Nghiên cứu nguyên lý điều khiển bộ biến đổi dc-Dc bằng phương pháp điều khiển trượt

hông thường, các bộ biến đổi buck chỉ nên làm việc ở chế độ dòng điện liên tục qua điện cảm. Tại biên của chế độ dòng điện liên tục và gián đoạn, độ thay đổi dòng điện sẽ bằng 2 lần dòng điện tải. Như vậy, độ thay đổi dòng điện cho phép bằng 2 lần dòng điện tải tối thiểu. Điện cảm phải đủ lớn để giới hạn độ thay đổi dòng điện ở giá trị này trong điều kiện xấu nhất, tức là khi D = Dmin (vì thời gian giảm dòng điện là T2, với điện áp rơi không thay đổi là Vout). Một cách cụ thể, chúng ta có đẳng thức sau: (1 − Dmin)×T×Vout = Lmin×2×Iout,min Hai thông số cần được lựa chọn ở đây là Lmin và T. Nếu chúng ta chọn tần số chuyển mạch nhỏ, tức là T lớn (T = 1/f, f là tần số chuyển mạch), thì Lmin cũng cần phải lớn. Thành phần xoay chiều của dòng điện qua điện cảm sẽ đi qua tụ điện ngõ ra. Với dòng điện qua điện cảm có dạng tam giác, điện áp trên tụ điện ngõ ra sẽ là các đoạn đa thức bậc hai nối với nhau (xét trong một chu kỳ chuyển mạch). Lượng điện tích được nạp vào tụ điện khi dòng điện qua điện cảm lớn hơn dòng điện trung bình sẽ là ΔI×T/2. Nếu biểu diễn theo điện dung và điện áp trên tụ điện thì lượng điện tích này bằng C×ΔV. Trong đó, ΔI là biên độ của thành phần xoay chiều của dòng điện qua điện cảm, còn ΔV là độ thay đổi điện áp trên tụ khi nạp (cũng như khi xả, xét ở trạng thái xác lập). Như vậy, chúng ta có thể xác định giá trị của tụ điện dựa vào đẳng thức sau: ΔI×T/2 = C×ΔV ΔI đã được xác định ở trên, bằng 2 lần dòng điện tải tối thiểu, và T đã được chọn ở bước trước đó. Tùy theo giá trị độ dao động điện áp ngõ ra cho phép ΔV mà chúng ta chọn giá trị C cho thích hợp. 1.4.2. Bộ biến đổi đảo áp (buck-boost converter) Bộ biến đổi đảo áp buck-boost hoạt động dựa trên nguyên tắc: khi khóa (van) đóng, điện áp ngõ vào đặt lên điện cảm, làm dòng điện trong điện cảm tăng dần theo thời gian. Khi khóa (van) ngắt, điện cảm có khuynh hướng duy trì dòng điện qua nó sẽ tạo điện áp cảm ứng đủ để diode phân cực thuận. Tùy vào tỷ lệ giữa thời gian đóng khóa (van) và ngắt khóa (van) mà giá trị điện áp ra có thể nhỏ hơn, bằng, hay lớn hơn giá trị điện áp vào. Trong mọi trường hợp thì dấu của điện áp ra là ngược với dấu của điện áp vào, do đó dòng điện đi qua điện cảm sẽ giảm dần theo thời gian. Với các giả thiết tương tự như các trường hợp trên, ở chế độ dòng điện qua điện cảm là liên tục, điện áp rơi trung bình trên điện cảm sẽ bằng 0. Với cách ký hiệu T = T1 + T2 như trên, điện áp rơi trung bình trên điện cảm khi đóng khóa (van) là (T1/T)×Vin, còn điện áp rơi trung bình trên điện cảm khi ngắt khóa (van) là − (T2/T)×Vout. Điều kiện điện áp rơi trung bình trên điện cảm bằng 0 có thể được biểu diễn: (T1/T)×Vin − (T2/T)×Vout = 0 Như vậy:(T1/T)×Vin = (T2/T)×Vout, D×Vin = (1 − D)×Vout Khi D = 0.5, Vin = Vout. Với những trường hợp khác : 0 < Vout < Vin khi 0 < D < 0.5, và 0 < Vin < Vout khi 0.5 < D < 1 (chú ý là ở đây chỉ xét về độ lớn, vì chúng ta đã biết Vin và Vout là ngược dấu). Như vậy, bộ biến đổi này có thể tăng áp hay giảm áp, và đó là lý do mà nó được gọi là bộ biến đổi buck-boost. Xét