Ôn tập các dạng bài toán hình học không gian

oự n  = (A; B; C) 5.Phửụng trỡnh maởt phaỳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 1 c z b y a x  Chuự yự : Muoỏn vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng caàn: 1 ủieồm vaứ 1 veựctụ phaựp tuyeỏn 6.Phửụng trỡnh caực maởt phaỳng toùa ủoọ (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 7. Chuứm maởt phaỳng : giaỷ sửỷ 1  2 = d trong ủoự // www.VNMATH.com 13 (1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Pt mp chửựa (d) coự daùng sau vụựi m 2+ n2 ≠ 0 : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 8. Vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa hai mp (1) vaứ (2) : ° 222111 C:B:AC:B:Acaột  ° 2 1 2 1 2 1 2 1// D D C C B B A A  ° 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A   ê 0212121  CCBBAA 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0 222 ooo CBA D Cz By Ax   )d(M, 10.Goực giữa hai maởt phaỳng : 21 21 . . nn nn   ),cos(  2.CAÙC DAẽNG TO AÙN Daùng 1: Maởt phaỳng qua 3 ủieồm A,B,C : ° Caởp vtcp:  AB ,  AC ° ] )(   AC , AB[nvtpt qua  ChayBhayA  Daùng 2: Maởt phaỳng trung trửùc ủoaùn AB : °   AB vtpt AB ủieồm trungMqua n   Daùng 3: Maởt phaỳng  qua M vaứ  d (hoaởc AB) ° )....(ABn    d a vtpt neõn (d) Vỡ Mqua    Daùng 4: Mp qua M vaứ // : Ax + By + Cz + D = 0 °    n n vtpt neõn // Vỡ M qua   www.VNMATH.com 14 Daùng 5: Mp chửựa (d) vaứ song song (d/)  ẹieồm M ( choùn ủieồm M treõn (d))  Mp chửựa (d) neõn aad  Mp song song (d/) neõn bad / ■ Vtpt  /, dd aan  Daùng 6 Mp qua M,N vaứ   : ■ Mp qua M,N neõn aMN  ■ Mp  mp neõn  bn  ° ],[   n nvtpt N) (hayM qua    MN Daùng 7 Mp chửựa (d) vaứ ủi qua ■ Mp chửựa d neõn aad  ■ Mp ủi qua )(dM  vaứ A neõn bAM  ° ],[ AM nvtpt A qua   d a   3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 1. Phương trình mặt phẳng Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n  biết a,    M 3;1;1 , n 1;1;2   b,    M 2;7;0 , n 3;0;1   c,    M 4; 1; 2 , n 0;1;3    d,    M 2;1; 2 , n 1;0;0   Bài 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết: a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, 1 1 A ; 1;0 , B 1; ;5 2 2              d, 2 1 1 A 1; ; , B 3; ;1 3 2 3             Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và song song với mặt phẳng   biết: a,      M 2;1;5 , Oxy  b,    M 1;1;0 , :x 2y z 10 0      c,    M 1; 2;1 , : 2x y 3 0     Bài 4 Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là (2;1;2); (3;2; 1)a b    Bài 5: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z. c) Song song với các trục 0y, 0z. Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và : a) Cùng phương với trục 0x. b) Cùng phương với trục 0y. c) Cùng phương với trục 0z. Bài 7: Xác định toạ độ của véc tơ n vuông góc với hai véc tơ (6; 1;3); (3;2;1)a b   . Bài 8: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là )4,2,3( );2,7,2( ba Bài 9: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết : a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận );4,3,2(n làm VTPT. www.VNMATH.com 15 b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0. Bài 10: Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ. Bài 11: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q). Bài 12: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là  3;2;1a  và  3;0;1b   b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phương với trục với 0x. Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . a) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD. Bài 14: Viết phương trình tổng quát của (P) a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) , d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3) Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz a) Viết phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z c) Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P). III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHễNG GIAN 1.TểM TẮT Lí THUYẾT 1.Phửụng trỡnh tham soỏ cuỷa ủửụứng thaỳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coự vtcp a  = (a1;a2;a3) Rt; tazz tayy taxx (d) 3o 2o 1o          : 2.Phửụng trỡnh chớnh taộc cuỷa (d) 32 a z-z a yy a xx (d) o 1 o 0:     3.PT toồng quaựt cuỷa (d) laứ giao tuyeỏn cuỷa 2 mp 1 vaứ 2      0 DzBxA 0 DzBxA (d) 2222 1111 Cy Cy : Veựctụ chổ phửụng          22 11 22 11 22 11 ,, BA BA AC AC CB CB a 4.Vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa 2 ủửụứng thaỳng : Qui ửụực: Maóu = 0 thỡ Tử ỷ= 0 www.VNMATH.com 16 (d) qua M coự vtcp da  ; (d’) qua N coự vtcp /da  d cheựo d’  [ da  , /da ].  MN ≠ 0 (khoõng ủoàng phaỳng)  d,d’ ủoàng phaỳng  [ da  , /da ].  MN = 0  d,d’ caột nhau  [ da  , /da ] 0 vaứ [ da  , /da ].  MN =0  d,d’ song song nhau  { da  // /da vaứ )( /dM  }  d,d’ truứng nhau  { da  // /da vaứ )( /dM  } 5.Khoaỷng caựch : Cho (d) qua M coự vtcp da  ; (d’) qua N coự vtcp /da Kc từ đieồm ủeỏn ủường thẳng: d d a AMa dAd ];[ ),(  Kc giửừa 2 ủường thẳng : ];[ ].;[ );( / / / dd dd aa MNaa ddd  6.Goực : (d) coự vtcp da  ; ’ coự vtcp /da ; ( ) coự vtpt n  Goực giữa 2 ủửụứng thaỳng : / / . . ' dd dd aa aa   )dcos(d, Goực giữa ủường vaứ mặt : na na d d   . . )sin(d,  2.CAÙC DAẽNG TO AÙN Daùng 1: : ẹửụứng thaỳng (d) ủi qua A,B     ABaVtcp hayBquaA d d )( )( Daùng 2: ẹửụứng thaỳng (d) qua A vaứ song song ()   a d a vtcp neõn )( // (d) Vỡ qua  A d )( Daùng 3: ẹửụứng thaỳng (d) qua A vaứ vuoõng goực mp   n d a vtcp neõn )( (d) Vỡ qua   A d )( Daùng4: PT d’ hỡnh chieỏu cuỷa d leõn  : d/ =    www.VNMATH.com 17  Vieỏt pt mp chửựa (d) vaứ vuoõng goực mp                  ];[ )()( )(       nan bn aad dquaM d d ê    )( )( )( /   d Daùng 5: ẹửụứng thaỳng (d) qua A vaứ vuoõng goực (d1),(d2) ] d a , d a [ avtcp qua 1 2 )(   A d Daùng 6: PT d vuoõng goực chung cuỷa d1 vaứ d2 : + Tỡm da = [ a  d1, a  d2] + Mp chửựa d1 , (d) ; mp chửựa d2 , (d)  d =    Daùng 7: PT qua A vaứ d caột d1,d2 : d =    vụ ựi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2) Daùng 8: PT d //  vaứ caột d1,d2 : d = 1  2 vụựi mp1 chửựa d1 //  ; mp2 chửựa d2 //  Daùng 9: PT d qua A vaứ  d1, caột d2 : d = AB vụựi mp qua A,  d 1 ; B = d 2   Daùng 10: PT d  (P) caột d1, d2 : d =    vụ ựi mp chửựa d1 ,(P) ; mp chửựa d 2 ,  (P) 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1:Lập phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau : a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận (3;2;3)a  làm VTCP b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3) Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng ( ) : - 3 2 -6 0 P x y z  và các mặt phẳng toạ độ Bài 3: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng (d) có phương trình:   R t, 21 22:          tz ty tx d Bài 4: Cho đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phương trình là :   R t, 21 22:          tz ty tx d và (P): x+y+z+1=0 Tìm phương trình của đường thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (D) Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó www.VNMATH.com 18 Bài6: Lập phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: a) ( ) : 2 3 - 4 0P x y z   b)   : 2 3 1 0P x y z    . Bài 7: Lập phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đường thẳng ( ) cho bởi :   2 2 : 3 t 3 x t y t R z t            . Bài8: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết: a)   R t, 2 3 1 :          tz ty tx d (P): x-y+z+3=0 b)   R t, 1 9 412 :          tz ty tx d (P): y+4z+17=0 Bài 9: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình (P): 2x+y+z=0 và   3 2 12 1 :     zyx d . a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) . b) Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) . Bài 10: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :   1 1 2 1 1 2 :1      zyx d     t 31 2 21 :2 R tz ty tx d          a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó. b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2). Bài 11: (ĐHNN-96): cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :   34 24 37 :1         tz ty tx d    R tz ty tx d          1 1 1 1 2 tt, 12 29 1 : a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau. b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) . III.MẶT CẦU 1.TểM TẮT Lí THUYẾT 1.Phương trỡnh maởt caàu taõm I(a ; b ; c),baựn kớnh R       2Rczbyax:R)S(I, 222  (1) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  (2) ( 0dcbavụựi 222  )  Taõm I(a ; b ; c) vaứ dcbaR  222 2.Vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa maởt phaỳng vaứ maởt caàu Cho       2Rczbyax:(S) 222  vaứ  : Ax + By + Cz + D = 0 Goùi d = d(I,) : khoỷang caựch tửứ taõm mc(S) ủeỏn mp :  d > R : (S)   =  www.VNMATH.com 19  d = R :  tieỏp xuực (S) taùi H (H: tieỏp ủieồm, : tieỏp dieọn) *Tỡm tieỏp ủieồm H (laứ hchieỏu cuỷa taõm I treõn mp)  Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) qua I vaứ vuoõng goực mp : ta coự nad   Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ ()  d < R :  caột (S) theo ủửụứng troứn coự pt            2 0DCzByAx : Rczbyax:(S) 222 *Tỡm baựn kớnh r vaứ taõm H cuỷa ủửụứng troứn: + baựn kớnh ),(22 IdRr  + Tỡm taõm H ( laứ hchieỏu cuỷa taõm I treõn mp)  Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) qua I vaứ vuoõng goực mp : ta coự nad   Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ () 3.Giao ủieồm cuỷa ủửụứng thaỳng vaứ maởt caàu         tazz tayy taxx d 3o 2o 1o : (1) vaứ       2Rczbyax:(S) 222  (2) + Thay ptts (1) vaứo pt mc (2), giaỷi tỡm t, + Thay t vaứo (1) ủửụùc toùa ủoọ giao ủieồm 2.CAÙC DAẽNG TO AÙN Daùng 1: Maởt caàu taõm I ủi qua A ê       2Rczbyax:R)S(I, 222  (1)  Theỏ toùa ủoọ A vaứo x,y,z tỡm R2 Daùng 2: Maởt caàu ủửụứng kớnh AB  Taõm I laứ trung ủieồm AB  Vieỏt phửụng trỡnh maởt caàu taõm I (1)  Theỏ toùa ủoọ A vaứo x,y,z tỡm R2 Daùng 3: Maởt caàu taõm I tieỏp xuực mp 222 ..)( CBA D I zC I yBS    I A.x )d(I, R I taõmcaàu maởt Pt  Daùng 4: Maởt caàu ngoaùi tieỏp tửự dieọn ABCD Duứng (2) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  A,B,C,D  mc(S)  he ọ pt, giaỷi tỡm a, b, c, d Daùng 5:Maởt caàu ủi qua A,B,C vaứ taõm I € (α) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  (2) A,B,C  m c(S): theỏ toùa toùa A,B,C vaứo (2) I(a,b,c) (α): theỏ a,b,c vaứo pt (α) www.VNMATH.com 20 Giaỷi heọ phửụng trỡnh treõn tỡm a, b, c, d Daùng 6: Maởt phaỳng tieỏp xuực maởt caàu taùi A Tieỏp dieọn  c uỷa mc(S) taùi A :  qua A,   IA n vtpt  3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Trong