cầu σ với mật độ mặt đều ε, còn điểm quan sát P ở ngoài quả cầu cách tâm O một khoảng là ρ. Điểm chạy M trên mặt cầu được xác định bằng tọa độ cầu ρ, θ, λ. Trục xuyên tâm mặt cầu qua hai cực N và S được chọn trùng với OP là trục tính tọa độ góc θ (hình 4). Thế của lớp đơn được áp dụng là : ∫∫= σ σε r dfV Ở đây r = MP, dσ = R 2 sinθdθdλ Trong tam giác OMP (hình 5), ta có : r2 = R2 +ρ2– 2Rρcosθ (1.38) Lấy vi phân hai vế (1.38), ta có : rdr = Rρsinθdθ Từ đây, ta rút ra : dR rRdR ρ θθ =sin2 (1.39) 20 Vậy : λρσ drd rRd = (1.40) σ H.4 S N λ O dσ R ρ P(ρ,θ,λ) dλ r θ dθ M Thay (1,40) vào tích phân và coi mật độ mặt ε = const, sau khi lấy tích phân theo λ ta có: ∫ + − = R R drRfV ρ ρ ρ εpi2 (1.41) ρ εpi 2 4 RfV = (1.42) Theo công thức hình học sơ cấp thì 4piR 2 ε chính là khối lượng của mặt cầu σ có mật độ mặt là ε, ký hiệu là M, ta có : ρ fMV = (1.43) So sánh với thế của một chất điểm, ta có nhận xét rằng môt lớp cầu vô cùng mỏng có thế giống trường hợp giá như dồn hết khối lượng lớp cầu vào tâm quả cầu. Thế giảm tỷ lệ nghịch với khoảng cách. Lực hấp dẫn của lớp cầu này đối với một khối lượng đơn vị đặt tại P cách tâm một khoảng ρ bằng : σ H.5 ρ θ 21 2ρρ MfVF −= ∂ ∂ = (1.44) Như vậy, lực tác dụng không khác lực hấp dẫn của chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của lớp cầu đặt tại tâm cầu, và hướng ngược với ρ vào tâm O. Ta có thể nhận được lực bằng cách lấy đạo hàm của (1.42) : F = 2 2 4 ρ εpi ρ RfV −= ∂ ∂ (1.44a) b/ Điểm quan sát P nằm bên trong lớp cầu : Hãy lấy tích phân theo r, có sự thay đổi so với trường hợp thứ nhất. Ở đây : ρ+= Rrmax còn ρ−= Rrmin , hiệu số : rmax - rmin = 2ρ Công thức (1.41) sau khi thay giá trị trên đây vào sẽ có dạng : V = 4pifεR (1.45) Hay : const R fMV == (1.46) Trong đó M là khối lượng của lớp cầu. Như vậy thế của lớp cầu đối với điểm bên trong không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó bên trong lớp cầu. Lực hấp dẫn : 0= ∂ ∂ = ρ VF (1.47) Nghĩa là điểm nằm bên trong lớp cầu không chịu lực hấp dẫn của lớp cầu. 22 V ρ ρ=R O R fM ρ fMV = H.6 c/ Điểm quan sát P ở trên mặt lớp cầu : Thay ρ = R vào (1.42) và (1.43), ta có thế trên và trong lớp cầu : R fMRfV == εpi4 là hằng số. (1.48) - Thế là hàm đơn trị, liên tục khi đi qua lớp cầu. Chúng ta hãy khảo sát xem khi xuyên qua mặt cầu thì lực diễn biến ra sao. Xét giá trị giới hạn khi chúng ta tiến từ bên ngoài đến cận một điểm P0 trên mặt cầu. Dùng ký hiệu sau : ρρ ∂ ∂ = ∂ ∂ → e PP VV 0 lim Còn từ bên trong tiến đến điểm P0 trên mặt cầu : ρρ ∂ ∂ = ∂ ∂ → i PP VV 0 lim Theo (1.44a) khi cho ρ = R và (1.47), ta có : εpi ρ fV e 4−= ∂ ∂ 0= ∂ ∂ ρ iV Bây giờ ta sẽ tính đạo hàm ρ∂ ∂ V tại điểm P o ở ngay trên lớp cầu. Thành phần lực theo một trục bằng đạo hàm của (1.21) : σ O R R P M r z H.7 23 σε σ d r zrf z VF z ∫∫−=∂ ∂ = 2 ),cos( Hướng trục z trùng với ρ, theo hình 7, ta có : R r zr 2 ),cos( = ( trên mặt cầu ), kết qủa : ∫∫ ∫∫−=−=∂ ∂ = ∂ ∂ = σ σ σεσ ερ r d R f r d R rfV z VF z 22 2 Sử dụng biểu thức (1.40) và cho ρ = R, ta có tích phân : ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ==== σ σ pi pipiλλσ max min 2 0 2 0 42 r r R Rdrdrddrd r d Vậy, trên mặt σ : εpiρ fV 2−= ∂ ∂ Tóm lại môđun lực F =            = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − εpi ρ ρ εpi ρ fV V fV i e 2 0 4 0 Ngoài σ Trong σ Trên σ ρ 4pifε 2pifε H.8 F = f 24 Đường cong biểu diễn đạo hàm của thế của lớp cầu. Khi đi qua lớp cầu, hàm số này bị gián đoạn và biến đổi một lượng bằng ± 4pifε, dấu tùy thuộc vào chiều đi từ trong ra ngoài hay từ ngoài vào trong. 2. Thế khối cầu Chúng ta xét quả cầu đặc và đồng chất và cũng phân biệt hai trường hợp điểm quan sát ở trong và ngoài quả cầu. a/ Trường hợp điểm quan sát P ở ngoài và cách tâm quả cầu một khoảng ρ : Hãy tưởng tượng quả cầu này là một tập hợp của vô số những lớp cầu đồng chất vô cùng mỏng. Khi đó, thế của toàn thể khối cầu có thể xem bằng tổng các thế của các lớp cầu. Nói chính xác là lấy tích phân thế lớp cầu theo công thức (1.42). Ta sẽ thay ε bằng mật độ khối như sau, gọi khoảng cách giữa hai lớp cầu vô cùng gần nhau là h = dR thì (1.20) sẽ có dạng : ε = δdR (1.49) với δ là một hằng số cho mọi lớp cầu. Ký hiệu lại V bằng dV, công thức (1.42) cho thế lớp cầu sẽ có dạng: dRRfdV ρ δpi 2 4= Để có thế của khối cầu, ta lấy tích phân từ 0 đến R0 theo bán kính : ∫ == 0 0 3 02 3 44 R RfdRRfV ρ δpi ρ δ pi (1.50) δpi 303 4 RM = là khối lượng của khối cầu. Ta có : ρ fMV = (1.51) Như vậy, thế của khối cầu đặc có dạng giống trường hợp giá như toàn bộ khối cầu đó được dồn hết vào tâm thành chất điểm. Lực hấp dẫn đối với điểm quan sát có khối lượng đơn vị đặt tại P bằng : 25 2ρρ fMVF −= ∂ ∂ = (1.52) Lực hấp dẫn cũng tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách đến tâm quả cầu, tỷ lệ thuận với khối lượng M, hướng vào tâm quả cầu, ngược chiều với ρ. b/ Trường hợp điểm quan sát P ở trong khối cầu, cách tâm một khoảng ρ. Dựng một mặt cầu bán kính ρ, chia đôi khối cầu làm hai phần. Phần trong là một quả cầu có bán kính ρ cho ta thế ký hiệu là V1. Phần thứ hai là một lớp cầu bị giới hạn giữa hai bán kính ρ và R0 có thế bằng V2. Vì thế có tính chất chồng chất, nên thế của khối cầu có thể coi bằng tổng của V1 và V2 : V = V1 + V2 Điểm P là điểm ngoài so với quả cầu bán kính ρ, vậy áp dụng (1.50), thay R0 = ρ, ta có: 21 3 4 δρpi fV = Điểm P là điểm trong so với lớp cầu còn lại vậy áp dụng công thức (1.45) cho một điểm quan sát ở bên trong lớp cầu vô cùng mỏng và sau khi thay đổi mật độ mặt ε bằng mật độ khối theo (1.49), ký hiệu lại V bằng dV ta có : dV = 4pifδRdR Thế của lớp cầu dầy bằng thế của vô số lớp cầu mỏng là tích phân : ∫ −== 0 )(24 2202 R RfRdRfV ρ ρδpiδpi Thế của khối cầu kết quả cuối cùng là: (1.53) 2 0max 2 RfVV δpi== khi ρ = 0 )3( 3 2 22 021 ρδpi −=+= RfVVV 26 Sử