Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản

theo Benyoucef et al. (2010), Atmane et al. (2010), lý thuyết biến dạng cắt dạng hàm e-mũ theo Karama et al. (2003), Mantari et al. (2012). Một số lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đòi hỏi khối lượng tính toán lớn với 9 ẩn chuyển vị theo Pradyumna và Bandyopadhyay (2008), Neves et al. (2012a, 2012b, 2012c), với 11 ẩn chuyển vị theo Reddy (2011) hay 13 ẩn chuyển vị theo Taha et al., (2010). Mục đích của bài báo là xây dựng lý thuyết tấm bậc cao đơn giản (S-HSDT) cho tấm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên với bốn ẩn số chuyển vị và thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang bằng không tại mặt trên và dưới của tấm. Trường chuyển vị được giả thiết là hằng số đối với độ võng và là hàm bậc ba với các chuyển vị màng. Độ võng được chia làm hai thành phần: uốn và cắt do vậy làm giảm số ẩn chuyển vị cũng như số phương trình chuyển động cần thiết và có thể sử dụng trong tính toán một cách đơn giản hơn. 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên Đối với vật liệu có cơ tính biến thiên, hai thành phần tạo thành từ sự kết hợp của kim loại và ceramic, tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu được giả thiết biến đổi theo qui luật xác định. Qui luật phân bố của hàm tỉ lệ thể tích là cơ sở để phân loại vật liệu FGM. Phần lớn các nhà nghiên cứu sử dụng hàm lũy thừa, hàm e - mũ hoặc hàm Sigmoid để mô tả biến thiên của hàm tỉ lệ thể tích. Hàm tỉ lệ thể tích dạng hàm lũy thừa viết dưới dạng sau: 1 2 pzg( z ) h       với p là chỉ số tỉ lệ thể tích (1) Trong bài báo này hệ số Poisson  được giả thiết là hằng số, mô đun đàn hồi E và khối lượng riêng  của vật liệu FGM được giả thiết biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa và có dạng sau (Reddy, 2000): 1( ) ( ). 2 p m c m zE z E E E h         (2) 1( ) ( ). 2 p m c m zz h             (3) Hình 1. Mô hình kết cấu tấm làm từ vật liệu FGM Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 799 2.2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản Reddy 2.2.1. Các giả thiết Theo Reddy trường chuyển vị bậc cao không đầy đủ được giả thiết như sau (Reddy JN., 2000): 2 * 3 * 0 0 2 * 3 * 0 0 0 ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) w( , , ) w ( , ) x x y y u x y z u x y z x y z u x y z x y v x y z v x y z x y z v x y z x y x y z x y              (4) Trong đó: u0, v0, w0 là các thành phần chuyển vị của điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) trên mặt trung bình. u0*, v0 *, θx*, θy* là các số hạng bậc cao trong khai triển Taylor hàm chuyển vị theo tọa độ chiều dày. Các thành phần biến dạng cắt ngang xác định từ quan hệ chuyển vị - biến dạng: * 2 * 0 xz x 0 x * 2 * 0 yz y 0 y wu w 2zu 3z z x x wv w 2zv 3z z y y                             (5) Với tấm chịu uốn bởi tải trọng vuông góc với mặt trung bình, ứng suất cắt ngang tại mặt trên và dưới của tấm bằng không, dẫn tới: γxz (x,y, ±h/2) = γyz (x,y, ±h/2) = 0; từ đó ta có: u0* = v0 * = 0 (6) Từ (4), (5), (6) ta tính được: 2 2 0 0 0 4 4; ; w=w 3 3x x y y z zu u z v v z h h                                 (7) (Với: 0 w x x x       và 0 w y y y       ) Trong đó: θx, θy là góc xoay của pháp tuyến quanh trục