Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn hoc sinh giải một số dạng bài tập về tỷ lệ thức

triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Do tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic, Toán học là "môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo. Cơ sở thực tiễn Những thuận lợi: Ban giám hiệu là những nhà quản lý có chuyên môn vững vàng. Tổ chuyên môn sâu sát, quan tâm bộ môn toán. Bản thân tôi và đồng nghiệp cùng chuyên môn là GV yêu nghề và có kinh nghiệm giảng dạy. Học sinh ngoan ngoãn, chăm chỉ, ham học hỏi, có nhận thức khá. Đặc biệt các em rất thích học môn toán. Các em có mong muốn học hiểu không những kiến thức cơ bản mà còn thích học toán nâng cao. Phụ huynh học sinh quan tâm đến học tập của các con. Khó khăn: Tập thể lớp 7C với sĩ số là 34 học sinh, số học sinh tương đối đông, trong đó đa số học sinh ở thôn Ngô Xuyên, gia đình làm nông nghiệp, một số em hoàn cảnh gia đình đặc biệt, khó khăn, có em bố mẹ đi làm xa, ở với ông bà, thiếu sự quan tâm thường xuyên của bố mẹ; Trường THCS Thị trấn Như Quỳnh nằm trên địa bàn trung tâm kinh tế, chính trị, văn hóa của huyện Văn Lâm, bên cạnh những mặt tích cực thì còn rất nhiều tác động mặt trái đến các em như các quán internet, nhiều trò chơi lôi cuốn làm cho các em phân tán việc học. Bên cạnh đó, một số học sinh còn có tính ham chơi, chưa đọc sách, chưa làm bài tập, chưa đam mê tìm tòi học hỏi. Thời gian tạo ra giải pháp, các biện pháp tiến hành. Thời gian tạo ra giải pháp: Năm học 2017-2018 Các biện pháp tiến hành: khảo sát thực tiễn, đánh giá, dùng bảng đối chiếu, trao đổi kinh nghiệm, trao đổi tài liệu, thu thập và xử lý thông tin. Biện pháp khảo sát thực tiễn bắt đầu vào phần luyện tËp nhằm phát hiện, đánh giá chất vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh. Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát. Câu 1. Tìm x, y, z biết: và x + y + z = 150 Câu 2. Tìm x, y biết: và x.y = 300 Câu 3. Tìm x, y, z biết ; và 2x - 3y + z = 6 Đáp án: Câu 1. Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có: Câu 2. Đặt . Ta có x = 3k; y = 4k x.y = 3k . 4k = 12k2 = 300 k2 = 25 * Với k=5 * Với k=-5 Câu 3. Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có: Kết quả thu được như sau: Bảng 1 Tổng số Đối tượng I Đối tượng II Đối tượng III Số lượng % Số lượng % Số lượng % 34 30 88% 2 6% 2 6% + Đối tượng I (30 em chiếm 88%) chỉ mới làm được bài 1. + Đối tượng II (2 em chiếm 6%) các em đã làm được bài 1 và bài 2. Song vẫn còn một số em mắc sai lầm: + Đối tượng III (2 em chiếm 6%) các em đã biết hướng làm câu 3 là phải tìm tỷ số trung gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau, nhưng tới đó lại không biết làm tiếp như thế nào. B.PHẦN NỘI DUNG I. Mục tiêu Tôi nghiên cứu sáng kiến này nhằm ba mục đích chính: Phân dạng các bài tập về tỉ lệ thức và sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó để GV dễ dạy, HS học dễ hiểu. Hướng dẫn HS suy nghĩ, phân tích để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó làm cơ sở cho việc chọn lời giải. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau Các giải pháp thực hiện Mô tả giải pháp: Tính mới, sáng tạo: Đáp ứng nhu cầu đổi mới trong dạy và học nhằm phát triển các phẩm chất ham học, chăm làm, trách nhiệm. Đồng thời phát triển các năng lực tính toán, ngôn ngữ, tự học, giải quyết vấn đề sáng tạo, thẩm mỹ trong lựa chọn và trình bày. Không chỉ phân dạng mà còn hướng dẫn HS để các em tự tìm ra định hướng làm cơ sở để lựa chọn lời giải hay và sáng tạo. Các bài tập trong mỗi dạng được sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó nhằm dẫn dắt học sinh tư duy logic tự tìm hướng giải toán. Phân dạng bài tập riêng cho các sai lầm hay mắc phải. Khả năng và phạm vi ứng dụng: Môn toán, đặc biệt đại số lớp 7 chương I- Số hữu tỉ, số thực, chương II- Hàm số và đồ thị. Môn vật lý 7, 9 phần Quang học. Hiệu quả sau áp dụng: Chất lượng dạy và học được nâng cao, đối với bài tập về tỉ lệ thức GV thấy dễ dạy, HS học thấy dễ hiểu và yêu thích loại toán này. HS vận dụng vào giải các bài tập toán và bài quang hình học trong môn vật lý dễ dàng. Kết quả thực hiện Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy:Các em làm bài tập toán với một phong cách nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Đặc biệt là với mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau. Từ đó tìm được phương án tối ưu để giải toán. Và điều dễ thấy nhất đó là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo. Dưới đây là một ví dụ: Tôi cho một số bài toán để kiểm nghiệm như sau: Đề bài: Câu 1. Tìm x, y, z biết: 3x = 2y; 7y = 5z và x - y + z = 32 Câu 2. