Tài liệu luyện thi Toán cấp tốc

nx x x x x x x+ + = + - 3) ( ) ( )4 44 sin cos sin 4 3 1 tan2 tan 3x x x x x+ + - - = 4) (1 2 sin )cos 3(1 2 sin )(1 sin ) x x x x - =+ - 5) 3 cos5 2 sin 3 cos2 sin 0x x x x- - = . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau 1) 1+ sin x cos x sin 2x cos 2x 0+ + + = 2) 2cos x(cos x 1) 2(1 sin x)sin x cos x - = + + 3) 2 23 cot x 2 2 sin x (2 3 2)cos x+ = + 4) 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4- = + - 5) ( )sin2x cos2x cos x 2 cos2x sin x 0+ + - = 6) 22 sin 2 sin 7 1 sinx x x+ - = 7) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x- = - 8) 83cotx tanx 8 sin(x )3 p - = - . Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 1) 1 3 tan x 2 sin 2x+ = 2) 2cot x tgx 4 sin 2x sin 2x- + = 3) 6 6sin x cos x sin 2x+ = 4) 4 4 3cos x sin x cos(x ) sin(3x ) 04 4 2 p p + + - - - = 5) 2 2 1 11 9sin 2 .cos6 sin 3 sin .sin2 2 2 x xx x x+ = 6) ( ) 21 2 2 sin2 cos2 6 tan ( )sin 4 8 x x xx p- + = - 7) (1 sin x cos2x)sin x 4 1 cos x1 tan x 2 æ öp + + +ç ÷ è ø = + 8) ( )6 62 sin cos sin cos 0 2 2 sin x x x x x + - = - . Vấn đề 2. Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình 1. Phương trình bậc cao: Cách 1: Đưa về dạng tích: f (x) 0f(x).g(x) 0 g(x) 0 =é = Û ê =ë . Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: * Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng 2 2 3 3a b 0, a b 0,...- = - = * Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x a= là một nghiệm của phương trình ( ) 0f x = thì ta luôn có sự phân thích: ( ) ( ) ( )f x x a g x= - . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào định lí sau: Định lí: Nếu đa thức 11 1 0( ) ...n nn nf x a x a x a x a--= + + + + có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của 0a * Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Cách 2: Đặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình đối xứng: Là phương trình có dạng: 4 3 2 0ax bx cx bx a± + ± + = . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 8 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 ( 0)x x ¹ ta có : 2 2 1 1( ) ( ) 0a x b x cxx + ± + + = Đặt 1t x x= + với 2t ³ ta có 2 2 2 2 1 1( ) 2 2x x txx + = + - = - thay vào phương trình ta có: 2( 2) 0a t bt c- ± + = Dạng 2: ( )( )( )( )x a x b x c x d e+ + + + = trong đó a b c d+ = + Cách giải: Đặt 2 ( ) t x a b x= + + ta có : ( )( )t ab t cd e+ + = Dạng 3: 4 4( ) ( )x a x b c+ + + = . Đặt 2 a bx t += - ta đưa về phương trình trùng phương. 