Sách hướng dẫn học tập Xử lý tín hiệu số

Nếu: ZT[x(n)] = X (z) với  ( ) : x xRC X z R z R   thì : 8   ( ) ( ) ( ) . ( ) . dX z Y z ZT y n n x n z dz     (1.13) * Tính chất tích chập : Hàm ảnh Z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm ảnh thành phần. Nếu:  1 1( ) ( )ZT x n X z với  1 1 1( ) :RC X z R z R   Và:  2 2( ) ( )ZT x n X z với  2 2 2( ) :RC X z R z R   Thì:   11 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ). 2 C z Y z ZT y n x n x n X x X d j            (1.14) Với  ( ) :max[ ] min[ ]i iRC Y z R z R   Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của X1(z) và X2(z). Đƣờng cong kín C của tích phân (1.14) phải bao quanh gốc tọa độ và thuộc miền hội tụ của cả X1(z) và X2(z) trong mặt phẳng phức. * Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : Nếu x(n) là dãy nhân quả và X (z) = ZT[x(n)] thì : lim ( ) (0) x X z x   * Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phức Nếu : ZT[x(n)] = X (z) với  ( ) : x xRC X z R z R   Thì: [ *( )] *( *)ZT x n X z với  ( ) : x xRC Y z R z R   (1.15) * Biến đổi Z của hàm tƣơng quan rxy(m) Nếu: ZT[x(n)] = X (z) thì 1( ) [ ( )] ( ). ( )x xR z ZT r m X z X z   (1.16) 1.2.2.2. Các tính chất của biến đổi Z một phía Biến đổi Z một phía có hầu hết tất cả các tính chất giống nhƣ biến đổi Z hai phía, trừ tính chất trễ. * Tính chất trễ của biến đổi Z một phía Nếu: 1 1[ ( )] ( )ZT x n X z với 1[ ( )]: xRC X z z R  Thì: với k>0: 1 1 1 ( ) 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ). k k i k i Y z ZT x n k z X z x i z        Với 1 1[ ( )] [ ( )]RC Y z RC X z , trừ điểm z=0. * Tính chất vƣợt trƣớc của biến đổi Z một phía 9 Nếu: 1 1[ ( )] ( )ZT x n X z với 1[ ( )]: x xRC X z R z R   Thì với k>0: 1 1 1 1 ( ) 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ). k k k m i Y z ZT x n k z X z x m z        (1.17) Với 1 1[ ( )] [ ( )]RC Y z RC X z , trừ điểm z=0. Chƣơng II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR Để thiết kế bộ lọc số IIR, ta có một số phƣơng pháp nhƣ: thiết kế từ bộ lọc tƣơng tự, chuyển đổi tần số, phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu. Trong đó phổ biến nhất là phƣơng pháp thiết từ bộ lọc tƣơng tự, tức là ta thiết kế một bộ lọc tƣơng tự thỏa mãn các yêu cầu đặt ra, sau đó dùng các phƣơng pháp chuyển đổi từ miền Laplace sang miền Z ta đƣợc bộ lọc số. 2.1. CÁC PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR TỪ BỘ LỌC TƢƠNG TỰ Tƣơng tự nhƣ bộ lọc số FIR, ngƣời ta thƣờng dùng một số phƣơng pháp tổng hợp bộ lọc số IIR có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn. Phƣơng pháp đƣợc đƣa ra ở đây là biến đổi từ bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số theo các phép ánh xạ. Việc tổng hợp bộ lọc tƣơng tự đã đƣợc giới thiệu ở phần trƣớc, khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta