Ôn tập – Hình học 9

t hai tam giaùc DEH vaø DFG coù: Do EHAD noäi tieáp ÞHAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1) Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2) Vì F=G=90oÞDFGC noäi tieápÞFDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3) FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4) Nhöng FCG=BCA=HAB(5).Töø (1)(3)(5)ÞEDH=FDG(6). Töø (2);(4) vaø BCD=BAD(cuøng chaén cungBD)ÞEHD=FGD(7) Töø (6)vaø (7)ÞDEDH∽DFDGÞÞñpcm. 5/C/m: E;F;G thaúng haøng: Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt) Do ABCD noäi tieápÞBAC+BMC=2v;do GDEA noäi tieápÞEDG+EAG=2v. ÞEDG=BDC maø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDGÞEDB=CDG ÞGFC=BEFÞE;F;G thaúng haøng. ÐÏ(&(ÐÏBaøi 16: Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB<AC.Goïi I laø trung ñieåm BC;qua I keû IK^BC(K naèm treân BC).Treân tia ñoái cuûa tia AC laáy ñieåm M sao cho MA=AK. Chöùng minh:ABIK noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn taâm O. C/m goùc BMC=2ACB Chöùng toû BC2=2AC.KC AI keùo daøi caét ñöôøng thaúng BM taïi N.Chöùng minh AC=BN C/m: NMIC noäi tieáp. 1/C/m ABIK noäi tieáp (töï C/m) 2/C/m BMC=2ACB do AB^MK vaø MA=AK(gt)ÞDBMK caân ôû BÞBMA=AKB Maø AKB=KBC+KCB (Goùc ngoaøi tam giac KBC). Do I laø trung ñieåm BC vaø KI^BC(gt) ÞDKBC caân ôû K N M A K B I C Hình 16 ÞKBC=KCB Vaäy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC Xeùt 2 D vuoâng ACB vaø ICK coù C chungÞDACB∽DICK ÞÞIC=ÞÞñpcm 4/C/m AC=BN Do AIB=IAC+ICA(goùc ngoaøi DIAC) vaø DIAC Caân ôû IÞIAC=ICA ÞAIB=2IAC(1). Ta laïi coù BKM=BMK vaø BKM=AIB(cuøng chaén cung AB-töù giaùc AKIB noäi tieáp) ÞAIB=BMK(2) maø BMK=MNA+MAN(goùc ngoaøi tam giaùc MNA) Do DMNA caân ôû M(gt)ÞMAN=MNAÞBMK=2MNA(3) Töø (1);(2);(3)ÞIAC=MNA vaø MAN=IAC(ñ ñ)Þ 5/C/m NMIC noäi tieáp: do MNA=ACI hay MNI=MCIÞ hai ñieåm N;C cuøng laøm thaønh vôùi hai ñaàu) ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 17: Cho (O) ñöôøng kính AB coá ñònh,ñieåm C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn.Tia phaân giaùc cuûa ACB caét (O) tai M.Goïi H;K laø hình chieáu cuûa M leân AC vaø AB. C/m:MOBK noäi tieáp. Töù giaùc CKMH laø hình vuoâng. C/m H;O;K thaúng haøng. Goïi giao ñieåm HKvaø CM laø I.Khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn thì I chaïy treân ñöôøng naøo? 1/C/m:BOMK noäi tieáp: Ta coù BCA=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) CM laø tia phaân giaùc cuûa goùc BCAÞACM=MCB=45o. ÞcungAM=MB=90o. Þdaây AM=MB coù O laø trung ñieåm AB ÞOM^AB hay goùcBOM=BKM=1v ÞBOMK noäi tieáp. C H A O B I P Q K M Hình 17 2/C/m CHMK laø hình vuoâng: Do D vuoâng HCM coù 1 goùc baèng 45o neân DCHM vuoâng caân ôû H ÞHC=HM, töông töï CK=MK Do C=H=K=1v ÞCHMK laø hình chöõ nhaät coù hai caïnh keà baèng nhau ÞCHMK laø hình vuoâng. 3/C/m H,O,K thaúng haøng: Goïi I laø giao ñieåm HK vaø MC;do MHCK laø hình vuoângÞHK^MC taïi trung ñieåm I cuûa MC.Do I laø trung ñieåm MCÞOI^MC(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây) Vaäy HI^MC;OI^MC vaø KI^MCÞH;O;I thaúng haøng. 4/Do goùc OIM=1v;OM coá ñònhÞI naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OM. -Giôùi haïn:Khi CºB thì IºQ;Khi CºA thì IºP.Vaäy khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn (O) thì I chaïy treân cung troøn PHQ cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính OM. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 18: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù chieàu daøi AB=2a,chieàu roäng BC=a.Keû tia phaân giaùc cuûa goùc ACD,töø A haï AH vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc noùi treân. 1/Chöùng minhAHDC nt trong ñöôøng troøn taâm O maø ta phaûi ñònh roõ taâm vaø baùn kính theo a. 2/HB caét AD taïi I vaø caét AC taïi M;HC caét DB taïi N.Chöùng toû HB=HC. Vaø AB.AC=BH.BI 3/Chöùng toû MN song song vôùi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) 4/Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi BH;ñöôøng naøy caét HC ôû K vaø caét (O) ôû J.Chöùng minh HOKD nt. x A B M H I O J N K D C ·Xeùt hai DHCADABI coù A=H=1v vaø ABH=ACH(cuøng chaén cung AH) Þ DHCA∽DABI Þ maø HB=HCÞñpcm 3/Goïi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) laø Hx. ·DoAH=HD;AO=HO=DOÞDAHO=DHODÞAOH=HOD maøDAOD caân ôû OÞOH^AD vaø OH^Hx(tính chaát tieáp tuyeán) neân AD//Hx(1) ·Do cung AH=HD ÞABH=ACH=HBDÞHBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 ñieåm B;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MN nhöõng goùc baèng nhau ÞMNCB noäi tieápÞNMC=NBC(cuøng chaén cung NC) maø DBC=DAC (cuøng chaén cung DC) ÞNMC=DAC ÞMN//DA(2).Töø (1)vaø (2)ÞMN//Hx. 4/C/m HOKD noäi tieáp: Do DJ//BHÞHBD=BDJ (so le)Þcung BJ=HD=AH= maø cung AD=BCÞcung BJ=JCÞH;O;J thaúng haøng töùc HJ laø ñöôøng kính ÞHDJ= 1v .Goùc HJD=ACH(cuøng chaén 2 cung baèng nhau)ÞOJK=OCKÞCJ cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn OK nhöõng goùc baèng nhauÞOKCJ noäi tieáp ÞKOC=KJC (cuøng chaén cung KC);KJC=DAC(cuøng chaén cung DC)ÞKOC=DACÞOK//AD maø AD^HJÞOK^HOÞHDKC noäi tieáp. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 19: Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB,baùn kính OC^AB.Goïi M laø 1 ñieåm treân cung BC.Keû ñöôøng cao CH cuûa tam giaùc ACM. Chöùng minh AOHC noäi tieáp. Chöùng toû DCHM vuoâng caân vaø OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM. Goïi giao ñieåm cuûa OH vôùi BC laø I.MI caét (O) taïi D.Cmr:CDBM laø hình thang caân. BM caét OH taïi N.Chöùng minh DBNI vaø DAMC ñoàng daïng,töø ñoù suy ra: BN.MC=IN.MA. 1/C/m AOHC noäi tieáp: (hoïc sinh töï chöùng minh) 2/·C/mDCHM vuoâng caân: Do OC^AB traïi trung ñieåm OÞCung AC=CB=90o. Ta laïi coù: C N D M I H B O A Hình 19 Sñ CMA=sñcung AC=45o.ÞDCHM vuoâng caân ôû M. ·C/m OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM:Do DCHM vuoâng caân ôû HÞCH=HM; CO=OB(baùn kính);OH chungÞDCHO=DHOMÞCOH=HOMÞñpcm. 3/C/m:CDBM laø thang caân: Do DOCM caân ôû O coù OH laø phaân giaùcÞOH laø ñöôøng trung tröïc cuûa CM maø IÎOHÞDICM caân ôû IÞICM=IMC maø ICM=MDB(cuøng chaén cung BM) ÞIMC=IDB hay CM//DB.Do DIDB caân ôû IÞIDB=IBD vaø MBC=MDC(cuøng chaén cungCM) neân CDB=MBDÞCDBM laø thang caân. 4/·C/m BNI vaø DAMC ñoàng daïng: Do OH laø ñöôøng trung tröïc cuûa CM vaø NÎOH ÞCN=NM. Do AMB=1vÞHMB=1v hay NM^AM maø CH^AMÞCH//NM,coù goùc CMH=45oÞNHM=45oÞDMNH vuoâng caân ôû M vaäy CHMN laø hình vuoâng ÞINB=CMA=45o. ·Do CMBD laø thang caânÞCD=BMÞ cungCD=BM maø cung AC=CBÞcungAD=CM vaø CAM=CBM(cuøng chaén cung CM) ÞDINB=DCMAÞñpcm Baøi 20: Cho D ñeàu ABC noäi tieáp trong (O;R).Treân cnaïh AB vaø AC laáy hai ñieåm M;N sao cho BM=AN. Chöùng toû DOMN caân. C/m :OMAN noäi tieáp. BO keùo daøi caét AC taïi D vaø caét (O) ôû E.C/m BC2+DC2=3R2. Ñöôøng thaúng CE vaø AB caét nhau ôû F.Tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) caét FC taïi I;AO keùo daøi caét BC taïi J.C/m BI ñi qua trung ñieåm cuûa AJ. 1/C/m OMN caân: Do DABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong (O)ÞAO vaø BO laø phaân giaùc cuûa DABC ÞOAN=OBM=30o; OA=OB=R vaø BM=AN(gt)ÞDOMB=DONA ÞOM=ON ÞOMN caân ôû O. 2/C/m OMAN noäi tieáp: do DOBM=DONA(cmt)ÞBMO=ANO maø BMO+AMO=2vÞANO+AMO=2v. ÞAMON noäi tieáp. 