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Cách 1: Dùng định nghĩa: khi 0| | khi 0 a aa a a ì ³ï= í- <ïî Cách 2: Bình phương hai vế kết hợp với tính chất 2 2| |a a= 1) 2 2 ( ) 0 | ( ) | ( ) ( ) ( ) 0 g x f x g x f x g x ì ³ï= Û í - =ïî 2) ( ) ( )| ( ) | | ( ) | ( ) ( ) f x g xf x g x f x g x é = = Û ê = -êë . Cách 3: Đặt ẩn phụ 3. Phương trình – bất phương trình vô tỉ Cách 1: Biến đổi tương đương * 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n nf x g x f x g x= ³= Û * 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) n n g x f x f x g xg x ì ³ï í =ïî = Û * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x++ = Û = * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x++ > Û > * 2 ( ) ( )n f x g x< Û 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )n f x g x f x g x ì ³ïï ³í ï <ïî * 2 ( ) ( )n f x g x> Û 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )n g x f x g x f x g x é <ê ê ³ê êì ³ïêíê >ïîë ì í î Cách 2: Đặt ẩn phụ Dạng 1: ( ( )) 0nF f x = , với dạng này ta đặt ( )nt f x= (nếu n chẵn thì phải có điều kiện 0t ³ ) và chuyển về phương trình ( ) 0F t = giải phương trình này ta tìm được t xÞ . Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: ( ) ( ) 0af x b f x c+ + = . Dạng 2: ( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( )) 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + = . Vì ta có: 2( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( ))n f x g x n f x g x n f x g x+ ± = ± Nên với dạng này ta đặt ( ) ( )t f x g x= ± . Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn được những đại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban đầu về phương trình (bpt) bậc hai đối với t. Dạng 3: n( ( ), ( )) 0nF f x g x = , trong đó ( , )F a b là một biểu thức đẳng cấp bậc k. Với dạng này ta xét hai trường hợp: Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 9 TH1: ( ) 0g x = thay vào phương trình ta kiểm tra, TH2: ( ) 0g x ¹ chia hai vế phương trình cho ( )kn g x và đặt ( )( )n f xt g x= ta được phương trình ( ) 0G t = là phương trình đa thức bậc k. Ta thường gặp dạng: . ( ) . ( ) . ( ) ( ) 0a f x b g x c f x g x+ + = . Đặt ( )( ) f xt g x= , ta có phương trình : 2 0at ct b+ + = . Dạng 4: . ( ) ( ) ( ) ( ) 0a f x g x f x h x+ + = . Với phương trình dạng này ta có thể đặt ( )t f x= , khi đó ta được phương trình theo ẩn t: 2 ( ) ( ) 0at g x t h x+ + = , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để. Dạng 5: ( ), ( ), ( )n mF f x a f x b f x cé ù+ - =ê úë û (I). Ta có thể đặt: ( ), ( )n mu a f x v b f x= + = - , lúc đó ta có hệ phương trình: ( , )n m f u v c u v a b ì =ï í + = +ïî giải hệ này ta tìm được u, v. Từ đây ta có được x. Chú ý : Khi tìm được u,v để tìm x ta chỉ cần giải một trong hai phương trình: ( ) n a f x u+ = hoặc ( )mb f x v- = . Dạng 6: ( )( ) ( )n nf x b a af x b+ = - (II) Để giải phương trình này ta đặt ( ); ( )nt f x y af x b= = - ta có hệ: n n t b ay y b at ì + =ï í + =ïî . Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y. Cách 3: Đánh giá Xét phương trình : ( ) ( )f x g x= xác định trên D. * Nếu phương trình 2 2 ( ) 0( ) ( ) 0 ( ) 0 u xu x v x v x ì =ïÛ + = Û í =ïî * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) f x m x x Dg x m x ì ³ï " Îí £ïî thì : ( ) ( )PT f x g x= với x DÎ ( ) ( )( ) ( ) f x m x g x m x ì =ïÛ í =ïî . Trong cách đánh giá này ta thường dùng các hằng đẳng thức và các bất đẳng thức quen thuộc (như BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacovski, BĐT chứa trị tuyệt đối… )để đánh giá hai vế. III. Hệ phương trình 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a. Định nghĩa: Là hệ có dạng: ' ' ' ax by c a x b y c ì + =ï í + =ïî , trong đó , , , ’, ’, ’a b c a b c là các số thực cho trước và a,b,a’,b’ không đồng thời bằng không. b. Cách giải: Dùng định tthức Crame Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 10 Ta có các định thức: c c; ; ' ' ' ' ' c 'x y a b b aD D Da b c b a= = = . * Nếu D 0¹ thì hệ có nghiệm duy nhất: ; yx DDx yD D= = . * Nếu 0x yD D D= = = thì hệ vô số nghiệm: ( 0) x c axy bb ì Î ï í - = ¹ïî ¡ * Nếu 0 0 0 x y D D D ì = ï é ¹í êï ¹êëî thì hệ đã cho vô nghiệm. 2. Hệ đối xứng loại I a. Định nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )( ; ) f x y a g x y b ì =ï í =ïî (I) trong đó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức đối xứng, tức là ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; )f x y f y x g x y g y x= = . b. Cách giải: Đặt , S x y P xy= + = . Biểu diễn ( ; ), ( ; )f x y g x y qua S và P ta có hệ ( ; ) 0( ; ) 0 F S P G S P ì =ï í =ïî giải hệ này ta tìm được S, P. Khi đó x,y là nghiệm của phương trình : 2 0 (1)X SX P- + = . c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P. 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( )( ) 3 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 2 x y x y xy S P x y x y x y xy S SP x y y x xy x y SP x y x y x y S P P + = + - = - + = + + - = - + = + = + = + - = - - d. Chú ý: * Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ * Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 2 4 0S P- ³ . 3. Hệ đối xứng loại 2 a. Định nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )( ; ) f x y a f y x a ì =ï í =ïî (II) b. Cách giải: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được : ( ; ) ( ; ) 0f x y f y x- = ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 x yx y g x y g x y é = Û - = Û ê =êë . c. Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm 0 0( ; )x y thì 0 0( ; )y x cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là 0 0x y= . 4. Hệ đẳng cấp a. Định nghĩa: *Biểu thức f(x;y) gọi là đẳng cấp bậc k nếu ( ; ) ( ; )kf mx my m f x y= * Hệ: ( ; )( ; ) f x y a g x y b ì =ï í =ïî trong đó f(x;y) và g(x;y) đẳng cấp gọi là hệ đẳng cấp b. Cách giải: *Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 11 * Với 0x ¹ đặt y tx= thay vào hệ ta có: ( ; ) (1; )( ; ) (1; ) k k f x tx a x f t a g x tx b x g t b ìì = =ï ïÛí í= =ï ïî î (1; ) (1; )af t g tbÛ = . 