sẽ bắt đầu việc tổng hợp bộ lọc trong miền tƣơng tự tức là xác định hàm truyền đạt Ha(s) và sau đó biến đổi sang miền số. Có 3 phƣơng pháp chính để chuyển từ bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số tƣơng đƣơng: - Phƣơng pháp bất biến xung - Phƣơng pháp biến đổi song tuyến - Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân Ngoài ra ta có thể sử dụng phƣơng pháp biến đổi dải tần bộ lọc số thông thấp đã đƣợc thiết kế để thiết kế các bộ lọc thông thấp khác với tần số cắt khác hoặc bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải. 2.1.1. Phƣơng pháp bất biến xung Phƣơng pháp này dựa trên quan hệ cuả đáp ứng xung ha(t) cuả bộ lọc tƣơng tự và dãy h(n) rời rạc đƣợc xác định bởi lấy mẫu ha(t): 10 h(n) = ha(nT) Có nghĩa là dãy đáp ứng xung của bộ lọc rời rạc đƣợc nhận từ việc lấy mẫu đáp ứng xung của bộ lọc tƣơng tự, T là chu kỳ lấy mẫu. Theo trên ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) a a n h n h nT h t t nT      Với hàm ha(t) ta có ảnh Laplace là Ha(t) , ( )t nT  là hàm xung Dirac. Với hàm h(n) ta có ảnh Z là H(z) và biến đổi Fourrier là H(ej ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a n n h n h t t nT h t t nT          Trong miền thời gian liên tục, gọi : - Biến đổi Fourier của ha(t) là ( )a aH  - Biến đổi Fourier của ( ) n t nT    là _ 1 2 ( )a n n T T       Nhƣ vậy gọi biến đổi Fourier của h(n) là ( )jH e  , ta có : _ 1 2 ( ) ( ) ( )j a a a n n H e H T T                 = _ 1 2 ( ) ( )a a a n n H T T         Mà 2 2 2 ( ) ( ) ( ). ( ) ( )a a a a a a a n n n H H d H T T T                  Vậy _ 1 2 ( ) ( )j a a n n H e H T T        (2.1)  Về mối quan hệ giữa 2 tần số ω và ωa ta nhận xét : - Đối với tín hiệu số : x(n) = Acosnω thì n đƣợc hiểu là số nguyên không đơn vị nên ω phải có đơn vị góc là radian, ω gọi là tần số số. 11 Hình 2.1 - Đối với tín hiệu tƣơng tự :x(t)= Acosωat, trong đó ωa là tần số góc ( rad/s), khi lấy mẫu đều ở các thời điểm t=nT ( với T là chu kỳ lấy mẫu ) thì ta đƣợc tín hiệu số : x(n)= AcosωaT. Vậy đối chiếu với tín hiệu số : x(n) = A cos(nω) Ta có mối quan hệ : ω= ωaT  Thiết kế xung bất biến có thể tóm tắt theo các bƣớc sau : - Cần đặt chỉ tiêu cho bộ lọc rời rạc bằng đặc tuyến tần số ( )jH e  , và cần thiết lập chỉ tiêu tƣng tự tƣơng ứng với việc lựa chọn tần số lấy mẫu đúng (ωa≤ 2 s T   hay là fs≥2fa ) fs là tần số lấy mẫu, fa là tần số tín hiệu liên tục vào. - Cần hàm truyền đạt tƣơng tự Ha(s) thỏa mãn các chỉ tiêu tƣơng tự đã đặt ra. Trong nhiều trƣờng hợp Ha(s) coi nhƣ đƣợc cho và chỉ cần thực hiện các bƣớc sau : + Từ hàm Ha(s) với biến đổi ngƣợc Laplace cần xác định hàm đáp ứng xung tƣơng tự Ha(t) + Từ Ha(t) xác định dãy h(n) sau đó xác định ảnh H(z) có thể thực hiện bởi một chuẩn nào đó. Để khai thác hết hiệu quả của phƣơng pháp đáp ứng xung bất biến , ta biểu diễn hàm truyền đạt của mạnh lọc tƣơng tự H(s) dƣới dạng khai triển thành các phân thức tối giản nhƣ sau : 12 1 ( ) N k a k pk A H s s s    với Spk : là các điểm cực đơn của Ha(s). Qua các phép biến đổi Laplace ngƣợc, lấy mẫu với điều kiện hội tụ Spk<0 ta có hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số đƣợc chuyển tƣơng đƣơng theo phƣơng pháp bất biến xung sẽ là : 1 1 ( ) (1 )pk s N k s T k A H z e z    (2.2) Các điểm cực của Ha(s) cũng chính là các điểm cực H(z) : 1 ( ) N k a k pk A H s s s     1 1 ( ) (1 )pk s N k s T k A H z e z    Hay các điểm cực Spk = δ +jω của Ha(s) lọc tƣơng tự đƣợc chuyển thành các điểm cực pk ss T pkZ e c ủa H(z) lọc số : ( ) s sT j T j pk s T j Tpk s sZ e e e e Z e pk        Với sT pkZ e  và sT   Nếu : σ 1pkZ  hay các điểm cực của H(z) sẽ nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Nhƣ vậy điều kiện ổn định vẫn đƣợc bảo đảm khi chuyển Ha(s) thành H(z). Ví dụ 1 : Hãy chuyển sang mạch số bằng phƣơng pháp bất biến xung, biết mạch điện tƣơng tự cho nhƣ sau : Giải: 13 Hàm truyền đạt của mạch tƣơng tự : 1 1 1 ( ) ( ) 1( ) ( )( ) r a v p U s ARCH s U s s ss RC     Với 1 1 A RC  ; 1 1 pS RC   Hàm truyền đạt của mạch số tƣơng ứng là : 1 0 1 11 1 1 ( ) (1 )(1 ) (1 ) p s s k S T T RC A bRCH z a ze z e Z         với 0 1 b RC  ; 1 1 sT RCa e     Phƣơng trình sai phân : y(n) + a1y(n-1) = b0x(n)  Sơ đồ thực hiện hệ thống : 2.1.2. Phƣơng pháp biến đổi song tuyến Biến đổi song tuyến tính là công cụ đắc lực nhất của thiết kế bộ lọc IIR. Phép chiếu dùng trong biến đổi song tuyễn tính là phép chiếu dễ dùng nhất, chiếu trục jωa trên mặt phẳng S lên đƣờng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng trái bảo đảm ổn định của mặt phẳng S thành bên trong vòng tròn đơn vị bảo đảm ổn định của mặt phẳng Z, chiếu nửa mặt phẳng phải của mặt phẳng S thành bên ngoài của vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z.Phép biến đổi này cho phép ánh xạ các giá trị trên trục jωa lên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z mà không bị chồng chập tần số nhƣ phép biến đổi xung bất biến. - Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền đạt tƣơng tự Ha(s) và hàm truyền đạt số H(z) trên cơ sở tích phân các phƣơng trình vi phân và tính tích phân gần đúng bằng phƣơng pháp số. - Để xác định quan hệ, chúng ta bắt đầu từ phƣơng trình vi phân bậc 1 có dạng : 14 1 0 0 ( ) ( ) ( )a a a dy t C C y t D x t dt   (2.3) Hàm truyền tƣơng tự : 0 1 0 (s) ( ) ( ) a a a Y D H s X s SC C    (2.4) Có thể xác định hàm Ya(t) bằng cách lấy tích phân đạo hàm của nó : 0 ( ) ( ) ( ) t a a a to dy t Y t dt Y t dt   Nếu ta lấy tích phân trên đoạn ngắn, hoạc trong khoảng thời gian giữa mẫu tín hiệu kế tiếp nhau, luc đó với các biến : t = nT và t0 = (n-1)T ta có phƣơng trình :   ( 1) ( ) ( ) ( 1) nT a a