3/C/m BC2+DC2=3R2. Do BO laø phaân giaùc cuûa Dñeàu ÞBO^AC hay DBOD vuoâng ôû D.Aùp duïng heä thöùc Pitago ta coù: BC2=DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2= =BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1) Maø OB=R.DAOC caân ôû O coù OAC=30o. F A I E N D K M O B J C Hình 20 ÞAOC=120oÞAOE=60o ÞDAOE laø tam giaùc ñeàu coù AD^OEÞOD=ED= Aùp duïng Pitago ta coù:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2) Töø (1)vaø (2)ÞBC2=R2+2.R. +CD2-CD2=3R2. 4/Goïi K laø giao ñieåm cuûa BI vôùi AJ. Ta coù BCE=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)coù B=60oÞBFC=30o. ÞBC=BF maø AB=BC=AB=AF.Do AO^AI(t/c tt) vaø AJ^BCÞAI//BC coù A laø trung ñieåm BFÞI laø trung ñieåm CF. Hay FI=IC. Do AK//FI.Aùp duïng heä quaû Taleùt trong DBFI coù: Do KJ//CI.Aùp duïng heä quaû Taleùt trong DBIC coù: Maø FI=CIÞAK=KJ (ñpcm) ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 21: Cho DABC (A=1v)noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm (O).Goïi M laø trung ñieåm caïnh AC.Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính MC caét caïnh BC ôû N vaø caét (O) taïi D. C/m ABNM noäi tieáp vaø CN.AB=AC.MN. Chöùng toû B,M,D thaúng haøng vaø OM laø tieáp tuyeán cuûa (I). Tia IO caét ñöôøng thaúng AB taïi E.C/m BMOE laø hình bình haønh. C/m NM laø phaân giaùc cuûa goùc AND. 1/ ·C/m ABNM noäi tieáp: (duøng toång hai goùc ñoái) ·C/m CN.AB=AC.MN Chöùng minh hai tam giaùc vuoâng ABC vaø NMC ñoàng daïng. 2/·C/m B;M;D thaúng haøng. Ta coù MDC=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn taâm I) hay MD ^ DC. BDC=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn taâm O) A M D I B O N C E Hình 21 Hay BD^DC. Qua ñieåm D coù hai ñöôøng thaúng BD vaø DM cuøng vuoâng goùc vôùi DCÞB;M;D thaúng haøng. ·C/m OM laø tieáp tuyeán cuûa (I):Ta coù MO laø ñöôøng trung bình cuûa DABC (vì M;O laø trung ñieåm cuûa AC;BC-gt)ÞMO//AB maø AB^AC(gt)ÞMO^AC hay MO^IC;MÎ(I)ÞMO laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taâm I. 3/C/m BMOE laø hình bình haønh: MO//AB hay MO//EB.Maø I laø trung ñieåm MC;O laø trung ñieåm BCÞOI laø ñöôøng trung bình cuûa DMBCÞOI//BM hay OE//BMÞBMOE laø hình bình haønh. 4/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc AND: Do ABNM noäi tieáp ÞMBA=MNA(cuøng chaén cung AM) MBA=ACD(cuøng chaén cung AD) Do MNCD noäi tieáp ÞACD=MND(cuøng chaén cung MD) ÞANM=MNDÞñpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 22: Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a.Goïi I laø ñieåm baát kyø treân ñöôøng cheùo AC.Qua I keû caùc ñöôøng thaúng song song vôùi AB;BC,caùc ñöôøng naøy caét AB;BC;CD;DA laàn löôït ôû P;Q;N;M. C/m INCQ laø hình vuoâng. Chöùng toû NQ//DB. BI keùo daøi caét MN taïi E;MP caét AC taïi F.C/m MFIN noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn.Xaùc ñònh taâm. Chöùng toû MPQN noäi tieáp.Tính dieän tích cuûa noù theo a. C/m MFIE noäi tieáp. 