Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác

3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 4cos3 cos 2 cos 0x x x x x x x x x        6 3 , 4 2 2 x k x k k x k                      www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 19 Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình 3 22 3(1 sin )3 tan tan 8cos 0 4 2cos x xx x x x           Giải: Phương trình    3 23 tan tan 3(1 sin ) 1 tan 4 1 sin 0x x x x x                   3 2 2 2 3 tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0 3tan 1 sin tan 1 sin tan 0 1 sin tan 3 tan 1 0 x x x x x x x x x x x x x                   TH 1: 1tan , 63 x x k k        TH 2: 1 sin tan 0 sin cos sin cos 0x x x x x x       (pt đối xứng với sin và cos) Giải phương trình này ta được 2 , 4 x k k      với 2 1cos 2    Bài 9: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x   Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và 7 2.2 2 x x x  chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích Phương trình  2sin 7 sin 1 2sin 2 0x x x     2cos 4 .sin 3 cos 4 0x x x     cos 4 0 cos 4 2sin 3 1 0 1sin 3 2 x x x x         4 8 42 23 2 , 6 18 3 5 5 23 2 6 18 3 x kx k x k x k k x k x k                                    Đs:  2 5 2; , 18 3 18 3 x k x k k        www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 20 Bài tập tự giải: Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x + 8 9) 4 (sin) 4 (sin 44   xx Đs: , 2 x k k     với 2 6cos 2     Bài 2: (ĐHQGHN – 1998) Giải phương trình: 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x  Đs: 6 3 , 4 2 kx k kx              Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình: 2 2 17sin 2 – cos 8 sin 10 2 x x x      Đs: 20 10 , 6 3 kx k kx              Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình:  2 2sin 4 – cos 6 sin 10,5 10x x x  Đs: 20 10 , 2 kx k x k              Bài 5: (TCKT – 2001) 2 2 2sin sin 3 3cos 2 0x x x   Đs: , 3 2 x k x k        với 5 1,cos 2 k    Bài 6: (ĐHTDTT – 2001) Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2 9cos2) 2 5 4 (sin2 22 xx  Đs: 12 6 , 4 8 2 kx x k k kx                       Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình: 8 8 217sin cos cos 2 16 x x x  Đs: , 8 4 kx k    Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trình: 8 8 17sin cos 32 x x  www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 21 Đs: , 8 4 kx k    Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trình: 8 8 1sin 2 cos 2 8 x x  Đs: , 8 4 kx k    Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các nghiệm của phương trình 2 2 7sin sin 4 sin 2 4sin 4 2 2 xx x x         thỏa mãn điều kiện 1 3x   Đs: 7; 6 6 x    Bài 11: (ĐHSP HCM – A 2000) Giải phương trình: 2 2sin sin cos sin 1 2cos 2 2 4 2 x x xx x         Đs: ,x k k  Bài 12: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình: 2 2 22cos 2 cos 2 4sin 2 cosx x x x  Đs: , 8 4 kx k    5. Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và một số đẳng thức quan trọng  22 21 sin 2 sin cos 2sin cos sin cosx x x x x x x      2 2 21 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )x x x x x x x      sin 2sin cos 2 xx x       3 3 2 2sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cosx x x x x x x x x x x x             3 3 2 2sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cosx x x x x x x x x x x x        2tan cot sin 2 x x x   , cot tan 2cotx x x  4 4 2 2 2 21 1 1 3 1sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 4 2 2 2 4 4 x x x x x x x           4 4 2 2 2 2cos sin cos sin cos sin cos 2x x x x x     6 6 4 4 2 2 23 3 5sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 4 4 8 8 x x x x x x x x        6 6 4 4 2 2cos sin cos 2 (sin cos sin cos )x x x x x x x    www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 22 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x                11 tan .tan 2 cos xx x   Mối quan hệ giữa cos x và 1 sin x là 2cos cos 1 sin 1 sin cos (1 sin ) cos x x x x x x x      Bài 1: (ĐH – D 2007) Giải phương trình: 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x       Giải: Phương trình 2 2sin 2sin cos cos 3 cos 2 2 2 2 2 x x x x x     sin 3 cos 1x x   1 3 1sin cos 2 2 2 x x   1sin .cos cos .sin 3 3 2 x x    1sin 3 2 x          2 2 3 6 6 5 2 2 3 6 2 x k x k k x k x k                                Đs:  2 , 2 , 2 6 x k x k k        Bài 2: (ĐH – B 2003) Giải phương trình: x xxx 2sin 22sin4tancot  Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện hiệu cot tanx x và sin 2x ta xem chúng có mối quan hệ thế nào, có đưa về nhân tử chung hay cung một cung 2x hay không Ta có 2 2cos sin cos 2 2cos 2 sin cos sin cos sin 2 x x x x x x x x x    từ đó ta định hướng giải như sau Điều kiện: sin 0 cos 0 sin 2 0 2 sin 2 0 x kx x x x           www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 23 2 2cos sin 2 cos 2 14sin 2 2sin 2 sin cos sin 2 sin 2 sin 2 x x xx x x x x x x        2 2cos 2 2sin 2 1 2cos 2 cos 2 1 0x x x x       cos 2 1 1cos 2 2 x x      Khi cos 2 1x  thì sin 0x  không thỏa ĐK Khi 1cos 2 2 x  thì 2 1cos x 4  thỏa mãn điều kiện Vậy ta nhận 1cos 2 2 3 x x k      Đs:  , 3 x k k     Chú ý: Từ mối quan hệ giữa tan x và cot x , giữa tan x và sin 2x ta có thể làm như sau Đặt 2 1cot tan 2sin 2 1 x tt x tx t          Ta được phương trình 2 2 1 2 14 2 21 t tt t tt      … bạn đọc giải tiếp nhé Bài 3: (ĐH – D 2005) Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos .sin 3 0 4 4 2 x x x x                 Giải: Nhận xét: Từ đẳng thức 4 4 21sin cos 1 sin 2 2 x x x   và hiệu hai cung 3 2 4 4 x x x               Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x Phương trình 2 2 1 12sin cos sin 4 sin 2 0 2 2 2 x x x x             2sin 2 cos 4 sin 2 1 0x x x      2sin 2 sin 2 2 0x x    www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 24 sin 2 1 ; 4 x x k k       Đs:  , 4 x k k    Bài 4: Giải phương trình 6 6 213cos sin cos 2 8 x x x  Giải: Nhận xét: Đề bài xuất hiện cung 2x, ta nghĩ xem liệu hiệu 6 6cos sinx x có biểu diễn qua cung 2x để có nhân tử chung hay không ta làm như sau 2 3 2 3 213(cos ) (sin ) cos 2 8 x x x   2 2 4 4 2 2 213(cos sin )(cos sin sin cos ) cos 2 8 x x x x x x x     2 2 2 2 21 1 13cos 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (8 2sin 2 ) 13cos 2 2 4 8 x x x x x x x           2 2 2 cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0 8 2sin 2 13cos 2 8 2(1 cos 2 ) 13cos 2 2cos 2 13cos 2 6 0 x x x x x x x x x                     cos 2 0 1 4 2cos 2 (k ) 2 cos 2 6 ( ) 6 x x k x x kx loai                      Bài 5: (GTVT – 1998) Giải phương trình tan cot 2(sin 2 cos 2 )x x x x   Giải: Điều kiện cos 0 sin 2 0 sin 0 x x x     sin costan cot 2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 ) cos sin 1 22(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 ) sin cos sin 2 x xx x x x x x x x x x x x x x x              21 sin 2 (sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 cos 2x x x x x x      2 cos 2 0cos 2 sin 2 cos 2 , tan 2 1 4 2 8 2 x k kx x x x x k x                 Bài 6: (QGHN – 1996) Giải phương trình 3tan cot 2cot 2x x x  Giải: www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 25 Điều kiện cos 0 sin 0 sin 2 0 2 sin 2 0 x kx x x x           3 3 3 3 sin costan cot 2cot 2 2cot 2 cos sin 2cos 2 2cot 2 cot 2 cot 2 sin 2 x xx x x x x x x x x x x            2 cot 2 0 2 , 2 4 2cot 2 1 ( ) x kx k x k x loai                 Bài 7: (ĐH – A 2006) Giải phương trình: 0 sin22 cossin)sin(cos2 66    x xxxx Giải: Điều kiện: 1sin 2 x  Phương trình 4 4 2 22(cos sin sin cos ) sin cos 0x x x x x x     2 22 6sin cos sin cos 0x x x x    23sin 2 sin 2 4 0x x    sin 2 1 4 x x k      2 4 ; 5 2 4 x k k x k               Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 5 2 ; 4 x k k    Bài 8: (ĐH – A 2010) Giải phương trình:  1 sin cos 2 sin 14 cos 1 tan 2 x x x x x          Giải: Điều kiện: tan 1 cos 0 x x     Phương trình    2sin 1 sin cos2 1 tan .cos 4 x x x x x               sin cossin cos 1 sin cos2 .cos cos x xx x x x x x      sin cos 2 0x x   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 26   2 sin 1 2sin sin 1 0 1sin 2 x loai x x x             2 6 7 2 6 x k k x k                Đs: 72 , 2 , 6 6 x k x k k        Bài 9: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: x x x xx 2sin8 12cot 2 1 2sin5 cossin 44   Giải: Điều kiện: sin 2 0x  Phương trình 0 4 92cos52cos 8 12cos 2 1 5 2sin 2 11 8 12cos 2 1 5 cos.sin21 2 2 22      xxx x xxx            kxx loaix 62 12cos )( 2 92cos Bài 10: (ĐH – B 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x     Giải: Phương trình  2 2 2sin cos sin cos cos sin 0x x x x x x       (sin cos )(1 2cos ) 0x x x    sin 0 4 4 ; 21 2cos 32 x x k k x kx                           Đs:  2 2 3 x k k     Bài 11: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: 2tan cos – cos sin (1 tan .tan ) 2 xx x x x x   HD: Điều kiện:       0 2 cos 0cos x x www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 27 Ta có: sin .sin cos .cos sin .sin cos 12 2 2 21 tan .tan 1 2 coscos .cos cos .cos cos .cos 2 2 2 x x x xx x xxx x x x xx x x        Phương trình 2)0(cos1cos0)cos1(cos cos sincoscostan 2 kxxxxx x xxxx  Đs: 2 ;x k k  Bài 12: (ĐH – B 2006) Giải phương trình: cot sin (1 tan tan ) 4 2 xx x x   Giải: Điều kiện: sin 0 cos 0 , 2 cos 0 2 x x x k k x               Phương trình sinsin 2cot sin 1 . 4 cos cos 2 x xx x xx               cos .cos sin .sin 2 2cot sin 4 cos .cos 2 x xx x x x xx            cos 2cot sin . 4 cos .cos 2 x x x xx    cos sin 4 sin cos x x x x    1 4sin .cosx x  2 2 1 6 12sin2 , 5 52 2 2 6 12 x k x k x k x k x k                             Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 12 x k   ; 5 12 x k   với k  www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 28 Đs:  5; , 12 12 x k x k k       Bài 13: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 2cos 4cot tan sin 2 xx x x   HD: Điều kiện: 12cos02sin  xx Phương trình           kxx loaix xxxx xx x x x x x 32 12cos )(12cos 012cos2cos24cos2cos cos.sin 4cos cos sin sin cos 2 Đs: 2 ; 3 x k k     Bài 14: (ĐH – A 2009) Giải phương trình:      1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x     . Giải: Điều kiện: sin 