a n T dy t Y t dt Y n T dt    Thay vì lấy tích phân ta chọn cách tính gần đúng theo quy tắc hình thang, ta có : Hình 2.1   ( ) ( 1) ( ) ( 1) 2 a a a a dy nT dy n TT Y nT Y n T dt dt          (2.5) Từ (2.3) thay t=nT vào ta có : 0 0( ) ( ) ( )a a a dy nT C D y nT x nT dt C C    (2.6) Thay (2.6) vào (2.5) và ký hiệu y(n) = ( )ay nT , x(n) = ( )ax nT ta có phƣơng trình sai phân sau: 15  0 0 0 1 1 1 1 ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1) 2 2 2 C T C T D T y n y n x n x n C                   (2.7) Biến đổi Z của phƣơng trình sai phân (2.7) ta đƣợc : 10 01 1 1 10 1 01 1 (1 ) 2( ) ( ) ( ) 2 1 1 (1 ) 2 1 D T z DCY z H z C TX z C z z z C C T z                  (2.8) So sánh (2.8) với (2.4) ta có : 1 1 2 1 1 z s T z      ( 2.9) Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi song tuyến tính. Quan hệ giữa các hàm truyền đạt Ha (s) với H(z) là : 1 1 ( ) ( ) 2 1 1 aH z H s z s T z       Sau đây ta xét một ví du cụ thể: • Ví dụ 2: Hãy chuyển sang mạch số bằng phƣơng pháp biến đổi song tuyến, biết mạch điện tƣơng tự cho: Hàm truyền đạt của mạch tƣơng tự: ( ) 1 ( ) ( ) 1 r a v U s H s U s RCs    Hàm truyền đạt của mạch số tƣơng ứng là : 1 1 1 1 1 ( ) 22(1 ) 11 (1 ) s s s s T T z K KH z T RCz zRC KT z                 16 Với K= 2RC+Ts 10 1 1 1 ( ) 1 b b z H z a z      Với bo= 1 sTb K  và 1 2sT RCa K   =>Phƣơng trình sai phân : y(n) + a1y(n-1) = b0x(n) + b1(n-1) Ta có sơ đồ thực hiện hệ thống : 2.1.3. Phƣơng pháp tƣơng đƣơng vi phân Một trong những phƣơng pháp đơn giản nhất để biến đổi bộ lọc tƣơng tự sang bộ lọc số là lấy gần đúng phƣơng trình vi phân bằng một phƣơng trình sai phân tƣơng đƣơng. Phép gần đúng này thƣờng đƣợc dùng để giải phƣơng trình vi phân tuyến tính hệ số hằng nhờ máy tính. Đối với đạo hàm dy(t)/dt tại t = nT ta thay bằng phép sai phân lùi [y( nT) - y(nT - 1)]/T, nhƣ vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) t nT dy t y nT y nT T y n y n dt T T        (2.10) Ở đây T là khoảng lấy mẫu và y(n) = y(nT). Bộ vi phân tƣơng tự với tín hiệu ra dy(t)/dt có hàm hệ thống H(s) = s. Trong đó hệ thống tạo ra tín hiệu ra [y( nT) - y(nT - 1)]/T lại có hàm hệ thống là H(z) = 1 - z-1/T, Do đó : 11 z s T   (2.11) Hàm hệ thống của bộ lọc số IIR đạt đƣợc nhờ lấy gần đúng phép đạo hàm bằng phép sai phân hữu hạn là: 17 11 ( ) ( )a z s T H z H s    (2.12) ( )aH s : là hàm hệ thống của bộ lọc tƣơng tự. Ta hãy khảo sát phép nội suy của ánh xạ từ mặt phẳng z với 1 1 z sT   (2.13) Khi  biến thiên từ - ∞ đến ∞ quỹ tích tƣơng ứng của các điểm trong mặt phẳng z là một đƣờng tròn bán kính ½ và có tâm tại z = ½ nhƣ minh họa Hình 2.3 : Ánh xạ s = 1 - z-1/T biến LHP trong mặt phẳng s thành các điểm nằm bên trong đƣờng tròn bán kình ½ và tâm ½ trong mặt phẳng z 2.2. TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC TƢƠNG TỰ THÔNG THẤP 2.2.1. Bộ lọc tƣơng tự Butterworth: Đây là mạch lọc thông thấp có đáp ứng biên độ  aH  thỏa mãn đồ thị mạch lọc : 18 Hình: 2.4 Nhận xét: - Bậc của bộ lọc n càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tƣởng. - Đáp ứng biên độ luôn bằng 1 2 ở tần số cắt với mọi giá trị của n.  