Lý thuyết và bài tập hình học

1 A. Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển. 1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mp a. ( ) ( ) c a c b c a b a,b ⊥  ⊥  ⇒ ⊥ α∩ ≠ ∅ ⊂ α  b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 P P p P a P a P P ⊥   ⊥ ⇒ ⊥  = ∩  P2P1 P a 2. Phương Pháp chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc ( ) ( ) c c a a ⊥ α  ⇒ ⊥∀ ⊂ α  3. Cho ( )α∉O , OH ( )α⊥ , ( )( )α∈H , A;B ( )α∈ .Đoạn OH là đoạn vuông góc cũng là đoạn ngắn nhất , OA;OB là các đường xiên, HA;HB là các hình chiếu của các đường xiên. HBHAOBOA =⇔= HBHAOBOA >⇔> 4. Phương pháp chứng minh mp vuơng gĩc với mp c b a α H O B A α 2 c H B A β α P1 P a ( ) ( ) ( ) ( ) ⊥  ⇒ ⊥ ⊂  1 1 a P P P a P 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )βα βα βα ⊥⇒        ⊥ ⊂ ∩= ⊥ a ca a c 6. Gĩc của đường thẳng và mp Gĩc giữa đường thẳng a và mp ( )α là gĩc của a và hình chiếu a′ của a trên . Kí hiệu ( )( )
a, α
Khi ( )( )
0a, 0α = thì ( ) ( )a hay aα ⊂ α .
Khi ( ) ( )( )
a th× a, 2 pi⊥ α α = Chú ý: 7. Gĩc của hai mặt phẳng
Tìm giao tuyến c của hai mp .
Dựng đoạn thẳng AB cĩ hai đầu mút ở trên hai mặt và vuơng gĩc với một mặt .
Tìm hình chiếu vuơng gĩc H của A hay B trên c.

AHB là gĩc phẳng của hai mp . ( ) ( )( )
pi≤ α β ≤00 , 2 c a β α ( )( )
00 a , 2 pi≤ α ≤ a a α H O 3 Chú ý
Nếu đã cĩ sẳn đường thẳng d cắt hai mặt tại A , B và vuơng gĩc với giao tuyến c , khi đĩ ta tìm hình chiếu vuơng gĩc của A (hay B hay 1 điểm nào đĩ trên AB) trên c thành H .Khi đĩ
AHB là gĩc của hai mp . B. Một số hình thường gặp 1. Hình Chĩp 2. Hình Chĩp đều Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau hay hình chóp đều là chóp có đáy là đa giác đều và tâm của đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Sxq bằng tổng diện các mặt bên.
Sxq = pd2 1 với p là chu vi đáy,d là độ dài trung đoạn ( hình chóp đều ).
BhV 3 1 = với B là diện tích đáy,h là chiều cao của hình chóp. 3. Hình lăng trụ. Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là c HB A β α C D C B S A D B S I d O C BA S IO C BA S D 4 hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.Hình lăng trụ ABCD . DCBA ′′′′
ABCD , DCBA ′′′′ là hai đáy.
:, BCBCABAB ′′′′ là các mặt bên.
......, BBAA ′′ là các cạnh bên.
BDBDACAC ′′′′ , là các mặt chéo. Trong hình lăng trụ:
Các cạnh bên song song và bằng nhau .
Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.
Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
Trong hình hộp các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.Trong lăng trụ đúng các cạnh là đường cao,các mặt bên là hình chữ nhật.
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều,các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
Hình hộp đứng là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với đáy.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.Ba độ dài của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh gọi là ba kích thướt của hình hộp chữ nhật.
Đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng 2222 cbad ++= với d là đường chéo a,b,c là ba kích thước.
Với hình lập phương cạnh a: d = 3a .
V= B.h với B là diện tích đáy, h là độ dài chiều cao ( Hình lăng trụ ).
