Lý thuyết và Bài tập Giải tích 12

(C). b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ. c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau. ĐS: b) 1 1; 2 2 M ỉ ư ç ÷ è ø c) 2 5.k = - ± Bài 10. Cho hàm số: 2 2( 1) 4 4 2 ( 1) x m x m my x m - + + - - = - - a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2. b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +¥) ĐS: b) 2 3 3 7 2 m- £ £ Bài 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2 2 2 1 x xy x + + = + . b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C). ĐS: b) 2 2.IABS = Bài 12. Cho hàm số: 2 2 2 11 ( ) 1 1 x xy x C x x + + = = + + + + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của nó. ĐS: b) 1 2 2 3 2 2 3 21 ; ; 1 ; 2 2 2 2 M M ỉ ư ỉ ư - + - - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Bài 13. Cho hàm số: 2 ( 1) 1 ( )m x m x mxy C x m + + - + = - a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2. b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = 2 ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Trang 49 c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu. ĐS: b) 9 2 2 c) 3 2 3 3 2 3m hay m - + Bài 14. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 2 4 1 2 x xy x + + = + b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất. ĐS: b) 1 2 3 5 5 5; ; ; 2 2 2 2 M M ỉ ư ỉ ư - - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Bài 15. Cho hàm số: 22 2 1 x mxy x + - = - với m là tham số. a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số trên có diện tích bằng 4. b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3. ĐS: a) m = –6 hay m = 2. Bài 16. Cho hàm số: 2 1x xy x + + = . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. b) Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm: 4 3 2( 1) 3 ( 1) 1 0t m t t m t- - + - - + = ĐS: b) 3 7 . 2 2 m hay m£ - ³ Bài 17. Cho hàm số: 3 2 2 2 23 3(1 ) (1)y x mx m m m= - + + - + - (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0x x k k- + + - = có 3 nghiệm phân biệt. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). ĐS: b) 1 3; 0; 2;k k k- < < ¹ ¹ c) 22y x m m= - + Bài 18. Cho hàm số: 4 2 2( 9) 10y mx m x= + - + (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. ĐS: b) 3 0 3.m hay m< - < < Bài 19. Cho hàm số: 2(2 1) (1) 1 m x my x - - = - (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x. ĐS: b) 41 4 ln 3 S = + c) m ¹ 1. Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Trang 50 Bài 20. Cho hàm số: 2 1 mx x my x + + = - (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. ĐS: b) 1 0. 2 m- < < Bài 21. Cho hàm số: 3 23y x x m= - + (1) (m là tham số) a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. ĐS: a) m > 0. Bài 22. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 4 (1) 2 x xy x - + = - b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. ĐS: b) m > 1. Bài 23. Cho hàm số: 2 3 3 2( 1) x xy x - + - = - (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1. ĐS: b) 1 5 2 m ±= . Bài 24. Cho hàm số: 3 21 2 3 (1) 3 y x x x= - + có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. ĐS: b) 8: ; 1. 