Vị trí các điểm cực: Ta biết rằng 2 2 as j s     Vì    a aH s H s  tính tại s j cho   2 a aH  nên      2 1 1 a a n H s H s s     Điểm cực dƣới đƣợc xác định bởi:    2 21 0 1 1 0 n n n pk pks s       - Nếu n chẵn 2n pks = -1 =  2 1j k e   2 1 2 k j n pks e   k = 1,2,3…2n - Nếu n lẻ  2 12 1 j kn pks e       2 1 1 21 k k j j n n pks e e       Vậy các điểm cực của    a aH s H s  sẽ nằm trên một vòng tròn trong mặt phẳng S. Vòng tròn này đƣợc gọi là vòng tròn Butterworth. Hai kết quả trên cũng có thể góp chung thành 1 kết quả duy nhất là: 1 2 1 2 2 k j n pks e        Với k = 1,2,3…2n 19 Để bảo đảm hệ thống là ổn định thì các điểm cực của  aH s phải nằm bên trái trục ảo. Vậy trong các điểm cực của    a aH s H s  ta sẽ chọn ra các điểm cực nằm bên trái trục ảo để làm cực của  aH s đối với bộ lọc ổn định. Ta có thể viết:     0 1 a n pk k H H s s s    Ở đây: - Theo tần số chuẩn hóa a ac   0 1H  1 2 1 2 2 k j n pks e        Với k = 1,2,3…n - Theo tần số không chuẩn hóa 0 n acH  1 2 1 2 2 k j n pks e        Với k = 1,2,3…n Hình: 2.5  Gọi  là độ suy giảm của đặc tuyến mạch lọc tại tần số: as 2 2 1 1 nas     20 2 2 as 10 as 102 2 1 1 2 log log 1n n               10 2 10 as 1 log 1 2log n         Ví dụ 3: Xác định bậc và điểm cực của mạch lọc thông thấp Butterworth tại tần số cắt 500 Hz và độ suy hao 40 dB tại 1000Hz. Giải: Gọi tần số cắt là: ac Tại 1000 2 500 ac   thì 40 0,01dB    Vậy bậc của bộ lọc  410 10 log 10 1 6,64 2log 2 n    Chọn n=7 Vị trí điểm cực là: 1 2 12 2kj n pk acs e         Với: 2 2 500 1000ac acf       1 2 12 14 1000 k j pks e             k = 1,2…….7 2.2.2. Bộ lọc Chebyshev Đối với bộ lọc này ta có hai loại: - Loại 1: đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông , giảm đơn điệu ở dải chắn. - Loại 2: đáp ứng biên độ giảm đơn điệu ở dải thông, gợn sóng ở dải chắn. Trƣớc hết ta xét đa thức Chebyshev Theo định nghĩa:   cos cos nT x n x n      Ta có các hệ thức:      1 1 2n x n x n xT T xT   Vậy n = 0  0 os0 1xT c   21 n = 1  1 osxT c x   n = 2       2 2 1 0 2 2 1 x x x T xT T x     n = 3       3 3 2 1 2 4 3 x x x T xT T x x     a. Bộ lọc Chebyshev loại 1: Đây là loại có đáp ứng biên độ thỏa mãn:     2 2 2 1 1 a a n a H T      Với n: bậc của đa thức Chebyshev chính là bậc của bộ lọc.  : là 1 tham số xác định biên độ gợn sóng ở dải thông Về mặt toán học hàm  n aT  đƣợc định nghĩa:    a n cos n.arcosω T = cosh=cosnθ a    với 1a  và 1a  . Với định nghĩa này,  2n aT  dao động giữa 0 và 1 đối với 1a  và tăng một cách đơn điệu với 1a  . Nhƣ vậy   2 a aH  sẽ gợn sóng giữa 1 và 2 1 1  đối với 1a  và giảm một cách đơn điệu đối với 1a  . Ta phân biệt trƣờng hợp n lẻ và n chẵn để vẽ đáp ứng xung  a aH  : - Trƣờng hợp n lẻ:  0 0nT    2 0 1aH  - Trƣờng hợp n chẵn :  0 1nT    2 2 1 0 1 aH    Tại tần số a =1,  1 1nT  từ đó ta có hình vẽ trình bày đáp ứng tần số  a aH  Theo a nhƣ sau: Nếu gọi 1 là độ gợn sóng dải thông ta có: 22 Hình 2.6 - Bộ lọc tƣơng tự Chebysher loại 1 ở tần số không chuẩn hóa:   2 2 2 1 1 a a a n ac H T             Với     n cos n.arcos T = cosh ar cos a aca aac ac n c                với a ac    1 và a ac   >1  Tính toán bậc n của bộ lọc: Ở dải chắn ta có a as  ( chƣa chuẩn hóa). 23 b. Bộ lọc Chebyshev loại 2: Đây là loại bộ lọc trái ngƣợc loại 1, tức là có đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải chắn và giảm đơn điệu ở dải thông . Về mặt toán học đáp ứng biên độ cho bởi :   2 2 2 1 ( ) 1 a a n as as n a H T T                       Trong đó:       n cos n.ar cos T = cosh ar coshx x x n c    với 1x  và 1x  . as là tần số chuẩn hóa có đáp ứng biên độ là 2 ( trong miền dải chắn). Nhận xét:   và a là hằng số vậy nT as a         sẽ dao động trong khoảng giữa 0 và 1 với 1as a    nghĩa là as a  . Vậy nT as a         dao động trong dải chắn. 24    2 a aH  sẽ dao động giữa hai giá trị 0 và  2 2 1 1 n asT   Khi   2 2 2 2 2 1 1 ( ) as a a a n as H T          ( 1 1)nT  Vậy 2 còn gọi là biên độ tối đa của gơn sóng ở dải chắn.  Trong dải thông a as  hay 1 as a    thì nT as a         tăng đơn điệu khi a giảm dần về 0 tại n0 T as a a          ,   2 1a aH    Tại 1a  ,     2 2 2 2 1 1 1 1 a a a aH H      Về bậc n của bộ lọc hệ thức : Hình 2.7     2 2 22 2 as 1 1 a a n H T     Ta cũng có kết quả nhƣ trƣờng hợp loại 1: 2 1 ar cosh 1 ar cosh as n      Ở đây as là tần số đã đƣợc chuẩn hóa so với ac là tần số cắt của bộ lọc. 25  Bây giờ ta xét phƣơng pháp 2: Trƣớc hết ta xét nguyên tắc biến đổi tần số. Cũng giống nhƣ trong miền tƣơng tự , trong miền số chúng ta cũng có thể thực hiện phép biến đổi bộ lọc số thông thấp cơ bản ban đầu thành bộ lọc số thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Chúng ta ký hiệu hàm truyền lọc thông thấp rời rạc là  lpH z còn hàm truyền rời rạc đƣợc tìm sau biến đổi là  H Z . Giữa hai biến Z và z này có quan hệ  1 1z G Z  lúc đó:      1 1lp zH Z H z G Z   Hãy giả thuyết Hlp(z) là hàm hữu tỷ theo z, tƣơng tự với lọc thông thấp rời rạc ổn định, nhân quả. Tất nhiên ta chỉ dùng các biến đổi  1G Z  sẽ cho các hàm  H Z hữu tỷ theo Z và có thể thực hiện chúng bằng các mạch ổn định, nhân quả. Từ đó ta đòi hỏi biến đổi  1G Z  cần phải: * Chiếu trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z thành trên vòng tròn đơn vị mặt phẳng Z. * Chiếu bên trong vòng tròn đơn vị mặt phẳng z thành bên trong vòng tròn đơn vị mặt phẳng