1 1sin 2 x x      Phương trình     1 2sin cos 3 1 2sin 1 sinx x x x     2cos 2sin cos 3 3 sin 2 3 sinx x x x x      2cos 3 sin sin 2 3 1 2sinx x x x     cos 3 sin sin 2 3 cos 2x x x x    1 3 1 3cos sin sin 2 cos 2 2 2 2 2 x x x x    cos .cos sin .sin sin2 .sin cos2 .cos 3 3 6 6 x x x x       cos cos 2 3 6 x x               2 22 2 ; 26 3 18 3 x k x x k k x k                            Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là  2 , 18 3 x k k     Đs:  2 , 18 3 x k k     www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 29 Hoặc: 2cos cos 1 sin 1 sin cos (1 sin ) cos x x x x x x x      Phương trình thành: (1 2sin )(1 sin ) sin cos 23 3 (1 2sin )cos cos s in2x x x x x x x x             3 cos sin 3 sin 2 cos 2 0 sin sin 2 03 6x x x x x x                      32sin cos 0 2 12 2 4 x x               Hoặc là: 3 3 2sin 0 2 12 2 12 18 3 x x k x k                (biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các cung là 11 23, , 18 18 18    , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu) Hoặc là: cos 0 3 2 2 4 2 4 2 2 x x l x l                 (khi đó sin 1x   thỏa điều kiện ban đầu) Bài tập tự giải: Bài 1: (HVCTQG – 1999) 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x    Đs: , 8 x k k     Bài 2: (ĐHMĐC – 2001) Giải phương trình:  4 2 1 248 1 cot 2 .cot 0 cos cos x x x x     Đs: , 8 4 kx k    6. Sử dụng các công thức lượng giác đưa phương trình ban đầu về các các phương trình đơn giải đối với một hàm lượng giác a. Đưa về phương trình đẳng cấp Bài 1: (ĐH – B 2008) Giải phương trình: xxxxxx cossin3cossincos3sin 2233  Giải: Nhận xét: Thay  cos 0 , 2 x x k k      vào phương trình ta được 3sin 0 sin 0x x   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 30 nên   2 x k k    không phải là nghiệm của phương trình Khi cos 0x  chia cả hai vế của phương trình cho 3cos x ta được    3 2 2 2tan 3 tan 3.tan tan tan 1 3 tan 1 0x x x x x x          2 tan 1tan 1 tan 3 0 tan 3 x x x x           4 ; 3 x k k x k                 Đs:  ; , 4 2 3 x k x k k         Bài 2: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình 1 3 tan 2sin 2x x  Giải: Cách 1: Điều kiện: cos 0x  Phương trình 2sin1 3 4sin cos cos 3sin 4sin cos cos x x x x x x x x      Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho 3cos x Ta được      2 2 2 2 3 2 2 1 tan3 4 tan 1 tan 3tan 1 tan 4 tan cos cos 3 tan tan tan 1 0 tan 1 3 tan 2 tan 1 0 x x x x x x x x x x x x x                  tan 1 , 4 x x k k         vì 23tan 2 tan 1 0x x   vô nghiệm Chú ý: - Ta có thể chia từ đầu hai vế của phương trình cho 2cos x - Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tan x và sin 2x ta nghĩ tới mối quan hệ như giữa chúng 2 2 2 2sin cos 2 tansin 2 sin cos 1 tan x x xx x x x     hoặc 2 2 2 2sin cos 2 tancossin 2 2sin cos 1 1 tan cos x x xxx x x x x     từ đó ta đặt tant x Cách 2: www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 31 Đặt 2 2tan sin 2 1 tt x x t     Khi đó ta được 3 2 22 41 3 3 1 0 ( 1)(3 2 1) 0 1 tt t t t t t t t              1 tan 1 4 t x x k           Bài 3: (ĐHQG HCM – 1998) Giải phương trình 3sin 2 sin 4 x x      Giải: Nhận xét: Từ phương trình ta nhận thấy bước đầu tiên phải phá bỏ 3sin 4 x      để đưa cung 4 x      về cung x từ công thức sin cos 2 sin 4 x x x        … đến đây rùi là ra cùng một cung x rùi Cách 1: Ta có 2 sin sin cos 4 x x x       3 3 3 312 2 sin (sin cos ) sin (sin