Tài liệu Ánh xạ

ÁNH XẠ Anh xạ f: X Y A ⊂ X , B ⊂ Y x f(x) f: ánh xạ ⇔ ( ) 1 2 1 2x x f(x ) f(x )= ⇒ = f(A) = ⎨y∈Y ⎪ ∃ a∈A : f(a) = y⎬ (ảnh) f–1(B) = ⎨x∈X ⎪ f(x)∈B⎬ ( tạo ảnh) f: đơn ánh ⇔ 1 2 1 1 2 1 2 f(x ) f(x ) x x x x f(x ) f(x 2 ) = ⇒ =⎡⎢ ≠ ⇒ ≠⎣ f: toàn ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃ x∈X : f(x) = y f: song ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃! x∈X : f(x) = y ∃f–1 ⇔ f: song ánh QUAN HỆ TRÊN TẬP HỢP Quan hệ tương đương ∀x∈X, x  x (phản xạ) ∀x,y∈X, x  y ⇒ y  x (đối xứng) ∀x,y,z∈X, x  y và y  z ⇒ x  z (bắc cầu) Quan hệ thứ tự ∀x∈X, x ≤ x (phản xạ) ∀x,y∈X, x ≤ y và y ≤ x ⇒ y = x (phản đối xứng) ∀x,y,z∈X, x ≤ y và y ≤ z ⇒ x  z (bắc cầu) Lớp tương đương: C(a) = [a] = ⎨x∈X ⎪ a  x ⎬ NHÓM (X,) – nửa nhóm ⇔ ∀x, y, z ∈ X: (x.y).z = x.(y.z) (X,) – vị nhóm ⇔ ⎨ x,y,z X : (x.y).z x.(y.z)e X : x X, x.e e.x x ∀ ∈ =⎧ ∃ ∈ ∀ ∈ = =⎩ (X,) – nhóm ⇔ x,y,z X : (x.y).z x.(y.z) e X : x X, x.e e.x x x X, x ' X : x.x ' x '.x e ∀ ∈ =⎧⎪∃ ∈ ∀ ∈ = =⎨⎪∀ ∈ ∃ ∈ = =⎩ ⇔ X , (X, ) nöûa nhoùm e X : x X, e.x x x X, x ' X : x '.x e ≠ ∅ −⎧⎪∃ ∈ ∀ ∈ =⎨⎪∀ ∈ ∃ ∈ =⎩ o ⇔ X , (X, ) nöûa nhoùm a,b X : pt ax b vaø ya b coù nghieäm trong X ≠ ∅ −⎧⎨∀ ∈ = =⎩ o (X,) – nhóm ebel ⇔ x,y,z X : (x.y).z x.(y.z) e X : x X, x.e e.x x x X, x ' X : x.x ' x '.x e x,y X, x.y y.x ∀ ∈ =⎧⎪∃ ∈ ∀ ∈ = =⎪⎨∀ ∈ ∃ ∈ = =⎪⎪∀ ∈ =⎩ 1 1 1 n 1 1 n n m m n n m m.n e, x' cuûa x laø duy nhaát x,y,z X, xy xz (yx zx) y z (X, ) nhoùm x,y X : (xy) y .x m,n : (a ) (a ) , a .a a , (a ) a − − − − − + ⎧⎪∀ ∈ = = ⇒ =⎪− ⇒ ⎨∀ ∈ =⎪⎪∀ ∈ = = =⎩ Nhóm con A của nhóm X (A X) (A,+) ổn định ⇔ ∀x,y ∈ A ⇒ x + y ∈ A A X ⇔ 1 1 A , A X x,y A, xy A x,y A,xy A x A,x A − − ≠ ∅ ⊂⎧⎪∀ ∈ ∈ ⎫⎨ ⇔ ∀ ∈ ∈⎬⎪∀ ∈ ∈ ⎭⎩ Nhóm con sinh bởi A, nhóm con xyclic sinh bởi a Cho (X,) – nhóm, A ≠ (, A ⊂ X. Ta nói nhóm con của X sinh bởi A, k/h 〈A〉, nếu i i iA X , X X, A X i= ⊂ ∀I „ (Nhóm con sinh bởi A là nhóm con nhỏ nhất chứa A) Nếu A = {a} thì ta nói nhóm con xyclic của X sinh bởi a, k/h 〈a〉, a đgl phần tử sinh của X. Nếu ∃ a∈X: 〈a〉 = X thì X đgl nhóm xyclic Nếu ∃A⊂X: 〈A〉 = X thì A đgl