1/C/m INCQ laø hình vuoâng: MI//AP//BN(gt)ÞMI=AP=BN ÞNC=IQ=PD DNIC vuoâng ôû N coù ICN=45o(Tính chaát ñöôøng cheùo hình vuoâng)ÞDNIC vuoâng caân ôû N ÞINCQ laø hình vuoâng. 2/C/m:NQ//DB: Do ABCD laø hình vuoâng ÞDB^AC Do IQCN laø hình vuoâng ÞNQ^IC A M D F E P I N B Q C Hình 22 Hay NQ^ACÞNQ//DB. 3/C/m MFIN noäi tieáp: Do MP^AI(tính chaát hình vuoâng)ÞMFI=1v;MIN=1v(gt) Þhai ñieåm F;I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MNÞMFIN noäi tieáp. Taâm cuûa ñöôøng troøn naøy laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo hình chöõ nhaät MFIN. 4/C/m MPQN noäi tieáp: Do NQ//PMÞMNQP laø hình thang coù PN=MQÞMNQP laø thang caân.Deã daøng C/m thang caân noäi tieáp. TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ=SAMIP+SMDNI+SNIQC+SPIQB =SABCD=a2. 5/C/m MFIE noäi tieáp: Ta coù caùc tam giaùc vuoâng BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v. ÞPIB=IMN maø PBI=EIN(ñ ñ)ÞIMN=EIN Ta laïi coù IMN+ENI=1vÞEIN+ENI=1vÞIEN=1v maø MFI=1vÞIEM+MFI=2v ÞFMEI noäi tieáp ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 23: Cho hình vuoâng ABCD,N laø trung ñieåm DC;BN caét AC taïi F,Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BN.(O) caét AC taïi E.BE keùo daøi caét AD ôû M;MN caét (O) taïi I. C/m MDNE noäi tieáp. Chöùng toû DBEN vuoâng caân. C/m MF ñi qua tröïc taâm H cuûa DBMN. C/m BI=BC vaø DIE F vuoâng. C/m DFIE laø tam giaùc vuoâng. 1/C/m MDNE noäi tieáp. Ta coù NEB=1v(goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn) ÞMEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuoâng) ÞMEN+MDN=2vÞñpcm 2/C/m BEN vuoâng caân: NEB vuoâng(cmt) Do CBNE noäi tieáp ÞENB=BCE(cuøng chaén cung BE) maø BCE=45o(t/c hv)ÞENB=45oÞñpcm. 3/C/m MF ñi qua tröïc taâm H cuûa DBMN. Q B A E H M I D N C Hình 23 Ta coù BIN=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn) ÞBI^MN. Maø EN^BM(cmt)ÞBI vaø EN laø hai ñöôøng cao cuûa DBMNÞGiao ñieåm cuûa EN vaø BI laø tröïc taâm H.Ta phaûi C/m M;H;F thaúng haøng. Do H laø tröïc taâm DBMNÞMH^BN(1) MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)ÞMAF=MBF=45oÞMABF noäi tieáp.ÞMAB+MFB=2v maø MAB=1v(gt)ÞMFB=1v hay MF^BM(2) Töø (1)vaø (2)ÞM;H;F thaúng haøng. 4/C/m BI=BC: Xeùt 2Dvuoâng BCN vaø BIN coù caïnh huyeàn BN chung;NBC=NEC (cuøng chaén cung NC).Do MEN=MFN=1vÞMEFN noäi tieápÞNEC=FMN(cuøng chaén cung FN);FMN=IBN(cuøng phuï vôùi goùc INB)ÞIBN=NBCÞDBCN=DBIN.ÞBC=BI *C/m DIEF vuoâng:Ta coù EIB=ECB(cuøng chaén cung EB) vaø ECB=45o ÞEIB=45ou Do HIN+HFN=2vÞIHFN noäi tieápÞHIF=HNF (cuøng chaén cung HF);maø HNF=45o(do DEBN vuoâng caân)ÞHIF=45o v. Töøuvaø vÞEIF=1v Þñpcm 5/ * C/mBM laø ñöôøng trung tröïc cuûa QH:Do AI=BC=AB(gt vaø cmt)ÞDABI caân ôû B.Hai Dvuoâng ABM vaø BIM coù caïnh huyeàn BM chung;AB=BIÞDABM=DBIMÞABM=MBI;DABI caân ôû B coù BM laø phaân giaùc ÞBM laø ñöôøng trung tröïc cuûa QH. *C/mMQBN laø thang caân: Töù giaùc AMEQ coù A+QEN=2v(do EN^BM theo cmt) ÞAMEQ noäi tieápÞMAE=MQE(cuøng chaén cung ME) maø MAE=45o vaø ENB=45o(cmt) ÞMQN=BNQ=45o ÞMQ//BN.ta laïi coù MBI=ENI(cuøng chaén cungEN) vaø MBI=ABM vaøIBN=NBC(cmt) Þ QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)ÞMNB=MNE+ENB=MBI+45o ÞMNB=QBNÞMQBN laø thang caân. Baøi 24: Cho DABC coù 3 goùc nhoïn(AB<AC).Veõ ñöôøng cao AH.Töø H keû HK;HM laàn löôït vuoâng goùc vôùi AB;AC.Goïi J laø giao ñieåm cuûa AH vaø MK. C/m AMHK noäi tieáp. C/m JA.JH=JK.JM Töø C keû tia Cx^vôùi AC vaø Cx caét AH keùo daøi ôû D.Veõ HI;HN laàn löôït vuoâng goùc vôùi DB vaø DC. Cmr : HKM=HCN C/m M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 1/C/m AMHK noäi tieáp: Duøng toång hai goùc ñoái) 2/C/m: JA.JH=JK.JM Xeùt hai tam giaùc:JAM vaø JHK coù: AJM=KJH (ññ).Do AKHM nt ÞHAM=HKM( cuøng chaén cung HM) ÞDJAM∽DJKH Þñpcm 3/C/m HKM=HCN vì AKHM noäi tieáp ÞHKM=HAM(cuøng chaén cung HM) A J M K B H C I N D Hình 24 Maø HAM=MHC (cuøng phuï vôùi goùc ACH). Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)ÞMCNH laø hình chöõ nhaät ÞMH//CN hay MHC=HCNÞHKM=HCN. 4/C/m: M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. öDo BKHI noäi tieápÞBKI=BHI(cuøng chaén cung BI);BHI=IDH(cuøng phuï vôùi goùc IBH) öDo IHND noäi tieápÞIDH=INH(cuøng chaén cung IH)ÞBKI=HNI öDo AKHM noäi tieápÞAKM=AHM(cuøng chaén cung AM);AHM=MCH(cuøng phuï vôùi HAM) öDo HMCN noäi tieápÞMCH=MNH(cuøng chaén cung MH)ÞAKM=MNH maø BKI+AKM+MKI=2vÞHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2vÞ M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. Baøi 25: Cho DABC (A=1v),ñöôøng cao AH.Ñöôøng troøn taâm H,baùn kính HA caét ñöôøng thaúng AB taïi D vaø caét AC taïi E;Trung tuyeán AM cuûa DABC caét DE taïi I. Chöùng minh D;H;E thaúng haøng. C/m BDCE noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm O cuûa ñöôøng troøn naøy. C?m AM^DE. C/m AHOM laø hình bình haønh. 1/C/m D;H;E thaúng haøng: Do DAE=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn taâm H)ÞDE laø ñöôøng kínhÞ D;E;H thaúng haøng. 2/C/m BDCE noäi tieáp: DHAD caân ôû H(vì HD=HA=baùn kính cuûa ñt taâm H)ÞHAD=HAD maø HAD=HCA(Cuøng phuï vôùi HAB) A I E B H M C D Hình 25 O ÞBDE=BCEÞHai ñieåm D;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BE öXaùc ñònh taâm O:O laø giao ñieåm hai ñöôøng trung tröïc cuûa BE vaø BC. 3/C/m:AM^DE: Do M laø trung ñieåm BCÞAM=MC=MB=ÞMAC=MCA;maø ABE=ACB(cmt)ÞMAC=ADE. Ta laïi coù:ADE+AED=1v(vì A=1v)ÞCAM+AED=1vÞAIE=1v vaäy AM^ED. 4/C/m AHOM laø hình bình haønh: Do O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BECDÞOM laø ñöôøng trung tröïc cuûa BC ÞOM^BCÞOM//AH. Do H laø trung ñieåm DE(DE laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn taâm H)ÞOH^DE maø AM^DEÞAM//OHÞAHOM laø hình bình haønh. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 26: Cho DABC coù 2 goùc nhoïn,ñöôøng cao AH.Goïi K laø ñieåm doái xöùng cuûa H qua AB;I laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua AC.E;F laø giao ñieåm cuûa KI vôùi AB vaø AC. Chöùng minh AICH noäi tieáp. C/m AI=AK C/m caùc ñieåm: A;E;H;C;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. C/m CE;BF laø caùc ñöôøng cao cuûa DABC. Chöùng toû giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa DHFE chính laø tröïc taâm cuûa DABC. 1/C/m AICH noäi tieáp: öDo I ñx vôùi H qua ACÞAC laø trung tröïc cuûa HIÞAI=AH vaø HC=IC;AC chung ÞDAHC=DAIC(ccc) ÞAHC=AIC maø AHC=1v(gt)ÞAIC=1v ÞAIC+AHC=2vÞ AICH noäi tieáp. I A F E M K B H C Hình 26 2/C/m AI=AK: Theo chöùng minh treân ta coù:AI=AH.Do K ñx vôùi H qua AB neân AB laø ñöôøng trung tröïc cuûa KHÞAH=AKÞ AI=AK(=AH) 3/C/m A;E;H;C;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: DoEÎABvaø ABlaø trung tröïc cuûa KHÞEK=EH;EA chung;AH=AKÞDAKE=DAHEÞAKE=EHA maøDAKI caân ôû A(theo c/m treân AK=AI) ÞAKI=AIK.