Sổ tích lũy chuyên môn Toán - Trần Thị Hoài Nam

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski, Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại .Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây. (a,b>0). (BĐT Cô-si) ( Bu nhi a cop xki) Ví dụ 1:Chứng minh (Với a,b,c > 0) Giải:2A - 2B = = Áp dụng bất đẳng thức .Ta có:2A - 2B .Vậy A B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0 Ví dụ 2: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng :. Giải: .Đẳng thức xảy ra khi Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : Giải: ; ; Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.. Ví dụ 1:Cho a > 0 và b > 0. Chứng minh rằng . Giải: Ví dụ 2: Chứng minh: .Với n là số tự nhiên và Giải: . Và : Suy ra: = Suy ra: A < ==========o0o========== Bài tập áp dụng: 1.Chứng minh:B = Với n là số tự nhiên và 2 . Cho C (a,b,c,d >0) .Chứng minh rằng : 3. Chứng minh . Trong đó x , y , z là 3 số dương và ===========o0o=========== * Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau: a,b,c là các số dương Tổng 2 cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh còn lại bé hơn 1 Ví dụ 1:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Chứng minh rằng : Giải: Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; a + c - b > 0; b + c - a > 0 Áp dụng BĐT ta được: ,tươngtự:; . Suy ra hay .(ĐPCM) Ví dụ 2:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng :. Giải: Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c tương tự ;;. Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM. =========o0o========== Ví dụ 1:Cho . Chứng minh rằng Giải: Giả sử : mặt khác: . Điều này trái với giả thiết .Vậy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Ví dụ 2: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau là sai: a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1 Giải: Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: a(2 - a). b(2 - b). c(2 - c) > 1. Nhưng a(2 - a) = 1 - (a2 - 2a + 1) 1; tương tự: b(2 - b) 1: c(2 - c) 1. Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT trên là sai. I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN: Khi chứng minh các BĐT có điều kiện dạng: ,ta thường dùng ẩn phụ để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn để đánh giá trực tiếp. Các bước như sau: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào Đặt Ví dụ 1: Cho a,b,c thoả mãn: a + b c 0. Chứng minh: Giải: Đặt: ; .Vì a + b 0. Do đó x + y = a + b - c 0 .Ta có: Ví dụ 2: Cho a,b thoả mãn: . Chứng minh: Giải: Đặt: ;.Ta có: II. MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN: Dạng: Cho . Chứng minh Ta chứng minh Từ Ví dụ 1: Cho a + b 1. Chứng minh rằng: Giải: Nhưng a + b 1 nên .Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0,5 Ví dụ 2: Cho a,b thoả mãn:. Chứng minh rằng: . Giải: Do và Nên Mà Suy ra: .Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức ( x ,y,...) a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) M ( M hằng số) (1) Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) m ( m hằng số) (1’) Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = m (2’) 2/ Chú ý :Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn ,xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2 A = 2 x -2 = 0 x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II/ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ,GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 0. Tìm GTLN của P nếu a 0 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + x ) + c = a( x + )2 + c - Đặt P = c - =k . Do ( x + )2 0 nên : - Nếu a 0 thì a( x + )2 0 , do đó P k. minP = k khi và chỉ khi x = - -Nếu a 0 thì a( x + )2 0 do đó P k maxP = k khi và chỉ khi x = - 2/ Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 minA = -36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 x1 = 1, x2 = 6. 3/ Biểu thức là một phân thức : a/ Phân thức có tử là hằng số ,mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN của A = . Giải : A = . = = . Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó theo tính chất a b thì với a, b cùng dấu). Do đó A - minA = - 3x – 1 = 0 x = . b/ Phân thức có mẫu là bìmh phương của nhị thức. Ví dụ : Tìm GTNN của A = . Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm A = = 2 + 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có : A = = 3 - + = ( -1)2 + 2 minA = 2 y = 1 x – 1 = 1 x = 2 c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : A = = - 1 -1 minA = -1 khi và chỉ khi x = 2 Tìm GTLN A = = 4 - 4 III/ TÌM GTNN., GTLN CỦA BIỂU THỨC CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN của x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 Xử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: Xử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1) Mà (x – y) 0 x2 - 2xy + y2 0 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2 minA = khi và chỉ khi x = y = Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + minA = khi và chỉ khi x = y = Cách 3/ Sử dụnh điều kiện đã cho để dưa về một biến mới Đặt x = + a thì y = - a . Biểu thị x2 + y2 ta được : x2 + y 2 = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 minA = a = 0 x = y = IV Các chú ý khi tìm bài toán cực trị : Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 +2 2 minA = 2 y = 0 x = 2 Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức kháư đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn nhất A nhỏ nhất lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0 Ví dụ : Tìm GTLN của Chú ý rằng A>0 nên A lớn nhất khi nhỏ nhất và ngược lại = .Vậy 1 min = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0 3/ Khi tìm GTLN , GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường xử dụng các bất đẳng thức đã biết. Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a,b,c,d > 0 thì a.c > b.d b) a > b và c >0 thì a.c > b.c c) a > b và c<0 thì a.c < b.c d) a > b và a,b,n >0 thì an > bn Bất đẳng thức Cô si: a + b 2 ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + +b2) ( x2 + y2) (ax + by)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y 3x = 2y 2x +3y 0 Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y và x2 + y2 là thành phần của bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = 2 và b = 3 ta có ( 2x + 3y )2 ( 22 + 32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 2x + 3y 26. Vậy maxA = 26 { -------------------Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0 Vậy max A 26 x =4 , y = 6 3/ Trong các hằng bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau -Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của tích xy , biết x,y là các số nguyên dương thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất x – y lớn nhất giả sử x > y ( không thể xãy ra x = y) Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1 NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ LỚP 8. Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh AB. L là điểm chia đường chéo AC theo tỉ số . Chứng minh LK LD. BÀI GIẢI Kẻ LM AB và LN AD. Tứ giác AMLN có nên nó là hình chữ nhật. AC là phân giác của nên AL là phân giác của . Vậy tứ giác AMLN là hình vuông. Suy ra : AM = AN , kết hợp với AB = AD nên MB = ND. LM // BC suy ra . Do đó : hay AB = 4MB Lại có AB = 2KB nên KB = 2MB. Vậy MB = MK nên MK = DN Từ đó ΔLND = ΔLMK . Suy ra : nhưng nên Vậy LK LD (đpcm). Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đáy BC và AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q. Chứng minh MN là tia phân giác của góc . BÀI GIẢI Gọi K là giao điểm của MQ và AD; H là giao điểm của PM và AD; E là giao điểm của PQ và BC. Do MN là trục đối xứng của hình thang cân nên MN AD Ta cần chứng minh KN = NH NK // ME (hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQK ) DN // BE (hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQD ) Do đó: (1) Chứng minh tương tự ta được: ( cùng bằng tỉ số ) (2) Từ (1) & (2) kết hợp với giả thiết NA = ND suy ra : NK = NH. Tam giác HMK có NH = NK và MN HK nên ΔHMK cân tại M. Do đó MN là tia phân giác của (đpcm) Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Trên tia đối của tia DC lấy điểm P . Gọi Q là giao điểm của PM và AC. Chứng minh rằng : BÀI GIẢI Gọi H là giao điểm của NQ và AD, K là giao điểm của NP và AD, E là giao điểm của PQ và BC. (hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔAQM) (hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔPCE) Mà AM = MD ( M là trung điểm AD) Nên . Do đó: (1) Lập luân tương tự: (2) (3) Từ (1); (2) ; (3) suy ra: Hình chữ nhật ABCD có M, N là trung điểm AD và BC nên MN AD ΔHNK có NM vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên ΔHNK cân ở N. Do đó NM là phân giác . Vậy (đpcm) Cách 2: Gọi O là giao điểm MN và AC, E là giao điểm của QN và DC. AM // CN và AM = CN (do AD// BC, AD = BC, và M , N là trung điểm AD; BC) nên tứ giác AMCN là hình bình hành. Suy ra: OM = ON. ΔQPC có MO // PC nên ΔQCE có NO // EC nên Do đó: . Mà OM = ON nên PC = EC. ΔNPE có nên cân ở N Mặt khác (do MN // CD) Do đó : (đpcm) Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng với C qua E. Đường thẳng d1 đi qua F song song với AD cắt AB tại I.Đường thẳng d2 đi qua F song song với AB cắt AD tại K. Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng. BÀI GIẢI Gọi O là giao điểm của AC và BD L là giao điểm của d1 và AC Q là giao điểm của AF và KI T là giao điểm của AF và BC Tam giác ACF có EO là đường nên EO // AT Tứ giác ADBT có AD// BT và BT// AD Suy ra BT = BC ( cùng bằng AD) Do FI // BT và IL // BC ta suy ra: (cùng bằng ) , nhưng BT = BC nên FI = IL Tam giác CLF có EI là đường trung bình nên IE//AC (1) Tứ giác AKFI có AK // FI & KF // AI nên nó là hình bình hành . suy ra Q là trung điểm của AF. Từ đó EQ là đường trung bình của tam giác AFC nên QE // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm Q ; I ; E thẳng hàng (Tiên đề Ơclit) Điểm K thuộc đường thẳng QI nên ba điểm I ; K ; E thẳng hàng. Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm E nằm giữa A và C. Gọi Bx là tia nằm giữa hai tia BA và BC. Các đường thẳng kẻ qua E song song BC và AB cắt tia Bx lần lượt tại N và M. Chứng minh AN // CM. Hướng dẫn: Đã có BC // EN . Muốn MC // AN cần chứng minh Do đó cần chứng minh hai tam giác CMK và NEA đồng dạng. BÀI GIẢI: Gọi H là giao điểm của NE và AB, K là giao điểm của EM và BC. Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác NHB có EM // HB ta được: (1) . Tương tự HE // BC nên : (2) Từ (1) & (2) suy ra: . Do đó: (3) Nhưng ( do EN // BK & EK // AB) nên (4) Từ (3) & (4) suy ra: , mà ( cùng bằng góc ABC) Vậy tam giác ANH và tam giác MKC đồng dạng. Suy ra: ; kết hợp với NH // BC ta được CM //AN (đpcm)