Một số vấn đề về bất biến

Bất biến là một trong những vấn đề vô cùng tinh tế và thú vị . Cái tên bất biến nghe có vẻ xa lạ nhưng lại rất gần gũi với các bạn trong cuộc sống nói chung và trong Toán học nói riêng. Sự bất biến giúp chúng ta có thể phân biệt được mọi sự vật với nhau, ví dụ như xác định mối quan hệ giữa người và người trong cùng một dòng tộc, ta sử dụng sự bất biến trong cấu trúc AND, phân biệt người châu Á và người châu Âu,ta sử dụng dự bất biến trong hình dạng của họ qua mọi thời đại. Trong Toán Học, chúng ta có các bất biến đẳng thức của dãy số, bất biến trong cấu trúc đồ thị…Tóm lại bất biến là gì, đó là các đặc điểm có tính cố định của một đối tượng trong suốt quá trình biến đổi, chuyển hóa của đối tượng này. Xác định bất biến sẽ giúp ta phân biệt được mối quan hệ của vật thể trước và sau quá trình biến đổi, để từ đó giải đáp được nhiều vấn đề một cách độc đáo và đầy bất ngờ. Trong các kì thi học sinh giỏi, bất biến cùng thường xuyên xuất hiện một cách độc đáo trong các bài tóan Tổ hợp, Suy luận ... Bài chuyên đề này sẽ giúp cho các bạn làm quen với một số bất biến cơ bản và cách thức để phát hiện ra những bất biến. A. Bất biến trong sự chẵn lẻ. Các bất biến thường được sử dụng trong các bài toán có sự biến chuyển, giả sử đối tượng 1A qua phép toán T biến đổi thành các đối tượng 2 3, ,..., nA A A . Mỗi đối tượng iA được đặc trưng bởi một hàm số if . Bất biến chẵn lẻ xuất hiện khi if có cùng tính chẵn lẻ. Nếu như từ câu hỏi của bài tóan, ta suy ra được cấu trúc bất biến này không được bảo đảm thì ta có thể suy ra kết luận của bài tóan là không đúng. Để vấn đề trở nên rõ ràng hơn, chúng ta hãy thông qua một ví dụ sau đây. Bài toán: Trên bảng ta viết 200 dấu cộng và 305 dấu trừ. Ta thực hiện phép xóa hai dấu bất kì trong đó và viết vào đó một dấu cộng nếu xóa đi hai dấu giống hệt nhau và dấu trừ nếu xóa đi hai dấu khác nhau. Hỏi sau một số lần trên bảng có thể chỉ còn lại toàn dấu cộng hay không. Trước hết ta hãy phần tích giả thiết của bài toán, trong phép biển đổi thứ nhất, xóa hai dấu giống nhau và viết vào một dấu cộng thì dấu cộng giảm 1 hoặc tăng 1, dấu trừ giảm 2 hoặc không thay đổi. Trong phép biến đổi thứ hai, ta điền dấu trừ nếu xóa hai dấu khác nhau, như vậy số dấu cộng giảm 1 và số dấu trừ không thay đổi. Sự biến chuyển của dấu cộng dường như không cho ta hi vọng gì, bỡi lẻ nó tăng giảm một cách khá liên tục 1 đơn vị, thế còn dấu trừ thì sao, thật may mắn, nó giứ nguyên hoặc giảm đi 2 đơn vị sau một lần biến đổi. Như vậy tính chẵn lẻ của số dấu trừ là không thay đổi, ban đầu số dấu trừ là lẻ nên số lượng số dấu trừ luôn lẻ. Nếu cuối cùng trong bảng chỉ còn lại dấu cộng thì số dấu trừ là 0, là một số chẵn. Như vậy không thể có chuyện trong bảng chỉ toàn dấu cộng được. Bài tóan có vẻ như khá khó khăn, thoạt nhìn ban đầu ta không tìm được một hướng đi nào hợp lý , vậy mà lại đơn giản vô cùng khi ta phát hiện ra bất biến phải không các bạn. J Bất biến còn thường xuyên xuất hiện trong các bài toán thi đấu tính điểm nữa, chúng ta hãy thử xét ví dụ sau nhé. Bài tóan: Trong một cuộc thi đấu bóng đá có 15 đội bóng, các đội đấu với nhau vòng tròn một lượt. Đội chiến thắng được 2 điểm, đội thua cuộc được 0 điểm, còn nếu kết quả huề thì mỗi đội đều được 1 điểm. Chứng minh rằng sau khi kết thúc mùa giải, ít nhất có một đội mà số điểm ghi đuợc là số chẵn. Bất biến trong các bài tóan dạng thi đấu này thường nằm trong số điểm mà mỗi đội có được sau mỗi trận đấu. Ở đây, nếu ta xét tổng điểm mà 2 đội thu được sau một trận đấu luôn là 2. Đây chính là bất biến giữa hai phép biến đổi thắng-thua và huề. Bất biến này cho ta điều gì, thứ nhất là chúng ta có thể tính được số điểm tổng cộng của tất cả các đội bóng, từ đây ta có thể suy ra giá trị nhỏ nhất số điểm mà đội đứng nhất nhận được chẳng hạn. Tuy nhiên ở đây, đề bài lại liên quan đến tính chẵn lẻ nên ta hãy chú ý tới tính chẵn lẻ. Theo phân tích ở trên, tổng số điểm hai đội sau một trận đấu là 2, tức là một số chẵn. Như vậy sau khi kết thúc mùa giải thì số điểm mà tất cả các đội thu được cũng là một số chẵn, do đó không có chuyện