y, x tương ứng. ϕx, ϕy là góc vặn xoắn của pháp tuyến quanh trục y, x tương ứng. 2.2.1. Biểu thức chuyển vị Với quan niệm góc xoay θx, θy là do momen uốn gây ra, góc vặn xoắn ϕx, ϕy là do ảnh hưởng của lực cắt, trường chuyển vị được giả thiết như sau (Thai et al., 2010): 3 0 2 w w4( , , ) ( , ) 3 b szu x y z u x y z x xh        (8) 3 0 2 w w4( , , ) ( , ) 3 b szv x y z v x y z y yh        (9) w( , , ) w ( , ) w ( , )b sx y z x y x y  (10) Trong đó: u0, v0, w0 là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung bình theo các phương x, y, z. wb, ws là độ võng do momen uốn và do lực cắt gây ra. 2.2.2. Các thành phần biến dạng Trường biến dạng được suy ra từ trường chuyển vị bằng cách sử dụng quan hệ chuyển vị - biến dạng: 2 2 2 23 3 0 0 2 2 2 2 2 2 w w w w4 4; 3 3 b s b s x y u vz zz z x xx h x y h y                    (11) 2 23 0 0 2 2 2 2 2 w w82 ; 3 w w4 41 ; 1 3 3 b s xy s s xz yz u v zz y x x y x yh z z x yh h                                  (12) 2.2.3. Quan hệ ứng suất - biến dạng Quan hệ tuyến tính giữa ứng suất - biến dạng của tấm FGM đẳng hướng với mô đun đàn hồi E biến thiên dạng hàm mũ theo chiều dày tấm ở trạng thái ứng suất khối có thể được viết dưới dạng sau: 11 12 12 22 44 55 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y y xz xz yz yz xy xy Q Q Q Q Q Q Q                                                    (13) Các thành phần trong ma trận độ cứng [Q] ở trên được xác định bởi:          11 22 12 212 2 44 55 66 1 1 2 1 E z ( z )E z Q Q ; Q Q ; ( z ) ( z ) E z Q Q Q z               Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 800 2.2.3. Các thành phần nội lực Các thành phần nội lực trong tấm được xác định bởi các biểu thức sau: /2 /2 ; hx x y y h xy xy N N dz N                             2 2 ; b h x xx b y yy hb xy xy M M zdz M                      32 2 2 4 ; s h x xx s y yy hs xy xy M zM dz h M                      (14) 22 2 2 41 ; h yz yz h zQ dz h           22 2 2 41 h xz xz h zQ dz h           Biểu diễn các thành phần nội lực (14) theo chuyển vị ta được (15), (16), trong đó, các hệ số Aij, Bij, Dij, Fij, Gij, Hij xem chi tiết phụ lục. 2.3. Phương trình chuyển động theo các thành phần chuyển vị Dựa theo nguyên lý Hamilton ta có hệ phương trình (17) sau: 11 12 11 12 11 12 12 11 12 11 12 11 66 66 66 11 12 11 12 11 12 12 11 12 11 12 11 66 66 66 11 12 11 12 11 12 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y xy b x b y b xy s x s y s xy A A B B F FN A A B B F FN A B FN B B D D G GM B B D D G GM B D GM F F G G H HM F FM M                              0 0 0 0 2 2 2 2 2 212 11 12 11 266 66 66 2 2 2 w w w 2 0 0 w 0 0 0 0 0 0 w w 2 b b b s s s u x v y u v x y x y x y G G H H F G H x y x y                                                                             (15) 44 55 w 0 w0 s xz syz Q A x Q A y                           (16) δu: 1 3 w wxyx b s o NN I u I cI x y x x              δv: 1 3 w wxy x b s o N N I v I cI x y y y               δwb: 2 22 2 2 0 1 2 42 22 (w w ) w w b bb xy yx b s b s M MM u vq I I I cI x y x yx y                             δws: 2 22 2 2 2 0 3 4 62 22 (w w ) w w s ss xy y yzx xz b s b s M M QM Q u vq I cI cI c I x y x y x yx y                                   (17) Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 801 trong đó các thành phần Ii được tính theo công thức sau:  2 3 4 521 2 3 4 5 6 2 , , , , , 1, , , , , h hI I I I I I z z z z z dz    (18) Hệ phương trình trên áp dụng cho bài toán động, đối với bài toán tĩnh thì các thành phần của vế bên phải bằng không. 