Tài Liệu Ôn Thi Tốt nghiệp THPT và Đại Học, Cao Đẳng môn Toán

ố góc tiếp tuyến k = a Û f’(x0 ) = a; giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 . Ÿ Tiếp tuyến D ^ d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = Û f’(x0 ) = ; giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 . Bài 1: 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x3 – 3x2 2/Tìm k để phương trình : 2x3 – k= 3x2 +1 có 3 nghiệm phân biệt. Đáp số :( − 2 < k < −1) Bài 2: Cho hàm số y = x4 + kx2 − k −1 ( 1) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi k = −1 2/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= − 1. ĐS : y= −2x−2 3/. Xác định k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = −2. Bài 3: 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (x−1)2 ( 4 − x ) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . ĐS : y = 3x − 4 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A( 4 ; 0 ) . Đáp số : y = 0 và y = −9x + 36 Bài 4: Cho hàm số y= x4 – ax2 + b 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a =1 ; b = − 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với Ox Đáp số : và Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= x4 − 3x2 + b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn . Đáp số : y = 4x+3 và y = −4x +3 c/ Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua diểm A ( 0; ). Đáp số : y = 0 ; y = Bài 6: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − 2 có đồ thị (Cm ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 3 2/ Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A. 3/ Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số y= có đồ thị ( Cm ) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị(C) của hàm số với m = −1 2/ Xác định m để ( Cm) đạt cực tiểu tại x = −1. 3/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc D: y= − . Đs: y =; y = Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= − x3 – 2x2 − 3x + 1 2/ Tìm các giá trị của m để pt : x3 + 2x2 + 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt 3/ Tìm m để pt : x3 +2x2 +3x −2 + m2 = 0 có 1 nghiệm 4/ Viết pttt của (C) song song với đường thẳng y = −3x Bài9 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x +1 2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C)và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao điểm của d và (C). ĐS: ( 0; 1) (2; 3 ) ( −2; −1 ) Bài 10 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = − 2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1. ĐS: y= 3x+1 Bài 11 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 − 6x2 + 9x 2/. Với các giá trị nào của m ; đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt . Bài 12 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = − x3 + mx + n đạt cực tiểu tại điểm x = −1 và đồ thị của nó đi qua điểm ( 1 ; 4) 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với các giá trị của m ; n tìm được . Bài 13: : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2/. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt. ĐS : Bài 14 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x4 + x2 −3 2/. CMR đường thẳng y = −6x−7 tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng −1 . Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a) tại giao điểm của (C) với trục hoành . b) tại giao điểm của (C) với trục tung . c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 7x – y +2 =0 Bài 16 : Cho hàm số y = 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0 2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . ĐS : y = Bài 17 : Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx +1 1/. Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua 2 điểm A( 1; 2); B( −2; −1). ĐS : a = 1 ; b = −1 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a và b tìm được . Bài 18 : Cho hàm số y = x4 + ax2 + b 1/. Tìm a và b để hàm số có cực trị bằng khi x = 1. ĐS : a = −2 ; b = 2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a = và b = 1 . 