Tài liệu Đạo hàm

ĐẠO HÀM ( ) ( ) ( ) 2 // 2 /// // /// /// ..5 )0(...4 ...3 ....2 .1 v vC v C v v uvvu v u vCvC vuvuvu vuvu −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≠−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = += ±=± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x xx xx x x ax x ee aaa x x xx xx x C a xx xx 2 / 2 / / / / / / / / 2 / 1/ / / sin 1cot.18 cos 1tan.17 sincos.16 cossin.15 1ln.14 ln. 1log.13 .12 ln..11 .2 1.10 11.9 ...8 1.7 0.6 −= = −= = = = = = = −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = = = −αα α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin cot cos tan sin.cos cos.sin ln ln. log . .ln. .2 1 ... 2 / / 2 / / // // / / / / // // // 2 // /1/ u uu u uu uuu uuu u uu au uu uee uaaa u uu v v v uxu a uu uu −= = −= = = = = = = −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = −αα α dcx baxy + +=.19 ta có 2/ )( dcx bcady + −= 22 2 2 11 2 1.20 cxbxa cxbxay ++ ++= ta có ( )22222 22 11 22 112 22 11 / 2 cxbxa cb cb x ca ca x ba ba y ++ ++ = • Tìm m để hàm số tăng (giảm) 1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ ) Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác định): y/ ≥ 0 ∀x ∈ R Giải tìm m ⎩⎨ ⎧ ≤Δ > 0 0a Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải xét khi a = 0  Tương tự cho hàm số giảm: y/ ≤ 0 ∀x∈ R ⎩⎨ ⎧ ≤Δ <⇔ 0 0a 2.Hàm số nhất biến : dcx baxy += + Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác định : y/ > 0 ( y/ < 0 ) . Giải tìm m Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0 • Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⎩⎨ ⎧ >Δ ≠ 0 0a Giải tìm m • Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị Tập xác định Đạo hàm y/ Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0 Đạo hàm y//.Tính y//(x0) * Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0 * Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0 • Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0 Cách 1: Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số đạt cực trị tại x0 : y/(x0) = 0 y/ đổi dấu khi x qua x0 Chú ý:  Hàm số đạt cực tiểu tại x0 : y/ (x0) = 0 y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +”  Hàm số đạt cực đại tại x0 : y/ (x0) = 0 y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–” Cách 2: Tập xác định Đạo hàm y/ Đạo hàm y// Hàm số đạt cực trị tại x0 : ⎩⎨ ⎧ ≠ = 0)( 0)( 0 // 0 / xy xy Cực đại: { y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 } Cực tiểu : { y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0 } • Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 Tập xác định Đạo hàm y/ = f/ (x) Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠ = = 0)( )( 0)( 0 // 00 0 / xf yxf xf • Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b] Tìm xi ∈[a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định Tính f(a), f(xi) , f(b) Kết luận { })();();(maxmax bfxfafy i= { })();();(minmin bfxfafy i= • Tiếp tuyến của đường cong ( C) 1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0 2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA): (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x) Điều kiện tiếp xúc: ⎩⎨ ⎧ = = )()( )()( // xgxf xgxf 3.Tiếp tuyến sg sg (d) dtt kxfk == )( 0/ 4.Ttuyến vuông góc (d) : 1. −=dtt kk • Biện luận số giao điểm của ( C) và d (d): y = k(x – xA) + yA = g(x) Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) • Nếu (*) là phương trình bậc 2: 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 2) Xét a ≠ 0 : + Lập Δ = b2 – 4ac + Xét dấu Δ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⎩⎨ ⎧ >Δ ≠⇔ 0 0a • Nếu (*) là phương trình bậc 3: 1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0 ⎢ ⎣ ⎡ ==++ = (2) )(02 0 xgCBxAx xx 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0 3) Tính Δ của (2), xét dấu Δ và kết luận (Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0) ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠ >Δ ≠ 0)( 0 0 0 )2( xg A • Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*) Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của (C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox ) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình. LŨY THỪA aaaa n .... =• ( n thừa số) n m nm nmnm n n a aa aaa a a a =• =• =• =• − + − . 