cos ) 4 4 2 2 x x x x x x                   Phương trình  3 31 (sin cos ) 2 sin (sin cos ) 4sin * 2 2 x x x x x x      (pt đẳng cấp bậc ba) Vì cos 0x  không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho 3cos x Ta được 3 2 2(tan 1) 4 tan (1 tan ) (tan 1)(3 tan 1) 0 tan 1 (k ) 4 x x x x x x x k                 Cách 2: Từ phương trình (*) 3 2(*) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sinx x x x x x x x       2 2(sin cos )(1 2sin cos ) 4sin cos 3sin 2sin cos 2sin cos 0x x x x x x x x x x x          2 2cos ( 2sin 1) sin (2cos 3) 0 cos (cos 2 2) sin (cos 2 2) 0x x x x x x x x           cos 2 2 (loai) (cos 2 2)(cos sin ) 0 (k Z) tan 1 4 x x x x x k x                Bài 4: (HVQY – B 2001) Giải phương trình 3sin 2cos 2 3 tanx x x   Giải: 3 tan cos 2cos 2 3tan cos (3 tan 2) 2 3tanx x x x x x x        www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 32 23tan 2 0 tan tan ,3 cos 1 2cos 1 x x kx k x x kx                  Bài tập tự giải: Bài 1: (BCVT – 2001) Giải phương trình: 34cos333sincos43cossin4 33  xxxxx Đs: 24 2 8 2 kx k kx               Bài 2: (ĐHNT – 1996) Giải phương trình: 3 3 2cos – 4sin – 3cos sin sin 0x x x x x  Đs:  4 6 x k k x k                Bài 3: (ĐHH – 1998) Giải phương trình: 3 2cos sin – 3sin cos 0x x x x  Đs:  1 2 4 x k x k k x k                    với 1 2tan 1 2; tan 1 2     Bài 4: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: 3 3cos – sin sin – cosx x x x Đs:   4 x k k    Bài 5: (HVKTQS – 1996) Giải phương trình: 32cos sin 3x x Đs:   4 x k k x k             với tan 2   Bài 6: (ĐHD HCM – 1997) Giải phương trình: 3sin sin 2 sin 3 6cosx x x x  Đs:   3 x k k x k               với tan 2  Bài 7: (ĐHYHN – 1999) Giải phương trình: 3sin cos 4sin 0x x x   Đs:   4 x k k    Bài 8: (ĐHQGHN – 1996) Giải phương trình: 1 3sin 2 2 tanx x  www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 33 Đs:   1,2 4 x n n x n              với 1,2 3 17tan 4    Bài 9: (ĐHNN I – B 1999) Giải phương trình:    2sin tan 1 3sin cos – sin 3x x x x x   Đs:  4 3 x k k x k                b. Đưa về phương trình bậc hai, bậc ba, bậc 4… của một hàm lượng giác Bài 1: Giải phương trình 2 22sin tan 2x x  Giải: Cách 1: Điều kiện: cos 0x  Phương trình 2 2 2 2 4 2 2 2 tan tan 2 2 tan tan tan 2 2 tan 1 tan x x x x x x x          2 4 2 2 tan 1 tan tan 2 0 tan 1 tan (k ) 4 4tan 2 (loai) x x x x x k x                             Cách 2: 2 2 2 2 2 2 2 sin2sin 2 2sin cos sin 2cos cos xx x x x x x       2 2 2 2 2 4 2 22(1 cos )cos 1 cos 2cos 2cos 2cos 1 cos 2cosx x x x x x x x          2 4 2 2 2 cos 1 (loai) 2cos cos 1 0 2cos 1 01cos 2 cos 2 0 2 (k Z) 2 4 2 x x x x x kx x k x                          Chú ý: Đối với phương trình 2 1cos 2 x  ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm khi kết hợp và so sánh với điều kiện phức tạp nên ta hạ bậc là tối ưu nhất Bài 2: Giải phương trình 8 8 1sin cos 8 x x  Giải: 4 2 4 2 4 4 2 4 41 1(sin ) (cos ) (sin cos ) 2sin cos 8 8 x x x x x x       www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 34 2 4 2 4 2 41 1 1 1 11 sin 2 2(sin cos ) 1 sin 2 sin 2 2 sin 2 2 8 4 2 8 x x x x x x                   2 4 4 2 4 41 1 11 sin 2 sin 2 sin 2 8 8sin 2 2sin 2 sin 2 1 4 8 8 x x x x x x          4 2 2 2sin 2 8sin 2 7 0 sin 2 1 sin 2 7 1 (loai)x x x x         cos 2 0 2 , 2 4 2 kx x k x k           Chú ý: Có thể dùng công thức hạ bậc và đặt cos 2t x Bài 3: (ĐH – B 2004) Giải phương trình:   25sin – 2 3 1 sin tanx x x  Giải: Phương trình 2 2 2 35sin (1 sin ) 2(1 sin ) 3sin 3sinx x x x x      3 22sin sin 5sin 2 0x x x     Đặt sint x với  1;1t   3 2 22 5 2 0 1)(2 3 2) 0t t t t t t            1 1 2 2 t t t loai          2 2 2 6 x k x k        Đs:  52 ; 2 , 6 6 x k x k k       Bài 4: (QGHN – 1996) Giải phương trình 2tan tan . tan 3 2x x x  Giải: Điều kiện: cos 0 cos3 0 x x    2 2 sin sin 2 2sin costan tan .tan 3 2 tan (tan tan 3 ) 2 2 2 cos cos cos3 cos cos cos3 x x x xx x x x x x x x x x x x            2 2 4 2 4 2sin cos cos3 cos 1 4cos 3cos 4cos 4cos 1 0x x x x x x x x           2 2(2cos 1) 0 cos 2 0 2 , 2 4 2 kx x x k x k              Bài 5: Giải phương trình 12 tan cot 2 2sin 2 sin 2 x x x x    Giải: www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 35 Điều kiện: cos 0 sin 2 0 sin 2 0 x x x     2sin cos 2 1 sin sin 22 2sin 2 2 cos 2 2sin 2 1 0 cos sin 2 sin 2 cos x x x xx x x x x x x         2 2 24sin cos 2 2(1 cos 2 ) 1 0 2(1 cos 2 ) cos 2 3 cos 2 0x x x x x x            2 cos 2 1 ( ) ( sin 2 0) 12cos 2 cos 2 1 0 cos 21 2cos 2 2 x loai vì x x x x x               22 2 , 3 3 x k x k k           Bài 6: Giải phương trình 1 1s in2 sin 2cot2 2sin sin 2 x x x x x     Giải: Điều kiện: sin 0, cos 0x x  Phương trình 2s in 2 sin 2 .sin cos 1 2cos2x x x x x     2 2 2 24cos sin 2cos .sin cos 1 4cos 0x x x x x x      2 2 2 24cos (1 cos ) 2cos (1 cos ) cos 1 4cos 0x x x x x x        4 34cos 2cos cos 1 0x x x     3 2(cos 1)(4cos 2cos 2cos 1) 0x x x x      2(cos 1)(2cos 1)(2cos 1) 0x x x     2cos 1 1 2cos 32 x kx k x kx                    Bài 7: (ĐH – A 2002)Tìm nghiệm (0;2 )x  của phương trình: cos3 sin 35 sin cos 2 3 1 2sin 2 x xx x x       Giải: Ta có: 3 3cos3 sin 3 4cos 3cos 3sin 4sinx x x x x x      4(cos sin )(1 sin cos ) 3(cos sin ) (cos sin )(1 4sin cos )x x x x x x x x x x       Và 1 2sin 2 1 4sin cosx x x   Khi đó phương trình thành: 5sin 5cos 5sin cos 2 3x x x x    22cos 5cos 2 0x x    1cos 2 ; 2 3 x x k k        Xét 0 2 2 3 k     1 5 0 6 6 k k     vì k  ta được 3 x  Xét 0 2 2 3 k      1 7 1 6 6 k k     vì k  ta được 5 3 x  Đs: 5; 3 3 x x   www.MATHVN.com www.mathvn.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 36 Cách 2: Quy đồng hai vế… bạn đọc tự giải Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHNN – 2000) Giải phương trình: 12cos 2 – 8cos 7 cos x x x   Đs:   2 2 3 x k k x k             Bài 2: (ĐHL – 2000) Giải phương trình:    4 sin 3 – cos 2 5 sin –1x x x Đs:   2 2 2 2 x k x k k x k                      với 1sin 4    c. Đưa về các dạng phương trình đối xứng Chú ý một số dạng đối xứng bậc chẵn với sin va cos Dạng 1:  4 4sin cos sin 2 0a x x b x c    Đặt 4 4 2 1sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 2 t x t x x x      Dạng 2:  4 4sin cos cos 2 0a x x b x c    Đặt  4 4 2 21 1cos 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 2 2 t x t x x x x         Dạng 3:  6 6sin cos sin 2 0a x x b x c    Đặt 6 6 2 3sin 2 , 1 sin cos 1 sin 2 4 t x t x x x      Dạng 4:  6 6sin cos cos 2 0a x x b x c    Đặt  6 6 2 23 3cos 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 4 4 t x t x x x x         Dạng 5:  sin cos sin cos 0a x x b x x c    Đặt 2 1sin cos , 2 sin cos 2 tt x x t x x      Dạng 6:  sin cos sin cos 0a x x b x x c    Đặt 21sin cos , 2 sin cos 2 tt x x t x x      Dạng 7: 4 4sin cos .cos 2 0a x b x c x d    www.M