cùng một loại bài toán thường gặp như những trường hợp trên, tức là: cho biết phạm vi thay đổi của điện áp ngõ vào Vin, giá trị điện áp ngõ ra Vout, độ dao động điện áp ngõ ra cho phép, dòng điện tải tối thiểu Iout,min, xác định giá trị của điện cảm, tụ điện, tần số chuyển mạch và phạm vi thay đổi của chu kỳ nhiệm vụ, để đảm bảo ổn định được điện áp ngõ ra. Phạm vi thay đổi của điện áp ngõ vào và giá trị điện áp ngõ ra xác định phạm vi thay đổi của chu kỳ nhiệm vụ D: Dmin = Vout/(Vin,max + Vout), và Dmax = Vout/(Vin,min + Vout). Lý luận tương tự như với bộ biến đổi buck, độ thay đổi dòng điện cho phép sẽ bằng 2 lần dòng điện tải tối thiểu. Trường hợp xấu nhất ứng với độ lớn của điện áp trung bình đặt vào điện cảm khi khóa (van) ngắt đạt giá trị lớn nhất, tức là khi D = Dmin. Như vậy đẳng thức dùng để chọn chu kỳ (tần số) chuyển mạch và điện cảm L giống như của bộ biến đổi buck: (1 − Dmin)×T×Vout = Lmin×2×Iout,min Cách chọn tụ điện ngõ ra cho bộ biến đổi này cũng không khác gì so với trường hợp trên. 1.4.3. Bộ biến đổi tăng áp (boost converter) Bộ biến đổi tăng áp là thiết bị được ứng dụng để biến đổi làm tăng điện áp đầu ra so với điện áp nguồn. Bộ biến đổi boost hoạt động theo nguyên tắc sau: khi khóa (van) đóng, điện áp ngõ vào đặt lên điện cảm, làm dòng điện trong điện cảm tăng dần theo thời gian. Khi khóa (van) ngắt, điện cảm có khuynh hướng duy trì dòng điện qua nó sẽ tạo điện áp cảm ứng đủ để diode phân cực thuận. Ở điều kiện làm việc bình thường, điện áp ngõ ra có giá trị lớn hơn điện áp ngõ vào, do đó điện áp đặt vào điện cảm lúc này ngược dấu với khi khóa (van) đóng, và có độ lớn bằng chênh lệch giữa điện áp ngõ ra và điện áp ngõ vào, cộng với điện áp rơi trên diode. Dòng điện qua điện cảm lúc này giảm dần theo thời gian. Tụ điện ngõ ra có giá trị đủ lớn để dao động điện áp tại ngõ ra nằm trong giới hạn cho phép. Tương tự như trường hợp của bộ biến đổi buck, dòng điện qua điện cảm sẽ thay đổi tuần hoàn và điện áp rơi trung bình trên điện cảm trong một chu kỳ sẽ bằng 0 nếu dòng điện qua điện cảm là liên tục (nghĩa là dòng điện tải có giá trị đủ lớn). Gọi T là chu kỳ chuyển mạch (switching cycle), T1 là thời gian đóng khóa (van), và T2 là thời gian ngắt khóa (van). Như vậy, T = T1 + T2. Giả sử điện áp rơi trên diode, và dao động điện áp ngõ ra là khá nhỏ so với giá trị của điện áp ngõ vào và ngõ ra. Khi đó, điện áp rơi trung bình trên điện cảm khi đóng khóa (van) là (T1/T)×Vin, còn điện áp rơi trung bình trên điện cảm khi ngắt khóa (van) là (T2/T)×(Vin − Vout). Điều kiện điện áp rơi trung bình trên điện cảm bằng 0 có thể được biểu diễn là: (T1/T)×Vin + (T2/T)×(Vin − Vout) = 0 Hay (T1/T + T2/T)×Vin − ( T2/T)×Vout = 0, Vin = (T2/T)×Vout Với cách định nghĩa chu kỳ nhiệm vụ D = T1/T, T2/T = 1 − D, ta có : Vin = (1 − D)×Vout, hay Vout = Vin/(1 − D). D thay đổi từ 0 đến 1 (không bao gồm các giá trị 0 và 1), do đó 0 < Vin < Vout. Tương tự như với bộ biến đổi buck, một trong những bài toán thường gặp là như sau: cho biết phạm vi thay đổi của điện áp ngõ vào Vin, giá trị điện áp ngõ ra Vout, độ dao động điện áp ngõ ra cho phép, dòng điện tải tối