5. Phương pháp thế: Đây là phương pháp khá hữu hiệu thường hay được sử dụng trong giải hệ phương trình . Nội dung của phương pháp này từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ). Mục đích của việc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán mà ta có những cách biến đổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau. 1) Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất đối với một ẩn thì ta rút ẩn đó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn. 2) Với hai số thực bất kì x 0; y¹ ta luôn có y tx= (t là số thực cần tìm). Với cách làm này ta sẽ được hệ về phương trình một ẩn t. 3) Phương trình ( ; ) ( ; )f x y f y x= luôn có một cặp nghiệm x y= , do đó ta luôn phân tích phương trình đã cho về dạng: ( ) ( ; ) 0x y g x y- = 4) Trong hệ phương trình nếu biểu thức u(x) xuất hiện ở hai phương trình thì ta có thể đặt ( )t u x= để làm đơn giản hình thức bài toán. 5) Nếu mỗi vế của hai phương trình là những biểu thức đồng bậc, ta có thể đặt ( 0)x ty y= ¹ và từ hai phương trình của hệ ta rút ra được: ( )( ) y f t y g t ì =ï í =ïî , giải phương trình ( ) ( )f t g t= ta tìm được t, từ đó suy ra x và y . Bài 1. Giải các phương trình sau. 1. 4 1 1 2x x x+ - - = - 2. 22 6 1 1x x x+ + = + 3. 2 2 2 3( 1 1) x x x = + + - 4. 2 24 3 2 2 1x x x x x+ + + - - = + 5. ( )2 27(2 1) 4 3 2 6 2x x x+ + - + = 6. 2 5 5x x+ + = 7. 13 2 1 2x x x+ - + = + 8. 3 3 32 1 16 2 1x x x- = - + 9. 4 1 52x x xx x x+ - = + - 10. 22 1 ( 1) 0x x x x x x- - - - + - = 11. 32 1 2 1 2 xx x x x +- - + + - = 12. 2 3 2 1 3 2 x x x x - - = - - 13. 22 7 2 1 8 7 1x x x x x+ - = - + - + - + 14. 10 1 3 5 9 4 2 2x x x x+ + - = + + - Bài 2. Giải các bất phương trình sau 1. + - - ³ +2 4 1 3 1x x x 2. - -+ - ³ - - 22( 16) 733 3 x xxx x 3. - + ³ -2 2( 2) 3 4x x x 4. ( ) ³ + + - 2 2 2 3 4 1 1 x x x 5. - + - + ³ -2 21 3 2 1x x x x 6. - + - < - -2 22(1 ) 2 1 2 1x x x x x Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 12 7. + - + £ +2 1 2 3 3(2 1)x x x 8. + - > + +3(2 2) 2 6x x x 9. + + ³2 2 2x x . Bài 3. Giải các phương trình – bất phương trình sau 1. - + - + - =2 22 3 3 2 3 2 2 0x x x x 2. + - + - - £32 22 3 2 3 1 0x x x x 3. + + - >2 2 1 1 2x x xx x 4. + - = - + +29 9 9x x x x 5) 2 x x 1 1 2(x x 1) - ³ - - + 6. + - + + - + > - 1( 3)( 1) 4( 3) 3 03 xx x x x 7. > -- -2 2 1 3 1 1 1 x x x 8. + < + + 5 15 2 422 x x xx 9. -+ + + + > - - 2 2 2 2 2 1 5 1( ) 2 021 1 x x x xx x x 10. - - - + - < - - 12 2 82(12 ) ( 2)2 12 3 x xx xx x . Bài 4. Giải các phương trình – bất phương trình sau 1. + - =4 4 17 3x x 2. - + + =3 2 1 3x x 3. = + - -4 4 41 1x x x 4. - - - =34 8 817 2 1 1x x 5. - + + - - + =2 23 3 3(2 ) ( 7) (2 )( 7) 3x x x x 6. ++ - =2 2 158 8 5 16 xx x 7. ++ + =2 42 8 6 2 xx x 8. + + + + + = + +2 2 21 4 2 2 9x x x x x x 9. - +- = + - 2 2 5 10 12 6 11 x xx x x Bài 5. Giải các hệ phương trình sau 1. 3 3 2 26 x y x y ì + =ï í + =ïî 2. 2 2 2 4 x xy y x xy y ì + + =ï í + + =ïî 3. 