ÞEHA=AIEÞ hai ñieåm I vaø K cung laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn AEÞA;E;H;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn kyù hieäu laø (C) Theo cmt thì A;I;CV;H cuøng naèm treân ñöôøng troøn(C’) Þ (C) vaø (C’) truøng nhau vì coù chung 3 ñieåm A;H;I khoâng thaúng haøng) 4/C/m:CE;BF laø ñöôøng cao cuûa DABC. Do AEHCI cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn coù AIC=1vÞAC laø ñöôøng kính.ÞAEC=1v ( goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)Hay CE laø ñöôøng cao cuûa DABC.Chöùng minh töông töï ta coù BF laø ñöôøng cao 5/Goïi M laø giao ñieåmAH vaø EC.Ta C/m M laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa DHFE. ÞEHM=MHF ÞHA laø pg EBHM ntÞ MHE=MBE(cuøng chaén cungEM) BEFC ntÞ FBE=ECF (Cuøng chaén cung EF) HMFC ntÞFCM=FMH(cuøng chaén cung MF) C/m töông töï coù EC laø phaân giaùc cuûa DFHEÞñpcm. Baøi 27: Cho DABC(AB=AC) noäi tieáp trong (O).Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Treân tia BM laáy MK=MC vaø treân tia BA laáy AD=AC. C/m: BAC=2BKC C/m BCKD noäi tieáp.,xaùc ñònh taâm cuûa ñöôøng troøn naøy. Goïi giao ñieåm cuûa DC vôùi (O) laø I.C/m B;O;I thaúng haøng. 1/Chöùng toû:BAC=BMC (cuøng chaén cung BC) BMC=MKC+MCK(goùc ngoaøi DMKC) Maø MK=MC(gt)ÞDMKC caân ôû MÞMKC=MCK ÞBMC=2BKC. ÞBAC=2BKC. 2/C/mBCKD noäi tieáp: Ta coù BAC=ADC+ACD(goùc ngoaøi DADC) maø C/m DI=BI. D A I K M B C Hình 27 AD=AC(gt)ÞDADC caân ôû AÞADC=ACDÞBAC=2BDC Nhöng ta laïi coù:BAC=2BKC(cmt)ÞBDC=BKC ÞBCKD noäi tieáp. öXaùc ñònh taâm:Do AB=AC=ADÞA laø trung ñieåm BDÞ trung tuyeán CA=BDÞDBCD vuoâng ôû C .Do BCKD noäi tieáp ÞDKB=DCB(cuøng chaén cungBD).Maø BCD=1vÞBKD=1vÞDBKD vuoâng ôû K coù trung tuyeán KAÞKA=BD ÞAD=AB=AC=AK ÞA laø taâm ñöôøng troøn 3/C/m B;O;I thaúng haøng:Do goùc BCI=1v,maø B;C;IÎ(O) ÞBI laø ñöôøng kính ÞB;O;I thaúng haøng. 4/C/mBI=DI: öCaùch 1: Ta coù BAI=1v(goùc noäi tieáp chaén nöû ñöôøng troøn)hay AI^DB,coù A laø trung ñieåmÞAI laø ñöôøng trung tröïc cuûa BDÞDIBD caân ôû IÞID=BI öCaùch 2: ACI=ABI(cuøng chaén cung AI)DADC caân ôû DÞACI=ADIÞBDC=ACDÞIDB=IBDÞDBID caân ôû IÞñpcm. Baøi 28: Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp trong(O).Goïi I laø ñieåm chính giöõa cung AB(Cung AB khoâng chöùa ñieåm C;D).IC vaø ID caét AB ôû M;N. C/m D;M;N;C cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. C/m NA.NB=NI.NC DI keùo daøi caét ñöôøng thaúng BC ôû F;ñöôøng thaúng IC caét ñöôøng thaúng AD ôû E.C/m:EF//AB. C/m :IA2=IM.ID. 1/C/m D;M;N;C cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. Sñ IMB=sñcung(IB+AD) Sñ NCD=Sñ cungDI Maø cung IB=IAÞIMB=NCD ÞIMB=NCD. Ta laïi coù IMN+DMN=2v ÞNCD+DMN=2vÞMNCD noäitieáp. 2/Xeùt 2DNBC vaø NAI coù: E F I B M N A — O D C Hình 28 IAB=ICB(cuøng chaén cung BI) INA=BNC(ñ ñ)ÞDNAI∽DNCBÞñpcm. 3/C/m EF//AB: Do IDA=ICB(cuøng chaén hai cung hai cung baèng nhau IA=IB) hay EDF=ECF Þhai ñieåm D vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn EFÞEDCF noäi tieáp Þ EFD=ECD(cuøng chaén cung ED),maø ECD=IMN(cmt)Þ EFD=FMNÞ EF//AB. 4/C/m: IA2=IM.ID. 2 DAIM∽DDIA vì: I chung;IAM=IDA(hai goùc nt chaén hai cung baèng nhau) Þñpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 29: Cho hình vuoâng ABCD,treân caïnh BC laáy ñieåm E.Döïng tia Ax vuoâng goùc vôùi AE, Ax caét caïnh CD keùo daøi taïi F.Keû trung tuyeán AI cuûa DAEF,AI keùo daøi caét CD taïi K.qua E döïng ñöôøng thaúng song song vôùi AB,caét AI taïi G. C/m AECF noäi tieáp. C/m: AF2=KF.CF C/m:EGFK laø hình thoi. Cmr:khi E di ñoäng treân