Phép tính vi phân của hàm số

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ §3.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM Cho hàm số :f D và x là điểm trong của D, nghĩa là có lân cận ( , )V x x của x chứa trong D. Nếu tỉ số ( ) ( )f s f x s x có giới hạn khi s x thì giá trị của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại x và được ký hiệu là ( )f x , nghĩa là, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim . hs x f s f x f x h f x f x s x h Ta cũng hay viết ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x h f x f s f x và ( ) ,x s x x h x do đó 0 ( ) ( ) lim . x f x f x x Nếu đặt ( )y f x thì ( )f x còn được ký hiệu là dy dx hoặc x D y . Nếu hai giới hạn sau đây tồn tại 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) lim và lim s x s x f s f x f s f x k k s x s x thì hai giá trị k1 và k2 lần lượt được gọi là đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải của f tại x. Dĩ nhiên rằng f có đạo hàm tại x khi và chỉ khi f có đạo hàm hai bên tại x, đồng thời giá trị đạo hàm hai bên bằng nhau. Trường hợp mọi điểm thuộc D đều là điểm trong của D thì ta nói D là tập hợp mở trong , và lúc đó nếu f có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc D thì ta có đạo hàm bậc nhất : ( ), f D x f x và khi hàm số f cũng có đạo hàm thì ta có đạo hàm bậc hai của f là : ( ) ( ) ( ), f D x f x f x lúc đó ( )f x cũng được viết là 2 2 d y dx hoặc 2 x D y (nếu đặt ( )y f x ). Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 2 Tổng quát, ta có định nghĩa đạo hàm bậc n của f theo kiểu qui nạp 1 ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) hoặc hoặc ( ). n n n n n n x x xn n d y d d y f x f x D y D D y dxx x 2. Ý NGHĨA ĐẠO HÀM & ĐỊNH NGHĨA SỰ KHẢ VI Giả sử hàm số :f D có đạo hàm tại x. a) Khái niệm tiếp tuyến Gọi (C) là đồ thị của hàm số f, nghĩa là 2 ( ) ; ( )C x f x x D . Xét các điểm thuộc (C) là ; ( )M x f x và ; ( )M s f s thì tỉ số ( ) ( )f s f x s x là hệ số góc cát tuyến MM’ của đường cong (C), tức là giá trị tan của góc lượng giác hợp bởi tia Ox với tia MM’: Theo định nghĩa đạo hàm, khi s x thì M’ tiến về M trên (C), hệ số góc của cát tuyến MM’ tiến về một giá trị giới hạn k, cũng có nghĩa là cát tuyến MM’ di chuyển đến một vị trí giới hạn Mt mà ta gọi là tiếp tuyến tại M của (C). Hệ số góc của tiếp tuyến chính là ( ).k f x Giá trị ( )k f x cũng nói lên độ dốc của (C) tại M, hoặc độ biến f(s) f(x) M’ M t x s x O y Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 3 thiên của hàm số f tại x. Do đó, tiếp tuyến Mt của (C) tại điểm ; ( ) M M M x f x có phương trình là ( ) : ( ) ( ).( ) M M M Mt y f x f x x x . b) Khái niệm vận tốc tức thời Trong cơ học, giả sử một động tử chuyển động thẳng trên trục x’Ox sao cho tại thời điểm x, động tử ở vị trí M định bởi ( ).OM f x Tại thời điểm x + h, động tử ở vị trí M’ định bởi ( ).OM f x h Vậy trong khoảng thời gian h, động tử di chuyển được quãng đường có độ dài đại số là ( ) ( )MM f x h f x và vận tốc trung bình của động tử trong khoảng thời gian đó là ( ) ( )f x h f x h . Khi h tiến về 0, vận tốc trung bình tiến về một giá trị giới hạn ( )f x mà ta gọi là vận tốc tức thời của động tử tại thời điểm x. c) Khái niệm khả vi và vi phân Nếu ta đặt ( ) ( ) ( ) ( ) f x h f x h f x h thì ta có ( ) 0h khi 0,h đồng thời ( ) ( ) ( ). . ( )f x h f x f x h h h (1) Từ đẳng thức (1), ta có khái niệm khả vi sau đây Định nghĩa. Hàm số f được gọi là khả vi tại x, với x là điểm trong của tập xác định D, có nghĩa là tồn tại hàm số : ( , ) và một số thực kx thỏa hai điều sau: (i) ( , ),h x h D (ii) 0 lim ( ) 0 h h và ( , ), ( ) ( ) . . ( ). x h f x h f x k h h h Dễ thấy rằng f khả vi tại x tương đương với f có đạo hàm tại x. Hơn nữa, khi f khả vi tại x thì số kx trong (ii) cũng là ( ).f x Đẳng thức (1) có thể được viết lại dưới dạng ( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( ),f s f x f x s x s x s x Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 4 trong đó ( ) 0s x khi .s x Nếu ký hiệu ,x s x được gọi là số gia của x, và ký hiệu ( ) ( ),y f s f x được gọi là số gia của ( )y f x thì đẳng thức trên được viết lại như sau ( ). . ( ).y f x x x x Khi số gia x “rất là nhỏ” thì ta thấy ( ). ,y f x x và ý nghĩa của sự xấp xỉ này được ký hiệu bởi đẳng thức ( )dy f x dx , ký hiệu dy được gọi là vi phân của hàm số ( )y f x tại x. Đẳng thức ( )dy f x dx cũng giải thích cho ý nghĩa của ký hiệu dy dx để chỉ đạo hàm của ( )y f x tại điểm x, nói cách khác 0 lim ( ). x dy y f x dx x Bài tập 1. Dùng định nghĩa đạo hàm, chứng minh rằng a) Nếu 2( ) thì ( ) 2 ;f x x f x x b) Nếu 3 2( ) thì ( ) 3 ;f x x f x x c) Nếu 1 ( ) thì ( ) (với 0); 2 f x x f x x x d) Nếu 3 3 2 1 ( ) thì ( ) (với 0). 3 f x x f x x x 2. Sử dụng định nghĩa đạo hàm và chấp nhận kết quả 0 sin lim 1, u u u hãy chứng minh đạo hàm của sin là cos; đạo hàm của cos là sin . 3. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 2 của hàm số f định bởi ( ) 2 3.f x x 4. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 1 của hàm số f định bởi 2 ( ) 2 1 .f x x x x Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 5 5. Khảo sát sự khả vi tại x = 0 của hàm số :f định bởi 1 sin khi 0, ( ) 0 khi 0. x x f x x x 6. Cho hàm số :f định bởi 2 1 sin khi 0, ( ) 0 khi 0. x x f x x x Chứng minh f có đạo hàm tại x = 0 và tính ( ).f x 7. Cho hàm số :f định bởi 3 1 sin khi 0, ( ) 0 khi 0. x x f x x x Chứng minh f có đạo hàm cấp hai tại x = 0. Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 6 §3.2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM Việc chứng minh các mệnh đề sau đây dành cho sinh viên như là bài tập. Mệnh đề 3.2.1. Nếu hàm số f khả vi (có đạo hàm) tại x thì f liên tục tại x. Mệnh đề 3.2.2. Cho , :f g D là hai hàm số khả vi tại .x D Ta có các hàm số , ( )f g f và f.g là các hàm khả vi tại x và (i) ( ) ( ) ( ) ( ),f g x f x g x (ii) ( ) ( ) ( ),f x f x (iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).fg x f x g x f x g x Hơn nữa, khi ( ) 0g x thì hàm số 1 g xác định trên một lân cận của x và là hàm khả vi tại x với 2 1 ( ) ( ) , ( ) g x x g g x hệ quả là 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) f f x g x f x g x x g g x Mệnh đề 3.2.3 [Đạo hàm của hàm hợp] Xét các hàm số 1 2 . f g D D Nếu f khả vi tại 1 x D và g khả vi tại 2 ( )y f x D thì hàm hợp ( )g f g f khả vi tại x và ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ).g f x g y f x g f x f x Mệnh đề 3.2.4 [Đạo hàm của hàm ngược] Cho :f D là một đơn ánh. Nếu f khả vi tại x D và ( ) 0f x thì hàm ngược 1 : ( )f f D khả vi tại ( ) ( )y f x f D và 1 1 1 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) f y f x f f y Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 7 2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Sử dụng giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản trong chương trước và các mệnh đề ở mục trên, sinh viên có thể chứng minh kết quả sau f(x) f ’(x) 1) , x e x x e 2) ln , 0x x 1 x 3) , 0 và x x 1 x 4) , với 0 1xa a . ln x a a 5) log , 0 1, 0 a x a x 1 .lnx a 6) sin , x x cos x 7) cos , x x sin x 8) tan , với , 2 x x k k 2 2 1 1 tan cos x x 9) cot , với , x x k k 2 2 1 (1 cot ) sin x x 10) arcsin , với 1 1x x 2 1 1 x 11) arccos , với 1 1x x 2 1 1 x 12) arctan , với x x 2 1 1 x 13) arccot , với x x 2 1 1 x Bài tập 1. Chứng minh các mệnh đề từ 3.2.1 đến 3.2.4. Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 8 2. Sử dụng giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản, hãy chứng minh công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản. Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 9 §3.3. CÁC ĐỊNH LÝ SỐ GIA HỮU HẠN Sinh viên thực hành chứng minh các mệnh đề sau có sự hướng dẫn trên lớp: 1. CÁC ĐỊNH LÝ SỐ GIA HỮU HẠN Định lý 3.3.1 [định lý Fermat]. Nếu :f D khả vi tại x D và đạt cực trị địa phương tại x, nghĩa là giá trị f(x) hoặc là lớn nhất; hoặc là nhỏ nhất trên một lân cận nào đó của x, thì ( ) 0.f x Ghi chú. Bất kỳ một giá trị x thỏa ( ) 0f x được gọi là điểm dừng của hàm số f. Định lý 3.3.2 [định lý Roll]. Cho hàm số : [ , ]f a b liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) và ( ) ( )f a f b thì tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) 0.f c Định lý 3.3.3 [định lý Cauchy]. Cho hai hàm số liên tục , : [ , ]f g a b . Nếu f, g khả vi trên khoảng (a, b) thì tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ),g b g a f c f b f a g c và khi ( ) ( ) và ( , ), ( ) 0g b g a x a b g x thì đẳng thức trên được viết thành dạng ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c Định lý 3.3.4 [định lý Lagrange-Giá trị trung bình]. Cho hàm số liên tục : [ , ] .f a b Nếu f khả vi trên (a, b) thì tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) ( ) ( ). ( ).f b f a b a f c 2. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE: KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ định lý giá trị trung bình của Lagrange 3.3.4, ta có mệnh đề sau như là một hệ quả trực tiếp Mệnh đề 3.3.5. Cho hàm số khả vi : ( , )f a b với ,a b . Khi đó Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 10 (i) Nếu ( , ), ( ) 0x a b f x , thì f là hàm số đồng biến. (ii) Nếu ( , ), ( ) 0x a b f x , thì f là hàm số nghịch biến. (iii) Nếu ( , ), ( ) 0,x a b f x thì f là hàm hằng. Mệnh đề 3.3.5 ở trên kết hợp với đạo hàm bậc hai của f cũng cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra f có đạt cực trị địa phương tại một điểm dừng hay không, cụ thể là Mệnh đề 3.3.6. Cho : ( , )f a b có đạo hàm bậc hai trên (a, b). (i) Nếu ( ) 0 và ( ) 0f x f x thì f đạt cực đại địa phương tại x. (ii) Nếu ( ) 0 và ( ) 0f x f x thì f đạt cực tiểu địa phương tại x. Chứng minh. Ta chứng minh (ii), phần (i) tương tự. Theo định nghĩa về tính khả vi tại x của hàm số f , ta có lân cận V của x sao cho , ( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( )t V f t f x f