dụng (1.53), lực hấp dẫn trong khối cầu bằng : δρpi ρ fVF 3 4 −= ∂ ∂ = ( tỷ lệ thuận với ρ ) (1.54) 0max 3 4 RfFF δpi== khi ρ = R0 Theo (1.54), lực bên trong quả cầu tỉ lệ thuận với khoảng cách ρ. Tại tâm quả cầu ρ = 0, lực tác dụng F = 0. Nhân đồng thời tử và mẫu số biểu thức (1.54) với ρ2 ta có : 2 3 3 4 ρ ρδpifF = (1-55) Hay : 2ρ fmF = với δpiρ 3 3 4 =m là khối lượng của khối cầu (phần thứ nhất), bán kính ρ. Lực hấp dẫn chung tương đương với lực hấp dẫn của qủa cầu bán kính ρ, là phần thứ nhất, hay của chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của phần thứ nhất đặt tại tâm O. Phần thứ hai coi như không gây nên một tác dụng lực nào. Chú ý : Lực F không phải tỷ lệ nghịch với ρ2 vì m ≠ const. H.9 V O Ro ρ V Fmax F F 3.Thế lôgarit: 27 Chúng ta xác định thế của một cái thanh dài vô tận và đồng chất L. Dùng hệ tọa độ x, y, z, hướng trục z trùng với L. Mặt phẳng xoy vuông góc với thanh, chứa vectơ tổng lực hấp dẫn hướng vuông góc với thanh. Ta có bài toán hai chiều x,y (không phụ thuộc z). Gọi mật độ dài là λ là hằng số. Lực hấp dẫn của một đoạn ∆z đối với điểm quan sát P(x,0) nằm trên trục x. OP = x ( hình10 ) được tính như lực hấp dẫn của chất điểm theo phương r và bằng : )( 222 zx zf r zfF + ∆ −= ∆ −=∆ λλ Chiếu trên trục x : 2 322 )( cos zx xZfFFx + ∆−=∆=∆ λα Do thanh đối xứng qua trục x, tổng lực hấp dẫn F sẽ hướng dọc trục x : ∫ ∫ ∞+ ∞− − −=−= + −== 2 2 3 2 2 322 2cos )( pi pi λ ααλλ x fd x xf zx dz xfFF x (1.56) Ở đây, ta đặt αtg x z = ; Tổng quát, nếu P(x,y) là điểm tùy ý nằm trên mặt xoy thì lực hấp dẫn toàn phần của L đối với P sẽ hướng theo OP là trục ρ. H.10 28 Ta có : ρ λ ρ fF 2−= (1.57) Trong đó 22 yx +=ρ là khoảng cách từ L đến P. Ta suy ra thế của thanh L : V = - 2λf lnρ (1-57b) 4. Thế từ của khối cầu. Giả sử m, δ, R là khối lượng, mật độ, bán kính của khối cầu đặc đồng chất bị từ hóa đồng nhất có mômen từ là M. Thế hấp dẫn của khối cầu tại khoảng cách ρ từ tâm khối cầu, ta đã biết :      <− ≥ = )(), 3 (2 )( )( 2 2 2 RRf Rmf pV ρρδpi ρρ Trước tiên, ta tính đạo hàm dl dV khi ρ > R : θ ρ ρ ρ cos22 mf dl dmf dl dV −=−= Khi ρ < R : θρρδρpiρ ρ cos 3 4 3R mf dl df dl dV dl dV −=−= ∂ ∂ = Góc giữa ρ và trục l ( hay J ) là θ. Biết M = Jτ và (1.32c) liên hệ giữa thế hấp dẫn và thế từ, ta có : 2 3 cos , ( ) cos , M R U p M R R θ ρ ρ ρ θ ρ  − ≥ =   − <  (1.58) Trên mặt cầu ρ = R, hai công thức trên chuyển thành một : 29 ( ) θcos)( 2RMpU −= (1.58a) Khi ρ > R, đem công thức ( 1.58) so với công thức lưỡng cực (1.30a), ta thấy nó chính là thế của lưỡng cực đặt tại tâm quả cầu có mômen µ trùng hướng với M . Bây giờ ta tính lực từ trường. Chọn hệ tọa độ gắn chặt với người quan sát và phân tách lực ra thành hai thành phần : theo phương pháp tuyến và tiếp tuyến với mặt cầu ( phương thẳng đứng theo ρ và vuông góc với ρ ). UZ ρ ∂ = ∂ ; 1 UH ρ θ ∂ = ∂ Lấy đạo hàm của U theo ρ và θ với ρ > R, ta có : 