Tác dụng của hệ nội lực lên sự chuyển động của dòng chất lỏng không nhớt

1 tác dụng của hệ nội lực lên sự chuyển động của dòng chất lỏng không nhớt TS. Đặng Văn Ba Trường đại học Thuỷ Lợi Abstract - Base on studying the influence of internal force system on the motion of an ideal fluid flow, the author of this article has found that the total work done by internal forces acting on an ideal fluid flow moving steadily through sudden transition pipelines is remarkable. This total work that can be converted to thermal energy is lost to the flow and can not be reconverted causing a significant energy loss. Therefore, in the energy equation for steady ideal fluid flow moving through sudden transition pipelines should be introduced a local head loss term in order to obtaint more suitable calculating results. I. Đặt vấn đề. Chất lỏng không nhớt, hay còn gọi là chất lỏng lý tưởng, là chất lỏng hoàn toàn không có tính nhớt và không nén được. Do không có tính nhớt nên khi chuyển động sẽ không xuất hiện lực ma sát giữa các phần tử chất lỏng bên trong nội bộ của dòng chảy. Đó là nguyên nhân dễ làm chúng ta nghĩ rằng, sẽ không có sự hao tổn năng lượng dọc theo dòng chảy khi chất lỏng lý tưởng chuyển động ổn định trong mọi lòng dẫn. Thực ra, mặc dù không có lực ma sát theo phương tiếp tuyến do tính nhớt gây ra, nhưng giữa các phần tử chất lỏng bên trong nội bộ dòng chảy vẫn có lực tương tác theo phương pháp tuyến với mặt tiếp xúc giữa chúng, đó là các nội áp lực. Những lực đó tạo thành hệ nội lực tác dụng lên dòng chất lỏng không nhớt. Khi chất lỏng lý tưởng chảy ổn định qua lòng dẫn, mặc dù không nén được nhưng do rất dễ biến dạng, nên tổng công các nội lực tác dụng lên dòng chất lỏng lý tưởng nói chung là khác không. Nếu dòng chảy có biến dạng nhỏ thì tổng công nội lực là bé có thể bỏ qua được. Nhưng khi chất lỏng lý tưởng chảy qua lòng dẫn đột ngột thay đổi về kích thước, sự biến dạng của nội bộ dòng chảy tại những nơi đó sẽ rất lớn, do đó tổng công các nội lực sẽ là một đại lượng đáng kể không thể bỏ qua được. Vậy trong những trường hợp đó, ta có thể xem dòng chảy ổn định của chất lỏng lý tưởng không có sự hao tổn năng lượng được không ? Với những dòng chất lỏng lý tưởng chảy ổn định qua các lòng dẫn đột ngột biến dạng như đột ngột mở rộng, đột ngột thu hẹp, gẫy khúc hay có van khoá thì phương trình năng lượng của dòng chảy sẽ có dạng như thế nào ? Đó là những vấn đề mà tác giả muốn nêu ra để giải quyết trong nội dung của bài viết này. II . T cá dụng của hệ nội lực lên dòng chất lỏng lý tưởng . Xét một thể tích chất lỏng lý tưởng chuyển động bị giới hạn bởi mặt kín . Khi đó, nội lực là những lực tương tác giữa các phần tử chất lỏng bên trong mặt kín  với nhau thoả mãn nguyên lý tác dụng và phản tác dụng của Cơ học Newton [8], [11], [12]. Chẳng hạn xét hai phân tử chất lỏng bất kỳ M1 và M2 bên trong . Do không có tính nhớt nên lực tác dụng tương hỗ giữa M1 và M2 không có thành phần ma sát theo phương tiếp tuyến mà chỉ có thành phần áp lực theo phương pháp tuyến của mặt tiếp xúc giữa các phần tử M1 và M2 là 1F  và 2F  . Theo nguyên lý tác dụng và phản tác dụng ta có: 21 FF  (1) 2 Hình 1 Gọi 21 , uu là lưu tốc của điểm đặt các lực 21 , FF . Do các phần tử chất lỏng dễ biến dạng, nên nói chung các véc tơ lưu tốc 21 , uu sẽ không song song với nhau mà chúng sẽ hợp với véc tơ lực 2F những góc 1, 2 nào đó ( Hình 1 ). Vì thế tổng công của các nội áp lực 21 , FF sinh ra trên các dịch chuyển yếu tố dtu1 và dtu 2 sẽ là:  dtuFdtuFAik 1122 ...  