2.4. Lời giải Navier cho tấm chữ nhật FGM, tựa khớp trên chu vi Xét tấm chữ nhật FGM với chiều dài a và chiều rộng b tựa khớp trên chu vi như hình 2. Hình 2. Tấm chữ nhật cạnh a, b, bốn biên tựa khớp. Theo Navier, hàm chuyển vị được giả định dưới dạng chuỗi lượng giác kép như sau (Thai et al., 2013): 1 1 ( , , ) cos sini tmn m n u x y t U e x y         1 1 ( , , ) sin osi tmn m n v x y t V e xc y         (19) 1 1 w ( , , ) sin sini tb bmn m n x y t W e x y         1 1 w ( , , ) sin sini ts smn m n x y t W e x y         với 1i   , m a   , ,n b    (Umn, Vmn, Wbmn, Wsmn) là các ẩn số, ω là tần số góc. Hàm tải trọng cũng được giả thiết dưới dạng chuỗi lượng giác kép như sau:   1 1 , sin sinmn m n m x n yq x y q a b       (20) trong đó:   0 0 4 , sin sin a b mn m x n yq q x y ab a b      . Khi tải trọng phân bố đều: 0 2 16 mn q q mn  Điều kiện biên: x = 0: u0 = v0 = w0 = 0, Mx = 0; x = a: v0 = w0 = 0, Mx = 0. y = 0: u0 = v0 = w0 = 0, My = 0 y = b: v0 = w0 = 0, My = 0. Thế phương trình (19) vào hệ phương trình chuyển động theo chuyển vị (17) ta có: {[S] - 2 [M]}{Q} = {q} (21) Trong đó: các ma trận, vectơ [S]; [M]; {Q}; {q} xem chi tiết phụ lục.  Khi cho tần số góc  = 0 ta nhận được phương trình cho bài toán tĩnh: [S]{Q} = {q} (22) Giải phương trình (22) ta nhận được các hệ số Umn, Vmn, Wbmn, Wsmn, từ đó xác định được các thành phần chuyển vị theo (19) và các thành phần ứng suất cho bài toán tĩnh.  Khi cho tải trọng bằng 0, nhận được phương trình cho bài toán dao động riêng: {[S] - 2 [M]}{Q} = 0 (23) Đặt   hay 2  , bằng phần mềm Matlab, giải bài toán tìm trị riêng của phương trình (23) [S] -  [M] = 0, ta nhận được tần số dao động riêng của tấm với vật liệu cơ tính biến thiên FGM. 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 3.1. Phân tích tĩnh Ví dụ 1: Kiểm chứng kết quả số của thuật toán và chương trình tính tự viết trong môi trường Matlab Xét tấm P - FGM vuông (a/b = 1) chịu tải trọng phân bố đều, liên kết gối tựa đơn giản trên chu vi với chiều dày tấm h = 0,01 (m), tỉ số a/h = 10, vật liệu FGM (Al/Al2O3) với tính chất các vật liệu thành phần: - Kim loại (Al): 70mE  (GPa); 2 702m .  (kg/m3) Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 802 - Ceramic (Al203): 380cE  (GPa); 3 800c .  (kg/m3); Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm (a/2;b/2) và các thành phần ứng suất của tấm được tính với m = n = 19 và được so sánh với kết quả giải tích tính theo lý thuyết biến dạng cắt tổng quát của Zenkour (2006) - chuyển vị biến thiên theo quy luật hàm sin và kết quả tính theo lý thuyết bậc nhất đơn giản của Thai và Kim (2013) thể hiện trên bảng 1. Giá trị độ võng và ứng suất không thứ nguyên trong các ví dụ dưới đây tính theo Thai và Kim (2013), có dạng như sau: 3 4 0 10. . . ( ; ) 2 2. cE h a bw w q a  ; 0 ( ) . ( ; ; ) . 2 2 xx xx h a bz z q a   ; 0 ( ) . ( ; ; ) . 2 2 yy yy h a bz z q a   ; 0 ( ) . (0;0; ) . xy xy hz z q a   ; 0 ( ) . (0; ; ) . 