Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi 9

hứng minh rằng: các phương trình sau vô nghiệm: a) ( )2 2 2 2 2 2 0c x a b c x b+ - + =- b) ( )2 2 2 2 2 2 0a x a b c x b+ - + =+ Bài 4: Trong tất cả các cặp số ( ); x y là nghiệm của phương trình: 2 2 8 7 0x xy y x- + + + = . Hãy tìm một cặp số ( ); x y sao cho y đạt max. Bài 5: Tìm cặp số ( ); x y là nghiệm của phương trình: 2 4 3 2 216 68 4 0x y xy y xy x- + - + = Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu 2b c+ ³ thì ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: 2 22 0 (1) 2 0 (2)x bx c x cx b+ + = + + = Bài 7: Cho hai phương trình: ( )2 1 1 0   1x b x c+ + = và ( ) 2 2 2 0    2  x b x c+ + = . Biết ( )1 2 1 22 bb c c³ + , cứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên là có nghiệm. Bài 8: Cho hai phương trình: ( )2 31 1 1 2   0   1 2 x b x c+ + - = và ( )2 2 3 2 1 2   0 2    2 x b x c+ + - = . Biết 1 2 1 2 1 2 0;   0 và 3  b b bb c c> > ³ + , chứng minh rằng hai phương trình trên không thể cùng vô nghiệm. Bài 9: Tìm m để hai phương trình ( )22 3 2 12 0 x m x- + + = và ( )24 9 2 36 0x m x- - + = có nghiệm chung. Bài 10: Cho phương trình ( )4 2 4 44 2 0x m x m m++ ++ + = , ẩn x, m là tham số. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các nghiệm có thể có của phương trình khi m thay đổi. Bài 11: Cho các phương trình 2 0ax bx c+ + = (1) và 2 0cx bx a+ + = (2) với 0ac < . Gọi ,a b lần lượt là hai nghiệm lớn nhất của (1) và (2). Chứng minh rằng 2a b+ ³ . B. ĐỊNH LÍ VIETE Bài 12:Cho phương trình:( ) 23 2 6 5 3m x mx m+ - + = - . Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm 1 2, x x sao cho 2 2 1 2 1 2 0x x x x+ > . Bài 13:Cho phương trình: ( )22 1 1 0x m x m+ + + - = có hai nghiệm 1 2, x x sao cho: 1 2 1 2.x x x x- = Bài 14:Cho phương trình:( ) ( )2 25 3 3 1 2 0k k x k x- + + - + = .Tìm k để phương trình có nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia. Bài 15:Cho phương trình 2 5 4 0x mx m- - = . Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x sao cho biểu thức 22 2 1 2 2 1 2 5 12 5 12 x mx mm x mx m m + + + + + đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 16:Tìm m để phương trình: 2 2 ( 1) 1 0x mx m x m- + - - + = có 4 nghiệm phân biệt. Bài 17: Tìm m để phương trình: 2 2( 3) 2 7 0x m x m- - + - = có 2 nghiệm lớn hơn -1. Bài 18: Tìm m để phương trình: 22 (2 3) 1 0x m x m- + + - = có hai nghiệm nhỏ hơn 2. Bài 19:Cho phương trình: 2 ( 0)0 ax bx c a+ + = ¹ có 23 16 0b ac- = . Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 5 Bài 20:Cho 0a ¹ , gọi 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình 2 2 0 1 2m x mx =− − với 0m . Chứng minh rằng 4 4 1 2 2 2x x+ ³ + . Bài 21:Giả sử 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình 2 3 0x x+ - = . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 3 2 1 2 4 1019P x x= - + . Bài 22:Gọi ( )1 2 1 2, x x x x> là các nghiệm của phương trình bậc hai 2 85 21 0 4 16 x x- + = . Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức 1 2 3 3x x- . Bài 23:Cho phương trình: ( )4 2 21 1 0x m x m+ - + - = . Tìm điều kiện của m để: a) Phương trình vô nghiệm. b) Phương trình có đúng 1 nghiệm. c) Phương trình có đúng hai nghiệm d) Phương trình có đúng 3 nghiệm. Bài 24:Cho phương trình:( ) ( )4 21 2 1 3m x m x m- + - + = . Tìm điều kiện của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Bài 25:Tìm nghiệm 1 2 , x x của phương trình: 2 0x bx c+ + = biết 1 2 , x x là hai số nguyên và 10;b c b+ = là số nguyên. Bài 26: Cho phương trình: ( )4 2 22 4 8 0x m x m- + + + = . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt lập trên trục hoành 3 đoạn có độ dài bằng nhau. Bài 27: Cho phương trình: ( )( )( )( )2 3 4 1x x x x m- + - + = có 4 nghiệm 1 2 3 4, , , x x x x . Tìm điều kiện của m để 4 nghiệm đó thỏa mãn điều kiện: 1 2 3 4 1 1 1 1 2000 x x x x + + + = . Bài 28: Cho phương trình ( )2 0 0ax bx c a+ + = ¹ có hai nghiệm ,m n thỏa mãn 0 , 1m n£ £ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )( ) ( ) 2a b a c M a a b c - - = - + . Bài 29: Gọi 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình bậc hai 2 2004 1 0x x+ + = và 3 4 , x x là các nghiệm của phương trình 2 2005 1 0x x+ + = . Tính giá trị biểu thức ( )( )( )( )3 2 3 4 21 1 4x x x x x x x x+ + - - . Bài 30: Cho phương trình 2 0 ( 0)ax bx c a+ = ¹+ có hai nghiệm 1 2 , x x . Đặt 1 2 n n n S x x= + với n = 1, 2, Chứng minh rằng: 2 1 . . . 0 n n n a S bS c S + + + + = . Bài 31: Tính giá trị biểu thức: a) ( ) ( ) 8 8 1 2 1 2- + + b) ( ) ( ) 6 6 3 2 2 3 2 2+ + - Bài 32: Tìm phần nguyên của các số sau: a) ( ) 7 7 4 3+ b) ( ) 8 4 15+ c) ( ) 1999 45 1999+ Bài 32: Chứng minh rằng ( ) ( )7 4 3 7 4 3 n n A = + + - nhận giá trị nguyên và không chia hết cho 13. Bài 33: Chứng minh rằng phần nguyên của số ( )2 3 n + luôn là số lẻ với mọi số tự nhiên n. Bài 34: Giả sử 1 2 , x x là hai nghiêm của phương trình ( )2 1 0x ax a- + = Î ¢ . a) Chứng minh rằng 1 2 5 5 x x+ nhận giá trị nguyên. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của a để 1 2 5 5 x x+ chia hết cho 25. Bài 35: Giả sử 1 2 , x x là hai nghiêm của phương trình 2 1 0x px+ - = với p Î ¢ và p lẻ. Chứng minh rằng với mọi n *Î ¥ thì 1 2 n n n S x x= + và 1 1 1 1 2 n n n S x x+ + + = + là hai số nguyên tố cùng nhau. Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 6 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Giải các phương trình sau (sử dụng hằng đẳng thức) a) 3 2 1 6 3 x x x- + = b) 3 25 6 12 8 0x x x+ + + = c) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 4 1 3x x x- + + = + d) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 5 2 27 1x x x+ - - = - e) ( ) ( ) ( ) 3 33 2 21 1 2x x x x+ + + = + + f) ( ) ( ) 3 3 2 63 2 3 2x x x x- + = - - g) 4 4 1x x- = h) 4 4( 4) ( 6) 16x x- + - = i) 4 4(2 1) (2 3) 82x x- + + = k) 2 4 2 4( 3) ( 1) 16x x x x+ - + + + = Bài 2: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ) a) ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 0x x x x+ + + + - = b)( )( )( )( )2 1 1 3 2 6 7 4 0x x x x+ + - - + = c)( )( )2 29 20 13 42 1680x x x x- + - + = d)(4 1)(12 1)(3 2)( 1) 4 0x x x x+ - + + - = e)( ) ( )( ) 2 7 8 7 4 3 1 2 x x x+ + + = f)( )( )2 24 3 6 8 15x x x x- + - + = Bài 