dtuFdtuF .... 1222 (2) )cos.cos.(. 11222  uudtF  Xét cả khối chất lỏng bên trong mặt kín  sẽ có vô số cặp nội áp lực như ),( 21 FF ở trên hợp lại thành hệ nội lực tác dụng lên dòng chảy. Vì thế, tổng công của hệ nội lực sinh ra trong quá trình chuyển động là tổng công của vô số các cặp lực ),( 21 FF như vậy tạo nên. Khi chất lỏng chuyển động trong lòng dẫn, nếu dòng chảy bị biến dạng thì trong trường hợp tổng quát, ta sẽ có: 0cos.cos. 1122   uu (3) Từ các biểu thức (2) và (3) ta thấy khi cả khối chất lỏng chuyển động mà lưu tốc của các phần tử trong dòng chảy khác biệt nhau do sự biến dạng gây ra, thì tổng công các nội lực tác dụng lên dòng chất lỏng lý tưởng sẽ khác không, nghĩa là có ikA  0. Vậy, khi chất lỏng lý tưởng chuyển động ổn định trong lòng dẫn, ta thấy có hai trường hợp sau đây có thể xảy ra: 1- Dòng chảy có biến dạng lớn do chuyển động biến đổi gấp qua lòng dẫn đột ngột mở rộng, đột ngột thu hẹp, gẫy khúc, có van khoá... thì lưu tốc của các phần tử chất lỏng tại những nơi biến dạng đột ngột sẽ rất khác biệt nhau ( Hình 1 ). Do đó tổng công nội lực ikA sẽ là một đại lượng đáng kể không thể bỏ qua được, cho nên với dòng chảy có biến dạng lớn, ta phải xét tới đại lượng ikA  0 thì định luật bảo toàn năng lượng mới phù hợp. Hình 2 1 2 2F 2u 1u M2 1F M1  1F  2F 1u 2u M1 M2 3 p1 2- Dòng chảy có biến dạng bé do chảy đều hoặc chảy biến đổi dần trong lòng dẫn có kích thước và hình dáng ít thay đổi. Khi đó, lưu tốc của các phần tử chất lỏng gần như song song và bằng nhau tại mọi điểm trong dòng chảy ( Hình 2 ), do đó có thể coi: u1 = u2 ; 1 = 2 =  nên từ (2) ta có thể suy ra ikA = 0. Vậy với dòng chảy có biến dạng bé ta không cần xét tới tổng công các nội lực, nghĩa là có thể coi ikA = 0 ( chú ý rằng kết quả này là hiển nhiên đối với vật rắn tuyệt đối bởi vì nó không bao giờ biến dạng [8], [11] , [12]). III. Phương trình năng lượng của dòng chất lỏng lý tưởng trọng lực chảy ổn định. Xét một dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định dưới tác dụng của lực khối là trọng lực. Gọi  là khối lượng riêng của chất lỏng, vì không nén được nên  = const . gF  là lực khối đơn vị. Ngoài F , ngoại lực còn có áp lực thuỷ động tại các mặt cắt 1-1, 2-2 và áp lực vuông góc lên các mặt xung quanh của ống dòng nguyên tố ( Hình 3 ). Hình 3 Để viết phương trình năng lượng cho dòng chất lỏng lý tưởng, ta hãy áp dụng định lý động năng cho một đọan dòng nguyên tố từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, sau khoảng thời gian dt, ta có: T-T0 = e kA + i kA (4) Trong đó:  T0 là động năng của dòng nguyên tố tại thời điểm t0, khi khối chất lỏng nằm trong đoạn dòng từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2.  T là động năng của dòng nguyên tố tại thời điểm t0 + dt, khi khối chất lỏng nằm trong đoạn dòng từ mặt cắt 1’-1’ đến mặt cắt 2’-2’.  