các phương trình sau đây ,phương trình nào là phương trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ tâm và bán kính của nó ,biết: a)   02642: 222  zyxzyxS b)   09242: 222  zyxzyxS c)   03936333: 222  zyxzyxS d)   07524: 222  zyxzyxS Bài 2: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình:   04624: 2222  mmzmymxzyxSm a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu . b) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình:   05824: 22222  mymmxzyxSm a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu . b) Tìm quĩ tích tâm của họ (Sm) khi m thay đổi. c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) luôn đi qua. Bài 4: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình:   03cos2sin2: 222  mymxzyxSm a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu . b) CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đường tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi. c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đường thẳng y=m(-1<m<1 ,m 0) ,cắt (C) tại T, S , đường thẳng qua A , T cắt đường thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi . Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết : a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4. b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1). c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x. d) Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7) Bài 6: Cho 3 đường thẳng (d1),(d2), (d3) có phương trình :   1 1 4 2 3 2 :1      zyx d ,   1 9 2 3 1 7 :2       zyx d ,   1 2 2 3 3 1 :3        zyx d a) Lập ptđt (d) cắt cả (d1),(d2) và song song với (d3). b) Giả sử      Add  1 ,      Bdd  2 .Lập phương trình mặt cầu đường kính AB. Bài 7: Cho 2 đường thẳng (d1),(d2) có phương trình :   R tz ty tx d          t 2 1 2 :1 ,   1 9 2 3 1 7 :2       zyx d a) CMR (d1) và (d2) chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2). c) Lập mật cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2). d) Viết pttq mp cách đều(d1) (d2). Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0. b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0. c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3). Bài 9: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5). a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA. b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau. Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD. b) (HVKTQS-98): Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung của AC và BD. www.VNMATH.com 21 c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. d) Tính thể tích tứ diện ABCD. Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1). a) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham số của đường thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ của điểm H. b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), D(3;1;0). a) Lập pt các mặt của hình chóp. b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . c) Tính V SABCD Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD. www.VNMATH.com 22 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HèNH HỌC KHễNG GIAN I. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong khụng gian Ta cú : , , Ox Oy Oz vuụng gúc từng đụi một. Do đú, nếu trong mụ hỡnh chứa cỏc cạnh vuụng gúc thỡ ta ưu tiờn chọn cỏc đường đú lần lượt thuộc cỏc trục tọa độ. Cụ thể : Với hỡnh lập phương hoặc hỡnh hộp chữ nhật ''''. DCBAABCD  Với hỡnh lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho : (0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a a a '(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a Với hỡnh hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho : (0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a b b '(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)A c B a c C a b c b  Với hỡnh hộp đỏy là hỡnh thoi ''''. DCBAABCD Chọn hệ trục tọa độ sao cho : - Gốc tọa độ trựng với giao điểm O của hai đường chộo của hỡnh thoi ABCD - Trục Oz đi qua 2 tõm của 2 đỏy Với hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ Giả sử cạnh hỡnh vuụng bằng a và đường cao SO h Chọn O(0;0;0) là tõm của hỡnh vuụng Khi đú :                  0;0; 2 2 ;0;0; 2 2 a C a A 2 2 0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; ) 2 2 a a B D S h                Với hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ A B C D D’ C A’ B’ O O’ x y B’ A D C B D’ A’ C’ y z x z B D C A O S x y z S z www.VNMATH.com 23 Giả sử cạnh tam giỏc đều bằng a và đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ sao cho I(0;0;0) Khi đú : ;0;0 ; ;0;0 2 2 a a A B             3 3 0; ;0 ; S 0; ; 2 6 a a C h                Với hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD là hỡnh chữ nhật và SA  (ABCD) ABCD là hỡnh chữ nhật ;AB a AD b  chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đú :    ;0;0 ; ; ;0B a C a b  0; ;0 ; (0;0; )D b S h Với hỡnh chúp S.ABC cú ABCD là hỡnh thoi và SA  (ABCD) ABCD là hỡnh thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ sao cho O(0;0;0) Với hỡnh chúp S.ABC cú SA  (ABC) và  ABC vuụng tại A Tam giỏc ABC vuụng tại A cú ;AB a AC b  đường cao bằng h . Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đú :    ;0;0 ; C 0; ;0B a b   S 0;0;h B D C A O S x y z B D C A O S x y z B C A S x y z www.VNMATH.com 24 Với hỡnh chúp S.ABC cú SA  (ABC) và  ABC vuụng tại B Tam giỏc ABC vuụng tại B cú ;BA a BC b  đường cao bằng h . Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ sao cho B(0;0;0) Khi đú :    ;0;0 ; C 0; ;0A a b   S ;0;a h Với hỡnh chúp S.ABC cú (SAB)  (ABC),  SAB cõn tại S và  ABC vuụng tại C  ABC vuụng tại C ;CA a CB b  chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ sao cho C(0;0;0) Khi đú :    ;0;0 ; B 0; ;0A a b ( ; ; ) 2 2 a b S h Với hỡnh chúp S.ABC cú (SAB)  (ABC),  SAB cõn tại S và  ABC vuụng tại A  ABC vuụng tại A ;AB a AC b  chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đú :    ;0;0 ; C 0; ;0B a b (0; ; ) 2 a S h Với hỡnh chúp S.ABC cú (SAB)  (ABC),  SAB cõn tại S và  ABC vuụng cõn tại C z B C A S x y B C A H S x y z B C A H S x y z www.VNMATH.com 25 Tam giỏc ABC vuụng cõn tại C cú CA CB a  đường cao bằng h . H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hỡnh vẽ sao cho H(0;0;0) Khi đú : ;0;0 ; A 0; ;0 2 2 a a C               B 0; ;0 ; S 0;0; 2 a h       b. Bài tập ỏp dụng Bài toỏn 1. Cho tứ diện OABC cú cỏc tam giỏc OAB,OBC,OCA đều là tam giỏc vuụng tại đỉnh O. Gọi  , , lần lượt là gúc hợp bởi cỏc mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng : 1coscoscos 222   ( SGK Hỡnh 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biờn, NXBGD 2000, SGK Hỡnh 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biờn, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hỡnh : Chọn hệ trục toạ độ Đờcac vuụng gúc Oxyz như sau : )0;0;0(O ; )0;0;(aA ; )0;;0( bB );0;0( cC ; )0 ; ; ( baAB  ) ; 0 ; ( caAC  Tỡm vectơ phỏp tuyến