30 35 x y y x x x y y ìï í ïî + = + = 4. 13 6 5 x y y x x y ì ï í ï î + = + = 5. 2 2 2 2 1 1 5 1 1 9 x y x y x y x y ì + + + =ïï í ï + + + = ïî 6. 4 4x 34 2 y x y ì + =ï í + =ïî 7. 2 23 3 3 3 3( ) 6 x y x y xy x y ì ï í ïî + = + + = . Bài 6: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm 1. 2 2 3 8 x y xy m x y y x m ì + + =ï í + = -ïî 2. 2 2 2 2 1 2 3 x y m x y m m ì + = -ï í + = + -ïî và xác định Min của xy. Bài 7*: Cho x,y thỏa mãn 3 2 3 1 .x y x y- + = + - Tìm gtln và gtnn của x y+ . Bài 8. Giải hệ phương trình 1. 3 3 2 2 x x y y y x ì = +ï í = +ïî 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y y x y x ì - = +ï í - = +ïî 3. 3 3 1 2 1 2 x y y x ì + =ï í + =ïî 4. 2 2 12 12 x yy y xx ì = +ïï í ï = + ïî 5. 2 2 2 2 x y y x ì + - =ï í + - =ïî 6. 4 2 2 4 2 2 x y y x ì + - =ï í + - =ïî 7. 1 1 1 1 x y y x ì + + =ï í + + =ïî 8. 2 2 2 1 2 1 yx y xy x ì =ïï -í ï = ïî - . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 13 Bài 9: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm 1. 3 3 x y m y x m ì + - =ï í + - =ïî 2. 1 2 ( 0) 1 2 x y m m y x m ì + + - =ï ³í + + - =ïî Bài 10 :Tìm m để hệ pt sau có nghiệm duy nhất 1. 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x mx x y y my ì = - +ï í = - +ïî 2. 2 2 2 2 2 2 mx y y my x x ì = +ïï í ï = +ïî 3. 2 2 ( 1) ( 1) x y m y x m ì + = +ï í + = +ïî 3 3 24. 2 x y x m y x y m ì = + +ï í = + +ïî . Bài 11: Giải các hệ pt sau 2 2 2 2 3 11) 3 13 x xy y x xy y ì - + = -ï í - + =ïî 2 3 3 ( ) 22) 19 x y y x y ì - =ï í - =ïî 2 2 2 4 13) 3 4 x xy y y xy ì - + =ï í - =ïî 2 2 2 2 3 5 4 384) 5 9 3 15 x xy y x xy y ì + - =ï í - - =ïî 2 2 2 2 2 45) 2 2 4 x xy y x xy y ì + + =ï í + + =ïî 2 2 2 2 ( )( ) 36) ( )( ) 15 x y x y x y x y ì - - =ï í + + =ïî Bài 12:Tìm a để hệ bpt sau có nghiệm 2 2 2 2 5 4 2 3 2 17 4 2 2 5 x xy y ax xy y a ì - + ³ï í - + + £ï î + . Bài 13: Giải các hệ pt sau 2 2 2 2 2 1) 4 x y x y x y x y ì + - - =ï í + + - =ïî 2. 3 3 3 2 2 1 19 6 x y x y xy x ì + =ï í + = -ïî 3. 2 2 2 2 2 6 1 5 y xy x x y x ì + =ï í + =ïî 4. 2 3 2 ( ) ( ) 12 ( ) 6 x x y y xy xy ì + =ï í ï + =î 5. 2 2 3 3 x y y x x y xy ì + =ï í ï - + =î 6. 2 1 x y x y y x y x ì + + - =ï í ï + - - =î 7. 2 2 1 3 1 3 xx yy xx y y ì + + =ïï í ï + + = ïî 8. 1 3 3 12 8 x x yy x y y ì + + + - =ïï í ï + + = ïî 9. ( ) 2 ( ) 3 xx y y x y x y ì - =ï í ï + =î 10. 2 2 4 2 ( 3)( ) 3 5 ( ) 5 9 0 y x y y y x y ì + + + =ï í é ù+ - + =ï ê úë ûî 11. 2 2 4 1 2( 3) 46 2 (3 8 8 ) x y x y x y x y ì + + + =ï í + = - + +ïî 12. ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 24 2 2 2 6 12 6 5 1 11 5 x x x y y x x x y x ì - - - + = -ï í ï - - - = - î 13. 3 6 6 2 6 (1 2 ) 3 1 4 5 y x y x x y x ì + =ï í + =ïî 14. 1 2 5 1 8 2.9 4 6 3.4 9 0x y x y x y x y + ì + + - =ï í - - =ïî 15. 3 2 4 6 2 2 ( 1) 4 5 4 x y x x x x y ì + + =ï í - =ïî 16. 