3: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ) a)( )( )2 2 22 3 1 2 5 1 9 0x x x x x- + + + - = b) ( )( )( )( ) 22 3 8 12 4x x x x x+ + + + = c) ( )( )2 2 22 7 3 2 35 75 224x x x x x- + + + = - d) ( )( ) 4 6 1 1 2 12 25x x x x æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ + - - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø e) ( )( ) ( ) 2 2 21 2 2 30 1x x x x x+ - + - = - f) ( )( ) ( ) 2 2 23 4 2 8 1x x x x x+ + + + = + g) ( )( ) ( ) 2 2 22 2 1 4 2 1 5 2 1x x x x x- + + - = - h) 2 2 14 4 12 1x x x æ ö÷ç ÷+ - = -ç ÷ç ÷çè ø Bài 4: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ) a) 2 2 4 3 1 4 8 7 4 10 7 x x x x x x + = - + - + b) 2 2 2 7 1 3 2 3 5 2 x x x x x x - = - + + + c) 2 2 5 5 6 6 17 24 6 5 7 x x x x x x - - - = - + - + d) 2 2 2 2 5 2 9 2 14 32 3 2 x x x x x x x + + + + - = + + + e) 2 2 4 8 7 14 1 10 18 4 6 x x x x x x - - - = - + - + f) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 274 7 137 0 151 71 6 xx x x xx + ++ + + + = - -+ + g) ( ) ( ) 2 2 1 1 8 4 6 3 3 2 14 1x x xx + = - + -- h) 2 2 12 11 2 12 4 5 xx x x x + = -+ + + + Bài 5: Giải các phương trình sau (hệ số đối xứng) a) 4 3 23 4 3 1 0x x x x- - - + = b) 4 3 2 25 25 2 1 0 6 6 x x x x+ + - + = c) 4 3 24 6 2 3 1 0x x x x- - + + = d) 4 3 22 5 5 10 8 0x x x x+ + + + = e) 4 2 3 2 3 1 3 x x x x x + + = + - f) ( ) 6 4 2 2 2 1 1 3 10 3 x x x x x x + + + = - + - Bài 6: Giải các phương trình sau a) ( ) 2 2 2 25 11 5 x x x + = + b) 5 5 6 1 1 x x x x x x æ öæ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷+ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +è øè ø c) 2 2 1 1 13 3 4 36x x æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +è ø è ø d) 2 2 90 1 1 x x x x æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ -è ø è ø Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 7 Bài 7: Giải các phương trình sau (đẳng cấp) a) ( ) ( ) 2 2 2 22 5 2 6 0x x x x+ - + + = b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 31 2 1 3 1x x x x- + + + = + c) ( ) ( ) ( ) 24 4 23 6 2 2x x x x+ = + - + - d)( )( ) ( ) 2 3 33 20 1 3 5 1 0x x x x+ - - + + = e) ( ) ( ) 22 2 2 5 24 2 0 111 x xx x xxx - æ ö- ÷ç ÷- + =ç ÷ç ÷ç +- è ø- f) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 25 4 3 3 x x x x x x x x x x x x + + - + + - = + + - + + - g) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 23 2 4 x x x xx x - + - = ++ - h) ( ) 32 3 2 1 1 3 0 1 1 x x x x x x - æ ö- ÷ç ÷+ - =ç ÷ç ÷ç+ +è ø i) ( ) ( ) 2 3 3 2 23 1 4 1 0x x x x x x+ - + - - + = k) ( ) 2 32 3 3 1 1 1 4 8 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x - æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷+ + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - -è ø è ø Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 8 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bài 1. Giải các phương trình sau (lũy thừa hai vế): a) 2 4 3 1x x x- + = - b) 5 1 3 2 1 0x x x- - - - - = c) 3 2 1 3 2x x x+ - - = - d) 2 23 2 1x x x x- + - + - = e) 3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + + f) 3 3 31 2 1 3 1x x x- + - = + g) 3 3 1 1 2x x+ + - = h) 3 21 1 1 3 3 x x x x x x + + + = - + + + + k) 2 1 2 1 1x x x x x+ - + - - = - l) 8 2 7 1 7 4x x x x+ + + + + - + = Bài 2. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): a) 3 23 31 2 1 3 2x x x x+ + + = + + + b) 3 3 32 23 1x x x x x+ + = + + c) 23 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + + d) ( )3 3 1 3 2x x x x+ = - - e) ( ) 3 2 1 4 2 4 4 3 4 3x x x x x- + - = - - - Bài 3. Giải các phương trình sau (sử dụng hằng đẳng thức): a) 22 3 9 4x x x+ = - - b) 3 3x x x- = + c) ( ) ( ) 2 2 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + + d) 25 3 2 2 2 1 4 3x x x x x x+ + = - + + e) 2 2 13 2 6 4 3 0x x x x x+ + - + - + = Bài 4. Giải các phương trình sau (trục căn thức): a) ( )2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x- + - - = - - - - + b) 2 2 2 22 1 3x 2 2 2 3 2x x x x x x- + - - = + + + - + c) 7 6 5 8 9 10 8 9 10 7 6 5 x x x x x x− − − − − − + + = + + d) 2 212 5 3 5x x x+ - + = - e) 23 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − = f) 3 2 31 2x x x- + = - Bài 5. Giải các phương trình sau (đưa về hệ tạm): a) 2 25 8 4 5x x x x+ - + + - = b) 2 22 9 2 1 4x x x x x+ + + - + = + c) 2 215 3 2 8x x x+ = - + + d) 2 22 1 1 3x x x x x+ + + - + = B. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Bài 6. Giải các phương trình sau (sử dụng 1 ẩn phụ): a) 2 23 15 2 5 1 2x x x x+ + + + = b) 2( 5)(2 ) 3 3x x x x+ - = + c) 1 ( 3)( 1) 4( 3) 3 3 x x x x x + - + + - = - - d) 2 23 3 3 6 3x x x x- + + - + = e) 1 2 3 1 x x x x + - = + f) 3 2 23 3 2 3 4x x x x- + = - + g) 2 1 4 2 2 2 x x xx + = + + h) 3 18 7 5x x- + + = i) − + − − = 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x k) 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x+ − − + − = − Bài 7. Giải các phương trình sau (sử dụng 1 ẩn phụ): Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 9 a) 22 6 1 4 5x x x- - = + b) 2 4 3 5x x x- - = + c) 2 1 2 3 1x x x x x + - = + d) 32 4 2 2 1x x x x+ - = + e) 2 21 1 2x x x x- - + + - = f) 2 2 236 36 5 x x x x x x + + - + - = g) 2 21 7 1 4x x x x x- + + + + = h) 3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + - - + - = i) 2 2 1 1 3 x x x x+ - = + - k) 2 4 4 16 6 2 x x x x + + - = + - - l) 21 3 2 2 3 4 2x x x x x- + + + + - = - m) 22 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + - Bài 8. Giải các phương trình sau (sử dụng ẩn phụ không triệt để): a) ( )2 23 1 3 1x x x x+ + = + + b) ( )2 2 23 2 1 2 2x x x x+ - + = + + c) ( ) 2 21 2 3 1x x x x+ - + = + d) ( )2 24 8 3 1 2 4 6 3x x x x x- + = - - + e) 2 2(4 1) 1 2 2 1x x x x- + = + + Bài 9. Giải các phương trình sau (sử dụng hai ẩn phụ đưa về dạng 2 2 0Au Buv Cv+ + = ): a) ( )2 32 2 5 1x x+ = + b) 2 32 5 1 7 1x x x+ - = - c) ( ) 3 3 23 2 2 6 0x x x x- + + - = d) 3 23 1 2 4x x x- = + e) ( )( )2 23 4 5 2 1 2 0x x x x x- + - + - + = f) ( ) 3 3 23 3 2 1 0x x x x− − + + = Bài 10. Giải các phương trình sau (dạng 2 2u v mu nva b+ = + ): a) 2 24 2 3 2 2x x x x x- + + - = + - b) 2 22 6 5 1 3 7x x x x x- + + + = + + c) 2 2 4 23 1 1x x x x+ - = - + d) 2 22 2 5 13 36 16x x x x- + - = - + C. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Bài 11. Giải các phương trình sau: a) 23 5 8 18x x x x- + - = - + b) 23 6 6 6 0x x x x+ + - + + + = c) 1 1 2015 1 2015 1 1 x x x x - + + = + + + d) 4 2 2 22 2 16 2 6 20 0x x x x x x- - + + - + = e) ( )24 12 1 4 5 1 9 5x x x x x+ + - = - + - g) 6 8 6 3 2x x + = - - h) 24 1 4 1 1x x- + - = i) 2 24 2 4x y y x y- - - = + k) 2 2 1 1 2 2 4x x xx æ ö÷ç ÷- + - = - +ç ÷ç ÷çè ø Bài 12. Giải các phương trình sau: a) 22 2 1x x x+ - = + - b) 22 1 2 2x x- + - = c) ( )2 1 2 2x x x x- + - = d) ( )2 1 3 3 2 3 2x x x x- = - - - + Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 10 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bài 1. Giải các hệ phương trình sau a) 2 2 2 4 9 27 2 3 11 x y xy y ìï - =ïï í ï + =ïïî b) 2 2 4x 2 2x x y y x y y ìï + - =ïï í ï - =ïïî c) 2 2 2 2 4 2 2 4x 10 x y x y y x y ìï + + - - =ïï í ï + =ïïî d) 2 2 2 2 3 4 0 2 3 4 x xy y x y x y ìï - - =ïï í ï + - + =ïïî e) 3 2 3 2 2 2 4 4 3 12 x xy x y x y y x y ìï + - = + -ïï í ï - =ïïî f) 2 2 2 2 2 3 3 0 2 0 x xy y x y x xy y y ìï + - + + =ïï í ï - + - =ïïî Bài 2. Giải các hệ phương trình sau a) 3 2 3 2 2 3 2 0 3 6 0 x xy y x y x y ìï - - =ïï í ï + - + - =ïïî b) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 5 4 3 2 0 2 x y xy y x y xy x y x y ìï - + - + =ïï í ï + + = +ïïî c) 2 2 2 4 0 2 5 x xy y x xy x y ìï + + - =ïï í ï + + + =ïïî d) 2 2 2 3 3 x y x xy x ìï + =ïï í ï + + =ïïî e) 2 2 2 3 5 4 9 x y xy y xy x y ìï + + =ïï í ï - + + =ïïî f) 3 3 3 3 2 2x 1 2 2x 5 x y y x y y ìï + - =ïï í ï + + =ïïî B. HỆ ĐỐI XỨNG Bài 3. Giải các hệ phương trình sau (đối xứng loại 1) a) 2 2 5 7 x y xy x y xy ìï + + =ïï í ï + + =ïïî b) 2 2 4 ( 1)( 1) 4 x y x y xy x y ìï + - - =ïï í ï - - =ïïî c) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 x y x y xy x y xy xy ìï + + = +ïï í ï - + = -ïïî d) 2 2 4 4 2 2 7 21 x y xy x y x y ìï + + =ïï í ï + + =ïïî e) 30 35 x y y x x x y y ìï + =ïï í ï + =ïïî f) 7 1 78 x y y x xy x xy y xy ìïïï + = +ïï í ïïï + =ïïî g) 2 4 0 x x y y x xy y ìïï + + =ïï í ïï + - =ïïî h) 2 2 6 2 6 0 x x y y x xy y ìïï - + =ïï í ïï - - =ïïî i) 2 2 ( 4)( 2) 3 2(2 ) 3 xy x y x y x y ìï - - =ïï í ï + - + = -ïïî k) 2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y ìïï + + + =ïïï í ïï + + + =ïïïî l) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 5 1 1 49 x y x y x y x y ì æ öï ÷ï ç ÷+ + =ï ç ÷çï ÷çè øïï í æ öï ÷çï ÷+ + =çï ÷çï ÷çè øïïî m) 2 2 2 2 2 5 5 0 x xy x y x y x y ìï + + =ïï í ï - + =ïïî n) 2 2 2 5 1 7 xy x y y x x y ìï + + =ïï í ï + + =ïïî p) 2 2 2 2 1 1 5 1 1 1 1 25 2 2 x y x y x y x y x y ìïï + + + =ïïï í æ öï ÷çï ÷+ + + + + =çï ÷çï ÷çè øïî q) ( )( ) 2 21 1 1 1 1 2 x y y x x y ìï - + - =ïï í ï - + =ïïî Bài 4. Giải các hệ phương trình sau (đối xứng loại 2) a) 2 2 2 2 3 1 3 1 x x y y y y x x ìï - = + +ïï í ï - = + +ïïî b) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y y x ìï - = -ïï í ï - = -ïïî c) 3 3 3 8 3 8 x x y y y x ìï = +ïï í ï = +ïïî d) 2 2 1 2 1 2 x y y y x x ìïï = +ïïï í ïï = +ïïïî e) 2 1 3 2 1 3 x y y x ìï + - =ïï í ï + - =ïïî f) 5 2 7 2 5 7 x y x y ìï + + - =ïï í ï - + + =ïïî C. HỆ ĐẲNG CẤP (ĐỒNG BẬC) Bài 5. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 2 2 3 9 2 13 15 0 x xy y x xy x ìï - + =ïï í ï - + =ïïî b) 2 2 2 2 2 3 12 3 11 x xy y x xy y ìï + + =ïï í ï - + =ïïî d) 2 2 2 2 ( )( ) 3 ( )( ) 15 x y x y x y x y ìï - - =ïï í ï + + =ïïî e) 2 2 3 1 2 x y xy x x y ìï + - =ïï í ï = +ïïî g) 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 1 0 2 3 3 0 x y x x y x y y xy y x ìï + + + + - + =ïï í ï + + - - =ïïî h) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y x x x y x y xy ìï + + =ïï í ï - + =ïïî Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 11 c) 2 3 3 ( ) 2 19 x y y x y ìï - =ïï í ï - =ïïî f) ( )2 2 2 2 2 1 2 1 3 x y x y xy x ìï + =ïï í ï + + =ïïî i) 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x y x y ìï - =ïï í ï + =ïïî D. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN VỀ HỆ BẰNG ĐẶT ẨN PHỤ Bài 6. Giải các phương trình sau: a) 3 1 1 1 2 2 x x+ + - = b) 2 22 1 2 1 1x x x x+ - + - = c) ( )33 325 25 30x x x x- + - = d) 6 2 6 2 8 35 5 x x x x - + + = - + Bài 7. Giải các phương trình sau ( phương trình dạng ( ) ; , n nx p ax b p a p b     + = + + = + = đưa về hệ đối xứng loại 2) a) 2 5 5x x+ + = b) 33 1 2 2 1x x+ = - c) 2 2 2 2 1x x x- = - d) 22 6 1 4 5x x x- - = + e) 3 3 2 481 8 2 2 3 x x x x- = - + - f) 2011 2011x x= + + g) 4 3 10 3 2x x- - = - h) 5 1 6x x+ + - = i) 2011 1 2012x x+ + - = E. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 4 6 2 8 3 7 x y xy x x y ìï + + =ïï í ï + = +ïïî b) ( ) 2 2 2 2 2 4 7 x y x y x y ìï + =ïï í ï + - =ïïî c) 2 2 2 2 3 4 6 0x y z x y z x y z xy yz zx ìï + + - - - + =ïï í ï + + = + +ïïî d) 2 2 2 2 2 2 6 0 5 2 4 0 x y z xy x z x y z xy xz ìï - + - + + - =ïï í ï + + - - =ïïî e) 3 2 2 2 2 3 2 0 2 2 2 1 2 2 2 0 x x y x y xy x z x y z ìï - - - =ïï í ï + + - + - - + + =ïïî f) 3x y z x y z xy yz zx ìï + + =ïï í ï + + = + +ïïî g) 2 1 1 1 2 2 1 4 x y z xy z ìïï + + =ïïï í ïï - =ïïïî G. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 ẨN Bài 9. Giải các hệ phương trình sau: a) 1 3 7 x xy y y yz z z zx x ìï + + =ïïï + + =í ïïï + + =ïî b) 2 1 2 7 2 2 xy x y yz y z zx z x ìï = + +ïïï = + +í ïïï = + +ïî c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 4 4 4 x y y z xy z y z z x xyz z x x y x yz ìï + + =ïïïï + + =í ïïï + + =ïïî d) 2 2 2 2 2 2 1 4 7 x xy y y yz z z zx x ìï + + =ïïïï + + =í ïïï + + =ïïî e) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy x z y yz y x z zx z y x ìï + + = +ïïïï + + = +í ïïï + + = +ïïî f) 1 1 1 xyz z yz xyz x zx xyz y xy ìï + = +ïïï + = +í ïïï + = +ïî g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 z x y y z z y z x x y y x y z z x x ìï + + + = +ïïïï + + + = +í ïïï + + + = +ïïî h) 2 2 2 2 2 2 1 2 xy z yz x z zx y x ìï + =ïïïï + =í ïïï + = +ïïî Bài 10. Giải các hệ phương trình sau: a) 1 1 1 x y y z z x ìï - =ïïïï - =í ïïï - =ïïî b) 2 3 2 3 2 3 x y y z z x ìï = +ïïïï = +í ïïï = +ïïî c) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z ìïïï =ïï -ïïïï =í ï -ïïïïï =ïïï -î d) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 y x x z z y y x x z z y ìï = + - -ïïïïï = + - -í ïïïï = + - -ïïî Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 12 CÁC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC A. PHÉP CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ NGUYÊN Dạng 1: Chứng minh chia hết Bài 1. Chứng minh rằng: a) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. b) Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. c) Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. d) Tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 24. e) Tích 6 số nguyên liên tiếp chia hết cho 720. f) Tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48. Bài 2. Chứng minh rằng với mọi ,m n Î ¢ , ta có: a) 3 11 6n n+ M b) ( )2 2 3mn m n- M c) ( )4 4 30mn m n- M d) ( )( )1 2 1 6n n n+ + M e) ( )2 4 1 60n n - M f) ( )42 16 30n n- M g) 4 3 23 4 21 10 24n n n n- + - M h) 4 3 26 11 6 24n n n n+ + + M i) 5 35 4 120n n n- + M Bài 3. Chứng minh rằng: a) 5 3 7 5 3 15 n n n + + là số nguyên với mọi n Î ¢ b) 2 3 12 8 28 n n n + + là số nguyên với mọi n chẵn c) 5 4 3 27 5 120 12 24 12 5 n n n n n + + + + là số nguyên n" Î ¢ d) 9 7 5 313 82 32 630 21 30 63 35 n n n n n - + - + là số nguyên n" Î ¢ Bài 4. Chứng minh rằng: a) Cho m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp thì 1 192mn m n- - + M . b) Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. Bài 5. Chứng minh rằng: a) 2ax bx c+ + là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 2 , ,a a b c+ là các số nguyên. b) 3 2ax bx cx d+ + + là số nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6 ,2 , ,a b a b c d+ + là các số nguyên. Bài 6. Chứng minh rằng: a) Biểu thức ( )( )3 1 52 2n nA n n+= + - chia hết cho 30 với mọi n Î ¥ . b) Biểu thức 4 4a b- chia hết cho 5 với a, b là các số nguyên không chia hết cho 5. Bài 7. Cho 1 1 1 0 ( ) ...n n n n f x a x a x a x a- - = + + + + với , 0,1,..., i a i nÎ =¢ . Chứng minh rằng ( )( ) ( )f a f b a b- -M với a, b là hai số nguyên. Áp dụng: a) Chứng minh rằng không có đa thức ( )f x nào với hệ số nguyên có thể có giá trị (7) 5, (15) 9f f= = . b) Cho ( )f x là đa thức có hệ số nguyên và f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng ( )f x không có nghiệm nguyên. Bài 8. Cho 1 1 1 0 ( ) ...n n n f x x a x a x a- - = + + + + với , 0,1,..., 1 i a i nÎ = -¢ . Chứng minh rằng (1) (1 ), ( 1) (1 )f m f m- - +M M . Bài 9. Cho n là số nguyên dương, k là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: a) ( )1 2 ... 1 2 ...k k kn n+ + + + + +M b) ( ) ( )1 2 ... 2 2 1 k k k n n n+ + + +M Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có: a) 2 2 111 12 133n n+ ++ M b) 2 2 15 26.5 8 59n n n+ ++ + M c) 27.5 12.6 19n n+ M d) 2 16 19 2 17n n n++ - M e) 2 1 26 5 3n n+ ++ M f) 16 15 1 225n n- - M Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 13 Bài 11. Chứng minh rằng với n Î ¥ , ta có : a) 3 33 26 27 169n n+ - - M b) 2 27 48 1 48n n- - M c) ( ) ( ) 2 2 1 1 , 1nn n n n n- + - - >M d) 2 24.3 32 36 64n n+ + - M Dạng 2: Sử dụng phép chia có dư Bài 12. Tìm số tự nhiên n để: a) 2 1 7n - M b) 22 2 1 7n n+ + M c) 3 63 72n + M d) 23 3 1 13n n+ + M Bài 13. Chứng minh rằng: a) Tổng lũy thừa