1 1 0 nn n mn m nmmnnm n nn nnn aa aa aaa b a baba =• =• ==• =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛• =• 1 . )()( b a .).( PHƯƠNG TRÌNH MŨ ⎩⎨ ⎧ ∩ =∨ ⎩⎨ ⎧ = ≠<⇔= )()( )()( 1 )()( 10 xgxf xgxf DD a xgxf a aa [ ]⎩⎨ ⎧ >−− >⇔> 0)()().1( 0)()( xgxfa a aa xgxf )()( thì1a0 )()( ì th1a )()( )()( xgxfaa xgxfaa xgxf xgxf <<• >⇔>>• LOGARIT ) 1 a , 0 N a, ( log a ≠> =⇔=• NaMN M Na Na =• log 01log =• a 1log =• aa NN =• aloga NkNN k N a N NNa a NN NN N N NNNN a k aa N a ba b b a aa aa log.log log1log log 1log loglog.log log loglog logloglog loglog.log ka b 21 2 1 a 2121a =•=• =• =•=• −=• +=• )()(0)(log)(log thì1a0 0)()()(log)(log thì1a a a xgxfxgxf xgxfxgxf a a <<• >>⇔>>• ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = >> ≠< ⇔= g(x)f(x) ) 0g(x) ( 0)( 10 )(log)(log xf a xgxf aa ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > > >≠ 0g(x)]-1)[f(x)-(a 0g(x) 0)( 10 )(log)(log xf a xgxf aa SỐ PHỨC * 12 −=i * 2 1 z z z = * 22. baibaz +=+= * ibazibaz .. −=⇒+= * 22 bazz +== ⎩⎨ ⎧ = =⇔+=+ db ca idciba .. * ).)(.( ).)(.( . . ibaiba ibaidc iba idc −+ −+=+ + * 2121 zzzz +=+ * 2121 zzzz −=− * 2 1 2 1 2121 ;.. z z z zzzzz =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 1. iba .+=α .Gọi β là căn bậc 2 của α , ta cĩ: b ≥ 0 : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−+++±= 2 . 2 2222 baaibaaβ b < 0 : ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−−++±= 2 . 2 2222 baaibaaβ 2. ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = += += r b r a bar irz ϕ ϕϕϕ sin cos)sin.(cos 22 3. )]sin(.)[cos(. 21212121 ϕϕϕϕ +++= irrzz 4. )]sin(.)[cos( 2121 2 1 2 1 ϕϕϕϕ −+−= i r r z z 5. )]sin(.)[cos(11 ϕϕ −+−= i rz 6. [ ] )sin.(cos)sin.(cos ϕϕϕϕ ninrir nn +=+ [ ] )sin.(cos)sin.(cos ϕϕϕϕ nini n +=+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +−=+−= +=+= +=+= +−=+−= +=+= +=+= ++ −=++ −= ++=++= ++ +=+++= +=+= + + ++ ++ )cot(1 )(sin cot sin )10 )tan(1 )(cos tan cos )9 )sin(1)cos(sincos)8 )cos(1)sin(cossin)7 ln 1 ln )6 1)5 )( 11 )( 11)4 ln1ln1)3 1 )(1)( 1 )2 )1 22 22 )( )( )()( 22 11 bax abax dxx x dx bax abax dxx x dx bax a dxbaxxxdx bax a dxbaxxxdx C a a c dxaC a adxa Ce a dxeCedxe C baxabax dxC x dx x Cbax abax dxCxdx x Cbax a dxbaxCxdxx CkxkdxCxdx dcx dcx x x baxbaxxx αα α α α α TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 1. Đặt ∫ )().( /)( dxxuef xu )(xut = 2. ∫ 1).(ln dxxxf Đặt )ln(xt = 3. ∫ + ).( dxbaxf n Đặt n baxt += 4. ∫ dxxxf )cos,(sin • Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx • Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx • Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc: 2 2cos1sin, 2 2cos1cos 22 xxxx −=+= • Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt 2 tan xt = 5. ∫ − ).( 22 dxxaf Đặt tax sin= 6. ∫ + ).( 22 dxxaf Đặt tax tan= 7. ∫ − ).( 22 dxaxf Đặt tax cos= 8. ∫ ± ). 1( 22 dx ax f Đặt 22 axxt ±+= TÍCH PHN TỪNG PHẦN ∫∫ −= b a b a vdxu a b vudxvu // .. dxexP bax∫ +).( . Đặt baxbax e a vev xPxPu ++ == == 1chon )(u có ta)( / // dxbaxxP∫ + )cos().( . Đặt: )sin(1chon )cos( )(u có ta)( / // bax a vbaxv xPxPu +=+= == dxbaxxP∫ + )sin().( . Đặt: )cos(1chon )sin( )(u có ta)( / // bax a vbaxv xPxPu +−=+= == dxxuxP∫ )(ln).( . Đặt: ∫== == dxxPvxPv x xu )(chon )( 1u có taln / / Ch ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản hơn cịn v/ l phần cịn lại của biểu thức dưới dấu tích phân mà nguyên hàm của phần này đ biết DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH dxyyV dxy bxax CC H b a CCOx C ∫ ∫ −= −= ⎩⎨ ⎧ <== 2 2 2 1 b a 2C1 21 yS b)(a , )( và)( )( π dyxxV dyx ddycy CC H d c CCOy C ∫ ∫ −= −= ⎩⎨ ⎧ <== 2 2 2 1 d c 2C1 21 xS )(c , )( và)( )( π