32 cosMZ θρ   =     ; 3 sinMH θρ   =     ; Trên mặt cầu (ρ = R) ta có : ( )32 cosMZ R θ= ; 3 sinMH θρ =    ; Vectơ cường độ từ toàn phần : ( )2 2 23 1 3cosMT Z H R θ= + = +ur Tại hai cực : θ = 0o và 180o : 32 MZ R= ± ; H = 0 3max 2 .MT Z R= = ur Tại xích đạo từ : θ = 90o , 270o : Z = 0 , 3MH R= ± ; 3max MT H R= = ur Dấu ± ứng với 2 tọa độ θ = 90o , 270o và so với hệ tọa độ gắn với người quan sát. 30 + Ghi chú : Ngoài ra, thế ly tâm, thế và lực lực hấp dẫn của một số vật thể có hình dạng đơn giản được đề cập dưới dạng bài tập ở phần phụ lục như : Đĩa tròn mỏng, đĩa tròn dầy, hình vành khuyên, lớp đơn vô hạn, hình trụ đặc, hình trụ rỗng. §.4. Các tính chất của thế Newtơn. 1. Thế khối : Thế khối V của vật thể có mật độ δ là hàm liên tục, đơn trị và giới nội trong toàn không gian. Đạo hàm của nó cũng có tính chất này. Ta hãy chứng minh tính giới nội của thế ( tức không tăng lên ∞ khi 0r → ). Đối với điểm quan sát ở khoảng không gian ngoài thể tích τ, r không bao giờ bằng 0 nên ở đây không có vấn đề gì. Thế có đầy đủ tính chất giới nội ở không gian ngoài. Song trong không gian trong τ thì r có thể bằng 0. Trong tích tích phân 1 r → ∞ và ta cảm giác rằng tích phân không giới nội. Thực tế không phải như vậy. Chọn điểm P ở trong thể tích τ làm gốc tọa độ cầu. Trong hệ tọa độ cầu : 2 sind r d d drτ θ θ λ= Thay dτ vào trong tích phân thế khối (1.13) ta có : sinV f r d d dr τ δ θ θ λ= ∫∫∫ Khi r → 0 tích phân trên giới nội. Đại lượng 0→ r dτ ở miền lân cận P, nhưng toàn bộ tích phân theo τ khác 0. Bây giờ muốn chứng minh tính liên tục ở trong không gian trong, chúng ta hãy xét điểm quan sát P(x,y,z) trong không gian trong. Dựng một quả cầu, bán kính R thật nhỏ có tâm tại điểm P sao cho mật độ khối trong đó, ký hiệu là δ* là hằng số. Thế do quả cầu có bán kính R gây ra ta gọi là V1. Thế của phần còn lại của vật là V2. Như vậy thế của một vật thể V được coi là bằng tổng thế : V1 + V2. Thế V2 quan sát tại P là hàm liên tục vì r không bao giờ bằng 0. Thế V1 quan sát tại P, tâm quả cầu (ρ = 0) áp dụng công thức (1.53), ta có : * 21 2V f Rpi δ= (1.59) Nếu quan sát tại điểm P’lân cận, bên trong quả cầu và cách P một đoạn ρ< R, thì theo công thức (1.53) ta có : 31 )3(* 3 2 ' 22 1 ρδpi −= RfV (1.60) Ta phải chứng minh tính liên tục, tức : '1 1V V− tiến tới 0 khi R-->0 với ρ < R. ' * 21 1 2 3 V V fpi δ ρ− = (1-61) Rõ ràng khi R--> tới 0 thì ρ --> 0 vì ρ < R và hiệu * 22 0. 3 fpi δ ρ → Như vậy ta đã chứng minh xong tính liên tục của thế trong toàn bộ vật thể. Ta cũng có thể chứng minh được rằng đạo hàm bậc 1 của thế cũng có đầy đủ tính chất như trên trong toàn bộ không gian. Bây giờ chúng ta sẽ rút ra thêm những tính chất khác của đạo hàm bậc 2 của thế. Ở đây, ta lần lượt xét trường hợp ở không gian ngoài và trong. Ở không gian ngoài, r ≠ 0 tại mọi vị trí nên đạo hàm mọi bậc của thế sẽ liên tục và giới nội. Tính đạo hàm bậc 2 