thiểu Iout,min. Xác định giá trị của điện cảm, tụ điện, tần số chuyển mạch và phạm vi thay đổi của chu kỳ nhiệm vụ, để đảm bảo ổn định được điện áp ngõ ra. Phạm vi thay đổi của điện áp ngõ vào và giá trị điện áp ngõ ra xác định phạm vi thay đổi của chu kỳ nhiệm vụ D: Dmin = 1 − Vin,max/Vout, và Dmax = 1 − Vin,min/Vout. Lý luận tương tự như với bộ biến đổi buck, độ thay đổi dòng điện cho phép sẽ bằng 2 lần dòng điện tải tối thiểu. Trường hợp xấu nhất ứng với độ lớn của điện áp trung bình đặt vào điện cảm khi khóa (van) ngắt đạt giá trị lớn nhất, tức là hàm số Vin/Vout×(Vin − Vout) đạt giá trị nhỏ nhất khi D thay đổi từ Dmin đến Dmax (chú ý là hàm số này có giá trị âm trong khoảng thay đổi của D). Gọi giá trị của D và Vin tương ứng với giá trị nhỏ nhất đó là Dth và Vin,th (giá trị tới hạn), đẳng thức sau (chỉ xét về độ lớn) được dùng để chọn giá trị chu kỳ (hay tần số) chuyển mạch và điện cảm: (1 − Dth)×T×(Vout − Vin,th) = Lmin×2×Iout,min Việc lựa chọn giá trị cho tụ điện ngõ ra hoàn toàn giống như đối với trường hợp bộ biến đổi buck. 1.4.4. Bộ biến đổi Zeta. Bộ biến đổi Zeta thực hiện chức năng tăng giảm áp không nghịch lưu. Cấu trúc của nó sử dụng hai cuộn cảm, hai bộ chuyển mạch và hai tụ điện để cách ly đầu vào và đầu ra. Bộ chuyển mạch sử dụng ở đây là một MOSFET kiểu N và một diode shottky. Tương tự như bộ biến đổi Cúk và Sepic, bộ biến đổi Zeta có thể là một hệ thống phi tuyến (song tuyến tính). Chúng ta tóm tắt những đặc tính quan trọng nhất liên quan đến việc chuyển đổi mô hình của bộ biến đổi Zeta như hình sau: Hình 1.20: Sơ đồ nguyên lý bộ biến đổi DC-DC Zeta Giải thích sơ đồ: Hai cuộn kháng được sử để chuyển đổi tương ứng điện áp vào và điện áp ra của bộ nguồn. Trong một khoảng thời gian ngắn có thể coi chúng như một nguồn dòng giúp cho dòng điện không gián đoạn. Tranzitor Q và diode D có tác dụng như các khóa đóng cắt mạch. Tụ C1 là nơi tích lũy năng lượng, C2 để ổn định điện áp ra. Việc chuyển đổi lý tưởng dựa trên sự thực hiện của bộ biến đổi được mô tả như hình sau: Hình 1.21: Bộ biến đổi Zeta với thiết bị chuyển đổi lý tưởng. 1.4.4.1. Mô hình của bộ biến đổi Zeta. Bộ biến đổi Zeta trình bày 2 trạng thái làm việc khác nhau. Trạng thái đầu tiên hoạt động khi transistor Q dẫn và diode D khóa. Ta có mạch tương đương như hình 1.4a. Trong thời gian này có dòng điện qua cuộn cảm L1 và L2 được lấy ra từ nguồn E, chế độ này là chế độ nạp. Trạng thái thứ hai hoạt động khi transistor Q khóa và diode dẫn, ta nhận được mạch tương đương như hình 1.4b. Ở thời gian này hoạt động như ở chế độ xả vì tất cả năng lượng lưu trữ trong L2 được chuyển tới trở R. (a) Trường hợp vị trí bộ chuyển đổi u=1. (b) Chức năng chuyển đổi vị trí giá trị u=0 Hình 1.22: Cấu trúc liên kết mạch của bộ biến đổi Zeta. Mô hình động học của bộ biến đổi Zeta được tìm thấy là: 1.4.4.2. Mô hình dạng chuẩn. Dạng chuẩn hóa của phương trình mô tả bộ biến đổi Zeta đạt được bằng cách định nghĩa lại các biến trạng thái và biến thời gian như dưới đây: Với: , , 1.4.4.3. Điểm cân bằng và hàm truyền tĩnh. Phương trình cân bằng được cho bởi: (1.8) Mô hình trung bình chuẩn hóa điểm cân bằng, tham