Ôn tập toán - Phần hình học

HÌNH HỌC Chương I. VECTƠ Kiến thức cần nhớ Vectơ : là một đoạn thẳng định hướng, có một điểm đầu, một điểm cuối Kí hiệu : vectơ , hoặc Giá của vectơ : là đường thẳng đi qua điểm đầu, điểm cuối của vectơ Hai vectơ cùng phương : giá của chúng song song hoặc trùng nhau Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng Ba điểm A, B, C thẳng hàng 2 vectơ cùng phương Độ dài của một vectơ bằng khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ kí hiệu là , độ dài của vectơ là Vectơ không : kí hiệu : là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối, độ dài của bằng 0 Hai vectơ bằng nhau : cùng hướng và cùng độ dài Tổng của 2 vectơ : quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành Vectơ đối : khái niệm, kí hiệu, tính chất Hiệu của hai vectơ Tích của 1 số với 1 vectơ: k. là một vectơ cùng phương với vectơ * Tổng, hiệu của 2 vectơ và tích của vectơ với 1 số đều cho kết quả là 1 vectơ Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi có 1 số thực k để (với ) Phân tích một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương : (cặp số m, n là duy nhất) Trung điểm: I là trung điểm AB thì : Trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC thì :  Hệ trục tọa độ Oxy : Định nghĩa, tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ, tọa độ trung điểm, trọng tâm...F Nếu A(x; y), B(x’;y’) thì F Các biểu thức tọa độ của các phép toán vectơF Nếu I là trung điểm AB thì FNếu G là trọng tâm tam giác ABC thì : Bài tập Dạng 1 : Xác định vectơ, vectơ cùng phương, cùng hướng, hai vectơ bằng nhau.Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Hãy chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành và tâm O của nó.Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi M là trung điểm của CD. Liệt kê các cặp vectơ cùng phương, các cặp vectơ bằng nhau.Bài 3. Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng . Dạng 2 : Tìm tổng và hiệu của 2 vectơBài 1. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng của 2 vectơ : và  ; và  ; và  b) Chứng minh rằng : Bài 2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng : Bài 3. Chứng minh rằng .Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Tính :  b) Phân tích vectơ theo 2 vectơ và .Bài 5. Cho 2 điểm A, B phân biệt. Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện : a)  ; b)  ; c) .Bài 6. Cho 3 điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vectơ tổng nằm trên đường phân giác của góc  ? Dạng 3 : Chứng minh các đẳng thức vectơ.Bài 1. Chứng minh các khẳng định sau : a)  ; b) Bài 2. Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta có : .Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành, các đường thẳng này cắt AB, CD, AD, BC lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng : và Dạng 4 : Tích của vectơ với một sốBài 1. Cho điểm O và 1 vectơ . Tìm các điểm M, N sao cho : Bài 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD với EF. Đặt Hãy phân tích các vectơ theo các vectơ và .Bài 3. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho . Chứng minh 3 điểm B, I, K thẳng hàng.Bài 4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng Bài 5. Cho 2 điểm A, B phân biệt. Tìm điểm I sao cho : Bài 6. Cho 2 vectơ không cùng phương. Dựng các vectơ : Bài 7. Cho tam giác ABC. Dựng các vectơ: Chứng minh rằng A là trung điểm của B’C’. Dạng 5 : Các bài toán trong hệ trục tọa độ OxyBài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc , biết vectơ cùng hướng với chiều dương của trục Ox. Tìm tọa độ của các vectơ Bài 2. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng M(1;0), N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.Bài 3. Cho 2 điểm A(1;-3) và B(-2;2). Tìm tọa độ trung điểm AB và tìm tọa độ điểm C sao cho O là trọng tâm của tam giác ABC.Bài 4. Chứng minh rằng 3 điểm A(-1 ;8) ; B(1 ;6), C(3;4) thẳng hàng.Bài 5. Cho 4 điểm A(-2 ;-3), B(3 ;7), C(0 ;3), D(-4 ;-5). Chứng minh rằng AB//CD. Tìm tọa độ điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành.Bài 6. Cho tam giác ABC cạnh a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm BC, vectơ cùng hướng với chiều dương của trục Ox, vectơ cùng hướng với chiều dương trục Oy. a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh và trọng tâm tam giác ABC. c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Hãy kể tên các vectơ cùng phương với , các vectơ bằng . So sánh với . Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF (3 điểm A, D, F không thẳng hàng). Dựng Chứng minh rằng tứ giác CDGH là hình bình hành. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm CD. Hãy phân tích vectơ theo 2 vectơ Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6. Chọn hệ trục tọa độ sao cho và cùng hướng, và cùng hướng. Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi Tìm tọa độ trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC ; Tìm tọa độ điểm I’ đối xứng với I qua A ; Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho A, M, D thẳng hàng. Chương 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG. Kiến thức cần nhớ: Giá trị lượng giác của một góc : 4 giá trị Các hệ thức lượng giác: Giá trị lượng giác của 2 góc bù nhau (tổng bằng 1800): có sin bằng nhau Các hệ thức lượng giác cơ bản: 1. 2. 5.; Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Góc giữa 2 vectơ (từ 00 đến 1800). Kí hiệu: Tích vô hướng của 2 vectơ; . Ta có .Đặc biệt: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Cho thì Ứng dụng của tích vô hướng: Độ dài vectơ, góc giữa 2 vectơ ; Bài tập: Cho góc α = 1350. Tính các giá trị lượng giác của góc α. Chứng minh rằng: sin4α – cos4α = 2sin2α – 1. Cho . Hãy tính sinα và tanα. Cho . Tính các giá trị lượng giác khác của α. Cho . Tính các giá trị lượng giác khác của α. Xác định góc nhọn α biết sinα = 3/5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng: Cho tam giác ABC có Tính Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có: . Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(4;6), B(1;4), C(7;3/2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC. Tính độ dài đường cao xuất phát từ A của tam giác ABC. Tính góc giữa 2 vectơ trong các trường hợp sau: b) Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7 và AC = 8. Tính rồi suy ra số đo góc A của tam giác Tính số đo các góc còn lại của tam giác. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4), B(-3;1), C(3;-1). Tính: Tọa độ D để ABCD là hình bình hành Tọa độ chân A’ của đường cao vẽ từ đỉnh A Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-1;1), B(1;3), C(1;-1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. PHẦN HÌNH HỌC A B C H b c a b' c' h Một số hệ thức trong tam giác vuông: b.c = a.h; ; h2 = b’.c’ Các tỉ số lương giác của góc nhọn (trong tam giác vuông) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác Đường trung bình B H A C Tam giác cân: Nếu ∆ABC cân tại A (hình) thì: + AB = AC và + Đường cao AH cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác * Đặc biệt: Nếu ∆ABC đều thì: + AB = BC = AC và + Đường cao AH cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác B A C I D + Trọng tâm, trực tâm cũng như tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác trùng nhau Hình bình hành: Hình bình hành ABCD có: AB//CD, AB = CD; AD//BC, AD=BC AC và BD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường Trung điểm, trọng tâm, trực tâm: Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng ấy B A M N C G P Trọng tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến AM, BN, CP. Nếu G là trọng tâm ta giác ABC thì Suy ra cách xác định trọng tâm chỉ cần vẽ một trung tuyến… Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Hai đường thẳng song song Hai đường thẳng cắt nhau. Hai đường thẳng trùng nhau Góc giữa 2 đường thẳng à hai đường thẳng vuông góc.