x t x t x t với lim ( ) 0. t x t Với t thuộc lân cận V1 của x đủ nhỏ (ý nói t đủ gần x) thì ( ) ( ) 0,f x t và 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.t V f t f x t x f x t t x Mặt khác, ( ) 0f x nên ta có hai điều sau 1 , nếu thì ( ) 0,t V t x f t 1 , nếu thì ( ) 0.t V t x f t Từ hai điều trên và áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f, với mọi giá trị s thuộc V1, tồn tại một số t nằm giữa s và x sao cho ( ) ( ) ( )( ) 0,f s f x f t s x nghĩa là f đạt cực tiểu địa phương tại x. Kết thúc chứng minh.  Mệnh đề 3.3.5 và 3.3.6 là cơ sở cho việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà sinh viên đã làm quen ở trung học phổ thông. Bài tập 1. Cho 1 , ( , ).u v C a b Giả sử rằng hàm số u v uv không triệt tiêu trên (a, b). Chứng minh rằng giữa hai nghiệm x1 < x2 của phương Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 11 trình ( ) 0u x (nếu có nghiệm), có ít nhất một nghiệm của phương trình ( ) 0.v x 2. Chứng minh rằng nếu 0 11 0 1 2 n n a aa a n n thì phương trình ẩn x: 1 0 1 1 0 n n n n a x a x a x a có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0, 1). 3. Giả sử phương trình 1 0 1 1 0 n n n a x a x a x có nghiệm 0 0.x Chứng minh phương trình sau có nghiệm dương nhỏ hơn x0: 1 2 0 1 1 ( 1) 0. n n n na x n a x a 4. Cho *( ) 1 (1 ), với , .m nf x x x m n Chứng minh rằng phương ( ) 0f x có ít nhất một nghiệm 0 (0,1).x 5. Chứng minh rằng phương trình 0 n x px q có a) tối đa hai nghiệm nếu n chẵn; b) tối đa ba nghiệm nếu n lẻ. 6. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) ln (với 0 ) a b a a b b a a b b ; b) 1 1( ) ( ) (với 0, 1);n n n nny x y x y nx x y x y n c) 15 1 4 (với 15); 8 x x x d) 1 1 1 (với 1, 0); 22 1 x x x x x x e) ln(1 ) (với 1, 0); 1 x x x x x x f) 2 2 tan tan (với 0 ); 2cos cos x y x y x y y x y y e) 1 arctan (với 1); 4 2 x x x Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 12 g) 2 arctan (với 0); 1 x x x x x h) 2 sin 1 (với 0 ). 2 x x x 7. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) §3.4. ĐỊNH LÝ TAYLOR VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ Khi f có đạo hàm tới bậc n, thì do mệnh đề 3.3.1, các đạo hàm bậc thấp hơn (với qui ước (0) f f ) cũng liên tục. Nếu f có đạo hàm cấp n trên D và ( )n f là hàm số liên tục trên D thì ta nói f thuộc lớp C n trên D, ký hiệu là ( ). n f C D 1. ĐỊNH LÝ KHAI TRIỂN HÀM SỐ THÀNH ĐA THỨC Định lý 3.4.1 [định lý Taylor với dư số Lagrange]. Cho 1 ( ) n a f C V với Va là một lân cận của a. Khi đó, với mọi x thuộc Va, ta có khai triển sau đây ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ), ! kn k n k f a f x x a R x k (T) trong đó ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x a n và  là một giá trị nào đó nằm giữa a và x. Ghi chú. a) Biểu thức Rn(x) được gọi là dư số Lagrange trong công thức Taylor. b) Công thức (T) được gọi là công thức khai triển Taylor của f đến bậc n xung quanh điểm a. c) Trường hợp a = 0 thì công thức (T) được gọi là công thức khai triển Mac-Laurin của f đến bậc n. Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 13 Chứng minh. Đặt Q(x) là biểu thức sao cho ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ! ( 1)! kn k n k f a Q x f x x a x a k n Xét hàm số F định bởi ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1)! kn k n k f t Q x F t f x x t x t k n thì rõ ràng ( ) ( ).F x F a Sinh viên tự kiểm chứng rằng với mọi t thuộc Va, ta có ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ! ! n n nf t Q x F t x t x t n n Như vậy F thỏa giả thiết của định lý Roll, do đó tồn tại một giá trị  nằm giữa a và x sao cho ( ) 0,F suy ra ( 1) ( ) ( ) n Q x f và ta kết thúc chứng minh.  2. XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC Định lý 3.4.2 [Khai triển Taylor với dư số Peano]. Cho 1 ( ) n a f C V với Va là một lân cận của a. Giả sử f có đạo hàm đến bậc n tại điểm a. Khi đó, đa thức ( ) 0 ( ) ( ) ( ) (với ) ! kn k n a k f a P x x a x V k (T_P) là một đa thức xấp xỉ tối hảo đến bậc n của f xung quanh điểm a, theo nghĩa ( ) ( ) lim 0. ( ) n nx a f x P x x a Ghi chú. Người ta dùng ký hiệu o( ) n x a để chỉ cho bất kỳ hàm số : a V thỏa tính chất ( ) lim 0 ( ) nx a x x a . Do đó, trong định lý trên, ta có thể viết Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 14 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) o( ) , với . ! kn k n a k f a f x x a x a x V k Đại lượng o( ) n x a được gọi là dư số Peano của khai triển Taylor. Chứng minh. Trường hợp 1n , theo định nghĩa đạo hàm của f tại điểm a thì 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) 0, x a x a f x P x f x f a f a x a x a nghĩa là định lý đúng khi 1n . Giả sử định lý đúng với giá trị 1n . Theo phép qui nạp, ta sẽ chứng minh định lý đúng với giá trị 1n , nghĩa là xét hàm số bất kỳ ( ) n a g C V và g có đạo hàm cấp 1n tại điểm a, ta chứng minh 1 1 ( ) ( ) lim 0 ( ) n nt a g t Q t t a với ( )1 1 0 ( ) ( ) ( ) ! kn k n k g a Q t t a k và . a t V Thật vậy, áp dụng định lý Lagrange cho hàm G định bởi 1 ( ) ( ) ( ) n G t g t Q t , lưu ý là ( ) 0,G a ta có một giá trị x nằm giữa a và t sao cho 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).( ), n g t Q t G t G a G x t a suy ra ( )1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( ) ( 1) ! kn k n k g a g t Q t g x x a t a k1 (1) Mặt khác, hàm số f g thuộc lớp 1 ( ) n a C V và f có đạo hàm cấp n tại điểm a. Từ giả thiết qui nạp, “định lý đúng với n” áp dụng cho hàm f g , ta có ( ) ( ) lim 0 ( ) n nx a g x P x x a với ( )1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1)! kn k n k g a P x x a k1 (2) Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 15 Từ (1) và (2) ta suy ra ( )1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0, ( ) ( ) kn k n k n n n n n n t a t a t a g a g x x a g t Q t k t a t a g x P x x a x a t a 1 lưu ý trong đẳng thức cuối cùng là do định lý kẹp và ( ) 1. ( ) n n x a t a Vậy ta kết thúc chứng minh.  Định lý 3.4.3 [tính duy nhất của xấp xỉ tối hảo]. Cho 1 ( ) n a f C V với Va là một lân cận của a. Giả sử f có đạo hàm đến bậc n tại điểm a. Khi đó, xấp xỉ tối hảo đến bậc n của f xung quanh điểm a là duy nhất, có nghĩa là nếu 0 ( ) ( ) n k k k Q x a x a (với a x V ) là đa thức thỏa ( ) ( ) lim 0 ( ) nx a f x Q x x a thì ( ) ( ) , 0, . ! k k f a a k n k Chứng minh. Theo định lý 3.4.3, ta có ( ) 0 ( ) ( ) ( ) o( ) , ! kn k n k f a f x x a x a k do đó ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 lim lim . !( ) ( ) kn kn n k k x a x a f x Q x f a a kx a x a Từ kết quả này, sinh viên hãy tự suy ra ( ) ( ) , 0, . ! k k f a a k n k 