Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT

Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số. Lý thuyết: - Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên; Ví dụ: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số 3 1 x y x - = + có tọa độ là những số nguyên. Giải: · Đ/k xác định: 1 0 1x x+ ¹ Û ¹ - ┼- 10Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 19 20 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ · Chia tử cho mẫu ta có 41 1 y x = - + Xét điểm ( );x y thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta có 41 1 y x = - + . · Với x΢ ta có 41 1 y x = - Î + ¢ 4 1x Û Î + ¢ 1xÛ + là các ước số nguyên của 4. Các trường hợp xảy ra: 1 4x + = 3xÛ = , ta có 3 3 0 3 1 y - = = + 1 4x + = - 5xÛ = - , ta có 2y = 1 2 1x x+ = Û = , ta có 1y = - 1 2 3x x+ = - Û = - , ta có 3y = 1 1 0x x+ = Û = , ta có 3y = - 1 1 2x x+ = - Û = - , ta có 5y = · Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là: ( )3;0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5;2 , 1; 1 , 3;3 , 0; 3 , 2;5- - - - - Bài tập: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số 2 2 2 x y x + = - có tọa độ là những số nguyên. 6. Khảo sát hàm số Sơ đồ: · Tập xác định. · Đạo hàm ( )y f x¢ ¢= Giải p/trình ( ) 0f x¢ = · Tính các giới hạn lim x y ®±¥ ; tiệm cận với hàm hữu tỷ ax by cx d + = + Và ( ) lim dx c y ± ® - = ±¥ để suy ra tiệm cận đứng là đ/t ax c= ; lim x ay c®±¥ = , suy ra tiệm cận ngang là đ/t ay c= · Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các giới hạn đã tính) · Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số; - Cực trị của hàm số (nếu có). · Vẽ đồ thị: - Xác định giao điểm với trục hoành: Cho 0y = , tìm x. - Xác định giao điểm với trục tung: Cho 0x = , tìm y. - Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao điểm 2 t/cận) ┼- 11Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 21 22 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Chuyên đề II: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Lý thuyết: Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b . · Tính đạo hàm ( )y f x¢= Giải phương trình ( ) 0f x¢ = và tìm các nghiệm 0x thuộc đoạn [ ];a b (các nghiệm nằm ngoài đoạn này không lấy ) · Tính ( ) ( ) ( )0, ,f a f b f x · So sánh các số trên và kết luận. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 ; min min , , a b f x f a f b f x= [ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 ; max max , , a b f x f a f b f x= Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 2 x y x = + + trên đoạn [ ]1;3 . Gợi ý- Giải: · Đạo hàm 2 2 1 2 y x ¢ = - + · 22 2 1 0 0 4 2 2 y x x x ¢ = Û - + = Û = Û = ± Trên đoạn [ ]1;3x = ta lấy 2x = . · Ta có ( ) 2 1 71 1 1 2 2 y = + + = ; ( ) 2 22 1 3 2 2 y = + + = ( ) 2 3 193 1 3 2 6 y = + + = · So sánh các số trên ta suy ra [ ] ( ) 1;3 min 2 3y y= = ; [ ] ( ) 1;3 7 max 1 2 y y= = Bài tập Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 2 cosf x x x= + trên đoạn 0; 2 pé ù ê úë û . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 22 1y x x= - + trên đoạn [ ]0;2 . Câu 3 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 3 x y x - = - trên đoạn [ ]0;2 . Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 22 4 3y x x= - + + trên đoạn [ ]0;2 . Câu 5 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 22 6 1y x x= - + trên đoạn [ ]1;1- . Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ. Lý huyết - Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với 0 1a< ¹ ) .x y x ya a a+ = ; ( ) ( ).y xx x y ya a a= = x x y y a a a - = ; 1 x x aa -= . Ghi nhớ công thức khử cơ số: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= Û = ( ) ( )1 0f xa f x= Û = ; ┼- 12Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 23 24 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ ( ) ( ) logf x aa c f x c= Û = Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai 2. . 