3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 . Bài 19 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x2 + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm . ĐS : y = ; y = 2x Bài 20 : Cho Hàm số (TN2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -5 Bài 21 : Cho hàm số (TN2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt Bài 22 :Cho hàm số (TN2011) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số trên Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị(C) với đường thẳng Bài 23.cho hàm số a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại,cực tiểu và các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng (đề 1) Bài 24.cho hàm số (đề 4) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) từ đồ thị hàm số đã cho suy ra đồ thị của hàm số Bài 25.cho hàm số (đề 7) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt Bài 26. cho hàm số (đề 8) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b)tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị C vuông góc với đường thẳng Bài 27. cho hàm số ( đề 10) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m= b) tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Bài 28. cho hàm số (đề 16) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) tìm diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng Bài 29.cho hàm số (đề 19) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b)chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình luôn cắt đồ thị hàm số tại một điểm A cố định. Bài 30. cho hàm số (đề 20) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi a=0 b) với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho: Bài 31. cho hàm số (đề 25) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=0 b)trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất c) chứng minh với mọi m, hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. Bài 32 .cho hàm số (đề 29) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số trên, biết rằng tiếp tuyến ấy vuông góc với đường thẳng Bài 33.cho hàm số (đề 39) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) cho điểm A(0;a). xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox Bài 34. .cho hàm số (đề 40) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=0 b) chứng minh rằng với mọi đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3;3) và có 2 điểm nằm ngoài (-3;3) Bài 35 cho hàm số (đề 41) a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=1 b)chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đạt cực trị tại với không phụ thuộc vào m Chủ đề II HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT. TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1) Luỹ thừa: Ÿ Các công thức cần nhớ: Ÿ Tính chất của lũy thừa: ; ; ; ; ; Ÿ Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì + Với 0 < a < 1 thì 2) Căn bậc n: ; ; ; 3) Lôgarit: Ÿ Định nghĩa: Cho : Ÿ Tính chất: Ÿ Quy tắc so sánh: + Với a > 0 thì: + Với 0 < a <1 thì: Ÿ Quy tắc tính: ; ; ; Ÿ Công thức đổi cơ số: hay hay ; Ÿ Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx, Lôgarit cơ số e kí hiệu là lnx Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) Hàm số mũ y = ax: Ÿ TXĐ: ¡ ; y = ax > 0 với mọi x. Ÿ Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1; nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1. 2) Dạng cơ bản: Dạng 1:Phương pháp Đưa về cùng cơ số 1.Biến đổi đưa về dạng : Chú ý đến các công thức sau: Ví dụ 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1) pt ÛÛ x2 + 3x – 2 = −2 Û x2 + 3x = 0 Û x = 0 Ú x = − 3 2) pt ÛÛ …Û x2 – 3x + 2 = 0 Û x = 1 Ú x = 2 3) pt Û 4) 3.Biến đổi về dạng Phương Trình Tích: A(x).B(x)=0 2.Biến đổi về dạng : Dạng 2. đặt ẩn phụ (Đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2,3) 1.Biến đổi đưa phương trình về dạng: Cách giải: B1: đặt ĐK B2: Phương trình trở thành 2.Biến đổi đưa về dạng: Cách Giải: B1: đặt ĐK B2 Phương trình trở thành Ví dụ 1) ; 2) ; 3) 1) pt Û (*) Đặt t = 3x > 0 ta có phương trình (*) Û 6561t2 – 972t + 27 = 0 Û Với ; Với 2) pt Û (*). Đặt ; (*) Với t = 5 Û 5x = 5 Û x = 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 1. 3) pt Û (*) Đặt . Pt (*) Với ; Vậy phương trình có nghiệm: Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – 6 = 0. (TNBTT2007) a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 − 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d) e) f) g) i) Dạng 3. Logarit hóạ 1.phương pháp lấy logarit hai vế với cơ số thích hợp Dạng Tổng Quát: Cách Giải: Lấy logarit hai vế ta có a) 2x − 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = d) e) f) 52x + 1− 7x + 1 = 52x + 7x Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ¯ Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞); . Tập giá trị: ¡ ¯ Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1; nghịch biến nếu 0 < a < 1 ¯ Phương trình và bất phương trình cơ bản: ŸŸ Dạng 1. Đưa về cùng cơ số Các kiến thức cần nhớ: Dạng 1: Biến đổi về dạng a) ; b) c) d) e) log4x + log2x + 2log16x = 5 f) g) log3x = log9(4x + 5) + . KQ: a) 1; b) −1; c); d) Æ; e); f) 3; g) Dạng 2. đặt ẩn phụ (TNTHPT 2010) giải : h) i) j) k) l) m) n) log3(3x – 8) = 2 – x o) p) KQ: h) ; i) ; j) 2; 3; k) e; e2; l) ; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 4. Dạng 3 mũ hóa a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = 2 – x Bất phương trình mũ  a) b) c) d) e) 16x – 4 ≥ 8 f) 52x + 2 > 3. 