tập sinh của X. Lớp kề của A trong X {A ≤ X, ∀x ∈ X: } { }1xA y X x y A xa a A−= ∈ ∈ = ∈ (lớp kề trái) { } { }1Ax y X yx A ax a A−= ∈ ∈ = ∈ (lớp kề phải) Lưu ý: xA = yA ⇔ x–1y ∈ A Nhóm con chuẩn tắc A của nhóm X (A ⊲ X) A ⊲ X ⇔ ⎪⎨ 1 1 A , A X a, b A, ab A x X, a A, x ax A − − ≠ ∅ ⊂⎧ ∀ ∈ ∈ ⎪∀ ∈ ∀ ∈ ∈⎩ ⇔ 1 A , A X a,b A, ab A x X, xA Ax − ≠ ∅ ⊂⎧⎪∀ ∈ ∈⎨⎪∀ ∈ =⎩ Lưu ý: Trong 1 nhóm abel, mọi nhóm con đều chuẩn tắc. Nhóm thương của X trên A Nếu A ⊲ X thì { }X xA x XA = ∈ với xA.yA = xyA đgl nhóm thương của X trên A. Nhóm xyclic (X,) – nhóm xyclic ⇔ ∃a∈X: x = am, ∀x∈X, m∈Ζ (a–phần tử sinh) { }ka a : k= ∈ Cấp của nhóm, phần tử của nhóm Cấp của nhóm X, kí hiệu X , là số phần tử của X. Cấp của a∈X m m * min Neáu a e, m 0 thì a coù caáp voâ haïn Neáu a e, m thì m ñgl caáp cuûa a. K/h: ord(a) ≠ ∀ > = ∈ ĐL Lagrange: (X,) – nhóm hữu hạn, A ≤ X ⇒ XX A . A= Lưu ý: Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùng cấp. Cấp của mọi nhóm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nó. Hai nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp) Tâm của nhóm X ( Z(X) ) Z(X) = ⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬ Lưu ý: X abel ⇔ X = Z(X) Z(X) là nhóm con abel của X ĐỒNG CẤU Đồng cấu nhóm axf : X YX, Y là nhóm, ⎯→ ⎯ f đgl đồng cấu nhóm ⇔ f(ab) = f(a).f(b) ∀a,b ∈X ñôn aùnh ñgl ñôn caáu (pheùp nhuùng) Ñoàng caáu & toaøn aùnh ñgl toaøn caáu song aùnh ñgl ñaúng caáu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu nhóm { } 1Y YKerf x X f(x) e f (e )−= ∈ = = { } Im f f(x) x X f(X)= ∈ = Tính chất của đồng cấu nhóm a) [ ] X Y 11 f(e ) e f(x ) f(x) −− =⎧⎪⎨ =⎪⎩ b) { }X 1 f ñôn caáu Kerf e f toaøn caáu Im f Y f ñaúng caáu f ñaúng caáu− ⎧ ⇔ =⎪ ⇔ =⎨⎪ ⇒⎩ c) 1 Kerf X, Im f Y A X f(A) Y B X, f (B) X− ⎧⎪ ⇒⎨⎪⎩ < < < „ „ „ Định lí cơ bản của đồng cấu nhóm ñoàng caáu nhoùmf : X Y⎯⎯⎯⎯⎯→ Cho toaøn caáu chính taéc Xh : X Kerf x x x ⎯⎯⎯⎯→ |⎯⎯⎯→ = Kerf Khi đó: 1) ñôn caáuX! g : Y s / c g h fKerf∃ ⎯⎯⎯→ o = ( )Xvôùi , A Kerf thì g ñôn caáuA = 2) Img = Imf Đặc biệt: Nếu Xg : Im fKerf ⎯⎯→ thì g đẳng cấu. Khi