ekA và i kA là tổng công các ngoại lực và tổng công các nội lực sinh ra khi đoạn dòng nguyên tố dịch chuyển từ vị trí 1-1/2-2 đến vị trí 1’-1’ / 2’-2’ sau khoảng thời gian dt. z2 1 0 0 z1 p2 2 2 2’ 2’ 1’ 1’ 1 4 Việc tính toán chi tiết các số hạng trong phương trình (4), ta đã có trong các giáo trình thuỷ lực [5], [13] hoặc cơ học chất lỏng [6], tóm lại nếu thừa nhận ikA  0, ta sẽ nhận được: dtdQ A g up z g up z i k .. )( 22 2 22 2 2 11 1    (5) Trong đó:  dQ là lưu lượng của dòng nguyên tố.  p1, p2 và u1, u2 là áp suất thuỷ động và lưu tốc của trọng tâm các mặt cắt 1-1 và 2-2. Nếu đặt: dtdQ A d i k .. )(    (6) Thì ta sẽ nhận được phương trình năng lượng của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định đôí với một đơn vị trọng lượng chất lỏng, dưới dạng: d g up z g up z  22 2 22 2 2 11 1  (7) Đến đây, dựa vào sự phân tích tổng công nội lực ikA ở phần trước, ta nhận thấy: 1-Với dòng chất lỏng lý tưởng có biến dạng lớn như trường hợp chảy ổn định qua lòng dẫn đột ngột mở rộng, đột ngột thu hẹp, gẫy khúc hay có van khoá...thì tổng công các nội lực ikA  0 đã sản ra nhiệt năng, mất đi không lấy lại được, làm cho dòng chảy có sự tổn hao năng lượng đáng kể, thể hiện qua cột nước tổn thất cục bộ d  0 của dòng nguyên tố. Khi đó, ta phải dùng phương trình năng lượng (7) thì kết quả nhận được mới phù hợp. 2-Với dòng chất lỏng lý tưởng có biến dạng bé như trường hợp chảy đều hoặc chảy biến đổi dần qua lòng dẫn có hình dạng và kích thước thay đổi từ từ thì có thể coi ikA = 0, nên d = 0, khi đó phương trình năng lượng (7) sẽ có dạng: g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1   (8) Phương trình này hoàn toàn tương tự Phương trình Bernoulli đối với dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định dưới tác dụng của lực khối là trọng lực mà chúng ta đã biết [2]. Chú ý rằng các phương trình (7) và (8) chỉ là phương trình năng lượng của dòng nguyên tố. Để tìm phương trình năng lượng cho cho toàn dòng, ta hãy tích phân các phương trình (7) và (8) trên toàn mặt cắt ngang của dòng chảy. Điều kiện để việc lấy tích phân được dễ dàng là:  Các mặt cắt 1-1 và 2-2 phải đổi dần, để trên mỗi mặt cắt đó, ta luôn luôn có: const p z    Lưu lượng Q = const từ mặt cắt 1-1 đến 2-2.  Các véc tơ lưu tốc 21 ,uu phân bố đều trên các mặt cắt 1-1, 2-2. Việc tích phân các phương trình (7) và (8) được làm hoàn toàn tương tự như với phương trình Bernoulli của toàn dòng chất lỏng thực [4], [5] ,[13] sau khi rút gọn, cuối cùng ta nhận được: D g up z g up z  22 2 22 2 2 11 1  (9) và: 5 g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1   (10) Trong đó (9) là phương trình năng lượng của toàn dòng chất lỏng lý tưởng trọng lực chảy ổn định qua lòng dẫn đột ngột biến dạng với D là cột nước tổn thất cục bộ của toàn dòng chảy trên một đơn vị trọng lượng chất lỏng từ mặt cắt 1-1 đến 2-2; còn (10) là phương trình năng lượng của toàn dòng chất lỏng lý tưởng trọng lực chảy ổn định đều hoặc biến đổi dần do đó hoàn toàn không có tổn thất cột nước. Để làm ví dụ minh hoạ, ta hãy xét một dòng chất lỏng lý tưởng chảy ổn định có áp qua một đường ống mở rộng đột ngột đặt nằm ngang từ tiết diện 1 sang 2 với 1 < 2 như hình vẽ 4: Hình 4 Gọi p1, p2 là áp suất thuỷ động tại trọng tâm các mặt cắt 1-1, 2-2, theo định lý Belanger [1], [6], [14] ta có: )(. 