5x g) (1/2) 2x − 3≤ 3 ‚ a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x −2 ≤ 3 c) d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 −16x ≥ 2log48  Bất phương trình logarit a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log ½ (log3x) ≥ 0 e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3 f) log2x(x2 −5x + 6) < 1 g) h) k) Bảng đạo hàm: Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ  Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin2x biết F() = 0.Đáp số : F(x) = ‚ CM: F(x) = ln là 1 nguyên hàm của f(x) =. Hd: Cm F /(x) = f(x) Vấn đề 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phương pháp đổi biến số: Bài toán : Tính Nếu Hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn Hàm hợp được xác định trên. thì Ví dụ:  Tính tích phân sau:a) b) Hướng dẫn giải: a) Đặt       :   Đổi cận   b)  Đặt   Đổi cận: Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:a) b) Hướng dẫn giải:   a) Đặt Đổi cận:               b)  Đặt Ta có Chú ý: Trong thực tế chúng ta thường gặp những dạng tích phân trên dưới dạng tổng quát. Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng(Trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì ta biến đỏi sang dạng lượng giác để làm mất căn thức , Cụ thể : Với: đặt      hoặc Với đặt hoặc * Với đặt   hoặc Bài tập vận dụng: Tính các tích phân sau: a)             b)  c)                 d) d) Phương pháp tích phân từng phần Nếu và có đạo hàm liên tục trên đoạn thì: hay Ví dụ: Tính các tích phân sau: Hướng dẫn :  Đặt :  Chú ý : Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân từng phần. Nếu tính tích phân mà là các đa thức còn là một trong các hàm số Đặt : Nếu tính tích phân mà là các đa thức còn là hàm số Đặt : Nếu tính tích phân hoặc Đặt : Hoặc đặt Trong trường hợp này ta phải tích tích phân hai lần sau đó trở lại tích phân ban đầu.Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. ƒ Tính các tích phân sau : 1/.; Đáp số : 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số : 4/. ; Đáp số : 9/28 5/. Đáp số „Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số : 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số : 4/. ; Đáp số :8/15 5/. ; Đáp số :2/63 6/. ; Đáp số :ln2 7/. ; Đáp số : … Tính các tích phân sau : 1/. ; Đáp số :e−1 2/. ; Đáp số : 3/. ; Đáp số :2e2 – 2e 4/. ; Đáp số : 5/. ; Đáp số : 6/. ; Đáp số :−1 7/. ; Đáp số : 8/. ; Đáp số : 9/. ; Đáp số :2ln2−1 10/. ; Đs: 11/. ; Đáp số : 12/. ; Đáp số : 13/. ; Đáp số :0 14/. ; Đáp số : 15/. ; Đáp số :1/2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : a) y = x2 − 3x + 2 ; y = x −1; x = 0 ; x = 2. ĐS: 2 b) y = x.ex ; x = 1 ; y = 0. ĐS: S= 1 c) y = sin2x + x ; y = x; x = 0; x = π . ĐS: S= d) y2 = 2x và y = 2x −2 . ĐS : S= e) đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = 0. ĐS: S = 63 −16 ln 8 f) y2 = 2x +1 và y = x – 1. ĐS: 16/ 3 g) (P): y = – x2 + 4x và trục Ox. ĐS:S = đvdt h) (P): y = – x2 và y = – x – 2 . ĐS:S = đvdt i) (C): y = 5x4 – 3x2 – 8; trục Ox trên [1; 3] ĐS: S = 200 đvdt II)Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi : a) (C): y= ; các trục toạ độ . ĐS : V= ( 3− 4 ln2 ) b) (P): y 2 = 8x và x = 2 ĐS : 16 đvtt c) y = x2 và y = 3x ĐS : đvtt d) y = ; y = 0; x = 0; x = ĐS : đvtt ƒ Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi Parabol và trục Oy Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: (2001 – 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x −1 (2002 – 2003) 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = ; biết F(1) = 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= và trục Ox. HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = và y = 0 là = 0 Û x = –1; x = 6. vì £ 0 "xÎ . Do đó S = = (đvdt) (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Cho hàm số y = x3 – x2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0; x =0; x = 3 quay quanh trục Ox. HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ; y = 0 là = 0 Û x = 0; x = 3. Ta có: V = . V = (đvtt) (TNTHPT năm 2004 – 2005) Tính tích phân: I = Hướng dẫn: I = . Ÿ Tính J: Đặt u = x Þ du = dx; dv = cosx dx Þ v = sinx Ÿ Tính K: Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx. Đổi cận: . Do đó K = . Vậy I = (TNTHPT năm 2005– 2006) a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = ex; y = 2; x = 1. b. Tính tích phân: I = ( THPT năm 2005− 2006 Ban A). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt t = Þ . Đổi cận: . Do đó I = (TN.THPT năm 2005 − 200 6 Ban C). Tính tích phân I = . Hướng dẫn: Đặt u = 2x + 1 Þ du = 2dx; dv = exdx Þ v = ex. Do đó I = (TNTHPT năm 2006– 2007) 1. Tính tích phân J = . HD: Đặt t = lnx Þ dt = . Đổi cận: . Do đó I = . 