của :  Mặt phẳng (ABC)   Mặt phẳng (OBC)   Mặt phẳng (OCA)  Mặt phẳng (OAB)   ) ; ; (, abacbcACABn  )0 ,0 ,1 (i vỡ : )(OBCOx  )0 ,1 ,0 (j vỡ : )(OCAOy  )1 ,0 ,0 (k vỡ : )(OABOz  Sử dụng cụng thức tớnh gúc giữa hai mặt phẳng:  )(),(coscos ABCOBC  )(),(coscos ABCOBC  )(),(coscos ABCOBC  222222 . cos baaccb cb    222222 . cos baaccb ac   222222 . cos baaccb ba   H B C A S x y z x y z  A B C C’ O www.VNMATH.com 26 Kết luận 1coscoscos 222222 222222 222     baaccb baaccb  Bài toỏn 2. Bằng phương phỏp toạ độ hóy giải bài toỏn sau : Cho hỡnh lập phương ''''. DCBAABCD cú cạnh bằng a. a.Chứng minh rằng đường chộo CA' vuụng gúc với mặt phẳng )''( DAB b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chộo CA' và mặt phẳng )''( DAB là trọng tõm của tam giỏc ''DAB . c.Tỡm khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng )''( DAB và )'( BDC d.Tỡm cosin của gúc tạo bởi hai mặt phẳng )'( CDA và )''( AABB ( SGK Hỡnh 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biờn, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hỡnh : Chọn hệ trục toạ độ Đờcac vuụng gúc Oxyz như sau : )0;0;0(AO  ; );0;0(' aA )0;0;(aB ; );0;(' aaB )0;;( aaC ; );;(' aaaC )0;;0( aD ; );;0(' aaD a. Chứng minh : )''(' DABCA  Nếu )''(' '' '' DABCA ADCA ABCA       Ta cú :           );;0(' );0;(' );;(' aaAD aaAB aaaCA Vỡ             '' '' 00'.' 00'.' 22 22 ADCA ABCA aaADCA aaABCA Nờn )''(' DABmpCA  b. Chứng minh : G là trọng tõm của tam giỏc ''DAB Phương trỡnh tham số của đường thẳng CA' )(:' Rt taz ty tx CA           Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng )''( DAB 0:)''(  zyxDAB Gọi )''(' DABCAG  Toạ độ giao điểm G của đường thẳng CA' và mặt phẳng )''( DAB là nghiệm của hệ :                         3 2 3 3 0 az a y a x zyx taz ty tx       3 2 ; 3 ; 3 aaa G (1)  B’ A B C D D’ A’ C’ G  x y z www.VNMATH.com 27 Trong đú vectơ phỏp tuyến của mặt phẳng )''( DAB   );;(',' 2221 aaaADABn  Mặt khỏc :                   3 2 3 33 33 '' '' '' azzz z ayyy y axxx x DBA G DBA G DBA G (2) So sỏnh (1) và (2), kết luận Vậy giao điểm G của đường chộo CA' và mặt phẳng )''( DAB là trọng tõm của tam giỏc ''DAB c. Tớnh  )'(),''( BDCDABd Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng )'( BDC 0:)'(  azyxBDC Trong đú vectơ phỏp tuyến của mặt phẳng )'( BDC   );;(',' 2222 aaaDCBCn  Ta cú : 0:)''(  zyxDAB 0:)'(  azyxBDC  )''( DAB // )'( BDC      3 )''(,)'(),''( a DABBdBDCDABd  d. Tớnh  )''(),'(cos AABBCDA  )''( AABBOy Vec tơ phỏp tuyến của )''( AABB là )0 ; 1 ; 0(j Vectơ phỏp tuyến của )'( CDA :   )1;1;0();;0(,' 2223  aaaDCDAn Vec tơ phỏp tuyến của )''( AABB là )0 ; 1 ; 0(j Vectơ phỏp tuyến của )'( CDA : )1;1;0(3 n    2 1 )''(),'(cos AABBCDA    oAABBCDA 45)''(),'(  Bài toỏn 3. Cho hỡnh lập phương ''''. DCBAABCD cú cạnh bằng a. Chứng minh hai đường chộo ''DB và BA' của hai mặt bờn là hai đường thẳng chộo nhau. Tỡm khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau ''DB và BA' Hướng dẫn Bài giải Dựng hỡnh : Chọn hệ trục toạ độ Đờcac vuụng gúc Oxyz như sau : )0;0;0(AO  ; );0;0(' aA ; )0;;0( aB ; );;0(' aaB )0;;( aaC ; );;(' aaaC )0;0;(aD ; );0;(' aaD Chứng minh ''DB và BA' chộo nhau, ta chứng minh ba vectơ ',';'' BBBADB khụng đồng phẳng. Cần chứng minh Ta cú : )0;;('' aaDB  );;0(' aaBA  ; );0;0(' aBB     );;(','' 222 aaaBADB  A B C D D’ A’ B’ C’ x y z www.VNMATH.com 28 tớch hỗn hợp của ba vectơ ',';'' BBBADB khỏc 0   0'.','' 3  aBBBADB ba vectơ ',';'' BBBADB khụng đồng phẳng. hay ''DB và BA