số uav=U tìm thấy sẽ được cho bởi: , , , Một tham số về trạng thái cân bằng điện áp đầu ra mong muốn, được tìm thấy bằng việc loại bỏ các tham số U, ta được: , , , Hàm truyền chuẩn hóa tĩnh của bộ biến đổi Zeta được cho bởi: Điều này khẳng định tính năng cơ bản của bộ biến đổi Zeta, đó là tỉ lệ chuyển đổi có thể giảm hoặc khuếch đại bộ biến đổi. Đường cong đặc trưng của hàm truyền tĩnh được thể hiện trong hình vẽ sau: 0 0 2 1 1 4 3 0,5 U H(U) Hình 1.23: Đặc tuyến hàm truyền bộ biến đổi DC-DC Zeta. 1.4.5. Bộ biến đổi kiểu Cúk Nguyên lý bộ biến đổi kiểu Cúk Bộ chuyển đổi Cúk là sự kết hợp của một số các cấu trúc liên kết chuyển đổi cơ bản đại diện cho các bộ chuyển đổi: Buck(giảm áp), Boost(tăng áp) và Buck-Boost (đảo áp). Một ví dụ điển hình là sự kết hợp của bộ chuyển đổi Buck và Boost để tạo ra bộ chuyển đổi Cúk. Mạch đầu vào của bộ chuyển Cúk là một Boost chuyển đổi, mạch đầu ra được xem là một buck chuyển đổi. Vì vậy, có thể nói bộ chuyển đổi Cúk được coi là một “Boost-buck” chuyển đổi. Ngược lại với các cấu trúc liên kết cơ bản, công cụ chuyển đổi Cuk yêu cầu hai (phụ thuộc) thay vì một thiết bị chuyển mạch cũng như hai cuộn cảm L1, L2, và hai tụ điện, một để lưu trữ năng lượng và một trong hai sẽ chuyển năng lượng từ các mạch đầu vào đối với  mạch  đầu ra tải. Kết quả là phức tạp cao hơn cho việc phân tích và xây dựng các công cụ chuyển đổi này. 1.4.5.2 .Mô hình chuyển đổi Cách thức để xây dựng bộ chuyển đổi Cúk được thực hiện cùng một cách thức mà chúng ta đã phân tích cấu trúc liên kết của các bộ chuyển đổi DC-DC trước đó. Khi u=1 chúng ta có được những phương trình sau đây cho i1 và i2 trong mạch thu được các cấu trúc liên kết: (1.9) Và sau đây phương trình cho điện áp tụ  và , (1.10) (1.11) Khi u = 0, chúng ta có được các phương trình sau đây cho i1 và i2,  (1.12)  (1.13) Các tụ điện áp và được mô tả bằng: Sự năng động của bộ chuyển đổi Cuk được mô tả bằng cách kết hợp các mô hình phần trước. Do đó ta có được những hệ thống sau của phương trình vi phân: Trường hợp  và , tương ứng với điện áp trên các tụ điện C1 và dòng trong cuộn cảm , trong khi  and  cũng tương ứng với điện áp trên các nhánh song song với nhau hình thành bởi tụ C2 và R tải, và thông qua các cuộn cảm . Như thường lệ, bên ngoài nguồn điện thế E có một giá trị không đổi. Biến u để kiểm soát đầu vào, đại diện cho các vị trí bị hạn chế chuyển đổi để có giá trị trong tập hợp rời rạc {0,1}. Người ta cho rằng các bộ chuyển đổi luôn hoạt động trong các chế độ dẫn dòng liên tục, i.e. , không phải của các dòng điện cảm ứng là không giống nhau về một khoảngthời gian mở. 1.4.5.3. Mô hình dạng chuẩn Một khi chúng ta đã thu được những mô hình chuyển đổi Cuk, chúng ta tiến hành thực hiện các phép biến đổi bình thường của biến trạng thái và thời gian tọa độCác bài toán chuyển đổi tọa độ và thời gian mở rộng quy mô: (1.14) Năng suất bình thường hóa sau chuyển đổi mô hình cho Cuk: (1.15) Trường hợp biểu tượng: "." đạt được một đại diện (lạm) các phái sinh đối với các thứ nguyên thời gian phối hợp τ.  