của thế theo tọa độ x,y,z : ( )∫∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ υ δ 2 2 2 2 /1 x rf x V (1.62) Biết rằng : 3 1 r x rx ξ− −=      ∂ ∂ Lấy đạo hàm lần nữa : ( ) 5 2 32 2 )(311 r x rx r ξ−+−= ∂ ∂ (1.63) ∫∫∫       − +−= ∂ ∂ τ τ ξδ d r x r f x V 5 2 32 2 )(31 (1.64) Tương tự, ta có: ∫∫∫       − +−= ∂ ∂ τ τ ηδ d r y r f y V 5 2 32 2 )(31 (1.65) ∫∫∫       − +−= ∂ ∂ τ τ ζδ d r z r f z V 5 2 32 2 )(31 (1.66) 32 Cộng lại 3 đạo hàm bậc hai nói trên, ta có : 033 )()()(33 33 5 222 32 2 2 2 2 2 =    +− =      −+−+− +−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ τδ τ ζηξδ τ τ d rr f d r zyx r f z V y V x V (1.67 ) Vậy : 02 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z V y V x V (1.68) Đây là phương trình Laplace thiết lập quan hệ giữa ba loại đạo hàm bậc hai của thế khối, hay viết dưới dạng gọn : ∆V = 0 (1.69) Ký hiệu : 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂∆ = + + ∂ ∂ ∂ - Toán tử Laplace Hàm số nào thỏa mãn phương trình Laplace trong không gian nào đó được gọi là hàm điều hòa trong không gian đó. Như vậy thế khối là hàm điều hòa của tọa độ điểm quan sát trong toàn không gian ngoài. Trong không gian trong, chứa khối lượng, thế khối không thỏa mãn phương trình Laplace. Biểu thức sau dấu tích phân (1.62) có dạng 0/0. Ta có thủ thuật sau : Bọc điểm quan sát P ở không gian trong bằng một quả cầu có bán kính rất bé so cho mật độ trong đó là một hằng số. Quả cầu chia đôi không gian trong, tương tự như đã chứng minh: V = V1 + V2 (1.70) V1 : Thế khối của phần trong quả cầu. V2 : Thế khối của phần ngoài quả cầu. Tác dụng toán tử Laplace vào hai vế của (1.70) : ∆V = ∆V1 + ∆V2 V2 bây giờ là thế quan sát ở không gian ngoài đối với P nên : ∆V2 = 0 V1 là thế của quả cầu quan sát ở không gian trong đối với P. Áp dụng công thức thế (1.53) cho P bên trong quả cầu ta có : ( )* 2 21 2 33V f Rpi δ ρ= − (1.71) 33 Với R = const. Trong đó ρ là khoảng cách giữa tâm quả cầu O (x1, y1, z1) và điểm quan sát P ở trong quả cầu, dĩ nhiên ρ < R. * *1 1 1 1 4 4 ( ) 3 3 V V x xf f x x x x ρ pi δ ρ pi δ ρ ρ ∂ ∂ ∂ − = = − = − − ∂ ∂ ∂ 2 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )x x y y z zρ = − + − + − (1.72) Lấy đạo hàm một lần nữa theo x : 2 *1 2 4 3 V f x pi δ∂ = − ∂ Tương tự như vậy : 2 *1 2 4 3 V f y pi δ∂ = − ∂ ; 2 *1 2 4 3 V f z pi δ∂ = − ∂ (1.73) Cộng ba đạo hàm bậc hai của V1 ta có : *1 4V fpi δ∆ = − (1.74) Kết quả biểu thức ∆V có dạng : *4V fpi δ∆ = − (1.75) δ* được hiểu là mật độ tại điểm P (x, y, z). Dấu * không cần thiết nữa. 4V fpi δ∆ = − (1.76) Thế khối thỏa phương trình Poison đối với không gian trong chứa khối lượng. Khi trong vật không có khối lượng δ = 0, ta có lại phương trình Laplace : ∆ V = 0 Chúng ta hãy khảo sát tính chất của thế khối ở vô cùng, tức khi r tăng lên vô hạn. Khi đó ta bỏ qua kích thước của vật và coi là chất điểm : fMV r = Với M : là khối lượng của