3 y x k= - + = -D Bài 25. Cho hàm số: 3 23 9 1 (1)y x mx x= - + + (với m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. ĐS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2. TRẦN SĨ TÙNG ---- ›š & ›š ---- BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP 2 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 51 1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ a Cơ số a Luỹ thừa aa *Nn Ỵ=a a Ỵ R . ......na a a a aa = = (n thừa số a) 0=a 0¹a 10 == aaa )( *Nnn Ỵ-=a 0¹a n n a aa 1== -a ),( *NnZm n m ỴỴ=a 0>a )( abbaaaa nnn mn m =Û===a ),(lim *NnQrr nn ỴỴ=a 0>a nraa lim=a 2. Tính chất của luỹ thừa · Với mọi a > 0, b > 0 ta có: a aa aaabababa b a baba b a b abaabaaa a aaaa =÷ ø ư ç è ỉ==== -+ ;.)(;)(;;. . · a > 1 : a a> Û >a b a b ; 0 Û <a b a b · Với 0 < a < b ta có: 0m ma b m ; 0m ma b m> Û < Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức · Căn bậc n của a là số b sao cho nb a= . · Với a, b ³ 0, m, n Ỵ N*, p, q Ỵ Z ta có: .n n nab a b= ; ( 0) n n n a a b b b = > ; ( ) ( 0)pn p na a a= > ; m n mna a= ( 0)n mp qp qNếu thì a a a n m = = > ; Đặc biệt mnn ma a= · Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n na b< . Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n na b< . Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a . + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. 4. Công thức lãi kép Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì. Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: (1 )NC A r= + CHƯƠNG II HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT I. LUỸ THỪA Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Trang 52 Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:: a) ( ) ( ) 3 2 3 7 2 71 . . 7 . 8 7 14 A ỉ ư ỉ ư ỉ ư = - - - - -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 4 6 42 3 . 15 .8 9 . 5 . 6 B - - = - - c) 3 2 2 34 8C = + d) ( ) 2 3 5 232D - = e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 34 4 5 2 18 .2 . 50 25 . 4 . 27 E - - = - - - f) ( ) ( ) ( ) 3 36 423 125 . 16 . 2 25 5 F - - = é ù-ê úë û g) ( ) ( ) ( ) 23 1 3 4 2 0 33 2 2 2 .2 5 .5 0,01 .10 10 :10 0,25 10 0,01 G -- - - -- - - + - = - + h) ( )( )1 1 1 1 13 3 3 3 34 10 25 2 5H = - + + i) 4 35 4 3 4. 64. 2 32 I ỉ ư ç ÷ è ø= k) 5 5 5 2 3 5 81. 3. 9. 12 3 . 18 27. 6 K = ỉ ư ç ÷ è ø Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a) ( )4 2 3 , 0x x x ³ b) ( )5 3 , , 0b a a b a b ¹ c) 5 32 2 2 d) 3 32 3 2 3 2 3 e) 4 3 8a f) 5 2 3 b b b b Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau: a) 1,5 1,5 0,5 0,5 0,50,5 0,5 0,5 0,5 2 a b a b ba b a b a b + - + + - + b) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2 2 1. 12 1 a a a aa a a ỉ ư+ - + -ç ÷ç ÷-+ +è ø c) 1 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2.x y x y x y y x y x y xy x y xy x y ỉ ư ç ÷- + + -ç ÷ + -ç ÷ + -è ø d) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 . 