BC thì EK=BE+DK vaø chu vi DCKE coù giaù trò khoâng ñoåi. Goïi giao ñieåm cuûa EF vôùi AD laø J.C/m:GJ^JK. 1/C/m AECF noäi tieáp: FAE=DCE=1v(gt) Þ AECF noäi tieáp 2/C/m: AF2=KF.CF. Do AECF noäi tieápÞ DCA=FEA(cung chaén cung AF).Maø DCA=45o (Tính chaát hình vuoâng) ÞFEA=45oÞDFAE vuoâng caân ôû A coù FI=IEÞAI^FE ÞFAK=45o. ÞFKA=ACF=45o.Vaø KFA chung ÞDFKA∽DFCA ÞÞñpcm. Giaûi: F A J D G I K C E B Hình 29 3/C/m: EGFK laø hình thoi. -Do AK laø ñöôøng trung tröïc cuûa FEÞDGFE caân ôû G ÞGFE=GEF.Maø GE//CF (cuøng vuoâng goùc vôùi AD)ÞGEF=EFK(so le) ÞGFI=IFKÞFI laø ñöôøng trung tröïc cuûa GKÞGI=IK,maø I F=IEÞGFKE laø hình thoi. 4/C/m EK=BE+DK:D vuoâng ADF vaø ABE coù AD=AB;AF=AE.(DAE F vuoâng caân)ÞDADF=DABE ÞBE=DF naø FD+DK=FK VAØ FK=KE(t/v hình thoi)ÞKE=BE+DK öC/m chu vi tam giaùc CKE khoâng ñoåi:Goïi chu vi laø C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC khoâng ñoåi. 5/C/m IJ^JK: Do JIK=JDK=1vÞIJDK noäi tieáp ÞJIK=IDK(cuøng chaén cung IK) IDK=45o(T/c hình vuoâng)Þ JIK=45oÞDJIK vuoâng vaân ôû IÞJI=IK,maø IK=GI ÞJI=IK=GI=GKÞDGJK vuoâng ôû J hay GJ^JK. Baøi 30: Cho DABC.Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc.Döïng hình bình haønh BHCD. Goïi I laø giao ñieåm cuûa HD vaø BC. C/m:ABDC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O;neâu caùh döïng taâm O. So saùnh BAH vaø OAC. CH caét OD taïi E.C/m AB.AE=AH.AC 4.Goïi giao ñieåm cuûa AI vaø OH laø G.C/m G laø troïng taâm cuûa DABC. 1/c/m:ABDC noäi tieáp: Goïi caùc ñöôøng cao cuûa DABC laø AN;BM;CN. —Do AQH+HMA=2vÞAQHM noäi tieápÞBAC+QHM=2v maø QHM=BHC(ñ ñ) BHC=CDB(2 goùc ñoái cuûa hình bình haønh) ÞBAC+CDB=2VÞABDC noäi tieáp. —Caùch xaùc ñònh taâm O:do CD//BH(t/c hình bình haønh) A M — O G H Q C N I B D Hình 30 Vaø BH^ACÞCD^AC hay ACD=1v,maø A;D;Cè naèm treân ñöôøng troønÞAD laø ñöôøng kính.Vaäy O laø trung ñieåm AD. 2/So saùnh BAH vaø OAC: BAN=QCB(cuøng phuï vôùi ABC) maø CH//BD( do BHCD laø hình bình haønh) ÞQCB=CBD(so le);CBD=DAC(cuøng chaén cung CD)ÞBAH=OAC. 3/c/m: AB.AE=AH.AC: Xeùt hai tam giaùc ABH vaø ACE coù EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cuøng phuï vôùi BAC)ÞDABH∽DACEÞñpcm 4/C/m G laø troïng taâm cuûa DABC.ta phaûi cm G laø giao ñieåm ba ñöôøng trung tuyeán hay GJ=AI. Do IB=ICÞOI^BC maø AH^BCÞOI//AH.Theo ñònh lyù Ta Leùt trong DAGH Þ.Do I laø trung ñieåm HDÞO laø trung ñieåm ADÞ(T/c ñöôøng trung bình)ÞÞGI=AG. Hay GI=AIÞG laø troïng taâm cuûa DABC. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 31: Cho (O0 vaø cung AB=90o.C laø moät ñieåm tuyø yù treân cung lôùn AB.Caùc ñöôøng cao AI;BK;CJ cuûa DABC caét nhau ôû H.BK caét (O) ôû N;AH caét (O) taïi M.BM vaø AN gaëp nhau ôû D. C/m:B;K;C;J cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. c/m: BI.KC=HI.KB C/m:MN laø ñöôøng kính cuûa (O) C/m ACBD laø hình bình haønh. C/m:OC//DH. Baøi naøy coù hai hình veõ tuyø vaøo vò trí cuûa C.Caùch c/m töông töï 1/C/m B;K;C;J cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. -Söû duïng toång hai goùc ñoáùi. -Söû duïng hai goùc cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng moät goùc vuoâng. 2/C/m: BI.KC=HI.KB. Xeùt hai tam giaùc vuoâng BIH vaø BKC coù IBH=KBC(ñ ñ) Þñpcm 3/ C/m MN laø ñöôøng kính cuûa (O). Do cung AB=90o.ÞACB=ANB=45o ÞDKBC;DAKN laø nhöõng N — O D A M K B C I J H Hình 31 Tam giaùc vuoâng caânÞKBC=45oÞIBH=KBC=45oÞDIBH cuõng laø tam giaùc vuoâng caân.Ta laïi coù: AMD=MAB+ABM(goùc ngoaøi tam giaùc MAB).Maø sñMAB=sñMB SñABM=sñAM vaø cung MA+AM=AB=90o.