Các biến  và  đại diện, tương ứng, cácdòng điện và điện áp của hệ thống chuẩn hóa, trong khi u đại diện cho chức năngchuyển đổi vị trí. Các Q tham số được định nghĩa là  trong khi các hằng số  được định nghĩa bằng thương số. (1.16) 1.4.5.4 Điểm cân bằng và Hàm truyền tĩnh. Thiết lập phương trình (1.15) theo chuẩn trung bình với , ta có phương trình sau: (1.17) Giải phương trình ta được: (1.18) Một tham số khác của quá trình cân bằng thu được bằng cách sử dụng một giá trị mong muốn liên tục của điện áp đầu ra . Ta được: (1.19) Từ các mối quan hệ hiện có điện áp đầu ra liên tục chuyển đổi,  và giá trị tương ứng của kiểm soát đầu vào U trung bình, được xác định trong (1.19), các hàm truyền tĩnh bình thường hóa chức năng chuyển giao của bộ chuyển đổi Cuk được dễ dàng tìm thấy: Hình 1.27: Đường cong đặc trưng của hàm truyền tĩnh của bộ chuyển đổi DC-DC kiểu Cúk (1.20) Các đường cong đặc trưng của hàm truyền tĩnh của bộ chuyển đổi Cuk được thể hiện trong hình 1.27. Vì nó đã được nói trước đó, các đường cong đặc trưng của sự tăng điện áp trong bộ chuyển đổiCuk giống như là của Buck-Boost chuyển đổi. CHƯƠNG 2 NGUYÊN LÝ ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT 2.1. GIỚI THIỆU. Điều khiển trượt nổi tiếng với kỹ thuật phản hồi đã được đề cập đến trong rất nhiều bài báo và các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả. Bản chất kỹ thuật này điều chỉnh các hệ thống thông qua điều khiển đóng ngắt như là các thiết bị điện tử công suất nói chung và các bộ biến đổi DC-DC nói riêng. Điều khiển trượt được nghiên cứu cơ bản bởi nền khoa học Nga Xô viết được trình bày trong các cuốn sách của Emelyanov, Utkin và một số tác giả khác. Điều khiển phản hồi gián đoạn được áp dụng cho các hệ thống vật lý cơ điện tử đã được thực nghiệm và đạt kết quả tốt. Trong chương này chúng ta nghiên cứu điều khiển trượt cho hệ thống điều chỉnh đóng ngắt phi tuyến. Ta quy ước và giải quyết các vấn đề trên cơ sở sử dụng ngôn ngữ biểu đạt của hình học giải tích vi phân. Chúng ta cùng xem lại các hệ thống một khóa chuyển mạch và hệ thống nhiều khóa chuyển mạch (hệ SISO và hệ MIMO). Chúng ta nghiên cứu tính chất nổi bật của lý thuyết cơ sở điều khiển trượt: mặt trượt, sự tồn tại mặt trượt, định nghĩa mặt trượt, điều khiển tương đương, trượt động lý tưởng và cuối cùng là sự ổn định của hệ thống vòng lặp điều khiển trượt với các điều khiển nhiễu. 2.2. CÁC HỆ THỐNG CẤU TRÚC BIẾN. Hệ thống cấu trúc biến là một hệ thống trong đó mô hình trạng thái động chịu ảnh hưởng lớn trên miền của không gian trạng thái, trên đó các phép toán của hệ được tìm thấy một cách tường tận. Bản chất không liên tục của mô hình chính là thông số đặc tính và những thay đổi đột ngột gây ra hoặc do sự tác động tự ý lên các thành phần của toán tử, sự kích hoạt tự động của một hay nhiều bộ chuyển mạch trong hệ thống hoặc do sự thay đổi các giá trị tạm thời của từng tham số hệ thống xác định. Lớp của các hệ thống cấu trúc biến tương đối rộng đối với các nghiên cứu chi tiết, hơn nữa lại ít được quan tâm trong lĩnh vực điện tử công suất (Power Electronics). Vì lý do này ta sẽ chỉ nghiên cứu các hệ thống cấu trúc biến được điều khiển bởi một hoặc nhiều chuyển mạch. Vị trí của các chuyển mạch này