2 0 1 4 1 2 x y xy x y ì - - =ï í - + - =ïî 17. ( )2 3 3 4 3 2 2 5 2 12 y y x y x y ì + - - = -ï í - + - =ïî Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 14 18. 3 2 2 2 2 5 2 4 ì + =ï í + + = +ïî x xy x xy y x y 19. 2( ) ( ) 3 x y y x x y x y ì - =ï í + =ïî 20. ì +ï - =ï í ï - + + + - =ïî 2 2 3 82 4log log 2 3 2 1 2 2 2 5 x y xy x y x y 21. 2 26 5 7 3 2 0 ln( 2) ln( 2)3 x y xy x y x y x y ì + - - + + =ï í - = + - +ï î 22. 2 2 2 (4 1) ( 3) 5 2 0. 4 2 3 4 7 x x y y x y x ì + + - - =ï í + + - =ïî 13. 1 1 46 4 6 x y x y ì + + - = í + + + =î 24. 2 2 2 2 2 7( ) 3( ) x xy y x y x xy y x y ì + + = -ï í - + = -ïî 25. 2 2 2 12 2 2 2 x x y y y x y ì + - =ï í ï - - = -î 26. 2 2 3 3 2 1 2 2 y x x y y x ì - =ï í - = -ïî Câu 3. NGUYÊN HÀM HÀM - TÍCH PHÂN Vấn đề 1. Nguyên hàm tích phân 1. Tích phân hàm hữu tỉ. · ( )n n 1 dx 1 1 . C n 2 a(1 n)(ax b) ax b - = + " ³ -+ + ò và dx 1 ln ax b C ax b a = + + +ò · 2 dxI ax bx c = + + ò ta có các trường hợp sau Khả năng 1: Nếu 2b 4ac 0D = - = , khi đó ta luôn có sự phân tích : 2 2bax bx c a(x )2a+ + = + . 2 2 dx 1 dx 1 1I Cb a b a ba(x ) (x ) x2a 2a 2a Þ = = = - + + + + ò ò Khả năng 2: Nếu 2 1 20 ax bx c a(x x )(x x )D > Þ + + = - - . Ta có: é ù= - - -ë û- 1 22 1 11 (x x ) (x x )x x Suy ra: æ ö - = - = +ç ÷ç ÷- - - - -è ø ò 2 2 1 2 1 2 1 1 x x1 1 1 1I dx ln Cx x x x x x x x x x Khả năng 3: 2 2 2b0 ax bx c a (x ) m2a é ù D < Þ + + = + +ê ú ë û với 2m 4a -D = . Để tìm I ta thực hiện phép đặt bx m tan t2a+ = . Ví dụ 1. Tính các tích phân sau 1) ( ) 1 2 0 x x 1 I dx x 4 - = -ò 2) 3 2 2 (2x 1)dx I x(x 1) + = -ò 3) 1 2 0 x(1 x)dx I 1 x - = +ò 4) 3 2 3 2 (x x 2)dx I x(x 1) + + = +ò 5) 2 2 1 (2x 1)dx I x 2x 4 + = + +ò 6) 1 4 0 xdx I (2x 1) = +ò 2. Tích phân hàm vô tỉ Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 15 Thường có hai hướng làm là đặt t = và phép thế lượng giác · ( )nI f x, ax b dx= +ò , đặt nt ax b= + , suy ra nt b x a - = Ví dụ 1. Tính các tích phân sau 1) 7 3 0 x 2 I dx x 1 + = +ò 2) 6 2 dx I 2x 1 4x 1 = + + +ò 3) 10 5 dx I x 2 x 1 = - -ò 4) 4 0 2x 1 I dx 1 2x 1 + = + +ò 5) 3 3 1 2 xdx I 2x 2 - = +ò 6) 2 0 x 1 I dx 4x 1 + = +ò . · ( )nI F a.u(x) b .u'(x)dx= +ò đặt nt a.u(x) b= + Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 1) 1 3 2 0 x I dx 4 x = - ò 2) 2 3 2 5 dx I x x 4 = + ò 3) 1 35 3 0 I x . 1 x dx= -ò . · 2 2 2I a b x dx= -ò đặt ax sin tb= · 2 2 2I a b x dx= +ò đặt ax tan tb= Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 1) 1 2 0 dx I 1 x = + ò 2) 2 2 1 I 3 2x x dx - = - -ò 3. Tích phân hàm lượng giác 1) ( )I R sin x,cosx dx= ò với loại tích phân này ta có các chú ý sau · Nếu bậc của sin và cos trong ( )R sin x,cosx cùng chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc Ví dụ 1. Tính các tích phân 1) 2 4 0 I sin xdx p = ò 2) 4 2 4 0 I sin 2x cos xdx p = ò · Nếu bậc của sin và cos trong ( )R sin x,cosx cùng chẵn thì ta đặt t sin= nếu bậc của cos lẻ và t cos= nếu