đó: X Im fKerf ≅ Nếu là toàn cấu thì f : X Y⎯⎯→ X YKerf ≅ Lưu ý: Để cm X YA ≅ , ta cm các bước sau: B1: là ánh xạ f : X Y⎯⎯→ B2: f là toàn cấu B3: Kerf = A Định lí đẳng cấu X – nhóm, A,B ⊲ X, A ⊂ B ⇒ ( ) ( ) X A X BB A ≅ VÀNH (X,+,) – vành ⇔ Tính chất của vành Ox = xO = O , ∀x∈X (–x)y = x(–y) = –(xy) , ∀x,y∈X (–x)(–y) = xy , ∀x,y∈X x(y – z) = xy – xz , ∀x,y∈X (x – y)z = xz – yz , ∀x,y∈X (nx)y = x(ny) = n(xy) , ∀x,y∈X , ∀n∈Ζ (x1 + + xm) (y1 + + yn) = m n i j i 1 j 1 x x = = ∑∑ , ∀xi,yj∈X n n i n i i 0 n!X vaønh giao hoaùn (x y) x y , x,y X,n i!(n i)! − = − ⇒ + = ∀ ∈−∑ ∈ Nhóm các ước của đơn vị (nhóm các phần tử khả nghịch) { }Vành X có đơn vị là 1 và *X x X y X, xy yx 1= ∈ ∃ ∈ = = Khi đó: (X*,) đgl nhóm các ước của đơn vị. Ước của 0 X–vành, a,b∈X, a≠0, b≠0, có ab = 0 thì a–ước trái của 0, b–ước phải của 0 Miền nguyên Miền nguyên ⇔ Vaønh giao hoaùn coù ñôn vò 1 0 (coù hôn 1 ptöû) khoâng coù öôùc cuûa 0 ≠⎧⎨⎩ Một vành giao hoán X có đơn vị 1 ≠ 0 là một miền nguyên khi và chỉ khi trong X có luật giản ước: ab = ac, a ≠ 0 ⇒ b = c , ∀a,b,c∈X Tích trực tiếp Vành X1 × X2 × × Xn đgl tích trực tiếp của các vành X1, , Xn nếu tập tích được đ/n phép + và sau: (x1, ,xn) + (y1, ,yn) = (x1+y1, ,xn+yn) (x1, ,xn) (y1, ,yn) = (x1y1, ,xnyn) Vành con A của X (A X) A (X, ) x,y A xy A +⎧⎨A X ⇔ ∈ ⇒ ∈⎩ „ ⇔ A , A X x,y A, x y A x,y A, xy A ≠ ∅ ⊂⎧⎪∀ ∈ − ∈⎨⎪∀ ∈ ∈⎩ Tâm của vành ( Z(X) ) Z(X) = ⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬ Lưu ý: Z(X) X Iđêan A của vành X (A X) A X ⇔ A , A X a,b A, a b A a A, x X, xa A, ax A ≠ ∅ ⊂⎧⎪∀ ∈ − ∈⎨⎪∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∈⎩ Lưu ý: Để cm A là iđêan nhỏ nhất chứa a, giả sử B là iđêan của X mà chứa a rồi cm A ⊂ B Iđêan sinh bởi một tập, iđêan chính sinh bởi a Giả sử X–vành, A ≠ (, A ⊂ X. Khi đó, iđêan của X sinh bởi tập A (hay iđêan bé nhất của X chứa A), k/h: (A), nếu (A)= Xi , Xi X , A ⊂ Xi , ∀i Nếu A = ⎨a⎬ thì iđêan sinh bởi A đgl iđêan chính sinh bởi a. K/h: (a) Đặc biệt: Nếu X là vành giao hoán có đơn vị thì { }(a) ax x X= ∈ Mô tả: Iđêan trái