sẽ cấu thành nên tập các đầu vào điều khiển. Ngoài ra, ta giới hạn thêm đối với các nhóm hệ thống mà các mô tả hoặc cấu trúc có điểm tương đồng về số chiều với hệ kết quả cũng như về bản chất của trạng thái mô tả trong hệ. 2.2.1. Điều khiển đối với các hệ thống điều chỉnh bằng chuyển mạch đơn. (2.1) Ta xét quá trình điều khiển các hệ thống được biểu diễn bởi các mô hình không gian trạng thái phi tuyến theo dạng: x=f(x)+g(x)u, y=h(x) trong đó: x Rn, u[0,1], yR Các hàm véctơ f(x) và g(x) biểu diễn các trường véctơ trơn, nghĩa là các trường véctơ khả vi vô hạn, được định nghĩa trên không gian tiếp tuyến với Rn. Hàm đầu ra h(x) là một hàm vô hướng trơn với biến x lấy giá trị trên trục thực R. Ta coi x như là trạng thái của hệ. Biến u được xác định như một đầu vào điều khiển hoặc đơn giản là lượng điều khiển. Còn biến y chính là đầu ra của hệ. Ta cũng thường coi f(x) như một trường véctơ sai lệch và g(x) như là trường đầu vào điều khiển. Đặc điểm chính của hệ mà ta quan tâm là bản chất giá trị nhị phân của biến đầu vào điều khiển. Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử đầu vào điều khiển này lấy giá trị trên tập rời rạc[0, 1]. Chú ý rằng nếu tập các giá trị có thể nhận được của biến đầu vào vô hướng u là tập rời rạc [W1, W2] với W1R, i=1, 2 thì theo phép biến đổi tọa độ khả đảo dưới đây ta có: v=(u-W2)/(W1-W2) và u=W2+v(W1+W2) sẽ tạo ra biến đầu vào điều khiển mới v là một hàm đầu vào điều khiển giá trị nhị phân lấy giá trị trên tập [0,1]. Ví dụ 2.1: Mạch điện dưới đây biểu diễn bộ biến đổi công suất từ một chiều sang một chiều (DC-to-DC Power Converter), còn gọi là bộ biến đổi Boost Converter, được điều khiển bằng một chuyển mạch đơn. Hình 2.1: Bộ biến đổi Boost một chiều-một chiều chuyển mạch bằng khóa bán dẫn Lý tưởng hóa khóa đóng mở Q ta có sơ đồ được biểu thị trên hình 2.2: Hình 2.2: Bộ biến đổi Boost một chiều-một chiều với chuyển mạch lý tưởng Hệ phương trình vi phân điều khiển mô tả mạch là: (2.2) Trong đó: i là dòng điện vào cuộn cảm, v là điện áp ra, u là hàm vị trí chuyển mạch thỏa mãn Biểu diễn bằng ma trận, mô tả toán học của bộ biến đổi Boost là: (2.3) Cho: Ta có: (2.4) và: (2.5) 2.2.2. Các mặt trượt. (2.6) Theo thuộc tính của chuyển mạch đơn, hệ thống n chiều, mặt trượt, ký hiệu là S, được biểu diễn bởi tập các véctơ trạng thái trong không gian véctơ Rn, trong đó ràng buộc đại số h(x) thỏa mãn, với là một hàm đầu ra vô hướng trơn của hệ. Ta định nghĩa: Tập S biểu diễn một đa dạng trượt n-1 chiều trên Rn Giả thiết chính là tồn tại một tác động điều khiển phản hồi u(x), có thể mang bản chất gián đoạn, sao cho điều kiện h(x)=0 được thỏa mãn cục bộ bởi quỹ đạo trạng thái x(t). Các chuyển động của trạng thái hệ x trên mặt trượt S, một cách lý tưởng sẽ tạo ra toàn bộ các thuộc tính cục bộ mong muốn cho trạng thái của hệ thống điều khiển. Giới hạn về sự tiến triển các trạng thái đạt được do các tác động đầu vào điều khiển hợp lý, tức là giá trị của u thích hợp . Một trong các đặc tính cơ bản trong thiết kế luật điều khiển phản hồi cho các hệ thống điều chỉnh bởi các chuyển mạch trong thực tế là đặc tính của hàm vô hướng trơn h(x) là