0x xm a n a p+ + = (1) Cách giải: · Đặt ( ), 0xt a t= > , khi đó ( )22 2x xt a a= = . Ta có p/trình ( )2. . 0, 0m t n t p t+ + = > (2) · Giải p/trình (2), tìm nghiệm 0t > · Giải p/trình logx aa t x t= Û = · Kết luận, nghiệm của (1) Ví dụ: Giải các phương trình sau 1) 2 13 4.3 1 0x x+ - + = 2) ( ) ( )2. 3 2 2 2 1 1 0x x- - - - = Lời giải : 1) 2 13 4.3 1 0x x+ - + = 23.3 4.3 1 0x xÛ - + = Đặt ( )3 , 0xt t= > , khi đó 2 23 xt = . Ta có p/trình 23 4 1 0t t- + = , ( )0t > Giải p/trình này được 11; 3 t t= = (thỏa mãn đ/k 0t > ) · Với 1t = , ta có 03 1 3 3 0x x x= Û = Û = - Với 1 3 t = , ta có 1 1 3 3 3 1 3 x x x-= Û = Û = - · Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm 0; 1x x= = - Chú ý: 2 1 2 1 23 3 .3 3.3x x x+ = = 2) Để ý ( )22 1 2 2 2 1 3 2 2- = - + = - Đặt ( )2 1 xt = - , ( )0t > , Khi đó ( ) ( ) ( ) 22 23 2 2 2 1 2 1 xx x té ù é ù- = - = - =ê ú ê úë û ë û · P/trình đã cho trở thành 22 1 0t t- - = , ( )0t > Giải p/trình này ta được 1t = (nhận); 1 0 2 t = - < (loại) · Với 1t = , ta có ( )2 1 1 0x x- = Û = · Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất 0x = . Dạng 2: . . 0x xm a n a p-+ + = hay . 0x x n m a p a + + = Cách giải: · Đặt ( ), 0xt a t= > , khi đó 1 1x xa ta - = = Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm 0t > . Rồi tìm x. · Kết luận. Ví dụ : Giải các phương trình sau 1) 16 6 5 0x x-- - = 2) 1 1 1 5 26 0 5 x x + -+ - = Lời giải: 1) Ta có 16 6 5 0x x-- - = 6 6.6 5 0x x-Û - - = · Đặt 6xt = , ( )0t > ta có 1 16 6 x x t - = = · Ta có p/trình 1 6. 5 0t t - - = , ( )0t > 2 5 6 0t tÛ - - = . ┼- 13Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 25 26 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Giải p/trình này được 6t = (thỏa); 1 0t = - < (không thỏa) · Vậy ta có 6 6 1x x= Û = . Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm duy nhất 1x = . 2) Để ý : 1 15 5 .5 5.5x x x+ = = ; 1 1 1 1 5 5 5 .5 5x x x- - = = Ta có 1 1 1 5 26 0 5 x x + -+ - = 5 5.5 26 0 5 x xÛ + - = Đặt ( )5 , 0xt t= > ta có p/trình ( )55. 26 0, 0t t t + - = > 25 26 5 0t tÛ - + = Giải p/trình này được 15; 5 t t= = (thỏa mãn đ/k 0t > ) · Với 5t = , ta có 5 5 1x x= Û = - Với 1 5 t = , ta có 1 1 5 5 5 1 5 x x x-= Û = Û = - · Tóm lại, p/trình đã cho có hai nghiệm 1; 1x x= = - Dạng 3: Bất phương trình mũ ( ) ( )f x g xa a£ , ( )0 1a< ¹ Cách giải: · Nếu 0 1a< < ta có ( ) ( )f x g x³ (đổi chiều BPT) · Nếu 1a > ta có ( ) ( )f x g x£ . Với BPT ( )f xa c£ - Nếu 0 1a< < , ta có ( ) logaf x c³ (Đổi chiều BPT) - Nếu 1a > , ta có ( ) logaf x c£ Ví dụ : Giải các bất phương trình a) 2 3 12 4 x x- £ b) ( ) 22 3 1 93 x x+ ³ Giải: a) Ta có 2 3 12 4 x x- £ 2 3 22 2x x- -Û £ 2 3 2x xÛ - £ - 2 3 2 0x xÛ - + £ 1 2xÛ £ £ Vậy BPT đã cho có tập nghiệm [ ]1;2T = Vì cơ số 2 1a = > nên 2 3 22 2x x- -£ 2 3 2x xÛ - £ - (hai BPT có cùng chiều). Để giải BPT 2 3 2 0x x- + £ , ta tìm nghiệm tam thức 2 3 2x x- + và xét dấu rồi chọn miền nghiệm. b) ( ) 22 3 1 1 3 9 x x+ ³ ( ) ( ) 22 3 2 1 1 3 3 x x+ Û ³ 22 3 2x xÛ + £ (đổi chiều BPT do cơ số 1 13a = < ) 22 3 2 0x xÛ + - £ 1 2 2 xÛ - £ £ Vậy BPT đã cho có tập nghiệm 12; 2 T é ù= -ê úë û Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình 2 22 9.2 2 0x x+ - + = Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 17 2.7 9 0x x-+ - = Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Giải phương trình 2 13 9.3 6 0x x+ - + = Câu 4: Giải các bất phương trình sau a) ( ) ( ) 2 3 2 6 1 1 2 2 x x x- - £ b) 22 7 63 3x x x- +³ 2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit. Lý