vật. Rõ ràng : lim 0 r V →∞ = (1.77) 34 Hoặc chứng minh rằng tích rV tiến đến giới hạn : lim r rV fM →∞ = Nếu thay vào thế khối rmin, rmax (hình 11), ta có : min max ( )d df V P f r rτ τ δ τ δ τ > >∫∫∫ ∫∫∫ rmin, rmax có thể đưa ra ngoài dấu tích phân : min max ( )fM fMV p r r > > Nhân 2 vế với r : max min ( )rfM rfMrV P r r > > Khi r → ∞ thì : max min lim lim 1r r r r = = nên khi đó : lim r rV fM →∞ = (1.78) Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh rằng : 2lim r V r fM r→∞ ∂ = ∂ (1.79) Hàm số thỏa mãn một trong 3 điều kiện : (1.77), (1.78), (1.79) gọi là hàm chính qui ở vô cực. Như vậy, thế khối có tính chất chính qui ở vô cực. Tóm lại thế khối có tính chất thỏa phương trình Laplace ở không gian ngoài, phương trình Poisson ở không gian trong chứa khối lượng và chính qui ở vô cực. 2. Thế lớp đơn : P (x, y, z) rmax r rmin M (ξ, η, ζ) τ H.11 35 Cũng như thế khối, thế lớp đơn liên tục, giới nội trong toàn không gian, thỏa mãn phương trình Laplace ở không gian ngoài, có đạo hàm mọi bậc liên tục, có tính chính quy ở vô cực. Chúng ta hãy đi sâu khảo sát đạo hàm theo phương tùy ý l của thế lớp đơn : σεσε σσ d r lrfd rl f l V 2 ),cos(1 ∫∫∫∫∫ −=      ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.80) Đây chính là hình chiếu của lực hấp dẫn do lớp đơn gây ra trên phương l. Khi điểm quan sát đi qua mặt lớp đơn đạo hàm này sẽ bị gián đoạn. Chúng ta đã thấy sự gián đoạn này ở lớp cầu, nay chúng ta rút ra cho trường hợp tổng quát. Ký hiệu điểm ngoài lớp đơn là A, điểm ở phía trong lớp đơn là B, còn điểm nằm ngay trên mặt lớp đơn là C. Giả sử bây giờ hai điểm A, B tiến không ngừng về C. Chúng ta sẽ thấy đạo hàm của thế sẽ có những giới hạn khác nhau. Ký hiệu giới hạn của đạo hàm ngoài tại C là : σε σ d r lr dl dV dl dV A A CA A e CA C e ∫∫→→ −== 2 ),cos(limlim Ký hiệu giới hạn của đạo hàm trong tại C là : σε σ d r lr dl dV dl dV B A CB B CB C i ∫∫→→ −== 2 ),cos(limlim Như vậy ta có 2 giá trị giới hạn mà thành phần lực đạt tới khi điểm quan sát tiến không ngừng từ bên ngoài và bên trong tới điểm C trên mặt lớp đơn. Còn ngay tại C thì không cần giá trị giới hạn mà đạo hàm xác định trực tiếp : σε σ d r lrf dl dV C C C O ∫∫−== 2 ),cos( Khi A và B tiến không ngừng tới C, khoảng cách r giữa điểm M đến các điểm C, A và B cũng tiến tới 0, cho nên ta cần chứng minh tính giới nội của các đạo hàm. Khoanh tròn điểm C bằng một đường tròn có bán kính bé vô cùng, ta có đĩa tròn σo , và mật độ không đổi εc trong đĩa tròn đó. Giá trị của các đạo hàm nay sẽ bị tách ra làm 2 phần : ngoài đĩa và trong đĩa. 36 n r l σ εdσ M ( ),Br l l rB B rC C ( ),Cr l ( ),Ar l A rA l H.12 ∫∫∫∫ → − → −= oo d r lrfd r lrf dl dV A AC CA A A CA C e σσσ σ ε σ ε 22 ),cos(lim),cos(lim ∫∫∫∫ → − → −= oo d r lrfd r lrf dl dV B BC CB B B CB C i σσσ σ ε σ ε 22 ),cos(lim),cos(lim (1.81) ∫∫∫∫ → − −= oo d r lrfd r lrf dl dV C CC CA C C C o σσσ σ ε σ