V = a.b.c với a, b , c là ba kích thước (hình hộp chữ nhật ). C' B' A' C B A D A C B D C BA 5
V = a3 với a là cạnh ( hình lập phương ). C. Bài Tập rèn luyện Bài 1: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) CMR SA vuơng gĩc với BC. b) Tính thể tích khối chĩp S.ABI theo a ? Bài 2: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng tại B, đường thẳng SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, BC = a 3 , SA = 3a. Tính thể tích khối chĩp S.ABC. Bài 3: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, BC = 2a, SA = 2a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của SC. a) CMR tam giác MAB cân tại M. b) Tính thể tích khối chĩp SABC và thể tích khối chĩp S.AMB D C A B D CB A D C A B D C B A D C A B D CB A 6 Bài 4: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại C, AB = 2a, gĩc CBA bằng 600, SA = 2a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC).K là hình chiếu của A trên SB. a) CMR tam giác KAC là tam giác cân. b) Tính thể tích khối chĩp SABC và thể tích khối chĩp S.AKC. Bài 5: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ chiều cao SO = 3 6a ,cạnh bên hợp với đáy một gĩc 450. a) Tính gĩc giữa cạnh bên và cạnh đáy. b) Tính diện tích tồn phần và thể tích của khối chĩp S.ABCD. Bài 6: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = a 3 , SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi J là trọng tâm tam giác SBC. Tính thể tích khối chĩp J.ABC ? Bài 7: Cho hình chĩp S.ABC đáy ABC là tam giác cân tại A, ( )SA ABC⊥ .Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Biết SA = 3a, AB = a , BC = 2a. a. Chứnh minh AG BC⊥ . b. Tính thể tích khối tứ diện GABC theo a. Bài 8: Cho hình chĩp đều S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối chĩp theo a. Bài 9: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại đỉnh B, AC a 2= và SB a 3= . ðường thẳng SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC. Bài 10: Hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB a= , AC a 3= , mặt bên SBC là tam giác cân tại S (SB SC 2a)= = và vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC. Bài 11: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Biết SA SB 2a= = và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuơng gĩc với nhau. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. Bài 12: Cho hình chĩp S.ABC cĩ hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuơng gĩc với mặt (ABC). ðáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A, độ dài đường trung tuyến AM a= . Mặt bên (SBC) tạo với đáy gĩc 045 và  0SBA 30= . Tính thể tích của khối chĩp S.ABC. Bài 13: Cho hình chĩp đều S.ABC cĩ các cạnh bên SA SB SC a= = = . Gĩc giữa cạnh bên và đáy bằng 060 . Tính thể tích của khối chĩp S.ABC theo a Bài 14: ðáy ABC của hình chĩp SABC là tam giác vuơng cân (BA=BC). Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và cĩ độ dài là a 3 . Cạnh bên SB tạo với một gĩc 060 . Tính diện tích tồn phần của hình chĩp 7 Bài 15: Hình chĩp S.ABC cĩ các cạnh bên nghiêng đều với đáy một gĩc 060 , độ dài các cạnh đáy là CB 3,CA 4,AB 5= = = . Tính thể tích V của hình chĩp Bài 16: Hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC a,BAC= = α . Các cạnh bên nghiêng với đáy một gĩc α . Tính thể tích hình chĩp Bài 17: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi cạnh a,  0 560 , 2 aBAD SA SC= = = , SB = SD.Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. Bài 18: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại A, BC = a, SA =SB = SC = 3 2 a và mặt bên SAB hợp với đáy một gĩc bằng 600. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC. Bài 19: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, SA ⊥ (ABC),  060 , , 3ACB BC a SA a= = = . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. Bài 20: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng tại B, , 3AB a BC a= = . Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy.Tính thể tích khối chĩp S.ABC. Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên AA’= 2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ∆ABC vuơng tại A, AC = a, gĩc ACB bằng 600. ðường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một gĩc 300. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Bài 23: ðáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh a. Gĩc giữa cạnh bên hình lăng trụ và mặt đáy bằng 030 . Hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình lăng trụ. Bài 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ BB’ = a, gĩc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuơng tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Bài 25: 8 Bài 26: Tính thể tích khối lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác đều cạnh 2a gĩc giữa đường chéo mặt bên và đáy là 060 . -------------Chúc các em thành cơng--------------