chính của X sinh bởi a: { }Xa xa x X= ∈ Iđêan phải chính của X sinh bởi a: { }aX ax x X= ∈ Iđêan chính sinh bởi a: m i i i i i 1 (a) RaR x ay x ,y X,n = ⎧ ⎫= = ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ Vành các iđêan chính. Miền chính Một vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 trong nó mọi iđêan đều là iđêan chính đgl vành các iđêan chính. Một vành các iđêan chính đồng thời là một miền nguyên đgl miền chính. Vành thương của vành X theo iđêan A Giả sử A X. Khi đó: A ⊲ (X,+). Ta có: { }X x A x XA = + ∈ với 2 phép toán: (x A) (y A) (x y) A+ + + = + + (x A).(y A) xy A+ + = + là vành thương của vành X trên iđêan A. ĐỒNG CẤU Đồng cấu vành axf : X YX, Y là vành, ⎯→ ⎯ f đgl đồng cấu vành ⇔ f(x y) f(x) f(y) x,y X f(xy) f(x).f(y) + = +⎧ ∀ ∈⎨ =⎩ ñôn aùnh ñgl ñôn caáu (pheùp nhuùng) Ñoàng caáu & toaøn aùnh ñgl toaøn caáu song aùnh ñgl ñaúng caáu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu vành { } 1Y YKerf x X f(x) 0 f (0 )−= ∈ = = { }Im f f(x) x X f(X)= ∈ = Tính chất của đồng cấu vành X Y n n * f(0 ) 0 f( x) f(x) f(a b) f(a) f(b) a,b X f(a ) [f(a)] a X, n =⎧⎪ − = −⎪⎨ − = − ∀ ∈⎪⎪ = ∀ ∈ ∀ ∈⎩ a) Kerf X, Imf Y b) A X ⇒ f(A) Y B Y ⇒ f–1(B) X Định lí cơ bản của đồng cấu vành Cho ñoàng caáu vaønhf : X Y⎯⎯⎯⎯⎯→ toaøn caáu chính taéc Xh : X Kerf x x x ⎯⎯⎯⎯→ |⎯⎯⎯→ = +Kerf Khi đó: 1) ñôn caáuX! g : Y s / c g h fKerf∃ ⎯ ⎯⎯→ =o( )Xvôùi , A Kerf thì g ñôn caáuA = 2) Img = Imf Đặc biệt: Nếu Xg : Im fKerf ⎯⎯→ thì g đẳng cấu. Khi đó: X Im fKerf ≅ Nếu là toàn cấu thì f : X Y⎯⎯→ X YKerf ≅ Lưu ý: Để cm X YA ≅ , ta cm các bước sau: B1: là ánh xạ f : X Y⎯⎯→ B2: f là toàn cấu B3: Kerf = A Thể (X,+,) – thể ⇔ vaønh X coù ñôn vò 1 0 x X, x ' X : xx ' x 'x 1 ≠⎧⎨∀ ∈ ∃ ∈ = =⎩ Trường (X,+,) – trường ⇔ thể giao hoán ⇔ vaønh X giao hoaùn coù ñôn vò 1 0 x X, x ' X : x 'x xx ' 1 ≠⎧⎨∀ ∈ ∃ ∈ = =⎩ ⇔ (X, ),(X, ) - nhoùm aben x(y z) xy xz x,y,z X, (y z)x yx zx +⎧⎪ + = +⎧⎨∀ ∈ ⎨⎪ + = +⎩⎩ Trường con A – trường con của trường X ⇔ 1 A X, A nhieàu hôn 1 phaàn töû a, b A, a b A a, b A, b 0, ab A− ⎧ ⊂⎪∀ ∈ − ∈⎨⎪∀ ∈ ≠ ∈⎩