bậc của sin lẻ. Ví dụ 2. Tính tích phân 1) 2 5 0 I cos xdx p = ò 2) 2 5 3 0 I sin x cos xdx p = ò 3) 2 0 sin 2x cosx I dx 1 cosx p = +ò 4) 2 0 sin 2x sin x I dx 1 3cosx p + = +ò 5) 3 2 0 I sin x.tan xdx p = ò 6) 2 2 2 0 sin 2x I dx cos x 4sin x p = + ò 7) 2 0 sin 2xdx I 3 4sin x cos2x p = + -ò 8) 4 0 sin(x ) 4I dx sin 2x 2(1 sin x cosx) p p - = + + +ò . · Trong trường hợp ( )R sin x,cosx là hàm phân thức và bậc ở mẫu lớn hơn bậc ở tử 2 thì ta có thể đặt t tan x= hoặc t cot x= . Ví dụ 3. Tính các tích phân sau Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 16 1) ( ) 3 2 0 dx I sin x 2cosx p = + ò 2) 6 0 dx I cosx cos x 6 p = pæ ö+ç ÷ è ø ò 3) ( ) 6 3 0 sin xdx I sin x 3 cosx p = + ò . 2) I f(tan x,cot x)dx= ò với loại đặt ta thường đặt t tan x (t cot x)= = Ví dụ 4. Tính các tích phân sau 1) 4 4 0 I tan xdx p = ò 2) 46 0 tan x I dx cos2x p = ò 3) 3 32 3 3 sin x sin x I cot x.dx sin x p p - = ò 4) ( )sin x40I tan x cosx.e dx p = +ò . 3) b a I P(x).LGdx= ò (LG là hàm lượng giác) với loại này ta thường sử dụng phương pháp tích phân từng phần với u P(x),dv LGdx= = . Trong một số trường hợp ta đặt x a b t= + - . Ví dụ 5. Tính các tích phân sau 1) 2 0 I (x 2)sin 2xdx p = -ò 2) 4 2 0 I x sin xdx p = ò 3) 2 0 I sin x.ln(1 sin x)dx p = +ò 4) 3 2 0 x sin x I dx cos x p = ò . 4. Tích phân hàm logarit và hàm mũ 4.1. Tích phân hàm logarit: · f (ln x)dxI x = ò ta đặt t ln x= . Ví dụ 1. Tính các tích phân sau 1) 3e 2 1 ln x I dx x ln x 1 = +ò 2) e 1 3 2ln x I dx x 1 2ln x - = +ò 3) e 1 1 3ln x.ln x I dx x + = ò . · I P(x) ln f(x)dx= ò ta đặt u ln f(x),dv P(x)dx= = Ví dụ 2. Tính các tích phân sau 1) 0 2 1 I (2x x 1) ln(x 2)dx - = + + +ò 2) 3 2 1 3 ln x I dx (x 1) + = +ò 3) e 2 1 I x ln xdx= ò 4) e 3 2 1 I x ln xdx= ò 5) 2 3 1 ln x I dx x = ò . 4.2. Tích phân hàm mũ: · xI f (e )dx= ò ta đặt xt e= · ax bI P(x)e dx+= ò đặt ax bu P(x),dv e dx+= = . Ví dụ 3. Tính các tích phân sau 1) ( ) 2 sin x 0 I e cosx cosxdx p = +ò 4) 2) ln 5 x x ln 3 dx I e 2e 3- = + -ò 3) 1 2x 0 I (x 2)e dx= -ò 4) 1 2x 2 0 x I xe dx 4 x æ ö = -ç ÷ç ÷-è ø ò . Vấn đề 2. Ứng dụng tích phân Bài toán 1: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên ;a bé ùë û . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ( )y f x= ; trục Ox : ( 0y = ) và hai đường thẳng ;x a x b= = là: ( ) b a S f x dx= ò . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 17 Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( ) ( )1 :C y f x= , ( ) ( )2 :C y g x= và hai đường đường thẳng ,x a x b= = . Được xác định bởi công thức: ( ) ( )baS f x g x dx= -ò . Chú ý: 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: * Giải phương trình : ( ) ( )f x g x= tìm nghiệm ( )1 2, ,..., ;nx x x a bÎ ( )1 2 ... nx x x< < < . Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 ... n x x b a x xS f x g x dx f x g x dx f x g x dx= - + - + + -ò ò ò ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 ... n x b a xf x g x dx f x g x dx= - + + -ò ò . Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị ( ) ( )1 :C y f x= , ( ) ( )2 :C y g x= . Khi đó, ta có công thức tính như sau: 1 | ( ) ( ) | nx x S f x g x dx= -ò . Trong đó: 1, nx x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình : ( ) ( )f x g x= . Bài toán 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường ( ); 0; ;y f x y x a x b= = = = quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng x là một hình tròn có bán kính | ( ) |R f x= nên diện tích thiết diện bằng 2 2( ) ( )S x R f xp p= = . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức : 2( ) ( ) b b a a V S x dx f x dxp= =ò ò . Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường ( ),y f x= ( ),y g x= ,x a x b= = ; ( ), ( ) 0f x g x ³ ;x a bé ù" Î ë û thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức: 2 2( ) ( ) b a V f x g x dxp= -ò . Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường 1. 3 3 , 5, 2y x x y x x= + = - + = - 2. 2 2 4 ,4 4 2 x xy y= - = 3. 2y x 4x 3= - + và y x 3= + 4. ( 1) ; (1 )xy e x y e x= + = + 5. y x= ; 2(2 tan )y x x= + và 4x p = 6. 2 2; 2y x y x= = - . Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường: 21) cos sin , 0, 0, 2y x x x y x x p = + = = = . 2) , 0, 0, 1xy xe y x x= = = = . 3) 24 ; y x y x= = 4) 2ln(1 ), 0, 1y x x y x= + = = . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 18 Câu 4. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP 1) Sử dụng phương pháp tổng hợp: 2) Sử dụng phương pháp tọa độ để giải: Các bước thực hiện B1: Chọn hệ trục tọa độ Để chọn được hệ trục tọa độ cần có ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau tại một điểm B2: Tìm tọa độ các điểm liên quan trong bài toán và giải bài toán bằng phương pháp tọa độ. Ví dụ 1.(A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3= . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Ví dụ 2. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 'B 'C ' có AB a= , góc giữa hai mặt phẳng ( )A’BC và ( )ABC bằng 060 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Ví dụ 3. (D-2010) Cho hı̀nh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hı̀nh vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hı̀nh chieቷu vuông góc của đı̉nh S trên mặt phaኃng (ABCD) là đieቻm H thuộc đoạn AC, ACAH 4= . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung đieቻm của SA và tı́nh theቻ tı́ch khoቷi tứ diện SMBC theo a. Ví dụ 4. (A-2009) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; 2 ; AB AD a CD a= = = ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( )ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Ví dụ 5.(B-2009) Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có 'BB a= , góc giữa đường thẳng 'BB và mặt phẳng ( )ABC bằng 600; tam