Tài liệu ôn thi Toán Đại học - Tổ hợp và số phức

 Hướng dẫn: Ta có ,z a bi z a bi    , 2 2 2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi      Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i        Vậy 2 2 2 2( ) 2( )z z a b   là số thực; 3 3 3 2( ) 3 z z b i z z a ab    là số ảo; 2 2 2 2 ( ) 4 1 . 1 z z ab i z z a b     là số ảo. 13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: i) 2z là số thực âm; b) 2z là số ảo ; c) 2 2( )z z d) 1 z i là số ảo.  Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 22 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi         a) 2z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2 0x y   x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 6 b) 2z là số ảo khi 2 2 0x y   y =  x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ. c) 2 2( )z z khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ. d) 1 z i = 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) x y i x y i x y      là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; 14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau: j) 2 0iz i   c)  2 4 0i z   e) 2 4 0z   k)  2 3 1i z z   d)    1 3 2 3 0iz z i z i      Hướng dẫn: a) 1 2z i  b) 1 3 10 10 z i   c) 8 4 5 5 z i  d) ; 3 ; 2 3i i i   e) 2z i  2) Tìm : 15) Cho số phức z x yi  (x, yR). Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i z i   b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z i z i   là số thực dương.  Hướng dẫn: a) Phần thực là 2 2 2 2 1 ( 1) x y x y     , phần ảo 2 2 2 ( 1) x x y  b) Là số thực dương khi 0x  và 2 2 1 0x y    Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức ,i i . 16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3, ,z z z . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào? b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3, ,z z z thỏa 1 2 3z z z  . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 1 2 3 0z z z    Hướng dẫn: a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có    1 2 31 13 3OG OA OB OC z z z         vậy G biểu diễn số phức  1 2 313z z z z   b) Vì OA OB OC    nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay 1 2 3 0z z z   . 3. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. I> Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả 2z = w được gọi là căn bậc hai của w.  w là số thực: w = a  a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0  a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a  a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .a i và – .a i  w là số phức: w = a + b i (a, b , b  0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi 2z w     2 2 2 x - y = a(x + yi) = a + bi 2xy = b  Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.  VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i . Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có 2 2 2 2 3( ) 3 4 2 4 x y z w x yi i xy              THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 7 2 2 4 2 23 3 4 0 4 2 2 2 x y y y y x x x y y y                      2 1 y x   hoặc 2 1 y x     . Vậy có 2 căn bậc hai của w là 1z = 1 + 2 i , 2z = –1 – 2 i . II> Phương trình bậc hai: 1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: 2 20 ( 0), 4ax bx c a b ac       .    0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2 bx a      < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 | |.2 b ix a     VD: Giải phương trình 3 8 0x   3 3 3 2 2 2 8 0 2 0 ( 2)( 2 4) 0 2 4 0 (1) x x x x x x x x                 (1) có  = 1 – 4 = –3 =  23.i nên có 2 nghiệm phức 1,2 1 3.x i  . Do đó phương trình có 3 nghiệm 1 2 31 3. , 1 3. , 2x i x i x      2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 2 20 ( 0), 4Ax Bx C A B AC       , a bi     = 0: Phương trình có nghiệm kép 2 Bx A     0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2 Bx A   với  là 1 căn bậc hai của .  