12221 uuupp   (11) Trong đó 21 ,uu là lưu tốc của các phần tử chất lỏng nằm trên các mặt cắt 1-1 và 2-2 (cách xa nơi lòng dẫn đột ngột mở rộng), được xem là phân bố đều trên các mặt cắt 1-1 và 2-2 đó. Để lựa chọn phương trình năng lượng thích hợp, trước hết ta hãy giả thiết dòng chất lỏng lý tưởng chảy qua đoạn đột ngột mở rộng trong ví dụ này hoàn toàn không có tổn thất cột nước, nghĩa là có thể áp dụng phương trình (10) cho đoạn dòng từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, ta có: g up g up 22 2 22 2 11   (12) Kết hợp (11) với (12) ta nhận được biểu thức: 0 2 )( 221   g uu (13) Biểu thức (13) buộc phải có điều kiện 21 uu  , nhưng điều kiện đó hoàn toàn vô lý vì nó vi phạm phương trình liên tục: 2211 ..  uu  (14) Tuy nhiên nếu thừa nhận đây là dòng chảy có biến dạng lớn nên sẽ tồn tại cột nước tổn thất cục bộ 0D đối với chất lỏng lý tưởng chảy qua lòng dẫn đột ngột biến dạng, khi đó áp dụng phương trình năng lượng (9) cho đoạn dòng từ mặt cắt 1-1 đến 2-2, ta sẽ nhận được: 1u 2u p1 p2 2 1 1 1 2 2 6                  g up g up D 22 2 22 2 11  (15) Kết hợp (15) với (11), sau khi biến đổi và rút gọn, ta nhận được công thức:   g uu D 2 2 21  (16) Công thức này với 0D là hoàn toàn hợp lý vì nó sẽ thoã mãn phương trình liên tục (14). Chúng ta cũng có thể nhận được các kết quả hợp lý đối với dòng chất lỏng lý tưởng chảy qua lòng dẫn đột ngột thu hẹp, đột ngột gẫy khúc hay có van khoá... khi áp dụng phương trình năng lượng (9) cho những dòng chảy đó. IV. Kết luận. Công thức (16) tương tự công thức Borda để tính cột nước tổn thất đột mở trong dòng chảy thực tế. Điều đó cho thấy cột nước tổn thất cục bộ hc của dòng chảy thực tế, nói chung chủ yếu do sự tác dụng của các nội áp lực gây ra, chứ không phải do các lực nội ma sát giữa các lớp chất lỏng gây ra. Nhận xét này khá phù hợp với các kết quả nghiên cứu thực nghiệm về hiện tượng tổn thất cột nước cục bộ cuả dòng chảy thực tế trong các lòng dẫn đột ngột biến dạng [4], [5], [7],[10]. Việc phát hiện dòng chất lỏng lý tưởng chẩy ổn định qua lòng dẫn đột ngột biến dạng cũng có cột nước tổn thất cục bộ, đã góp phần hoàn thiện phương trình năng lượng của dòng chất lỏng lý tưởng, một trong những phương trình cơ bản nhất của Cơ học chất lỏng. Nó còn cho ta thêm một cơ sở lý luận để nghiên cứu hiện tượng tổn thất năng lượng cục bộ trong dòng chảy thực tế, điều mà xưa nay ta chủ yếu chỉ dựa vào nghiên cứu thực nghiệm. Tài liệu tham khảo [1]-Bergua J. & Vecchiato C. , 1994, Mécanique des Fluides - Exercices et Problèmes Résolus, Bréal . [2]-Bernoulli Daniel , 1968, Hydrodynamics , Dover, New York . [3]-Bradshaw P.A., 1970, Experimental Fluid Mechanics,Pergamon,Elmsford, New York. [4]-Carlier M., 1972, Hydraulique gộnộrale et appliquộe, Eyrolles . [5]-Chugaev R.R., 1975, Hydraulics , Energya, Leningrad (in Russian) . [6]-Comolet R., 1961, Mécanique Expérimentale des Fluides, Masson et Cie,Editeurs,Paris . [7]-Featherstone R.E. & Nalluri C., 1995, Civil Engineering Hydraulics, Blackwell Science Ltd, London . [8]-Ferdinand P.B., Russell E., Johnston Jr., 1962, Vector Mechanics for Engineers, Mc Graw -Hill Book Co., New York. [9]-Liggett J.A. , 1994, Fluid Mechanics, Mc Graw- Hill, Inc., New York . [10]-Mironer A., 1979, Engineering Fluid Mechanics, Mc Graw- Hill Book Co.,Tokyo. [11]-Starjinski V., 1984 , Mécanique rationnelle, ô Mir ằ, Moscow. [12]-Targ S., 1976 , Theoretical Mechanics, Mir Publishers, Moscow. [13]-Vũ Văn Tảo & N.C. Cầm, 1987, Thuỷ lực tập I, NXB. ĐH & THCN., Hà nội. [14]-White F.M., 1994, Fluid Mechanics, Mc Graw- Hill Book Co., New York.