2 x y x y x y x y x y ỉ ư ç ÷+ - - +ç ÷ -ç ÷ỉ ư ç ÷ç ÷-è øè ø e) ( ) ( )1 2 2 1 2 43 3 3 3 3 3. .a b a a b b- + + f) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 14 4 4 4 2 2. .a b a b a b- + + g) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 2 2 11 . 1 . 2 a b c b c a a b c bca b c -- - -- ỉ ư+ + + - + + +ç ÷ç ÷- + è ø h) 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( 1). 1 2 1 a a a a a a a ỉ ư ç ÷+ - + -ç ÷ -ç ÷ç ÷+ +è ø Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau: a) 3 3 6 6 a b a b - - b) 4 :ab ab bab a ba ab ỉ ư - -ç ÷ -+è ø c) 42 4 2 4 2a x x a a x a x a x ax ỉ ư+ - + +ç ÷ç ÷+è ø d) 3 32 2 3 3 3 32 2 2 23 6 6 6 2 a x ax a x a x a ax x x a x + -+ - - + - - Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 53 e) 3 4 43 3 4 4 1 1 1 1 x x x x xx x x x é ù- ê ú ỉ ưỉ ưê ú- +ç ÷ç ÷- -ê úç ÷ç ÷- +ê úè øè øë û f) 3 3 32 2 2 23 3 3 3 33 2 3 2 :a a a b a b a b ab a a ba ab é ù- + -ê ú+ ê ú--ë û g) ( ) 3 32 2 16 6 6 3 3 3 32 2 2 23 . 2 a b ab a b a b a a ab b a b -é ù- +ê ú- - + ê ú- + -ë û Bài 5. So sánh các cặp số sau: a) ( ) ( ) 220,01 và 10 -- b) 2 6 và 4 4 ỉ ư ỉ ư ç ÷ ç ÷ è ø è ø p p c) 2 3 3 25 và 5- - d) 300 2005 và 8 e) ( ) 0,3 30,001 và 100- f) ( ) 224 và 0,125 - g) ( ) ( )3 52 2và- - h) 4 5 4 5 5 4 và - ỉ ư ỉ ư ç ÷ ç ÷ è ø è ø i) 10 110,02 50và- k) ( ) ( ) 1 2 4 23 1 3 1và- - l) 2 2 3 2và 5 2 - - ỉ ư ỉ ư ç ÷ ç ÷ è ø è ø m) 5 10 2 3 và 2 2 ỉ ư ỉ ư ç ÷ ç ÷ è ø è ø p p Bài 6. So sánh hai số m, n nếu: a) 3,2 3,2m n c) 1 1 9 9 m n ỉ ư ỉ ư >ç ÷ ç ÷ è ø è ø d) 3 3 2 2 m n ỉ ư ỉ ư >ç ÷ ç ÷ è ø è ø e) ( ) ( )5 1 5 1m n- < - f) ( ) ( )2 1 2 1m n- < - Bài 7. Có thể kết luận gì về số a nếu: a) ( ) ( ) 2 1 3 31 1a a - - - + c) 0,2 21 a a - ỉ ư <ç ÷ è ø d) ( ) ( ) 1 1 3 21 1a a - - - > - e) ( ) ( ) 3 2 42 2a a- > - f) 1 1 2 21 1 a a - ỉ ư ỉ ư >ç ÷ ç ÷ è ø è ø g) 3 7a a< h) 1 1 17 8a a - - < i) 0,25 3a a- -< Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 54 1024x = b) 1 5 2 8 2 5 125 x+ ỉ ư =ç ÷ è ø c) 1 3 18 32 x- = d) ( ) 22 13 3 9 xx -ỉ ư = ç ÷ è ø e) 2 8 27. 9 27 64 x x- ỉ ư ỉ ư =ç ÷ç ÷ è øè ø f) 2 5 6 3 1 2 x x- + ỉ ư =ç ÷ è ø g) 2 81 0,25.32 0,125 8 x x - - ỉ ư= ç ÷ è ø h) 0,2 0,008x = i) 3 7 7 3 9 7 49 3 x x- - ỉ ư ỉ ư = ç ÷ç ÷ è øè ø k) 5 .2 0,001x x = l) ( ) ( ) 112 . 3 6 x x = m) 1 1 17 .4 28 x x- - = Bài 9. Giải các bất phương trình sau: a) 0,1 100x > b) 31 0,04 5 x ỉ ư >ç ÷ è ø c) 1000,3 9 x > Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Trang 54 d) 27 . 49 343x+ ³ e) 2 1 1 9 3 27 x+ ỉ ư <ç ÷ è ø f) 13 9 3 x < g) ( ) 13 .3 27 x > h) 1 127 .3 3 x x- < i) 31 . 