huyết Ghi nhớ: Với 0 1, 0, 0a b c > khi đó Tính toán: loga a a a= ; log loga ab b a a= ┼- 14Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 27 28 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ 1 log logaa b ba a = Cộng, trừ logarit : log log log .a a ab c b c+ = ; log log loga a a b b c c - = Đổi cơ số: loglog log a c a b b c = ; 1 log loga b b a = · Cách khử logarit: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 log loga a f x f x g x f x g x ì >ï= Û í =ïî ( ) ( )log ca f x c f x a= Û = Chú ý: 10log log lga a a= = ; log lne a a= . Dạng 1: Biến đổi về phương trình ( ) ( )log loga af x g x= Cách giải: - Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi. - Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit. Ví dụ: Giải các p/trình sau: 1) ( )3 9log 9 log 5x x+ = 2) ( ) ( )2 2 2log 2 log 3 log 12x x- + - = Lới giải: 1) · Đ/k xác định: 0 0 9 0 x x x >ì Û >í >î Khi đó ta có ( )3 9log 9 log 5x x+ = 23 3 3log 9 log log 5x xÛ + + = 3 3 1 2 log log 5 2 x xÛ + + = 3 3 log 3 2 xÛ = 2 3log 2 3 9x x xÛ = Û = Û = (thỏa mãn đ/k) · Vậy p/trình có nghiệm duy nhất 9x = . 2) · Đ/k xác định 2 0 2 3 3 0 3 x x x x x - > >ì ì Û Û >í í- > >î î Khi đó ta có ( ) ( )2 2 2log 2 log 3 log 12x x- + - = ( )( )2 2log 2 3 log 12x xÛ - - = ( )( )2 3 12x xÛ - - = 2 5 6 0x xÛ - - = Giải p/trình này dược 6x = (thỏa đ/k); 1x = - (không thỏa đ/k) · Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất 6x = . Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit ( ) ( )2.log .log 0a am f x n f x p+ + = Cách giải: · Đ/k xác định: ( ) 0f x > · Đặt ( )logat f x= , tΡ Ta có p/trình 2. 0m t nt p+ + = . Giải p/trình này tìm t. · Giải p/trình ( ) ( )log ta f x t f x a= Û = để tìm x. · Kết luận. Ví dụ : Giải ph/trình 2 22 2log 3log 10 0x x- - = Giải: ·Đ/k xác định: 0x > Ta có ( ) ( )2 22 2 2 22 2 2 2log log 2log 4logx x x x= = = · Đặt 2logt x= , ta có 2 2 22log 4x t= · P/trình đã cho trở thành 24 3 10 0t t- - = Giải p/trình này được 52; 4 t t= = - ┼- 15Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 29 30 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ · Với 2t = , ta có 22log 2 2 4x x x= Û = Û = - Với 5 4t = - , ta có 5 4 2 5log 24x x - = - Û = · Kết luận: P/trình đã cho có hai nghiệm 54; 4 x x= = - . Dạng 3: Bất p/trình ( ) ( )log loga af x g x< , ( )0 1a< ¹ . Điều kiện xác định: ( ) ( ) 0 0 f x g x ì >ï í >ïî - Nếu 0 1a (BPT đổi chiều) - Nếu 1a > , ta có ( ) ( )f x g x< (BPT cùng chiều) · Với BPT ( )loga f x c£ - Nếu 0 1a< < , ta có ( ) cf x a³ (BPT đổi chiều) - Nếu 1a > , ta có ( ) cf x a£ (BPT cùng chiều) Ví dụ: Giải các bất p/trình: a) ( )2 2log log 3 1x x³ - b) ( ) ( )1 1 3 3 log 2 1 log 2x x- > + Giải: a) · Đ/kiện xác định: 0 1 3 1 0 3 x x x >ì Û >í - >î · Với 1 3 x > ta có : ( )2 2log log 3 1x x³ - 3 1x xÛ ³ - 1 2 1 2 x xÛ £ Û £ { Cơ số 2 1a = > nên có BPT cùng chiều} · Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 1; 3 2 T æ ù= ç úè û b) · Đ/kiện xác định: 2 1 0 1 2 0 2 x x x - >ì Û >í + >î · Với 1 2 x > ta có : ( ) ( )1 1 3 3 log 2 1 log 2x x- > + 2 1 2x xÛ - < + 3xÛ < { Cơ số 1 12a = < nên BPT đổi chiều} · Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 ;3 2 T æ ö= ç ÷ è ø Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban): Giải phương trình ( )4 2log log 4 5x x+ = . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình ( ) ( ) ( )3 3 3log 2 log 2 log 5x x x+ + - = Ρ . Câu 3: Giải các bất phương trình a) ( )1 5 1 5 5 log log 2 log 3x x- - < b) 23 3log 4log 3 0x x- + £ Chuyên đề IV: Hình học không gian (tổng hợp). ·. Tính diện tích, Tính thể tích. Lý huyết Thể tích hình chóp 1 . . 3 ®¸y V S h= (h là chiều cao) Thể tích khối cầu bán kính R: 34 . 