mọi đội đều có số điểm lẻ được, do số đội là 15 đội là một số lẻ. Như vậy phải có một đội ghi được số điểm chẵn. J Sau đây là một số bài tập về bất biến chẵn lẻ dành cho bạn đọc: Bài 1: Cho bảng ô vuông trên đó ta đánh các dấu + và – như hình vẽ: Ta có thể thực hiện phép đổi dấu tất cả các ô nằm trên đường chéo nào đó( các ô ở góc cũng được coi là đường chéo, có tất cả 14 đường chéo) . Hỏi bằng một số phép biến đổi ta có thể làm cho tất cả các ô của bảng cùng dấu được hau không. Bài 2: Có 2005 nhà bác học. Mỗi nhà bác học quen với một số nhà bác học khác. Chứng minh rằng tồn tại một nhà bác học có số người quen là số chẵn. B.Bất biến theo tính đồng dư. Trong phần trên, chúng ta đã xét bất biến chẵn lẻ. Chẵn lẻ nói một cách khác là tính đồng dư theo các số khác nhau modun 2. Như vậy bất biến chẵn lẻ nói một cách khác đó là tính bất biến trong đồng dư modun 2. Như vậy theo một ý tưởng tương tự, chúng ta cũng sẽ có bất biến theo các đồng dư modun 3,4,5… Nghĩa là hàm đặc trưng if của đối tượng A sau i lần biến đổi bằng phép T sẽ luông đồng dư với số nguyên dương k theo modun p nào đó. Ta hãy thử xét qua ví dụ sau. Bài toán: Trong một thành phố nhiệm màu có 10 kị sĩ tóc vàng, 15 kị sĩ tóc đỏ và 23 kị sĩ tóc xanh. Các kị sĩ có một đặc điểm rất thú vị là nếu hai người khác màu tóc gặp nhau thì tóc họ sẽ đổi sang màu thứ ba. Liệu sau một số lần nào đó thì tất cả kị sĩ có cùng màu tóc hay không. (Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán, trường PTNK) Giải: Chúng ta sẽ phân tích tính chất của các kị sĩ mà đề bài đã nêu ra, nếu hai người khác màu tóc gặp nhau thì tóc họ sẽ đổi sang màu thứ ba. Tính chất đặc biệt này cho ta điều gì, hãy giả sử hai người gặp nhau là xanh và vàng, họ sẽ đổi thành hai kị sĩ tóc đỏ. Như vậy chúng ta sẽ được gì, số kị sĩ tóc xanh giảm đi 1, số kị sĩ tóc vàng giảm đi 1, số kĩ sĩ tóc đỏ tăng hai. Sự tăng giảm này cho một tính chẵn lẻ nào ư, số kĩ sĩ áo đỏ tăng lên 2 + - + + + + + + + + + + + + + + đấy thôi, thế nhưng lại có trường hợp số kị sĩ đỏ giảm hay tăng 1. Vậy thì chúng đâu giữ nguyên tính chẵn lẻ ư. Ta thử xét tổng các số, tổng không đổi, bất biến xuất hiện nhưng điều này không giúp ta giải quyết bài toán. Như vậy ta hãy thử xét hiệu đi, hiệu là 0,0,3. Các số này có tính chất gì, các số này đều chia hết cho 3. Tuyệt quá, bất biến xuất hiện rồi, như vậy dù thay đổi thế nào thì hiệu số hai loại kị sĩ luôn chia hết cho 3. Đây chính là sự bất biến theo modulo 3 đấy. Ban đầu hiệu số về số lượng kĩ sĩ không chia hết cho 3, như vậy thì không thể xảy ra trường hợp có hai loại kị sĩ mang số lượng 0,0 đựơc, nghĩa là cũng không có trường hợp mà tất cả các loại kĩ sĩ đều cùng màu tóc. Như vậy là qua phần trên các bạn đã phần nào làm quen với bất biến đồng dư. Số lượng các loại bất biến là khá nhiều, ví dụ như bất biến trong phép tô màu, trong các cấu trúc đại số, trong các vấn đề hình học. Tuy nhiên do khuôn khổ cuốn sách là có hạn nên chúng tôi chỉ có thể trình bày cho các bạn hai vấn đề cơ bản nhất trong bất biến. Tác giả xin kết thúc bài viết băng phần bài tập cho bất biến đồng dư. Xin chút các bạn luôn vui vẻ trên con đường học vấn của mình J Bài 1: Một tờ giấy kẻ caro hình vuông được chia ra thành các hình vuông nhỏ hơn bằng các đoạn thẳng đi theo các cạnh ô. Chứng minh rằng tổng độ dài của các đoạn thẳng đó chia hết cho 4.( Độ dài các ô bằng 1) Bài 2: Trong hành tinh a có một món đồ rất kì lạ, đó là các quả banh đổi hình dạng. Có bốn loại banh hình cầu, hình hộp, hình ô van, hình chóp cụt. Các quả banh đều được làm băng đất xét nhiệm màu. Khi ba quả banh hình dạng khác nhau đụng vào nhau thì đất xét sẽ nhão ra và biến ba quả banh thành ba quả banh giống nhau và có hình dạng khác hoàn toàn so với ba loại trước. Trên bàn người ta thấy có 2005 quả hình cầu, 2000 quả hình hộp, 1999 quả hình ô van, 202 quả bóng hình chóp cụt. Liệu sau một số lần đụng nhau người ta có thể thu được các quả banh cùng hình dạng hay không. Tài liệu tham khảo. o Chuyên đề Tóan học số 7 Khoa Toán trường PTNK, Tp. Hồ Chí Minh. o Giải tóan bằng phương pháp đại Nguyễn Hữu Điển lượng bất biến