2 1 64 x ỉ ư >ç ÷ è ø Bài 10. Giải các phương trình sau: a) 22 2 20x x++ = b) 13 3 12x x++ = c) 15 5 30x x-+ = d) 1 14 4 4 84x x x- ++ + = e) 24 24.4 128 0x x- + = f) 1 2 14 2 48x x+ ++ = g) 3.9 2.9 5 0x x-- + = h) 2 5 63 1x x- + = i) 14 2 24 0x x++ - = Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 55 1. Định nghĩa · Với a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta có: loga b a b= Û = aa Chú ý: loga b có nghĩa khi 0, 1 0 a a b ì > ¹ í >ỵ · Logarit thập phân: 10lg log logb b b= = · Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln logeb b= (với 1lim 1 2,718281 n e n ỉ ư = + »ç ÷ è ø ) 2. Tính chất · log 1 0a = ; log 1a a = ; log b a a b= ; log ( 0)a ba b b= > · Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > 0. Khi đó: + Nếu a > 1 thì log loga ab c b c> Û > + Nếu 0 Û < 3. Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ¹ 1, b, c > 0, ta có: · log ( ) log loga a abc b c= + · log log loga a a b b c c ỉ ư = -ç ÷ è ø · log loga ab b= a a 4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b ¹ 1, ta có: · log log log a b a c c b = hay log .log loga b ab c c= · 1log loga b b a = · 1log log ( 0)aa c c= ¹a aa Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: a) 2 1 4 log 4.log 2 b) 5 27 1log .log 9 25 c) 3loga a d) 32 log 2log 34 9+ e) 2 2 log 8 f) 9 8log 2 log 2727 4+ g) 3 4 1/3 7 1 log .log log a a a a a a h) 3 8 6log 6.log 9. log 2 i) 3 81 2 log 2 4 log 59 + k) 9 93 log 36 4 log 7log 581 27 3+ + l) 5 7log 6 log 825 49+ m) 53 2 log 45 - n) 6 8 1 1 log 3 log 29 4+ o) 9 2 1251 log 4 2 log 3 log 273 4 5+ -+ + p) 36log 3.log 36 q) 0 0 0lg(tan1 ) lg(tan 2 ) ... lg(tan89 )+ + + r) 8 4 2 2 3 4log log (log 16) .log log (log 64)é ù é ùë û ë û II. LOGARIT Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Trang 56 Bài 2. Cho a > 0, a ¹ 1. Chứng minh: 1log ( 1) log ( 2)a aa a++ > + HD: Xét A = 1 1 11 1 log ( 2) log log ( 2) log .log ( 2) log ( 1) 2 a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + = + £ + = = 2 1 1log ( 2) log ( 1) 1 2 2 a aa a a+ ++ +< = Bài 3. So sánh các cặp số sau: a) 3 4 1log 4 và log 3 b) 30,1 0,2log 2 và log 0,34 c) 3 5 4 2 2 3log và log 5 4 d) 1 1 3 2 1 1log log 80 15 2 và + e) 13 17log 150 log 290và f) 6 6 1loglog 3 22 và 3 g) 7 11log 10 log 13và h) 2 3log 3 log 4và i) 9 10log 10 log 11và HD: d) Chứng minh: 1 1 3 2 1 1log 4 log 80 15 2 < < + e) Chứng minh: 13 17log 150 2 log 290< < g) Xét A = 7 7 77 11 7 log 10.log 11 log 13 log 10 log 13 log 11 - - = = 7 7 7 7 1 10.11.7 10 11log log .log log 11 7.7.13 7 7 ỉ ư +ç ÷ è ø > 0 h, i) Sử dụng bài 2. Bài 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho 2log 14 a= . Tính 49log 32 theo a. b) Cho 15log 3 a= . Tính 25log 15 theo a. c) Cho lg3 0,477= . Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ; 81 1 log 100 . d) Cho 7log 2 a= . Tính 1 2 log 28 theo a. Bài 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho 25log 7 a= ; 2log 5 b= . Tính 3 5 49log 8 theo a, b. b) Cho 30log 3 a= ; 30log 5 b= . Tính 30log 1350 theo a, b. c) Cho 14log 7 a= ; 14log 5 b= . Tính 35log 28 theo a, b. d) Cho 2log 3 a= ; 3log 5 b= ; 7log 2 c= . Tính 140log 63 theo a, b, c. Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa): a) log loga ac bb c= b) log log log ( ) 1 log a a ax a b x bx x + = + c) log 1 log log a a ab c b c = + d) 1log (log log ) 3 2c c c a b a b+ = + , với 2 2 7a b ab+ = . e) 1log ( 2 ) 2 log 2 (log log ) 2a a a a x y x y+ - = + , với 2 24 12x y xy+ = . Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 57 f) log log 2 log .logb c c b c b c ba a a a+ - + -+ = , với 2 2 2a b c+ = . g) 2 3 4 1 1 1 1 1 ( 1)... log log log log log 2 logka aa a a a k k x x x x x x + + + + + + = . h) log .log . log log . log log . log log . log log a b c a b b c c a abc N N N N N N N N N N + + = . i) 1 1 lg10 zx -= , nếu 1 1 1 lg 1 lg10 10x yy và z- -= = . k) 2 3 2009 2009! 1 1 1 1... log log log logN N N N + + + = . l) log log log log log log a b a b c c N N N N N N - = - , với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Trang 58 1. Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa y x= a (a là hằng số) Số mũ a Hàm số y x= a Tập xác định D a = n (n nguyên dương) ny x= D = R a = n (n nguyên âm hoặc n = 0) ny x= D = R \ {0} a là số thực không nguyên y x= a D = (0; +¥) Chú ý: Hàm số 1 ny x= không đồng nhất với hàm số ( *)ny x n N= Ỵ . b) Hàm số mũ xy a= (a > 0, a ¹ 1). · Tập xác định: D = R. · Tập giá trị: T = (0; +¥). · Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. · Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. · Đồ thị: c) Hàm số logarit logay x= (a > 0, a ¹ 1) · Tập xác định: D = (0; +¥). · Tập giá trị: T = R. · Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. · Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. · Đồ thị: 0<a<1 y=logax 1 x y O a>1 y=logax 1 y x O 0<a<1 y=ax y x1 a>1 y=ax y x1 III. HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 59 2. Giới hạn đặc biệt · 1 0 1lim (1 ) lim 1 x x x x x e x® ®±¥ ỉ ư + = + =ç ÷ è ø · 0 ln(1 )lim 1 x x x® + = · 0 1lim 1 x x e x® - = 3. Đạo hàm · ( ) 1 ( 0)x x x-¢ = >a aa ; ( ) 1.u u u-¢ ¢=a aa Chú ý: ( ) 1 1 0 0 n n n với x nếu n chẵnx với x nếu n lẻn x - ¢ ỉ ư>= ç ÷<è ø . ( ) 1 n n n uu n u - ¢ ¢ = · ( ) lnx xa a a¢ = ; ( ) ln .u ua a a u¢ = ¢ ( )x xe e¢ = ; ( ) .u ue e u¢ = ¢ · ( ) 1log lna x x a ¢ = ; ( )log lna uu u a ¢¢ = ( ) 1ln x x ¢ = (x > 0); ( )ln uu u ¢¢ = Bài 1. Tính các giới hạn sau: a) lim 1 x x x x®+¥ ỉ ư ç ÷+è ø b) 1 1lim 1 x x x x + ®+¥ ỉ ư +ç ÷ è ø c) 2 1 1lim 2 x x x x - ®+¥ ỉ ư+ ç ÷-è ø d) 1 33 4lim 3 2 x x x x + ®+¥ ỉ ư- ç ÷+è ø e) 1lim 2 1 x x x x®+¥ ỉ ư+ ç ÷-è ø f) 2 1lim 1 x x x x®+¥ ỉ ư+ ç ÷-è ø g) ln 1lim x e x x e® - - h) 2 0 1lim 3 x x e x® - i) 1 lim 1 x x e e x® - - k) 0 lim sin x x x e e x - ® - l) sin2 sin 0 lim x x x e e x® - m) ( )1lim 1x x x e ®+¥ - Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 2 1y x x= + + b) 4 1 1 xy x + = - c) 2 5 2 2 1 x xy x + - = + d) 3 sin(2 1)y x= + e) 3 2cot 1y x= + f) 3 3 1 2 1 2 xy x - = + g) 3 3sin 4 xy += h) 11 5 99 6y x= + i) 2 4 2 1 1 x xy x x + + = - + Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ( )2 2 2 xy x x e= - + b) ( )2 2 xy x x e-= + c) 2 .sinxy e x-= d) 22x xy e += e) 1 3. x x y x e - = f) 2 2 x x x x e ey e e + = - g) cos2 .x xy e= h) 2 3 1 x y x x = - + i) cos . cotxy x e= Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Trang 60 Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ( )2ln 2 3y x x= + + b) ( )2log cosy x= c) ( ). ln cosxy e x= d) ( ) ( )22 1 ln 3y x x x= - + e) ( )31 2 log cosy x x= - f) ( )3log cosy x= g) ( )ln 2 1 2 1 x y x + = + h) ( )ln 2 1 1 x y x + = + i) ( )2ln 1y x x= + + Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: a) ( ) 2 22. ; 1 x y x e xy x y - = ¢ = - b) ( )1 ;x xy x e y y e= + ¢ - = c) 4 2 ; 13 12 0x xy e e y y y- ¢¢¢= + - ¢ - = d) 2. . ; 3 2 0x xy a e b e y y y- - ¢¢= + + ¢ + = g) .sin ; 2 2 0xy e x y y y- ¢¢ ¢= + + = h) ( )4.cos ; 4 0xy e x y y-= + = i) sin ; cos sinxy e y x y x y= ¢ - - ¢¢ = 0 k) 2 .sin 5 ; 4 29 0xy e x y y y= ¢¢ - ¢ + = l) 21 . ; 2 2 x xy x e y y y e= ¢¢ - ¢ + = m) 4 2 ; 13 12 0x xy e e y y y- ¢¢¢= + - ¢ - = n) ( )( ) ( )2 2221 2010 ; 11 x xxyy x e y e x x = + + ¢ = + + + Bài 6. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: a) 1ln ; 1 1 yy xy e x ỉ ư = ¢ + =ç ÷+è ø b) 1 ; ln 1 1 ln y xy y y x x x é ù= ¢ = -ë û+ + c) ( ) ( ) 2sin ln cos ln ; 0y x x y xy x y= + + ¢ + ¢¢ = d) ( ) ( ) 2 2 21 ln ; 2 1 1 ln xy x y x y x x + = ¢ = + - e) 2 2 21 1 ln 1; 2 ln 2 2 xy x x x x y xy y= + + + + + = ¢ + ¢ Bài 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra: a) ( )2'( ) 2 ( ); ( ) 3 1xf x f x f x e x x= = + + b) 31'( ) ( ) 0; ( ) lnf x f x f x x x x + = = c) 2 1 1 2'( ) 0; ( ) 2. 7 5x xf x f x e e x- -= = + + - d) '( ) '( ); ( ) ln( 5); ( ) ln( 1)f x g x f x x x g x x> = + - = - e) 2 11'( ) '( ); ( ) .5 ; ( ) 5 4 ln 5 2 x xf x g x f x g x x+< = = + Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 61 1. Phương trình mũ cơ bản Với a > 0, a ¹ 1: 0log x a ba b x b ì >= Û í =ỵ 2. Một số phương pháp giải phương trình mũ a) Đưa về cùng cơ số Với a > 0, a ¹ 1: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= Û = Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: ( 1)( ) 0M Na a a M N= Û - - = b) Logarit hoá ( )( ) ( ) ( ) log . ( )= Û =f x g x aa b f x b g x c) Đặt ẩn phụ · Dạng 1: ( )( ) 0f xP a = Û ( ) , 0 ( ) 0 f xt a t P t ì = >í =ỵ , trong đó P(t) là đa thức theo t. · Dạng 2: 2 ( ) ( ) 2 ( )( ) 0f x f x f xa ab b+ + =a b g Chia 2 vế cho 2 ( )f xb , rồi đặt ẩn phụ ( )f x at b ỉ ư = ç ÷ è ø · Dạng 3: ( ) ( )f x f xa b m+ = , với 1ab = . Đặt ( ) ( ) 1f x f xt a b t = Þ = d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) · Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). · Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: ( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt). ( ) đơn điệu và ( ) hằng số f x g x f x g x c é ê =ë · Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( ) ( )f u f v u v= Û = e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt · Phương trình tích A.B = 0 Û 0 0 A B é = ê =ë · Phương trình 2 2 00 0 AA B B ì =+ = Û í =ỵ f) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Nếu