2 xz xz h bz z q a   0 ( ) . ( ;0; ) . 2 yz yz h az z q a   Qua so sánh độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm chữ nhật FGM và các thành phần ứng suất với các chỉ số thể tích p = 0; 1; 10 của bài báo với kết quả giải tích tính theo Zenkour. (2006), Thai và Kim (2013) trên bảng 1 cho thấy các kết quả là tương đồng, như vậy nghiệm giải tích cũng như chương trình tính mà bài báo đã xây dựng là tin cậy. Ví dụ 2: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích p đến độ võng Xét tấm vuông có tỉ số b/a = 1, a/h = 10. Độ võng tại tâm của tấm FGM với các chỉ số tỷ lệ thể tích p = 0; 0,5; 1; 2; 5; 10 cho trên bảng 2. Đồ thị độ võng của tấm tại mặt cắt x = a/2 với các giá trị p khác nhau biểu diễn trên hình 3. Bảng 1. Độ võng và các thành phần ứng suất lớn nhất không thứ nguyên của tấm vuông P- FGM liên kết khớp trên chu vi Mô hình Chỉ số tỉ lệ thể tích p Tỉ số b/a = 1 Tỉ số a/h = 10 ( / 2; / 2)w a b ( / 2) xx h ( / 3) yy h ( / 3) xy h ( / 6) yz h (0) xz SSDT (Zenkour, 2006) 0 0.4665 2.8932 1.9103 1.2850 0.4429 0.5115 FSDT (Thai HT, 2013) 0.4666 2.8732 1.9155 1.2990 0.4004 0.4004 Bài báo 0.4666 2.8913 1.9107 1.2858 0.3914 0.4953 SSDT (Zenkour, 2006) 1 0.9287 4.4745 2.1692 1.1143 0.5441 0.5114 FSDT (Thai HT, 2013) 0.9288 4.4407 2.1767 1.1218 0.4923 0.4004 Bài báo 0.9288 4.4713 2.1698 1.1146 0.5012 4.4953 SSDT (Zenkour, 2006) 10 1.5876 7.3689 1.2820 1.0694 0.4227 0.4552 FSDT (Thai HT, 2013) 1.5697 7.2963 1.2953 1.0853 0.3074 0.2867 Bài báo 1.5872 7.3625 1.2832 1.0705 0.3708 0.4377 Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 803 Bảng 2. Độ võng ,2 2       a bw và độ võng không thứ nguyên ,2 2       a bw tại tâm của tấm FGM ( ; )2 2 a b Độ võng [m] Tỉ số a/h Tỉ số a/b=1 Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 0 0.5 1 2 5 10 , 2 2 a bw      10 -1.2E-05 -1.9E-05 -2.4E-05 -3.1E-05 -3.8E-05 -4.2E-05 , 2 2 a bw      0.4666 0.7154 0.9288 1.194 1.4349 1.5872 Hình 3. Biểu đồ độ võng của tấm tại mặt cắt x = a/2 với các chỉ số tỉ lệ thể tích p thay đổi Từ bảng 2 và hình 3 ta có thể thấy rằng khi chỉ số thể tích p tăng lên thì độ cứng của tấm giảm do đó làm cho độ võng của tấm tăng lên. Ví dụ 3: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số a/h đến độ võng Xét tấm vuông (b/a=1), với các tỷ số a/h = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 40; 50. Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm FGM với p = 0; 2; 5; 10 cho trên bảng 3. Đồ thị độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm biến thiên theo tỉ số a/h biểu diễn trên hình 4. Từ bảng 3 và hình 4 ta có thể thấy rằng khi tỉ số a/h tăng thì độ võng không thứ nguyên của tấm FGM giảm. Khi chỉ số thể tích p tăng lên thì độ cứng của tấm giảm làm cho độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm FGM tăng lên. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 10-5 y [m] D o vo ng c ua T am [m ] p=0 [Ceramic] p=0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 804 Bảng 3. Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm vuông với các tỷ số a/h a/h b/a Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm ( / 2; / 2)w a b Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 0 2 5 10 5 1 0.5354 1.3538 1.6929 1.9059 10 0.4666 1.1940 1.4349 1.5872 15 0.4538 1.1643 1.3870 1.5280 20 0.4494 1.1539 1.3703 1.5073 25 0.4473 1.1491 1.3625 1.4977 30 0.4462 1.1465 1.3583 1.4925 40 0.4450 1.1439 1.3541 1.4873 50 0.4445 1.1427 1.3521 1.4849 Hình 4. Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm vuông FGM biến thiên theo a/h Ví dụ 4: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số b/a đến độ võng Xét tấm hình chữ nhật FGM có tỷ số a/h = 5. Đồ thị biến thiên của độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm với các tỷ số kích thước cạnh b/a và chỉ số tỷ lệ thể tích p khác nhau (p = 0; 2; 10) được biểu diễn trên hình 5. Ta nhận thấy rằng độ võng tăng nhanh khi tỷ số b/a trong khoảng 1 ÷ 4, tốc độ tăng của độ võng giảm dần khi tỷ số b/a > 4. Chỉ số thể tích p tăng thì độ võng cũng tăng. Ví dụ 5: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích p đến thành phần ứng suất Bảng 4 thể hiện giá trị ứng suất lớn nhất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM có tỷ số kích thước cạnh b/a = 2 và tỷ số a/h = 10 với các chỉ số tỷ lệ thể tích p = 0; 0.5; 1; 2; 5; 10. Đồ thị các thành phần ứng suất thay đổi theo tọa độ chiều dày tấm thể hiện trên hình 6, 7 và 8. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 D o vo ng k ho ng th u ng uy en (a /2 ;b /2 ) a/h p=0 p=2 p=5 p=10 Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 805 Hình 5. Độ võng không thứ nguyên tại tâm của tấm chữ nhật FGM biến thiên theo b/a Bảng 4. Các thành phần ứng suất của tấm FGM với các chỉ số tỷ lệ thể tích p Các thành phần ứng suất tỉ số a/h tỉ số b/a=2 Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 0 0.5 1 2 5 10 ( / 2)xx h 10 6.1268 8.0412 9.4731 11.0477 13.006 15.5874 ( / 3)yy h 1.8512 2.0581 2.1028 1.9730 1.5654 1.2468 ( / 3)xy h  1.8369 1.7991 1.5904 1.4154 1.4955 1.5309 Hình 6. Ứng suất xx biến thiên theo chiều dày tấm với các giá trị p -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 105 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 sigma xx [MPa] z/ h Ceramic(p=0) p=0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 806 Hình 7. Ứng suất xy  biến thiên theo chiều dày tấm với các giá trị p Hình 8. Ứng suất xz biến thiên theo chiều dày tấm với các giá trị p Ta thấy khi p = 0 (vật liệu đẳng hướng ceramic) thì phân bố các thành phần ứng suất pháp , , 2 2xx a b z      và  0,0,xy z là tuyến tính theo chiều dày. Với các chỉ số tỉ lệ thể tích 0p  biểu đồ ứng suất xx và xy là đường cong phi tuyến. Biểu đồ ứng suất cắt ngang xz là đường cong phi tuyến thỏa mãn điều kiện ứng suất tiếp tại mặt trên và dưới của tấm bằng không. -8 -6 -4 -2 0 2 4 x 104 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 sigma xy [MPa] z/ h Ceramic(p=0) p=0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 sigma xz [MPa] z/ h Ceramic(p=0) p=0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 807 3.2. Phân tích dao động riêng Ví dụ 6: Kiểm chứng độ tin cậy của thuật toán và chương trình tính Xét tấm FGM với kích thước tấm: h = 0.01 (m); b/a = 1. Tần số dao động riêng không thứ nguyên tính theo Thai và Kim (2013): h /c cE   Tần số dao động riêng không thứ nguyên với các tỉ số kích thước a/h = 5; 20 và các dạng dao động (m, n) khác nhau tính theo nghiệm giải tích của bài báo thể hiện trên bảng 