Z. *  1G Z  là hàm hữu tỷ theo 1Z  . Gọi  và  là tần số góc trong mặt phẳng z và Z trên vòng tròn đơn vị , ta có jz e  và jZ e  . Vậy để các điều kiện ổn định ở trên đƣợc thỏa mãn, ta phải có:     1 j j j j e G e e G e           (với  là đối số của  jG e  ) Vậy   1jG e   và    Dạng tổng quát của hàm  1G Z  để thỏa mãn yêu cầu này là: 26 1 1 1 1 1 ( ) 1 N k k k Z z G Z Z              Ta thấy ngay :  jG e  = 1 Để thỏa mãn điều kiện ổn định 1k  : bằng cách chọn giá trị thích hợp N và k , nhiều ánh xạ có thể thực hiện. Đơn giản nhất là cho phép biến đổi từ bộ lọc thông thấp chuẩn tới 1 bộ lọc thông thấp khác. Dạng ánh xạ đơn giản nhất đƣợc chọn là: 1 1 11 k k Z z Z         với ,j jz e Z e       sin 2 1 sin 2 j j j e e e                             Vậy nếu p là tần số cắt của lọc thông thấp chuẩn và p là tần số cắt của lọc thông thấp đƣợc thiết kế ( đã biến đổi ) ta có :     sin 2 sin 2 p p p p                     Đối với phép biến đổi từ một bộ lọc thông thấp chuẩn tới 1 bộ lọc thông cao. Ta nhận xét là: - Đối với bộ lọc thông thấp, hàm truyền đạt là: ( ) 1 k k lp k k b Z H Z a Z       27 - Đối với bộ lọc thông cao : ( 1) 1 ( 1) k k HP k k b Z H a Z         Vậy ta suy ra ngay, nếu ánh xạ từ lọc thông thấp sang thông thấp là: 1 1 11 Z z Z         Thì ánh xạ từ lọc thông thấp sang thông cao là: 1 1 1 1 11 1 Z Z z Z Z                  Cũng thực hiện phép tính nội suy nhƣ trên ta có:     sin 2 sin 2 p p p p                     p : tần số cắt của bộ lọc thông thấp chuẩn. p  : tần số cắt của bộ lọc thông cao. Hình 2.8  Để biến đổi lọc thông thấp thành thông dải ta dùng công thức biến đổi số sau: 28 Với ' p  và '' p  là tần số cắt của lọc thông dải đƣợc thiết kế, p là tần số cắt của lọc thong thấp chuẩn.  Để biến đổi lọc thông thấp thành lọc chắn dải ta dùng công thức sau: Và   " ' 2 2 p p p k tg tg          2.2.3. Bộ lọc tƣơng tự Elip (Cauer). Bộ lọc Elip (hay Cauer) có gợn sóng đồng đều trong cả dải thông và dải chắn đối với cả N lẻ và chẵn. Loại bộ lọc này bao gồm cả điểm cực và điểm không, đƣợc đặc trƣng bởi bình phƣơng đáp ứng biên độ tần số nhƣ sau: 29   2 2 1 1 N c H U       (2.14) Ở đây  NU x là hàm Elip Jacobian bậc N, nó đƣợc Zverev tính theo phƣơng pháp lập bảng năm 1967 và  là tham số liên quan tới độ gợn sóng dải thông. Các điểm không nằm trên trục j . Việc tổng hợp đạt đƣợc hiệu quả nhất nếu trải đều sai số gần đúng toàn bộ dải thông và dải chắn. Bộ lọc Elip đạt đƣợc tiêu chuẩn này và vì thế là bộ lọc tối ƣu nhất xét theo cấp nhỏ nhất với chỉ tiêu đặt ra. Nói khác đi, với một tập chỉ tiêu, bộ lọc Elip có độ rộng băng chuyển tiếp nhỏ nhất. Cấp bộ lọc cần thiết để đạt tập chỉ tiêu đặt ra theo độ gợn sóng dải thông 1 , gợn sóng dải chắn 2 , tỷ số chuyển tiếp c   đƣợc xác định nhƣ sau:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 