Nghiên cứu dao động dọc của kết cấu (dạng thanh) đàn hồi, đồng chất có tiết diện thay đổi đều gây ra do hai máy rung

1 Nghiên cứu dao động dọc của kết cấu (dạng thanh) đàn hồi, đồng chất có tiết diện thay đổi đều gây ra do hai máy rung PGS.TS Nguyễn Đỡnh Chiều Th.s Nguyễn Đắc Hưng Tóm tắt Trong công trình [2] và [6], một số tác giả quan tâm nghiên cứu bài toán dao động dọc của thanh đàn hồi, đồng chất, có tiết diện không đổi chịu tác động của lực kích động điều hoà gây ra bởi 1 máy rung gắn chặt với kết cấu. Nghiệm của bài toán viết dưới dạng hàm biến phức, nên rất khó sử dụng trong kỹ thuật. Trong công trình này, các tác giả đã giải bài toán dao động của kết cấu (dạng thanh) đàn hồi, đồng chất có tiết diện thay đổi đều, chịu lực cản mặt đầu. Lực tác dụng lên kết cấu được gây ra bởi ghép 2 máy rung. Bằng thuật toán riêng, lần đầu tiên các tác giả đã tìm được nghiệm giải tích trong 3 trường hợp khác nhau tuỳ thuộc vào những thông số ban đầu của bài toán. Nghiệm được biểu diễn dưới dạng hàm sơ cấp nên rất thuận tiện cho việc sử dụng trong tính toán. Kết quả này mở ra hướng giải bài toán trong trường hợp hạ kết cấu đàn hồi, đồng chất có tiết diện thay đổi đều vào đất, khi kết cấu chịu lực tương tác phức tạp hơn. I. Đặt vấn đề Trong công trình [2] và [6] đã trình bày kết quả giải bài toán kết cấu (dạng thanh) đàn hồi, đồng chất với tiết diện không đổi, gây ra do một máy rung gắn chặt với mút trên của kết cấu. Nghiệm của bài toán được biểu diễn dưới dạng hàm số phức. Trong công trình [8], Tom Irvine đã nghiên cứu dao động tự do của thanh có tiết diện thay đổi đều nhưng vẫn chưa tìm được nghiệm giải tích. Trong công trình này, các tác giả thiết lập và giải bài toán dao động của kết cấu đàn hồi, đồng chất có tiết diện thay đổi đều chịu lực cản mặt đầu, được gây ra bởi hai máy rung. Sơ đồ bài toán như hình -1 2 Hình-1 II. Một số giả thiết và kí hiệu 1. Một số giả thiết - Các phần tử của tiết diện chỉ dịch chuyển theo phương dọc. - Kết cấu dịch chuyển theo phương thẳng đứng. - Đất được coi như môi trường đàn hồi của vật rắn biến dạng. Chọn hệ trục oq hướng từ dưới lên trên, gốc toạ độ được chọn trùng với vị trí mặt mút dưới của kết cấu. 2. Các kí hiệu của bài toán q1, q2 : toạ độ trong tâm của máy 1 và máy 2 q – là toạ độ của mặt cắt ngang của kết cấu. u= u(q,t) – là dịch chuyển mặt cắt của kết cấu có toạ độ là q. E- mô đun đàn hồi của vật liệu ((kN/m2). L- chiều dài của kết cấu (m). A0- diện tích mặt cắt ngang tại q = 0 (m 2). 0 m3 P(q,t) Fms m3 Fms m2 P1 q2 q1 0 L q dq s n q q   q1 P2 C2 2 s m1 C1 C1 3 AL- diện tích mặt cắt ngang tại q = L (m 2). Aq- diện tích mặt cắt ngang tại [n] có toạ độ q (m 2). Dq – chu vi của mặt cắt ngang tại [n] có toạ độ q (m).  - khối lượng riêng của vật liệu làm kết cấu (kg/m3). m1- khối lượng của máy rung thứ nhất (kg). m2 – khối lượng của máy thứ hai (kg). m3 – Khối lượng của kết cấu (kg). 2 - hệ số giảm chấn của liên kết đàn hồi (kNs/m). C1- hệ số đàn hồi của đất (kN/m). C2 – hệ số đàn hồi của lò xo liên kết hai máy rung (kN/m). P1, P2 – biên độ lực kích động của hai máy rung (kN).  - tần số góc của bộ phận gây kích động rung của hai máy rung (rad/s). h1 ,h2: là toạ độ trọng tâm của máy rung thứ 1 và máy rung thứ 2 tại vị trí cân bằng. Q01,e1,Q02,e2 – Mô men khối lượng lệch tâm của 2 máy rung (kNm). Các tham số: 212121221 ,,,,,,,,, hhPPCCmm  là các hằng số dương. III. Thiết lập và giải bài toỏn Bước 1. Xác định lực tác dụng lên mặt đầu trên của kết cấu Gọi lực tác dụng lên đầu trên của kết cấu là P(q,t). Tách hệ 2 máy rung ra khỏi kết cấu để xác định lực P(q,t) (lực này được tạo ra bởi 2 máy rung) như hình-2. Hình -2 Chọn gốc toạ độ 0’ trùng với vị trí đế máy rung thứ nhất gắn với đầu kết kết cấu. m2 m1 q h2 q2 q1 0’ h1   ymyyCtPPqCqqm  22221111111 cos)(   C2 P1 α2 P2 P(q,t) 4 áp dụng phương trình Lagrăng loại II ta có: i ii Q q T q T dt d       )(  i=1,2 (1-1) T: động năng của hệ: 2122 2 11 )( 2 1 2 1 qqmqmT   (1-2) Qi (i=1,2): lực suy rộng, được xác định như sau: pi ii i Q qq Q          (1-3) -  : thế năng của hệ. 2 1222 )( 2 1 qqC  (1-4) -  : hàm hao tán của hệ. 2 1222 )( 2 1 qq    (1-5) Qi p (i=1,2) là các lực suy rộng tác dụng vào 2 máy rung: Q1 p = (P1+ P2)cost – P(q,t); Q p = P2cost (1-6) Thực hiện các phép tính và thay vào phương trình (1-1) sau khi rút gọn ta được:       tPqqCqqqqm tqPqmqmmtPP   cos)()( ),()(cos)( 2122122122 2212121   (1-7) 2 1 101 1  gm eQ P  ; 2 2 202 2  gm eQ P  . Đặt y= q2-q1 và thay vào (1-7) ta được hệ phương trình sau:      tPyCyym tqPqmymtPP   cos ),(cos)( 2222 11221   (1-8) áp dụng nguyên lý Đalămbe với hệ dao động 2 máy rung ta có: yCyqmymtpptqP 2211221 cos)(),(    (1-9) Từ (1-9) kết hợp với phương trình thứ nhất của (1-8) ta có: y C yymtpptqP 22 cos)(),( 22221     (1-10) So sánh (1-10) với PTVP thứ 1 của hệ (1-8) ta có )( 2 1 22 1 1 yCy m q    Buớc 2. Giải phương trình thứ hai của (1-8) để xác định y. 5 Phương trình tPyCyym  cos2222   có phương trình đặc trưng là 022 2 2  Crrm  . Phương trình này có biệt thức 22 2 22 4 Cm  Với điều kiện đầu y(0) = h2- h1. Sau khi giải PTVP (1-8) ta tìm được nghiệm tổng quát như sau: 1. Trường hợp 2 >0 tHtGeBeAy trtr  sincos 2211 21  Với 2 22 2 2 2,1 2 4 m Cm r     ;             2 2 22 22 22 2 2 2 22 22 2 222 2 )()( )()( )(     mC P H mC mCP G ;                12 22121 1 12 22122 1 )( rr HhhGr B rr HGhhr A   2. Trường hợp 02   tretBAy 0)( 22 tHtG  sin.cos. 22  Với: 2 2 0 2 m r   ;      221202 2122 )( HhhGrB GhhA 3. Trong trường hợp 01   )sincos( 33 btBbtAey at tHtG  sin.cos. 22  r1,2 = a bi, với 2 2 222 2 2 2 4 ; 2 m Cm b m a      ;         b HhhGa B GhhA )( 122 3 2123 Nhận xét: 1. Do 212121221 ,,,,,,,,, hhPPCCmm  đều là những số dương, vì vậy các hệ số r0, r1, r2, a đều là những số âm. Do đó, trong cả ba trường hợp 2 >0, 02  , 01  sau một thời gian hệ máy – kết cấu làm việc bình ổn. Khi đó nghiệm của phương trình: y= G2cost +H2sint; tHtGy  cossin. 22  ; tHtGy  sincos. 2 2 2 2  2. Do máy rung gắn chặt vào kết cấu, nên vận tốc, gia tốc của máy thứ nhất và vận tốc, gia tốc của tiết diện kết cấu tại q=L bằng nhau, tức là ( ),(1 tLuq  ; ),(1 tLuq   ; ),(1 tLuq   ). 6 Thay các giá trị yyy ,, và 1q vào phương trình đầu của (1-8) và rút gọn ta có: ),(sin 22 cos 22 2 2 2 222222 2 2 2 22 21 tLPtHm HCG t H Gm GC pp                   (1-11) Mặt khác: q tLu EAtLP L    ),( ),( , do đó q tLu EAtHm HCG t H Gm GC pp L                ),( sin 22 cos 22 2 2 2 222222 2 2 2 22 21      (1-12) Bước 2. Thiết lập PTVP dao động dọc của kết cấu Tưởng tượng cắt 1 phân tố kết cấu và biểu diễn như hình- 3. Hình –3 Gọi u là dịch chuyển của tiết diện [s] bất kỳ: u= u(q,t). Khi đó tại tiết diện [n] : dq q u u    (1-13) - Tại tiết diện [s] : Pq=EAq = q u EAq   (1-14) - Tại tiết diện [n]: dq q P P q q    (1-15) Khối lượng phân tố của kết cấu đang xét là:  Aqdq  lực quán tính của nó là: 2 2 . t u dqAq     (1-16) Bằng hình học sơ cấp ta có thể chứng minh được 2 2 0 0 1 L A A qL AA L q                    2 2 0 0 1 L A A qL EAEA L q                   (1-17) n n u q dq q u u    Pqt dq q P P q q    Pq s s 7 áp dụng nguyên lý Đalămbe đối với phân tố kết cấu ta có : 2 2 t u dqAdq q P PP q q qq             = 0 (1-18)  2 2 t u A q u EA q qq              (1-19) Dựa vào cách tính toán ở trên ta xác định được các điều kiện của bài toán như sau: - Điều kiện đầu: khi t = 0 2 1 2222 2 )( )0,(   m GCH Lu   ;   1 2222 2 )0,( m HCG t Lu     (1-20) Với 22 2 22 22 22 2 22 2 22 22 2 222 2 )( )( )(          mC p H mC mCp G - Điều kiện biên: Tại q = 0; ),0(),0( 1 tuCtPq   ),0( ),0( 10 tuC q tu EA     q tu C EA tu    ),0( ),0( 1 0 (1-21) Tại q = L q tLu EAtHm HCG t H Gm GC pp L                ),( sin 22 cos 22 2 2 2 222222 2 2 2 22 21      Đặt        22 22 2 2 2 22 211   H Gm GC pp ;        2 2 2 2222 2 22 Hm HCG    Ta có: q tLu EAtt L    ),( sincos 21  (1-22) Bước 4. Giải phương trình (1-19) 1. Tìm nghiệm tổng quát của PTVP (1-19) Phương trình tương đương của (1-19) là: 2 2 2 2 ' )( t u A q u A q u AE qqq          Chia hai về của phương trình trên cho EAq và đặt  E a  . 8 Với: 2 0 2 0 1.                  A A qL L A A Lq ; 1 0  A AL  2 2 0 ).( qL L A Aq  Sau một số biến đổi (1-19) trở thành: 2 2 22 2 . 1 . 2 t u aq u L qq u           (1-23) Nghiệm tìm dưới dạng (Fuariê): u(q,t)= X(q).T(t) (1-24) Thay (1-24) vào (1-23) ta được: 2 2 22 2 )( . )( 1 . 2 . )( 1 dt tTd tTadq dX L q dq Xd qX                 (1-25) Để (1-25) thoả mãn với mọi q,t thì 2 vế của nó bằng (-  2). 2 2 2 22 2 )( . )( 1 . 2 . )( 1                  dt tTd tTadq dX L qdq Xd qX (1-26) Từ (1-26) đưa đến 2 PTVP thường để xác định 2 hàm X(q) và T(t) 0. 2 2 2 2    X dq dX L q dq Xd   (1-27) và 0)( )( 22 2 2  tTa dt tTd  (1-28) 1.1. Nghiệm tổng quát của (1-28) atattT  sincos)( 21  (1-29) (Với 1,2 là hai hằng số tuỳ ý) 1.2. Tìm hàm X(q) Để giải PTVP (1-27) ta đặt  L qx  , PTVP (1-27) trở thành 0)( )(2)( 2 2 2  xX dx xdX xdx xXd  (1-30) Tìm nghiệm riêng dưới dạng chuỗi lũy thừa:           2 2 1 "1' 0 )1( n n n n n n n n n xannXxnaXxaX 9 Thay vào (1-30), ta được 0 2 )1( 0 2 1 1 2 2           n n n n n n n n n xaxna x xann  Sau một số phép biến đổi ta tìm được một nghiệm riêng của PTVP (1-30) là: x x k x xk x X k k k k k k     sin )!12( )( .)1( 1 )!12( )( .)1( 0 12 0 2 1           Theo công thức Liouville ta có: x x X   cos . 1 2  Do tính chất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất nên (1-30) có thể lấy hai nghiệm là: x x X sin* 1  ; x x X cos* 2  (vì  là const) Trở lại biến q ta có nghiệm tổng quát của (1-27) là:      L q L qB L qA qX    )(sin.)