VD: Giải phương trình: a) 2 1 02z iz   ; b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i     a) 2 1 02z iz   có  = –1 – 8 = – 9 = 2(3 )i . Phương trình có 2 nghiệm phức 1 34 i iz i  , 2 3 14 2 i iz i   b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i     có  = 2 2(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i           = 2(1 4 )i Phương trình có 2 nghiệm phức 1 3 2 1 4 1 32 i iz i       ; 2 3 2 1 4 2 2 i iz i       4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 23 2 1 0z z    b) 27 3 2 0z z   ; c) 25 7 11 0z z    Hướng dẫn: a) 1 2 3 i b) 3 47 14 i  c) 7 171 10 i 2) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 4 2 6 0z z   b) 4 27 10 0z z    Hướng dẫn: a) 2; 3i  b) 2; 5i i  3) Cho a, b, c  R, a  0, 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 2 0az bz c   . Hãy tính 1 2z z và 1 2z z theo các hệ số a, b, c.  Hướng dẫn: 1 2z z = ba , 1 2z z = c a 4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 8  Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0  2 ( ) 0x z z x zz    . Với z + z = 2a, z z = 2 2a b . Vậy phương trình đó là 2 2 22 0x ax a b    5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w  Hướng dẫn: z a bi  là một căn bậc hai của w  22 2z w z w z w z w       VD:  23 4 2i i   tức 2z i  là một căn bậc hai của 3 4w i  thì z w 6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a) 2 1z z  b) 2 2 5 0z z   c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i      Hướng dẫn: a) 2 2 1 1 5 1 5 1 52. . 2 4 4 2 4 2 2 z z z z            b)      2 2 22 2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i                  c)      2 21 3 8 1 2 1i i i i        Phương trình có hai nghiệm phức là 1 22 ; 1z i z i    . 7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0z Bz C   (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?  Hướng dẫn: a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là  2 21,2 42Bz B ACA       nên 1 2 1 2; B Cz z z z A A     . b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình    2 4 5 1 0z i z i     Có  25 12 2 3i i      nên hai số cần tìm là 1 23 ; 1 2z i z i    . c) Phương trình 2 0z Bz C   có hai nghiệm là ;z a bi z a bi    thì   2B z z a     là số thực và 2 2.C z z a b   là số thực. Điều ngược lại không đúng. 8) a) Giải phương trình sau:   2 2 2 1 0z i z iz    b) Tìm số phức B để phương trình 2 3 0z Bz i   có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.  Hướng dẫn: a)   22 0z i z i   có 3 nghiệm là 2 2 2 2; ; 2 2 2 2 i i i   . b) Ta có 1 2 1 2; . 3z z B z z i    nên      2 22 2 2 21 2 1 2 1 28 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i                9) Tìm nghiệm của phương trình 1z k z   trong các trường hợp sau: a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i.  Hướng dẫn: 21 1 0z k z kz z       có 2 nghiệm  2 21,2 42kz k      a) k = 1 thì 1,2 1 3 2 2 z i  b) k = 2 thì 1,2 2 22 2z i  c)  1,22 1 2k i z i    10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: a) 3 1 0z   ; b) 4 1 0z   ; c) 4 4 0z   ; d) 4 38 8 1z z z    Hướng dẫn: THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 9 a)   3 2 1 3 1 31 0 1 1 0 1, , 2 2 2 2 z z z z z z i z i              . b) 4 4 21 0 1 1 1,z z z z z i            c)    4 4 24 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i               d)       3 2 1 1 31 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, , 2 4 4 z z z z z z z z z i                11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0z bz c   nhận 1z i  làm nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình 3 2 0z az bz c    nhận 1z i  và z = 2 làm nghiệm.  Hướng dẫn: a)      21 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c                   b) Lần lượt thay 1z i  và z = 2 vào phương trình, ta được 2 (2 2 ) 0 8 4 2 0 b c a b i a b c            2 4 2 2 6 4 2 8 4 b c a a b b a b c c                   5. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC(tham khảo) I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z  0:  Cho số phức z = a + b i  0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc ( , )Ox OM    được gọi là một acgumen của z.  Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng  + k2 (k ) (z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).  VD: Biết z  0 có một acgumen là  . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; 1 z .  z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi –OM nên có acgumen là  + (2k + 1)  z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2  – z biểu diễn bởi – 'OM nên có acgumen là – + (2k + 1)  1 z = 1 2| | zz z   , vì 21| |z là một số thực nên 1z có cùng acgumen với z là – + k2. 2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i :  Dạng lượng giác của số phức z  0 là z = r (cos + i sin ) với  là một acgumen của z.   Vôùi  2 2 a bz = a + bi z = r cosφ+ isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ = r r  VD:  Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng  nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin  Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng  thoả cos = 1 2 và sin = 3 2 . Lấy  = 3  thì 1 + 3 i = 2(cos 3  + i sin 3  )  Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos + i sin )  Chú ý:  Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + )  Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(– ) + i sin(– )  Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( –  ) + i sin( –  ) II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho z = r (cos + i sin ) và z = r (cos ’ + i sin ’) với r , r  0 THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 10 z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')] và z r= [cos(φ -φ')+ isin(φ -φ')] z' r' ( r  0)  Ta có 1 'z và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên 1 1 [cos( ') sin( ')] ' ' i z r      . Do đó [cos( - ') sin( - ')] ' ' z r i z r      ( r ’ 0)  VD: 1 3 32 cos sin4 4z i       và 2 5 52 sin cos 12 12 z i      . Tính 1 2.z z và 1 2 z z Với 2 2 cos sin12 12z i       ; 1 2.z z = 5 5 3 12 2 cos sin 2 2 6 2. 6 6 2 2 i i i                  và 1 2 z z = 2 2 2 1 3 2 6cos sin 2 3 3 2 2 2 22 i i i                  III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos + i sin )   n nr(cosφ+ isinφ) = r (cosnφ+ isinnφ) (n * ) 2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos + i sin ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là       φ φr cos + isin 2 2 và 2 2cos sin2 2 r i                          φ φr cos + π + isin + π 2 2  VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính:  1001 i và căn bậc hai của w = 1 + 3.i  Ta có 1 + i = 1 12 2 cos sin 4 42 2 i i            . Do đó  1001 i =   100 502 cos sin 2 cos 25 sin 25 4 4 i i             w = 1 + 3.i = 2 cos sin 3 3 i     có 2 căn bậc hai là 2 cos sin6 6i      và 7 72 cos sin 6 6 i     . 1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn  191 i và công thức Moavrơ để tính 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19...    ð ð ð ð ð .  Hướng dẫn: 1 2 cos sin 4 4 i i       Ta có   1919 0 0 1 1 2 2 18 18 19 1919 19 19 19 19 0 1 ... n k k n k i i i i i i i           ð ð ð ð ð ð với phần thực là 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19...    ð ð ð ð ð   19 1919 9 919 19 2 21 2 cos sin 2 2 2 4 4 2 2 i i i i                    có phần thực 92 512   Vậy 0 2 4 16 1819 19 19 19 19...    ð ð ð ð ð = –512. 2) Tính: 212004 5 3 3; 1 1 2 3 i i i i              Hướng dẫn: THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 11   20042004 2004 1002 1002 1 2 1 1cos sin cos sin 1 2 2 4 4 2 2 i i i i i                                21 2121 21 215 3 3 2 21 3 2 cos sin 2 cos14 sin14 23 31 2 3i i i ii                         3) Cho số phức  1 1 32w i   . Tìm các số nguyên dương n để nw là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để mw là số ảo?  Hướng dẫn:  1 4 4 4 41 3 cos sin cos sin2 3 3 3 3n n nw i i w i           W là số thực khi 4sin 0 3 n  , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3. Không có m nào để mw là số ảo. 6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:      i iii i i 132321 1 1 10 2      2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: a. ; 2 31 1 2 i iz i i    b.    ;0 2 1.32     i izizi c. ;0||2  zz d. 022  zz ; 3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b. 1+i+i2+i3++……+i2011 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. ;4|3|  zz b. ;2|1|  izz c.   ziz 2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz  5. Các vectơ  ',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’. a. Chứng minh rằng tích vô hướng  '.'