s c s c K K N K K                                     (2.15) Ở đây  K x là tích phân Elip đầy đủ loại một và đƣợc tính theo công thức   2 2 2 0 1 sin d K x x       Theo tiêu chuẩn, bộ lọc Elip là tối ƣu, tuy nhiên xét trên thực tế bộ lọc Butterworth hay Chebyshev trong một số ứng dụng sẽ có đặc tuyến đáp ứng pha tốt hơn. Trong dải thông, đáp ứng pha của bộ lọc Elip không tuyến tính bằng bộ lọc Butterworth hay Chebyshev. 30 Chƣơng 3. THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG BỘ LỌC SỐ IIR BẰNG CÔNG CỤ SPTOOL Công cụ thiết kế bộ lọc số (FDATool) trong phần mềm mô phỏng Matlab cung cấp cho ta những kỹ thuật tiên tiến để thiết kế, phân tích , mô phỏng các bộ lọc số. Với những kỹ thuật tiên tiến trong kiến trúc và thiết kế bộ lọc. Nó cho phép nâng cao khả năng xử lý hệ thống số trong thời gian thực nhƣ với bộ lọc thích nghi, bộ lọc đa nhiệm và sự chuyển đổi giữa chúng. Khi sử dụng (Fixed-Point Toolbox) hộp công cụ điểm tĩnh (FPTool) nó cho phép đơn giản hoá việc thiết kế cũng nhƣ phân tích những hiệu ứng lƣợng tử của bộ lọc số. Khi sử dụng (Filter Design HDL Coder) mã HDL nó cho phép chuyển đổi từ kiểu thiết kế bộ lọc theo phƣơng pháp chọn điểm sang ngôn ngữ VHDL và verilog. Trong chƣơng này chúng ta sẽ dùng phần mềm Matlab để thực hiện thiết kế và mô phỏng bộ lọc số IIR. Chúng ta sẽ dựa vào toolbox với giao diện graphic để thiết kế mạch lọc số. Toolbox đƣợc dùng trong bài này là Signal Processing Tool. Để có thể thực hiện tốt nội dung mô phỏng chúng ta cần phải có kiến thức cơ bản về Matlab và công cụ SPTOOL. Chƣơng 3 này bao gồm 2 phần cơ bản sau: 3.1. Giới thiệu về công cụ SPTool 3.2. Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số IIR bằng SPTool. 3.1. GIỚI THIỆU VỀ CÔNG CỤ SPTOOL 3.1.1 Thiết kế bộ lọc số bằng công cụ SPTool: - SPTool là một công cụ có giao diện GUI cho xử lý tín hiệu. Công cụ này có thể đƣợc sử dụng phân tích tín hiệu, mô phỏng quá trình thiết kế bộ lọc, phân tích các bộ lọc, lọc tín hiệu và phân tích phổ của tín hiệu. - Để khởi động SPTool. Từ command gõ lệnh: >> sptool - Khi đó giao diện của SPTool sẽ nhƣ sau: 31 Hình 3.1: Giao diện của SPTool - Giao diện của SPTool có 3 cột bao gồm tập hợp các tín hiệu, bộ lọc và phổ mặc định tƣơng ứng với : Signals, Filters và Spectra. Dƣới mỗi cột có các button sử dụng cho cột đó. - Các tín hiệu, bộ lọc hoặc phổ của Matlab có thể đƣợc đƣợc đƣa vào SPTool bằng lệnh Import trong menu File của SPTool. Các tín hiệu, bộ lọc hoặc phổ đƣợc import vào SPTool tồn tại dƣới dạng cấu trúc của MatLab. Để lƣu lại tín hiệu, bộ lọc và phổ đã đƣợc tạo hoặc chỉnh sửa trong SPTool ta dùng lệnh Export trong menu File. - Để thiết kế một bộ lọc mới. Sử dụng button New ngay dƣới cột Filter. Khi đó giao diện Filter Designer dùng để thiết kế bộ lọc sẽ xuất hiện. - Có thể gọi ra Fi