(cos )( (1-31) 2. Nghiệm của (1-19) thoả mãn (1-20) và (1-21). Thay các điều kiện đầu (1-20) vào (1-29) để xác định 1,2 và điều kiện biên (1-21) vào (1-31) để sác định A,B. Từ (1-24) ta nhận được nghiệm cuối cùng của bài toán là: 1. Trường hợp thứ nhất: 1  0 và 2  0  A,B 0 và BA 2 1    Nghiệm của bài toán là:           tt D D L q L q a L q a Btqu          sincos. )( )(sin)(cos ),( 2 11 2 (1-32) Với )(sin)(1)(cos)( )( 1 2 1 2 2 2 2             L L a L L a L L a L L a L L B                2. Trường hợp thứ hai 1 = 0 và 2  0  A 0, B = 0. Nghiệm của bài toán là: 10                 tt D D L q L q a Atqu      sincos. cos ),( 2 1 (1-33) Với )(cos)(sin)( 2 2 2         L L a L L a L L a L L A          3. Trường hợp thứ ba 1  0 và 2 = 0 khi đó A = 0, B 0. Nghiệm của bài toán là:           tt D D L q L q aBtqu      sincos. )(sin .),( 2 1 (1-34) Với )(sin)(cos)( 2 2 2         L L a L L a s L L a L L B          Trong các trường hợp đã dẫn ra ký hiệu:                  LLLL LLLL sincos sincos 1 1 2 1 11               ; 22 2 22 221 2 222 2 22 2 22 22 2 1 2 2 22 2222 1 )[(2 ])[(2 ])[(          mCm mp D mCm CmCp D Kết luận - Trong công trình này, tác giả lần đầu tiên đã đưa ra nghiệm giải tích đối với bài toán dao động dọc của kết cấu (dạng thanh) đàn hồi đồng chất tiết diện thay đổi đều, chịu lực cản mặt đầu, gây ra bởi ghép hai máy rung. Nghiệm được biểu diễn dưới dạng hàm sơ cấp nên dễ sử dụng trong kỹ thuật. - Phương pháp giải bài toán mở ra hướng giải bài toán hạ chìm kết cấu đàn hồi, đồng chất có tiết diện thay đổi đều vào đất với điều kiện tương tác lực phức tạp hơn (chẳng hạn chịu cả lực cản mặt đầu và lực cản mặt bên). 11 Tài liệu tham khảo [1] I.M Babacôp – Lý thuyết dao động tập I,II. Người dịch: Phạm Huyễn, Nguyễn Xuân Quyên. Biên dịch: Lê Xuân Cận, Nxb Đại học và THCN, Hà Nội, 1977. [2] Barcan D.D- Phương pháp rung trong xây dựng, Nxb xây dựng Max-cơ-va. [3] Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Doãn Điền- Lý thuyếtt dao động, Nxb Nông Nghiệp, năm 2004. [4] Đỗ Sanh - Cơ học tập II, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2003. [5] Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái – Phương trình Vật lý toán, NXB Đại học và THCN, Hà Nội, 1971. [6] Nguyễn Đình Chiều, Nguyễn Trọng, Nguyễn Anh Tuấn- Cơ sở lý thuyết kỹ thuật rung trong xây dựng, Nxb khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2004. [7] Nguyễn Đình Chiều, Nguyễn Đắc Hưng- Dao động của kết cấu được hạ chìm vào đất bằng hai máy rung, Tạp chí khoa học và kỹ thuật Thuỷ lợi & môi trường, số 9, tháng 6-2005. [8] Longitudinal Vibration of a Tapered Rod By Tom Irvine- Email:tomirvine@aol.com, October 5,2003. Summary In the tow books [2] and [6], some authors have been studying on longitudinal vibration of elastic, uniform rod, induced by harmonizing compulsory force of vibrator closely connected to the structure was interested and solved by researchers. Solution of the task was performed by fragrant arithmetic function in case the structure has constant section, there fore very difficult applice in technical. In this study, the authors have solved vibration task of the elastic, uniform structure (rod) that was variable cross section under resistant force at the end of the structure. The harmonizing compulsory force have made by 2 vibrators. Using specific algorithm, first time the author found geometric solution for 3 different cases depending on initial parameters of the task. The solutions are performed by elementary functions that are very convenient for use. This result may open direction for solving some tasks in case of subsidence of the elastic, uniform structure with variable cross section in to the ground, when the structure is under more complicated interaction.