chẵn của 3 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương. b) Tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương. c) Tổng bình phương của 7 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương. Bài 14. Chứng minh rằng: a) 1 2 3 4 5n n n n+ + + M khi và chỉ khi n không chia hết cho 4 (n Î ¥ ). b) Cho 3 số nguyên x, y, z thỏa mãn 2 2 2x y z+ = . Chứng minh rằng: 60xyzM . Dạng 3: Sử dụng nguyên lý Dirichlet Bài 15. Chứng minh rằng: a) Trong 1900 số nguyên liên tiếp bất kỳ có một số có tổng các chữ số chia hết cho 27. b) Trong 39 số nguyên liên tiếp bất kỳ có một số có tổng các chữ số chia hết cho 11. Bài 16. Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho: a) 51983 1 10k - M b) 1 km n- M với ( ), ; , 1m n m nÎ =¥ Bài 17. Chứng minh rằng: a) Có thể tìm được số có dạng 200320032003...2003...0 chia hết cho 2004. b) Có thể tìm được số tự nhiên mà 4 chữ số tận cùng của nó là 2002 và chia hết cho 2003. Dạng 4: Sử dụng đồng dư thức Bài 18. Chứng minh rằng: a) 5555 22222222 5555 7+ M b) 333 222222 333 13+ M c) 70 702 3 13+ M d) 105 1053 4 13+ M nhưng không chia hết cho 11. Bài 19. Tìm số dư của phép chia a) 20143 cho 13 b) 70 505 7+ cho 12 c) 2 1010 10 1010 10 ... 10+ + + cho 7. Bài 20. Cho 1 2 , , ..., n a a a Î ¢ và 1 6 n i i a = å M . Chứng minh rằng: 3 1 6 n i i a = å M . Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG 9 Nguyễn Khánh Chung 14 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1. Tách giá trị nguyên Bài 1. Giải các phương trình sau a) 23 2xy x y- - = b) 2 2 2 3 0x xy x y- + + + = c) 28 3 5 25x xy y- - = d) 23 4 7 16xy y x- = - e) 6 5 18 2x y xy+ + = f) ( ) 2 22 1y x y- + = Dạng 2. Đưa về phương trình ước số Bài 2. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: a) 2 5 3 8x y xy+ + = b) 2 22 4 0x xy y- - - = c) 2 2 2 2+ + =x xy y x y d) 2 22 3 2 6x y xy x y+ + - - = e) 2 25 ( 6)x y y- = + f) ( )( )( ) 21 2 3x x x x y+ + + = g) 4 3 2 22 2 3x x x x y+ + + + = h) 4 2 22 3 6 0x x y y- - + = i) ( )( ) ( )( ) ( )2 21 1 2 1 4 1x y x y xy xy+ + + - - = + k) ( )( )2 2 2 9x y x y xy+ = - + + h) ( )( ) ( )1 5 2x y xy x y x y+ + + + = + + Dạng 3. Xét số dư từng vế Bài 3. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau a) 2 2 2001x y+ = b) 2 2 1998x y- = c) 2 213 4 7502x y- = d) 2 25 11 9134x y- = e) 2 219 28 729x y+ = f) 2 27 13 1820x y+ = g) 2 2 2 2007x y z+ + = h) 2 5 4x y= - i) 10 10 10 199x y z+ = + k) 3 3 3 1012x y z+ + = l) 4 4 4 2012x y z+ + = m) 4 4 47 5x y z+ = + Dạng 4. Sử dụng tính chất của số chính phương Bài 4. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: a) 4 4 23 1x y y- = + b) ( ) ( )1 2x x y y+ = + c) 2 21 x x y+ + = d) 6 3 43 1x x y+ + = e) 4 3 2 22 2 3x x x x y+ + + + = f) 4 3 2 41x x x x y+ + + + = Dạng 5. Sử dụng điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm TH1: 2 ( 0)x ay by c aD = + + < hoặc 2 ( 0)y ax bx c aD = + + < Bài 5. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: a) 2 2 2x xy y x y- + = - b) 2 2x xy y x y+ + = + c) 2 23 3 3x xy y y- + = e) 2 22 2 4 3 26 0x y xy x y+ - + - - = f) 2 22 2 2 0x y xy y+ + + - =