ta chứng minh được: ( ) ( ) f x M g x M ì ³ í £ỵ thì (1) ( ) ( ) f x M g x M ì =Û í =ỵ Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): a) 3 1 8 29 3x x- -= b) 10 5 10 1516 0,125.8 x x x x + + - -= c) 2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x- + - - + ++ = + d) 2 25 7 5 .35 7 .35 0x x x x- - + = e) 2 2 2 21 2 12 2 3 3x x x x- + -+ = + f) 2 45 25x x- + = IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng Trang 62 g) 2 2 4 31 2 2 x x - -ỉ ư =ç ÷ è ø h) 7 1 2 1 1. 2 2 2 x x+ - ỉ ư ỉ ư =ç ÷ ç ÷ è ø è ø i) ( )23 2 2 3 2 2x- = + k) ( ) ( ) 11 15 2 5 2 xx x - - ++ = - l) 13 .2 72x x+ = m) 1 -15 6. 5 – 3. 5 52x x x+ + = Bài 2. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): a) 14 2 8 0x x++ - = b) 1 14 6.2 8 0x x+ +- + = c) 4 8 2 53 4.3 27 0x x+ +- + = d) 16 17.4 16 0x x- + = e) 149 7 8 0x x++ - = f) 2 222 2 3.x x x x- + -- = g) ( ) ( )7 4 3 2 3 6x x+ + + = h) 2cos2 cos4 4 3x x+ = i) 2 5 13 36.3 9 0x x+ +- + = k) 2 22 2 13 28.3 9 0x x x x+ + +- + = l) 2 22 24 9.2 8 0x x+ +- + = m) 2 1 13.5 2.5 0,2x x- -- = Bài 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): a) 25 2(3 ).5 2 7 0x xx x- - + - = b) 2 23.25 (3 10).5 3 0x xx x- -+ - + - = c) 3.4 (3 10).2 3 0x xx x+ - + - = d) 9 2( 2).3 2 5 0x xx x+ - + - = e) 2 23.25 (3 10).5 3 0x xx x- -+ - + - = f) 2 1 24 3 3 2.3 . 2 6x x xx x x++ + = + + g) ( )4 + – 8 2 +12 – 2 0x xx x = h) ( ) ( )4 .9 5 .3 1 0x xx x+ - + + = i) 2 22 24 ( 7).2 12 4 0x xx x+ - + - = k) 9 ( 2).3 2( 4) 0x xx x- -- + - + = Bài 4. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): a) 64.9 84.12 27.16 0x x x- + = b) 1 1 1 4 6 9x x x - - - + = c) 3.16 2.81 5.36x x x+ = d) 2 125 10 2x x x++ = e) xxx 8.21227 =+ f) 04.66.139.6 111 =+- xxx g) 2 26.3 13.6 6.2 0x x x- + = h) 3.16 2.81 5.36x x x+ = i) 1 1 1 2.4 6 9x x x+ = k) (7 5 2) ( 2 5)(3 2 2) 3(1 2) 1 2 0.x x x+ + - + + + + - = Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụdạng 3): a) (2 3) (2 3) 14x x- + + = b) 2 3 2 3 4 x x ỉ ư ỉ ư+ + - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø c) (2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)x x+ + + - = + d) 3(5 21) 7(5 21) 2x x x+- + + = e) ( ) ( )5 24 5 24 10x x+ + - = f) 7 3 5 7 3 57 8 2 2 x x ỉ ư ỉ ư+ - + =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø g) ( ) ( )6 35 6 35 12- + + =x x h) ( ) ( )2 2( 1) 2 1 42 3 2 3 2 3 - - - + + - = - x x x i) ( ) ( ) 33 5 16 3 5 2 ++ + - =x x x k) ( ) ( )3 5 3 5 7.2 0+ + - - =x x x l) (7 4 3) 3(2 3) 2 0x x+ - - + = m) 3 33 8 3 8 6. x x ỉ ư ỉ ư+ + - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø Bài 6. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a) (2 3) (2 3) 4x x x- + + = b) ( 3 2) ( 3 2) ( 5)x x x- + + = c) ( ) ( )3 2 2 3 2 2 6+ + - =x x x d) ( ) ( ) 33 5 16. 3 5 2x x x++ + - = Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 63 e) 3 7 2 5 5 ỉ ư + =ç ÷ è ø x x f) ( ) ( )2 3 2 3 2+ + - = x x x g) 2 3 5 10x x x x+ + = h) 2 3 5x x x+ = i) 21 22 2 ( 1)x x x x- -- = -