một phần của vấn đề thiết kế. Việc lựa chọn hàm đầu ra h(x) và theo đó là đa dạng trượt S, phụ thuộc hoàn toàn vào mong muốn của ta đối với từng mục tiêu điều khiển xác định trong hệ. Ví dụ 2.2: Trong ví dụ trước về bộ biến đổi Boost, một mặt trượt có thể được đề xuất biểu diễn dưới dạng hàm đầu ra: Với: là giá trị trung bình của điện áp cân bằng đầu ra mong muốn. Nếu ta buộc h(x) =0, dẫu chỉ là cục bộ dọc theo quỹ đạo điều khiển của hệ thống thì điện áp về lý tưởng sẽ đồng nhất với điện áp mong muốn cũng mang tính cục bộ, một mặt trượt khác ta cũng quan tâm đến trong trường hợp riêng được cho bởi: Với: biểu diễn giá trị trung bình của dòng điện đầu vào tương ứng với trung bình điện áp cân bằng đầu ra mong muốn Vd . Mặc dù hai mặt trượt trên đều biểu diễn thuộc tính mong muốn của đầu ra nhưng chỉ một trong số đó có tính khả thi vì liên quan tới tính ổn định nội. 2.2.3. Ký hiệu. Cho f(x), g(x) là các trường véctơ trơn xác định cục bộ trên mặt phẳng tiếp tuyến với Rn, đặt h(x) là một hàm vô hướng lấy giá trị trên R. Ta định nghĩa đạo hàm có hướng của h(x) theo phương f(x) là đại lượng vô hướng và ký hiệu bởi: . Và ta định nghĩa gián tiếp Lfh(x) tương tự, ta ký hiệu Lgh(x) là đạo hàm có hướng của h(x) theo phương g(x). (2.7) Trong hệ tọa độ cục bộ ta có: (2.8) (2.9) Và: 2.2.4. Điều khiển tương đương và trượt động lý tưởng. Giả thiết rằng nhờ việc chọn luật chuyển mạch hợp lý, khiến trạng thái x của hệ tiến triển cục bộ và được giới hạn trên đa dạng trượt S. Khi điều kiện được thỏa mãn, ta giả thiết là điều đó đạt được với một đối tượng điều khiển xác định. Nói cách khác, giả sử ta có thể đạt được tính bất biến của S theo các quỹ đạo của trạng thái hệ bằng cách cho các đảo mạch đầu vào điều khiển hợp lý u lấy giấ trị trên tập [0, 1] mà không cần quan tâm tới độ nhanh chậm khi các đảo mạch này được thực hiện như yêu cầu. Không quá khó để nhận ra rằng khi các quỹ đạo trạng thái cắt xiên với các mặt trượt thì các đảo mạch đầu vào điều khiển cần thiết phải có tần số vô hạn, sở dĩ như vậy là vì các chuyển mạch tần số hữu hạn có thể khiến quỹ đạo bị lệch tạm thời ra khỏi mặt trượt. Sự tiến triển của trạng thái dọc theo mặt S diễn ra sau đó như thể nó được tạo ra bởi một đầu vào điều khiển trơn, thay vì đầu vào điều khiển chuyển mạch. Sự tương đương giữa đầu vào điều khiển chuyển mạch tần số vô hạn và điều khiển phản hồi trơn được biết đến như là ý tưởng điều khiển tương đương. Hình 2.3: Minh họa điều khiển tương đương ueq. Ta định nghĩa điêu khiển tương đương như một luật điều khiển phản hồi trơn, ký hiệu bởi ueq(x) mà duy trì cục bộ sự tiến triển của quỹ đạo trạng thái được giới hạn một cách lý tưởng với đa dạng trơn S với trạng thái đầu của hệ x(t0)=x0 được xác định riêng trên S, tức là khi h(x)=0. Hàm tọa độ h(x) thỏa mãn điều kiện bất biến dưới đây: (2.10) Nói cách khác: Lfh(x)+[Lgh(x)]ueq(x)=0 Do vậy, điều khiển tương đương được biểu diễn dưới dạng duy nhất theo tỷ số: (2.11) Trường véctơ được điều khiển, f(x)+g(x)ueq(x) và sự tiến triển tương ứng của quỹ đạo trạng thái của hệ trên đa dạng trơn S được biểu diễn dưới dạng: (2.12) Chú ý rằng với bất kì điều