. 2 1'. zzzzuu  ; b. Chứng minh rằng  ',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz  6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ,k iz z  (k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 11   iz z và .13   iz iz 8. Tìm số phức z thỏa mãn 1 4      iz iz 9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:1 tan 1 tan i i     10. Giải các phương trình sau trên C : THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 12 a. 01 2 2 34  zzzz bằng cách đặt ẩn số phụ z zw 1 ; b.     0363263 2222  zzzzzz c. (z2+1)2+(z+3)2=0a.     01 32  izziz d.     .0124 222  zzzz 11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21, zz sau : a/     izz izz 25 4 2 2 2 1 21 b/     izz izz 25 55 2 2 2 1 21 12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau : a.-1-i 3 ; b. 4 sin 4 cos  i ; c. ; 8 cos 8 sin  i d.  cossin1 i ; 2 0      13. Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau : 2 1 3z z i z     15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a.   ;31 3 sin 3 cos 75 iii      b.   9 10 3 1 i i   ; c. 20002000 1zz  biết rằng .1 1  z z 18. CMR:3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007 19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức n i i       33 33 là số thực, là số ảo? 20.Viết dạng lượng giác số z= 1 3 2 2 i .Suy ra căn bậc hai số phức z BÀI TẬP TỰ RÈN 1) Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.  Hướng dẫn: a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3 2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.  Hướng dẫn: z = a + bi  |z| = 2 2a b . Ta có |z|  2a = a và |z|  2b = b 3) Giải phương trình sau trên tập phức: a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.  Hướng dẫn: a) 7 4 5 5 i b) 18 13 7 7 i 4) Giải phương trình sau trên tập phức: a) 23 7 8 0z z   b) 4 8 0z   c) 4 1 0z    Hướng dẫn: a) 7 47 6 i  b) 4 8 , 4 8i c) 1, i  5) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 13  Hướng dẫn: 1 2 1 23, 4z z z z    1 2,z z là nghiệm phương trình 2 3 4 0z z   với  = 2( 7 )i  1,2 3 72 iz  6) Cho hai số phức 1 2,z z . Biết rằng 1 2 1 2,z z z z là hai số thực. Chứng tỏ 1 2,z z là hai nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực.  Hướng dẫn: Đặt 1 2 1 2,z z a z z b   với a, b  R. Khi 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 1 2( )( ) 0z z z z   hay 2 1 2 1 2( ) 0z z z z z z     2 0z az b   7) Chứng minh rằng nếu 1z w  thì số  1 0 1 z w zw zw    là số thực.  Hướng dẫn: Ta có 2. 1z z z  1 1 11 11 1 1 z w z w z w z wz w zw zwzw zw zw               nên  1 0 1 z w zw zw    là số thực. 8) Giải phương trình: a)    23 6 3 13 0z i z i       b) 23 33 4 0 2 2 iz iz z i z i          c)    2 22 1 3 0z z     Hướng dẫn: a)    2 3 3 23 6 3 13 0 3 3 2 3 z i i z i z i z i z i i z i                      b) 2 3 1 51 (1 ) 3 23 3 2 2 23 4 0 4 353 (4 ) 3 82 2 4 17 172 iz z ii z iiz iz z i iz i z iz i z i z i z i                                 c)       2 22 2 21 3 0 1 ( 3) 1 ( 3) 0z z i z z i z z i              Phương trình 2 1 3 0z iz i    có nghiệm 1 21 2 ; 1z i z i     Phương trình 2 1 3 0z iz i    có nghiệm 3 41 2 ; 1z i z i     Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2( ) 2( ) 5x yi x yi    . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.  Hướng dẫn: Phần thực là 2 2 2 5x y x   , phần ảo là 2( )xy y . Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x = 1. Bài 2. Thực hiện các phép tính: a) d) 3 3(1 2 ) (1 2 )i i   ; g) 2010 2009(1 ) (1 )i i   e) 2 2 1 2 1 2 2 2 i i i i    Bài 3. Tìm z, biết: a) (1 5 ) 10 2 1 5i z i i     ; b) (3 2 ) 1 4i z i z    c) 1 3 1 z i i i i      d) 2 3 1 3 2 1 1 i z i z i      ; e) ( 2 3) 2 3 2 2i z i i    ; f) 2 1 3 1 2 i iz i i     g)    21 1 2 2 1 z iz i i i       h) 1 22 3 1 1 i z iz i i i       i)   2 21 5 5 1 iz ii z i i       Hướng dẫn: a) 1 2z i  ; b) 1 3 5 5 z i  ; c) 2 3z i  ; d) 1 5 z i   ; THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 14 e) i ; f) 2 4 5 5 i  g) 3z i  h) 3z i i) 2 3z i  Bài 4. Biết 1z và 2z là hai nghiệm của phương trình 2 3 3 0z z   . Hãy tính: a) 2 21 2z z ; b) 3 31 2z z ; c) 1 2 2 1 z z z z  ; d) 2 21 2z z  Hướng dẫn: a) 2 21 2z z = –3; b) 3 31 2z z = 6 3 ; c) 1 2 2 1 z z z z  = –1; d) 2 21 2z z = 6. Bài 5. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.  Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là 1 3 72 2z i  và 2 3 7 2 2 z i  Bài 6. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 8(1 ) 12 16 0z i z i     ; b)  2 2 2 0z i z i    ; c)  2 2 1 4 0iz i z    ; d)  2 5 8 0z i z i      Hướng dẫn: a) 2 , 8 6z i z i    ; b) 1 22;z z i   ; c) 1 22; 2z z i    ; d) 1 22 ; 3 2z i z i    Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 4 26 25 0x x   ; b) 4 216 100 0x x   ; c) 4 23 3 3 0x x i    d) 4 23(1 2 ) 8 6 0x i x i     ; e) 4 7 24 0x i   ; f) 4 28 96 0x i    Hướng dẫn: a)    1 2 , 1 2x i x i      ; b)    3 , 3x i x i      ; c)    2 , 1x i x i      d)    2 , 1x i x i      ; e)    2 , 1 2x i x i      ; f)    3 , 1 3x i x i      Bài 8. Tìm z biết: a) 2z z ; b) 2 2 4z z i   c) 2 1 2z i z i     và 1 10 10z   Hướng dẫn: Gọi z = x + y i  z = x – y i và 2 2 2 2z x y xyi   . a) 2z z  2 2 (1) 2 (2) x y x xy y      (2) có nghiệm y = 0 thay vào (1)  x = 0 hoặc x = 1 Nếu y  0  (2) có nhiệm x = – 1 2 thay vào (1)  y = 3 2  Vậy nghiệm của hệ là các cặp số 1 3 1 3(0;0), (1;0), ; , ; 2 2 2 2                Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z = 1 3 2 2 i  ; z = 1 3 2 2 i  b) 2 4 3 z i  c) 1 3 ; 1 3z i z i     Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: a) 2z i  ; b) 3 1 3 z i z i   ; c) 1z z i   ; d) (2 3 ) 2 0i z i m    (m là tham số)  Hướng dẫn: a) 2 2 2 22 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4z i x y i x y x y              Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 15 b) 2 2 2 2 ( 3)3 ( 3)1 1 1 0 3 ( 3) ( 3) x yz i x y i y z i x y i x y               Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox. c) 2 2 2 21 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 0z z i x yi x y i x y x y x y                   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0. d) 2 6 2 2 6 3 4 13(2 3 ) 2 0 3 2 2 0 3 42 3 13 13 13 mxm i m mi z i m z z i x y mi y                       Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0. Bài 10. Dùng công thức Moa-vrơ để tính 5(1 )i ,  63 i .  Hướng dẫn:  4 1 i  . Bài 11. Tìm phần thực và phần ảo của số phức  83 i . Hướng dẫn: 3 13 2 2 cos sin 2 2 6 6 i i i                . Bài 12. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z   . Tính giá trị của biểu thức   2 2 1 2 2 1 2 z z A z z   . ĐS: A=11/4 Bài 14. Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i   . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS:    2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i        . Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn:     1 1 1 3 1 2 z z i z i z i        . HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i. Bài 16. Giải phương trình: 4 1z i z i      . ĐS: z{0;1;1} Bài 17. Giải phương trình: 2 0z z  . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i} 1. Giải phương trình: 2 0z z  . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, 1 3 2 2 z i  Bài 18. Giải phương trình: 2 4 3 1 0 2 zz z z     . HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, 1 1 2 2 z i   . Bài 19. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS: 1 3 1 31, , 2 2 2 2 z z i z i       . Bài 20. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 16 Bài 21. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 - 2i Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0. Bài 23. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i    . ĐS: 2 4 xy  . Bài 24. Trong các số phức thỏa mãn 32 3 2 z i   . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. 32 3 2 z i    …    2 2 92 3 4 x y    .  Vẽ hình |z|min z. ĐS: 26 3 13 78 9 13 13 26 z i   . 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài 1. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương tr