5. Kết quả này được so sánh với tần số dao động riêng không thứ nguyên của Hossein-Hashemi et al. (2010) tính theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) cũng bằng phương pháp giải tích. Biến thiên của tần số dao động riêng cơ bản (m = n = 1) không thứ nguyên theo tỉ số a/h với các chỉ số tỉ lệ thể tích p = 0; 1; 10 biểu diễn trên hình 9. Từ bảng 5 và đồ thị trên hình 9 ta thấy tần số dao động riêng của tấm FGM tính theo nghiệm giải tích của bài báo với kết quả giải tích của Hossein-Hashemi et al. (2010) có sai khác nhỏ (lớn nhất là 4.23%). Như vậy nghiệm giải tích và chương trình tính mà bài báo xây dựng là tin cậy. Bảng 5. Tần số dao động không thứ nguyên của tấm vuông FGM biên khớp Tỉ số a/h Mô hình (m,n) Tỉ số b/a=1 Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 0 0.5 1 4 10 5 FSDT (Hosseini, 2010) (1,1) 0.2112 0.1805 0.1631 0.1397 0.1324 Bài báo 0.2149 0.1834 0.1655 0.1411 0.1337 FSDT (Hosseini, 2010) (1,2) 0.4618 0.3978 0.3604 0.3049 0.2856 Bài báo 0.4773 0.4102 0.3707 0.311 0.2912 FSDT (Hosseini, 2010) (2,2) 0.6676 0.5779 0.5245 0.4405 0.4097 Bài báo 0.6971 0.6018 0.5446 0.4524 0.4203 20 FSDT (Hosseini, 2010) (1,1) 0.0148 0.0125 0.0113 0.0098 0.0094 Bài báo 0.0148 0.0126 0.0113 0.0098 0.0094 Hình 9. Tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  biến thiên theo tỷ số a/h với các chỉ số tỉ lệ thể tích p thay đổi Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 808 Ví dụ 7: Khảo sát ảnh hưởng của p đến tần số dao động riêng không thứ nguyên Xét tấm chữ nhật FGM có a/h = 10; b/a = 2. Tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm theo nghiệm giải tích với chỉ số thể tích p = 0; 0.5; 1; 4; 10 được cho trên bảng 6. Quan hệ giữa tần số dao động riêng không thứ nguyên  và chỉ số thể tích p được biểu diễn trên hình 10. Từ bảng 6 và hình 10 ta thấy rằng khi chỉ số thể tích p tăng lên hay nói cách khác khi hàm lượng của gốm - Al2O3 trong vật liệu FGM giảm thì tần số dao động riêng của tấm giảm. Ví dụ 8: Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h đến tần số dao động riêng không thứ nguyên Xét tấm chữ nhật FGM với các tính chất vật liệu như trên và có tỉ lệ kích thước b/a = 2, chỉ số thể tích p = 10. Tần số dao động riêng của tấm với các tỉ số a/h khác nhau thể hiện trên bảng 7 và biểu diễn bằng đồ thị trên hình 11. Bảng 6. Tần số dao động riêng của tấm FGM (a/h=10); (b/a=2) Tần số dao động riêng KTN tỉ số a/h (m,n) Tỉ số b/a = 2 Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 0 0.5 1 4 10  10 (1,1) 0.0366 0.0311 0.028 0.0243 0.0232 (1,2) 0.058 0.0492 0.0444 0.0384 0.0367 (2,2) 0.1393 0.1186 0.107 0.0917 0.0873 Hình 10. Tần số dao động riêng không thứ nguyên  biến thiên theo chỉ số tỉ lệ thể tích p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 Ta n so D D R k ho ng th u ng uy en Chi so the tich p m=1,n=1 m=1,n=2 m=2,n=2 Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 809 Bảng 7. Tần số dao động riêng của tấm FGM (với p = 10; b/a = 2) Tần số dao động riêng KTN Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) (m,n) Tỉ số b/a=2 tỉ số a/h 5 10 20 50  10 (1,1) 0.0873 0.0232 0.0059 0.0001 (1,2) 0.1337 0.0367 0.0094 0.0015 (2,2) 0.2912 0.0873 0.0232 0.0038 Hình 11. Tần số dao động không thứ nguyên  khi a/h thay đổi Quan sát đồ thị trên hình 11 ta thấy khi tỷ số a/h tăng lên thì tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm FGM giảm. Ví dụ 9: Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số b/a đến tần số dao động riêng không thứ nguyên Xét tấm chữ nhật FGM có tỷ số chiều dày a/h=5, chỉ số thể tích p=10. Tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm theo nghiệm giải tích được cho trên bảng 8. Từ biểu đồ trên hình 12 ta thấy khi tỷ số b/a tăng lên thì tần số dao động không thứ nguyên của tấm  giảm. Bảng 8. Tần số dao động riêng của tấm FGM (p=10); (a/h=5) Tần số dao động riêng KTN Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) (m,n) Tỉ số a/h=5 tỉ số b/a 1 1.5 2 2.5 3  10 (1,1) 0.1337 0.0997 0.0873 0.0815 0.0783 (1,2) 0.2912 0.1783 0.1337 0.1119 0.0997 (2,2) 0.4203 0.3268 0.2912 0.2741 0.2646 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Ta n so D D R k ho ng th u ng uy en Ti so a/h m=1,n=1 m=1,n=2 m=2,n=2 Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 810 Hình 12. Tần số dao động không thứ nguyên  khi b/a thay đổi 4. KẾT LUẬN Bằng chương trình tính toán số được viết trên nền Matlab, tiến hành khảo sát số các lớp bài toán, kết quả tính theo nghiệm giải tích mà bài báo nêu đã được so sánh với các kết quả của một số tác giả khác trong tài liệu tham khảo cho thấy độ tin cậy của lời giải. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p, tỉ số kích thước b/a, tỉ số a/h đến độ võng, ứng suất và tần số dao động riêng của tấm FGM đã được khảo sát. TÀI LIỆU THAM KHẢO Javaheri R., Eslami M.R. (2002). Buckling of functionally graded plates under in-plane compressive loading, J. Appl. Math. Mech., 82(4): 277-283. Zhang D.G., Zhou Y.H. (2008). A theoretical analysis of FGM thin plates based on physical neutral surface, Comput. Mater. Sci., 44(2): 716-720. Mohammadi M., Saidi A.R., Jomehzadeh E. (2010). Levy solution for buckling analysis of functionally graded rectangular plates, Appl. Compos. Mater., 17(2): 81-93. Bodaghi M., Saidi A.R. (2011). Stability analysis of functionally graded rectangular plates under nonlinearly varying in-plane loading resting on elastic foundation, Arch. Appl. Mech., 81(6): 765- 780. Della Croce L., Venini P. (2004). Finite elements for functionally graded Reissner-Mindlin plates, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 193(9-11): 705-725. Ganapathi M., Prakash T., Sundararajan N. (2006). Influence of functionally graded material on buckling of skew plates under mechanical loads, J. Eng. Mech., 132(8): 902-905. Zhao X., Liew K.M. (2009). Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 198(33-36): 2796-2811. Zhao X., Lee Y.Y., Liew K.M. (2009). Free vibration analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method, J. Sound Vib., 319(3-5): 918-939. Lee Y.Y., Zhao X., Reddy J.N. (2010). Postbuckling analysis of functionally graded plates subject to compressive and thermal loads, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 199(25-28): 1645-1653. Hosseini-Hashemi S., Rokni Damavandi Taher H., Akhavan H., Omidi M. (2010). Free vibration of functionally graded rectangular plates using first- 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3