kiện đầu nào, mà không vượt ra ngoài đa dạng trơn S, dưới tác động của ueq(x), theo cách mà hàm h(x) bằng hằng từ đạo hàm của y là đồng nhất và cục bộ bằng không. Giá trị hằng của y=h(x) chỉ nhận giá trị 0 khi trạng thái đầu x0 được xác định trên S. Hệ vòng lặp kín được phản hồi bằng điều khiển tương đương có thể được biểu diễn theo một cách khác như mô tả dưới đây (2.13) Trong đó ma trận vuông nxn chiều M(x) là một toán tử chiếu qua không gian tiếp tuyến với S dọc theo miền g(x). Toán tử M(x) sẽ chiếu bất kì trường véctơ trơn nào được định nghĩa trên không gian tiếp tuyến của Rn qua không gian tiếp tuyến con lên đa dạng S theo dạng song song với miền g(x) hoặc theo hướng của trường điều khiển đầu vào g(x). Thực ra đặt v là một trường véctơ trong không gian tiếp tuyến với Rn sao cho v thuộc miền g(x) tức là v(x) có thể biểu diễn dưới dạng v(x)=g(x).α(x) với α(x) là một hàm vô hướng trơn. Sau đó ta có: (2.14) Thêm vào đó véctơ hàng thứ n, là trực giao với ảnh qua M(x) của các trường véctơ nằm trong không gian tiếp tuyến Rn. Điều này đủ để chỉ ra rằng bất kì dạng một trong miền của sẽ triệt tiêu tất cả các véctơ cột của M(x). Dạng một trong miền của được viết lại dưới dạng với là một hàm vô hướng khác không tùy ý. Thực chất là : (2.15) Ảnh qua M(x) của bất kì trường véctơ nào trong không gian tiếp tuyến với Rn sẽ nằm trong không gian rỗng của . Nói cách khác chúng nằm trong không gian con tiếp tuyến với đa dạng S. Rõ ràng là: M2(x)=M(x) kéo theo M(x).G(x)=0 2.2.5. Tính tiếp cận được của các mặt trượt. Cho x là một điểm đại diện trên quỹ đạo trạng thái, nằm trong một lân cận mở của đa dạng S (lân cận này bắt buộc chứa các giao điểm với đa dạng trượt). Không làm mất tính tổng quát, giả sử rằng tại điểm đó, hàm tọa độ mặt h(x) của đa dạng S là xác định dương, nghĩa là h(x)>0 ta có thể xác định được trên mặt S. Mục tiêu của ta là đưa ra một tác động điều khiển hợp lý mà đảm bảo rằng quỹ đạo của hệ thống tới và cắt qua đa dạng S. Đạo hàm theo thời gian h(x) tại điểm x được cho bởi: (2.16) Nếu ta giả thiết Lgh(x)>0 trong một lân cận của S (Chẳng hạn Lgh(x)>0 là xác định dương, nằm “trên” và “dưới” S trong một lân cận với mặt này), tiếp đó ta cần buộc đạo hàm theo thời gian h(x) phải xác định âm tại điểm x. Vì có giả thiết rằng Lgh(x)>0 nên ta phải chọn một điều khiển làm triệt tiêu các hiệu ứng gia tăng dương khi nó vượt qua đạo hàm của h(x). Do đó ta phải chọn u=0. Đạo hàm theo thời gian của h(x) với đầu vào điều khiển này trùng hợp hoàn toàn với đạo hàm theo hướng Lfh(x). Để kéo theo Lgh(x)>0 trong một lân cận mở của S, Lfh(x) cần thiết phải xác định âm trong một lân cận của S. Nếu bây giờ ta giả thiết điểm x nằm phía “dưới” mặt phẳng nghĩa là h(x)0, từ Lgh(x)>0 và Lfh(x)<0, ta phải chọn u=1 tăng hiệu ứng gia tăng dương của Lgh(x) so với đạo hàm thời gian h(x). Nhưng bên cạnh đó cần thiết lập các hạng tử dương là đại lượng có thể vượt qua được các hiệu ứng gia tăng âm được biểu diễn bởi Lfh(x) theo đạo hàm thời gian. Ta kết luận rằng, giả thiết Lfh(x)>0 trong một lân cận mở của S, điều kiện cần cho sự tồn tại của chế độ trượt trong S là Lgh(x)>-[Lfh(x)]>