ÞAMD=45o vaø AMD=BMH(ñ ñ) ÞBMI=45oÞDBIM vuoâng caânÞMBI=45oÞMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vÞMN laø ñöôøng kính cuûa (O). 5/C/m OH//DH. Do MN laø ñöôøng kính ÞMAN=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn) maø CAN =45o. ÞMAC=45o hay cung MC=90oÞMNC=45o.Goùc ôû taâm MOC chaén cung MC=90oÞMOC=90oÞOC^MN. Do DB^NH;HA^DN;AH vaø DB caét nhau ôû MÞM laø tröïc taâm cuûa DDNH ÞMN^DHÞOC//DH. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 32: Cho hình vuoâng ABCD.Goïi N laø moät ñieåm baát kyø treân CD sao cho CN<ND;Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøn kính BN.(O) caét AC taïi F;BF caét AD taïi M;BN caét AC taïi E. C/m BFN vuoâng caân. C/m:MEBA noäi tieáp Goïi giao ñieåm cuûa ME vaø NF laø Q.MN caét (O) ôû P.C/m B;Q;P thaúng haøng. Chöùng toû ME//PC vaø BP=BC. C/m DFPE laø tam giaùc vuoâng 1/c/m:DBFN vuoâng caân: ANB=FCB(cuøng chaén cung FB).Maø FCB=45o (tính chaát hình vuoâng) ÞANB=45o Maø NFB=1v(goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn) ÞDBFN vuoâng caân ôû F 2/C/m MEBA Noäi tieáp: DoDFBN vuoâng caân ôû F A B F — O M E Q P D N C Hình 32 ÞFME=45o vaø MAC=45o(tính chaát hình vuoâng)ÞFME=MAC=45o. ÞMABE noäi tieáp. 3/C/m B;Q;P thaúng haøng: Do MABE ntÞMAB+NEB=2v;maø MAB=1v(t/c hình vuoâng)ÞMEB=1v hay ME^BN.Theo cmt NF^BMÞQ laø tröïc taâm cuûa DBMNÞBQ^MN(1) ÞTa laïi coù BPN=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) hay BP^MN(2). Töø (1)vaø(2)ÞB;Q;P thaúng haøng. 4/—C/m MF//PC. Do MFN=MEN=1vÞMFEN noäi tieápÞFNM=FEM(cuøng chaén cung MF) Maø FNP=FNM=FCD(cuøng chaén cung PF cuûa (O) ÞFEM=FCPÞME//CP —C/m:BP=BC:Do ME//CP vaø ME^BNÞCP^BN.Ñöôøng kính MN vuoâng goùc vôùi daây CPÞBN laø ñöôøng trung tröïc cuûa CP hay DBCP caân ôû BÞBC=BP. 5/C/m DFPE vuoâng: —Do FPNB noäi tieápÞFPB=FNB=45o(cmt) —Deã daøng cm ñöôïc QENP noäi tieápÞQPE=QNE=45oÞñpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 33: Treân ñöôøng troøn taâm O laàn löôït laáy boán ñieåm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB vaø CD caét nhau ôû E.BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa ñöôøng troøn(O) ôû Q;DB caét AC taïi K. Cm: CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE. c/m:AQEC noäi tieáp. C/m:KA.KC=KB.KD C/m:QE//AD. 1/C/m CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE: Do ABCD noäi tieáp ÞBCD+BAD=2v Maø BCE+BCD=2VÞBCE=BAD. Do AB=AC(gt)ÞDBAD caân ôû BÞBAD=BDA.ta laïi coù BDA=BCA (Cuøng chaén cung AB)ÞBCE=BCA Þñpcm. 2/C/m AQEC noäi tieáp: Ta coù sñ QAB=SñAB(goùc giöõa tieáp tuyeán vaø moät daây) Sñ ADB=SñAB Q E B K A C O D Hình 33 ÞQAB=ADB=BCE(cmt) ÞQAE=QCDÞhai ñieåm A vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn QEÞñpcm 3/C/m: KA.KC=KB.KD. C/m DKAB∽DKDC. 4/C/m:QE//AD: Do AQEC ntÞQEA=QCA(cuøng chaén cung QA) maø QCA=BAD(cmt) ÞQEA=EADÞQE//AD. ÐÏ(&(ÐÏ Baøi 34: Cho (O) vaø tieáp tuyeán Ax.Treân Ax laáy hai ñieåm B vaø C sao cho AB=BC.Keû caùt tuyeán BEF vôùi ñöôøng troøn.CE vaø CF caét (O) laàn löôït ôû M vaø N.Döïng hình bình haønh AECD. C/m:D naèm treân ñöôøng thaúng BF. C/m ADCF noäi tieáp. C/m: CF.CN=CE.CM C/m:MN//AC. Goïi giao ñieåm cuûa AF vôùi MN laø I.Cmr:DF ñi qua trung ñieåm cuûa NI. C 1/C/m:D naèm treân ñöôøng thaúng BF. Do ADCE laø hình bình haønhÞDE vaø AC laø hai ñöôø