3cÇu V Rp= Thể tích khối lăng trụ .L/trô ®¸yV S h= ┼- 16Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 31 32 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Thể tích khối nón tròn xoay : 21 .3nãnV R hp= Thể tích khối trụ tròn xoay: 2.trôV R hp= . · Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay: .Xq-nãnS R lp= Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay: 2 .Xq-trôS R lp= Một số hình cần chú ý: - Hình chóp đều có đáy là tam giác, hình vuông - Hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy (hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông) - Hình nón tròn xoay, biết chiều cao, hoặc đường sinh, bán kính đường tròn đáy, góc phẳng ở đỉnh. - Hình nón bị cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh giao với đường tròn đáy tại hai điểm A, B, biết AB và giả thiết khác. Yêu cầu: Giải lại các bài toán trong SGK HH12 có dạng trên, ghi nhớ cách tính các yếu tố cần thiết và mối quan hệ giữa các yếu tố dựa vào hình vẽ, tính chất của hình. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng 3a . 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =AC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Câu 3 (Đề TN 2008, Lần 1, Phân ban): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. 1) Chứng minh SA vuông góc với BC. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a. Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Phân ban): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB=a, BC= 3a và SA=3a. 1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian. 1. Tọa độ của điểm, vectơ. Lý huyết Yêu cầu nắm được: - Tính độ dài vecto ( ); ;u a b c r : 2 2 2u a b c= + + r - Cho ( ); ;A A AA x y z , ( ); ;B B BB x y z , ( ); ;C C CC x y z Tính tọa độ trung điểm I của đoạn AB, và trọng tâm G của tam giác ABC. 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y I y z z z +ì =ï ï +ï =í ï +ï =ïî ; 3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y y G y z z z z + +ì =ï ï + +ï =í ï + +ï =ïî - Tính tọa độ vecto AB uuur : ( ); ;B A B A B AAB x x y y z z= - - - uuur - Độ dài đoạn AB: ( ) ( ) ( )2 2 2B A B A B AAB AB x x y y z z= = - + - + - uuur - Tính tích có hướng của 2 vecto ( ); ;u a b c r , ( ); ;v a b c¢ ¢ ¢ r ┼- 17Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 33 34 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ , ; ; b c c a a b u v b c c a a b æ öé ù = ç ÷ë û ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢è ø r r ( ), ; 'u v bc b c ca c a ab a bé ù ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= - - -ë û r r - Tính tích vô hướng của 2 vecto ( ); ;u a b c r , ( ); ;v a b c¢ ¢ ¢ r . . .u v aa b b c c¢ ¢ ¢= + + r r - Tính góc giữa hai vecto ( ); ;u a b c r , ( ); ;v a b c¢ ¢ ¢ r ( ) .cos , . u v u v u v = r rr r r r 2 2 2 2 2 2. aa bb cc a b c a b c ¢ ¢ ¢+ + = ¢ ¢ ¢+ + + + - Nắm được: Cách tính tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa mãn môt hệ thức vecto. Ví dụ: 2. Mặt cầu. Lý huyết · Mặt cầu tâm ( ); ;I a b c và bán kính R có ph/trình ( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R- + - + - = · Dạng thứ hai: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + - - - + = (2) Với đ/kiện 2 2 2 0a b c d+ + - > , thì (2) là p/trình mặt cầu tâm ( ); ;I a b c , bán kính 2 2 2R a b c d= + + - . Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm ( ); ;I a b c và đi qua một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm không đồng phẳng. Chú ý: Khoảng cách từ điểm ( ); ;M M MM x y z đến đường thẳng ( ) : 0Ax By Cz DD + + + = được tính theo công thức ( ); 2 2 2 . . .M M M M A x B y C z D d A B C Dé ùë û + + + = + + Dạng 1: Mặt cầu đi qua một điểm M và có tâm cho trước ( ); ;I a b c Cách giải: - Bán kính mặt cầu là R MI= Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm ( )1;2; 3A - và đi qua điểm ( )0;2;2M . Lời giải: · Mặt cầu đi qua điểm ( )0;2;2M nên có bán kính bằng ( ) ( ) ( )2 2 21 0 2 2 3 2 26R MA= = - + - + - - = · P/trình mặt cầu (tâm ( )1;2; 3A - ): ( ) ( ) ( )( ) ( )222 21 2 3 26x y z- + - + - - = Hay ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 26x y z- + - + + = Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết ( )1; 2; 1A - - và ( )3;0; 3B - . Giải: · Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I của đoạn AB. Tọa độ tâm I là ( ) 1 3 2 2 2 2 0 1 2 2 1 3 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y y z z z + +ì = = =ï ï + - +ï = = = -í ï ï - + -+ = = = -ïî Hay ( )2; 1; 2i - - ┼- 18Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 35 36 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ · Bán kính mặt cầu ( ) ( )( ) ( )( )2 221 2 2 1 1 2 3R IA= = - + - - - + - - - = · P/trình mặt cầu cần tìm: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22 222 1 2 3x y z- + - - + - - = Hay ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 3x y z- + + + + = Dạng 2: Mặt cầu có tâm ( ); ;I a b c và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 0P Ax By Cz D+ + + = . Cách giải: - Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp ( )P . Ví dụ 3: Viết ph/trình mặt cầu có tâm ( )0; 1;1M - và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z+ - + = . Lời giải: · Mặt cầu tiếp xúc với mp ( )P nên bán kính m/cầu bằng khoảng cách từ tâm M đến mp ( )P : ( ) ( ) ( ) , 22 2 0 1 2.1 1 1 1 2 M PR dé ùë û + - - + = = + + - 2 2 6 6 - = = · P/trình mặt cầu cần tìm (tâm ( )0; 1;1M - ): ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2 20 1 1 6 x y z æ ö- + - - + - = ç ÷ è ø Hay ( ) ( )2 22 21 1 3 x y z+ + + - = Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7). 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF . 3. Phương trình mặt phẳng. Lý huyết Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm ( );M M MM x y z và có vecto pháp tuyến ( ); ;n A B C= r . PTTQ của mp là ( ) ( ) ( ) 0M M MA x x B y y C z z- + - + - = Một số dấu hiệu: - Mặt phẳng ( )P vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường thẳng ( )d . Khi đó vecto AB uuur hoặc vecto chỉ phương du uur của ( )d là vecto pháp tuyến của mp ( )P . - Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( )Q , khi đó vecto pháp tuyến Qn uur của mp ( )Q cũng là vecto pháp tuyến của mp ( )P . Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )P đi qua điểm ( )1;2; 3A - và : a) vuông góc với đường thẳng ( ) 1 2: 2 1 3 x y z d - + = = - b) song song với mặt phẳng ( ) : 3 0Q x y z- - = c) vuông góc với đường thẳng AB với ( )0;1;1A , ( )1;2;0B - Lời giải: a) Đ/thẳng ( )d có vecto chỉ phương ( )2; 1;3u = - r . · ( ) ( )P d^ nên ( )P nhận ( )2; 1;3u = - r làm vecto pháp tuyến. Mặt khác ( )P đi qua điểm ( )1;2; 3A - . · Vậy p/trình tổng quát của ( )P : ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 2 3 3 0x y z- + - - + - - = ┼- 19Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 37 38 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ Hay 2 3 9 0x y z- + + = b) · ( ) ( )||P Q nên vecto pháp tuyến của ( )Q , ( )1; 1; 3n = - - r cũng là vecto pháp tuyến của ( )P . · Mặt khác ( )P đi qua điểm ( )1;2; 3A - . · Vậy p/trình tổng quát của ( )P : ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 3 3 0x y z- - - - - - = Hay 3 8 0x y z- - - = c) ( )P AB^ nên ( )P nhận ( )1;1; 1AB = - - uuur làm vecto pháp tuyến Mặt khác ( )P đi qua điểm ( )1;2; 3A - . · Vậy p/trình tổng quát của ( )P : ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 1 3 0x y z- - + - - - - = Hay 4 0x y z- + - - = 4 0x y zÛ - + + = Dạng 2: Mặt phẳng ( )P xác định bởi hai vecto u r , v r không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên ( )P . {Ôn thi ĐH-CĐ} Cách giải: Vecto pháp tuyến của ( )P là ,n u vé ù= ë û r r r , tích có hướng của hai vecto u r , v r . Một số dấu hiệu thường gặp: - Mp ( )P song song với hai đường thẳng ( ) ( )1 2,d d không cùng phương. - Mp ( )P vuông góc với hai mặt phẳng ( ) ( ),a b không song song. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1). 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. 2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). 1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. 2. Gọi M là điểm sao cho 2MB MC= - uuur uuuur . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC. 4. Phương trình đường thẳng. Lý huyết · Đường thẳng ( )D đi qua điểm ( ); ;M M MM x y z có vecto chỉ phương ( ); ;u a b c= r . - P/trình tham số của ( )D : M M M x x at y y bt z z ct = +ì ï = +í ï = +î , ( )tΡ - P/trình chính tắc của ( )D : M M Mx x y y z z a b c - - - = = Yêu cầu: Từ các p/trình tham số và p/trình chính tắc của đ/thẳng phải biết lấy vecto chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng. Dạng 1: Đường thẳng đi qua điểm ( ); ;M M MM x y z và có vecto chỉ phương xác định trước. Một số dấu hiệu thường gặp: - Đường thẳng ( )D đi qua hai điểm ,M N , khi đó vecto MN uuuur là vecto chỉ phương của ( )D . - Đường thẳng ( )D vuông góc với mặt phẳng ( )P . Khi đó vecto pháp tuyến Pn uur của ( )P là vecto chỉ phương của ( )D . ┼- 20Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ Biên soạn: Đỗ Cao Long. 39 40 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn) ┼ ┼ ┼ Email: c3dclong.nd@hue.edu.vn ┼ - Đường thẳng ( )D song song với đường thẳng ( )d , khi đó vecto chỉ phương của ( )d cũng là vecto chỉ phương của ( )D . Ghi nhớ: Nên vẽ hình minh họa để dễ xác định các yếu tố giải thiết cho và liên hệ tới mối quan hệ giữa chúng. Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng ( )D , biết: a) ( )D đi qua hai điểm ( )1;2; 3A - , ( )0;1; 2B - b) ( )D đi qua điểm ( )1; 1;1M - và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 3 0x y za - + = . c) ( )D đi qua điểm ( )0;0;2N và song song với đường thẳng ( )d có p/trình ( ) 2 : 1 2 x t d y t z =ì ï = - +í ï =î Lời giải: a) · Đường thẳng ( )D đi qua hai điểm A, B nên nhận vecto ( )( )0 1;1 2; 2 3AB = - - - - - uuur ( )1; 1;1= - - làm vecto chỉ phương. · · Mặt khác ( )D đi qua ( )1;2; 3A - nên có p/trình tham số 1 2 3 x t y t z t = -ì ï = -í ï = - +î , ( )tΡ b) · Đường thẳng ( )D vuông góc với mp ( )P nên nhận vecto pháp tuyến ( )1; 3;1n = - r của ( )P làm vecto chỉ phương của ( )D . · Mặt khác ( )D đi qua điểm ( )1; 1;1M - nên có p/trình tham số 1 1 3 1 x t y t z t = +ì ï = - -í ï = +î , ( )tΡ c) Đ/thẳng ( )d có vecto chỉ phương ( )2;1;0u r . · Đ/thẳng ( )D song song với ( )d nên nhận ( )2;1;0u r làm vecto chỉ phương. · Mặt khác ( )D đi qua điểm ( )0;0;2N nên có p/trình tham số 0 2 0 2 x t y t z = +ì ï = +í ï =î , ( )tΡ . Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Bổ túc): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm E(1;0;2) , M(3;4;1) và N(2;3;4). 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN. Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2),N(3;1;5)và đường thẳng (d) có phương trình ( ) 1 2 : 3 6 x t d y t z t = +ì ï = - +í ï = -î . 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). 2. Viết p/trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. 5. Góc, khoảng cách. Lý huyết ┼- 21Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THP