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b+d) (b ¹ 0; d ¹ 0) thì Câu 3. Tổng các lập phương của ba số nguyên là 1009. Biết rằng số thứ nhất và số thứ hai tỷ lệ với 2 và 3, tỷ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 4/9. Tìm ba số đó. Đáp án: Câu 1. Từ 3x = 2y 3x . 7 = 2y . 7 hay 21x = 14y 7y = 5z 7y.2 = 5z.2 hay 14y = 10z 21x = 14y = 10z x = 2.10 = 20 y = 2.15 = 30 z = 2.21 = 42 Vậy x = 20; y = 30; z = 42 Câu 2. Từ 2bd = c(b+d) 2bd = bc + dc (a+c)d = bc + cd ad + cd = bc + cd ad = bc (vì b ¹ 0; d ¹ 0) Câu 3. Gọi 3 số phải tìm là x, y, z (x, y, z Î Z; x, y, z ¹ 0) Theo bài ra ta có: x3 + y3 + z3 = 1009 và x : y = 2 : 3 Đặt = k x = 4k y = 6k z = 9k x3 + y3 + z3 = (4k)3 + (6k)3 + (9k)3 = 1009 = 1009k3 = 1009 k3 = 1 k=1 x = 4.1 = 4 y = 6.1 = 6 z = 9.1 = 9 Vậy 3 số nguyên đó là 4; 6; 9 Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi (xem bảng dưới đây) Bảng 2 Tổng số Đối tượng I Đối tượng II Đối tượng III Số lượng % Số lượng % Số lượng % 34 2 6% 16 47 16 47 Đối tượng I: Có 2 em chỉ mới làm được câu 1. Đối tượng II: Có 16 đã làm được hai câu 1 và 2 hoặc 1 và 3 Đối tượng III: Có 16 em đã làm hoàn chỉnh cả 3 bài; Có 4 em gặp lúng túng khi đến Các giải pháp thực hiện Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây: Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết Bài toán 1: Tìm x, y biết: a) và xy = 90 b) và xy = 252 c) và xy = 54 d) và x2 - y2 = 4 Giải Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo tính chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học sinh thường mắc sai lầm như sau: Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng cho các em hướng giải toán. Hướng thứ nhất Dùng phương pháp tính giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống hoá, khái quát hoá về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp. Đặt Mà xy = 90 2k.5k = 90 10k2 = 90 k2 = 9 * Với k = 3 x = 2.3 = 6 y = 5.3=15 * Với k = -3 x = 2.(-3) = -6 y = 5.(-3) = -15 Vậy (x;y) = (6; 15); (-6; -15) Hướng thứ hai: Khái quát hoá toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên quan đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai. Ta có: (Tính chất mở rộng của tỷ lệ thức) Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15) Qua việc hệ thống hoá, khái quát hoá và chọn hướng đi cho các em để có lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b, c, d. Bài toán 2. Tìm x, y, z biết a) và x + y + z = 37 b) và 2x + 3y - z = 186 c) và x + y + z = 92 d) và 2x + 4y - 2z = -4 Giải: a) Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem liệu có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay không? Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hoá kiến thức cơ bản, tính chất mở rộng để chọn lời giải cho phù hợp. Ta có: hay hay x = 10.1 = 10 y = 15.1 = 15 z = 12.1 = 12 Vậy x = 10; y = 15; z = 12. b) Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu xem có gì đặc biệt trong tổng 2x + 3y - z, để giúp các em nhớ lại tính chất của phân số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán cho thích hợp. Ta có: x = 15.3 = 45 y = 20.3 =60 z = 28.3 = 84 Vậy x = 45; y = 60; z = 84. Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợp cho phần c và d. Bài toán 3: Tìm x, y, z biết a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158 b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60 c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95 Giải: Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù hợp. Hướng thứ nhất ( thường dùng): Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau: Ta có: 3x = 5y 5y = 8z hay x = 40 . 2 = 80 y = 24 . 2 = 48 z = 15 . 2 = 30 Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Hướng thứ hai (ít dùng): Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau: Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120 Từ 3x = 5y = 8z Hay (Tương tự như trên có ...) Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Hướng thứ ba: Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành 1 thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau: Từ 3x = 5y = 8z x = y = z = Vậy x = 80; y = 48; z = 30 Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c. * Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các em phải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau: + Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y + Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z 10x = 15y = 21z x = y = z = Vậy x = 84; y = 56; z = 40. Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạng toán này. Bài toán 4. Tìm x, y, z biết rằng a) b) c) Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc 2x + 3y - 5z = 10. Với phương pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có hướng đi cụ thể. Hướng thứ nhất: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau có lời giải của bài toán như sau: Ta có: x - 1 = 5 x = 6 x - 2 = 3 y = 5 z - 2 = 2 z =4 Hướng thứ hai: Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau: Đặt x - 1 = 5k x = 5k + 1 y - 2 = 3k y = 3k + 2 z - 2 = 2k z = 2k + 2 Ta có: x + 2y - z = 12 2k + 1 + 2(3k+2) - (2k + 2) = 12 9k + 3 = 12 k = 1 Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6 y = 3 . 1 + 2 = 5 z = 2 . 1 + 2 = 4 Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự giải phần (b) và (c) của bài toán 4. Bài toán 5: Tìm x, y, z biết rằng a) b) Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài toán phần (b) như sau: Giải: Điều kiện x, y, z ¹ 0 Ta có: x + y + z = x + y = 0,5 - z y + z = 0,5 - x x + z = 0,5 - y Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có: 0,5 - x + 1 = 2x 1,5 = 3x x = 0,5 2,5 - y = 2y 2,5 = 3y y = -2,5 - z = 2z -2,5 = 3z z = Vậy (x; y; z) = (0,5; ; -) Dạng 2. Chứng minh tỷ lệ thức Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức cơ sở với hệ thống các bài tập từ đơn gản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán. 1) Các phương pháp : Để Chứng minh tỷ lệ thức : Ta có các phương pháp sau : Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc . Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k. Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải. Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh. 2) Bài tập Bài 1: ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: hãy suy ra tỷ lệ thức:. Giải: Cách 1: Xét tích Từ Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c = a(c- d) suy ra - Cách 2: Đặt Ta có: Từ (1) và (2) suy ra: - Cách 3: từ Ta có: Do đó: - Cách 4: Từ - Cách 5: từ Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau: (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ) Bài toán 2. Cho tỷ lệ thức . Hãy chứng minh a) b) c) Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống hoá kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để tìm hướng giải cụ thể. * Hướng thứ nhất: Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng minh phần a. Đặt a = bk c = dk Ta có: * Hướng thứ hai: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau: Từ (hoán vị các trung tỷ) = (theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau) (hoán vị các trung tỷ) Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức: Từ ad = bc Xét tích: (a - b) (c + d) = ac + ad - bc - bd (a + b) (c - d) = ac - ad + bc - bd (a - b) (c + d) = (a+ b) (c - d) (cùng bằng ac - bd) (Đpcm) Với việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số hướng giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, để trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập phần b, c của bài 1. Bài toán 3 Cho Hãy chứng minh: a) ; b) c) d) Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về luỹ thừa và kiến thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại công thức: Nếu: và hướng cho các em trình bày lời giải của bài toán phần c. Giải: Từ (hoán vị các trung tỷ) Hay Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời giải phần a, b, d và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng minh tỷ lệ thức. Bài toán 4: Cho . Hãy chứng minh Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để có hướng giải phù hợp. * Hướng thứ nhất: Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến đổi vế trái bằng vế phải ta có lời giải sau: Từ b2 = ac. Thay vào vế trái ta có: (Đpcm) * Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta có lời giải sau: Vì cần có a2; b2 nên ta nhân từng vế của với chính bản thân nó ta có: mà b2 = ac Từ (1) và (2) (Đpcm) Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môn toán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó chính là công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương pháp này còn là công cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lượng tỷ lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch. Dạng 3. Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch Bài toán 1. Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1/7 số gạo của kho đó, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo kho đó, xuất ở kho C đi 2/7 số gạo của kho đó. Khi đó số gạo ở 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi khó lúc đầu. Biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ. Để giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc kỹ đề bài, tóm tắt, phân tích kỹ mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau: Giải Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z tạ gạo (x, y, z > 0) Số gạo lúc sau ở kho A là: x + Số gạo lúc sau ở kho B là: Số gạo lúc sau ở kho C là: Theo bài ta có: (1) và y- x = 20 Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có: x = 35.2 = 70 (tạ) y = 45.2 = 90 (tạ) z = 56.2 = 112 (tạ) Vậy số gạo lúc đầu ở 3 kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ. Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự. Chẳng hạn: Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo bằng các dữ liệu sau: 1) Tổng số gạo ở 3 kho là 272 tạ 2) Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ 3) Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số. * Dạng chuyển động Bài toán 2 Một người dự kiến đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian dự định. Thực tế khi đi phải giảm 1/4 vận tốc so với dự định nên vào đến B muộn hơn thời gian dự định là 30 phút. Tính thời gian dự định lúc đầu. Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kỹ đề bài. Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của một chuyển động trên một đoạn đường. Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức: và các em đã có hướng đi tìm t1, t2. Giải: Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định; v2 là vận tốc thực đi; t2 là thời gian thực đi. v1; v2 cùng đơn vị; t1; t2 cùng đơn vị (v1> 0; v2> 0; t1> 0; t2> 0) Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Do đó: mà v2 = (theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau) (phút) Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút. Khai thác lời giải của bài toán 2 học sinh có thể dễ dàng giải được các bài toán sau: Bài toán 3: Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được 1/2 quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Bài toán 4: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40km/h và dự định đến B lúc 11h45'. Sau khi đi được 4/5 quãng đường thi người đó đi với vận tốc 30km/h nên đến B lúc 12h. Hỏi người đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao nhiêu? * Dạng hình học Bài toán 5: Tìm tỷ lệ 3 cạnh của 1 tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt từng hai đường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5, 7, 8. Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức. Tôi đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng trong tam giác. Bằng kiến thức của hình học các em đã có hướng đi và lời giải của bài toán. Giải: Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c (a, b, c > 0) và 3 đường cao tương ứng là ha, hb, hc (ha, hb, hc >0). Theo bài ra ta có: (ha + hb) : (hb + hc) : (hc + ha) = 5 : 7 : 8 (do vai trò của ha, hb, hc như nhau). Ta có công thức: SDABC = Ta đặt: ha + hb = 5k + hb + hc = 7k hc + ha = 8k _________________ 2(ha + hb + hc) = 20k ha + hb + hc = 10k mà ha + hb = 5k hc = 5k hb + hc = 7k ha = 3k hc + ha = 8k hb = 2k Thay ha, hb, hc vào (1) ta có: a.3k = b.2k = c.5k 3a = 2b = 5c Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6 Tương tự các em suy luận và giải được bài toán sau đây: Bài toán 6: Độ dài các cạnh của tam giác tỷ lệ với 2; 3; 4. Hỏi các chiều cao tương ứng của tam giác đó tỷ lệ với nhau theo tỷ số nào? * Dạng toán tìm số Bài toán 7: Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỷ lệ với 3 số 1; 2; 3. * Để giải được bài toán này làm thế nào để bài toán liên quan đến kiến thức đang học, đã học. Tôi đã nhấn mạnh dấu hiệu chia hết cho 18 và từ đó có hướng đi và lời giải cho bài toán. Giải: Gọi 3 chữ số của số phải tìm là a, b, c (a, b, c Î N; 0£a, b, c£9) Theo đầu bài ta có: mà ta có 18 = 2.9 trong đó (2; 9) = 1 Vì vậy số có 3 chữ số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) và có tổng các chữ số chia hết cho 9. 0 £ a £9 0 £ a £ 9 0 £ a £ 9 ____________________ 0£a+b+c£27 mà (a+b+c) M 9 * Với a + b + c = 9 loại * Với a + b + c = 18 a = 3; b = 6; c = 9 Số phải tìm là 396 hoặc 936 * Với a + b + c = 27 loại Vậy số phải tìm là 396 hoặc 936 Với phương pháp hệ thống hoá các kiến thức, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được mối quan hệ chặt chẽ giữa các kiến thức với nhau. Từ đó các em mới vận dụng tốt, để thao tác tư duy tốt và giải toán đạt hiệu quả cao. Dạng 4: Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau Sai lầm khi áp dụng tương tự H/s áp dụng hay Bài tập 1: (Bài 62 – SGK-T31) tìm 2 số x,y biết rằng và x.y =10 H/s sai lầm như sau : suy ra x = 2,y = 5 Bài làm đúng như sau: Cách 1: Từ từ đó suy ra Vậy x = 2, y = 5 hoặc x =-2, y = -5 Cách 2: Từ Cách 3: Đặt vì xy = 10 nên 2k. 5k = 10 => k2 = 1 => k = 1; k = -1 .vậy x = 2, y = 5 hoặc x =-2, y = -5 Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng : và x.y.z = 648 H/s sai lầm như sau Suy ra a = 54, b = 81, c = 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1 2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0 Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm. Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là . Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó Cách 1: Ta có Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có h/s thường bỏ quên đk a + b + c = 0 mà rút gọn luôn bằng ta phải làm như sau + Nếu a + b + c = 0 thì b + c = -a; c + a = -b; a + b = -c nên mỗi tỉ số đều bằng -1 + Nếu a + b + c 0 khi đó Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1 Bài tập 4: Cho biểu thức Tính giá trị của P biết rằng Lời giải: Cách 1: ¸p dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có Cách 2: Từ (1) suy ra Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3 Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y + z + t = z + t + x = x + y + t = x + y + z Phải làm đúng như sau : Nếu x + y + z + t suy ra y + z + t = z + t + x = x + y + t = x + y + z suy ra x = y = z = t suy ra P = 4 Nếu x + y+ z + t = 0 x + y = - (z + t) ; y + z = - (t + x). Khi đó P = - 4 Ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau .Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1, bài tập 4 nên dùng cách 2 Bài tập tương tự : 1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện Hãy tính giá trị của biểu thức 2) Cho dãy tỉ số bằng nhau : Tìm giá trị của biểu thức M biết : Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau. Bài tập 5 Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải bài toán “ Tìm x.y biết: ” Như sau: Ta có: (1) Từ hai tỷ số đầu ta có: (2) Từ (1) và (2) ta suy ra (3) 6x = 12 x = 2 Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3 Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm Em hãy nhận xét lời giải của học sinh trên Lời giải :Học sinh trên sai như sau Từ (3) phải xét hai trường hợp TH 1 : 2x + 3y-1.Khi đó ta mới suy ra 6x = 12.Từ đó giải tiếp như trên TH2 : 2x+3y-1=0.Suy ra 2x = 1-3y, thay vào hai tỉ số đầu, ta có Suy ra 2- 3y = 3y - 2 =0 y = . Từ đó tìm tiếp Bài tập 6: Tìm x,y biết : Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp 3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn Học sinh thường sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B Bài tập 7: Tìm x biết Giải: h/s thường sai lầm khi suy ra x-1 = 30 suy ra x = 31 phải suy ra 2 trường hợp x-1 = 30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x = 31 hoặc x = -29 Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng biết rằng Lời giải: Đặt =k suy ra x = 2k, y = 3k, z = 4k Từ suy ra Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k = 3,mà phải suy ra C. KẾT LUẬN 1. Kết luận chung Căn cứ vào bảng 1 và 2, ta thấy trước khi thực hiện chuyên đề này học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, đường lối làm bài như thế nào mặc dù rất dễ. Thậm chí HS ác cảm với các bài toán về tỉ lệ thức. Sau khi được học và giới thiệu chuyên đề trên thì số em hiểu được cách giải bài toán tỷ lệ thức tăng lên rất rõ rệt. Các em thấy toán về tỉ lệ thức thật dễ, thật thích. Điều đó chứng tỏ việc phân dạng và sắp xếp bài tập, hướng dẫn giải các bài tập tỷ lệ thức là không thể thiếu được trong môi trường toán THCS. 2.Điều kiện áp dụng và triển vọng khi thực hiện giải pháp Để áp dụng giải pháp này nên thực hiện vào tiết luyện tập, buổi học chuyên đề cho học sinh nâng cao vốn kiến thức của mình, phát huy tính độc lập sáng tạo trong học tập