2. Tính tích phân I = . Đặt t = + 1 Þ dt = 3dx. Đổi cận: . Do đó I = (THPT năm 2006 − 20007 Phân ban). 1. Tính tích phân I = . HD : Đặt t =Þ. Đổi cận: . I = . 2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx; y = 0; x = . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 Þ x = 0. Do đó V = . (đvtt) (TNTHPT năm 2007– 2008) 1. Tính tích phân I . Đặt t = 1 – Þ dt = –3dx. Đổi cận: . Do đó I = 2. Tính tích phân I = . HD: I = . Đặt Þ I = (TNTHPT năm 2008– 2009) Tính tích phân I = . HD: I = .Đặt . I = (TNTHPT năm 2009– 2010) Tính tích phân I . I = = = . Chủ đề 4 SỐ PHỨC 1. Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng , trong đó a, b Î R, đgl một số phức. a: phần thực, b: phần ảo. Tập số phức: C. Chú ý: Phần thực và phần ảo của một số phức đều là những số thực. 2. Số phức bằng nhau Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. Chú ý: · Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i Như vậy, a Î R Þ a Î C · Số phức 0 + bi đgl số thuần ảo và viết đơn giản là bi: bi = 0 + bi Đặc biệt, i = 0 + 1i. Số i : đơn vị ảo VD1: Tìm các số thực x, y để z = z': a) b) c) Giải a) Û b) Û c) Û VD2: Cho số phức Tìm a, b để: a) z là số thực b) z là số ảo Giải a) Û b) Û 3. Môđun của số phức Độ dài của đgl Modul của số phức kí hiệu VD2: Tính môđun của các số phức sau: a) b) c) d) e) Giải: 4. Số phức liên hợp Cho số phức . Ta gọi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là . Chú ý: · Trên mặt phẳng toạ độ, các điểm biểu diễn z và đối xứng nhau qua trục Ox. · · 5. Phép cộng và phép trừ Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo qui tắc cộng, trừ đa thức. * * VD1: Thực hiện phép tính: a) b) c) d) Giải: a) A = b) B = c) C = d) D = 6. Phép nhân Phép nhân hai số phức được thực hiện theo qui tắc nhân đa thức rồi thay trong kết quả nhận được. Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực. VD2: Thực hiện phép tính: a) b) c) d) Giải: a) b) c) d) 7. Tổng và tích của hai số phức liên hợp · Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó: · Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó. Nhận xét: Tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực 8. Phép chia hai số phức Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho: c + di = (a + bi)z Số phức z đgl thương trong phép chia c + di cho a + bi. Kí hiệu: VD1: Thực hiện phép chia cho . Giải: · Giả sử Þ Þ Þ Þ · Tổng quát: Để tìm thương ta thực hiện các bước sau: – Đưa về dạng: – Nhân cả 2 vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được: – Nhân cả 2 vế với : Chú ý: Trong thực hành, để tính thương , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của . VD2: Thực hiện các phép chia sau: a) b) c) Giải: a) b) c) 9. Căn bậc hai của số thực âm · Căn bậc hai của –1 là i và –i. · Căn bậc hai của số thực a < 0 là . VD1: Tìm các căn bậc hai của các số sau: –2, –3, –4. 10. Phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình bậc hai: (với a, b, c Î R, a ¹ 0) Tính D = . · Trong trường hợp D < 0, nếu xét trong tập số phức, ta vẫn có 2 căn bậc hai thuần ảo của D là . Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phức được xác định bởi công thức: VD2: Giải phương trình sau trên tập số phức: Nhận xét: Trên tập số phức: · Mọi PT bậc hai đều có 2 nghiệm (có thể trùng nhau). · Tổng quát, mọi PT bậc n (n ³ 1): với a0, a1, …, an Î C, a0 ¹ 0 đều có n nghiệm phức (có thể trùng nhau VD3: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) b) c) d) Ví dụ 1: Cho số phức z = . Tính các số phức sau: ; z2; ()3; 1 + z + z2 Ÿ Vì z = Þ = Ÿ z2=== Þ ()2 = Ÿ ()3 =()2 . = Ÿ 1 + z + z2 = Trong bài toán này, để tính ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực. Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: Ta có : . Suy ra Ví dụ 3: Tìm mô đun của số phức Giải: Ta có : .Vậy, mô đun của z bằng: Ví dụ 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)iÛ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i Û Giải hệ này ta được: . Ví dụ 5: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP (2006) Giải phương trình : 2x2 – 5x + 4 = 0 . Đáp số : x1 = ; x2 = . (2007_Lần 1) Giải : x2 − 4x + 7 = 0 Đáp số : x1 = 2 + i ; x2 = 2 − i. (2007 _Lần 2) Giải : x2 – 6x + 25 = 0 Đáp số : x1 = 3 + 4i ; x2 = 3 − 4i . (2008 _Lần 1) Tìm giá trị biểu thức : P = ( 1 + i)2 + ( 1 − i)2 . Đáp số P = 4 . (2008 _Lần 2) Giải : x2 − 2x + 2 = 0 Đáp số : x1 = 1 + i ; x2 = 2 + i . (2009 GDTX) Cho z = 3 − 2 i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z2 + z . Đáp số : Phần thực : 8 ; Phần ảo : − 14. (2009 Cơ bản ) Giải : 8z2 – 4z + 1 ; Đáp số : z1 = ; z2 = (2009 NC)Giải : 2z2 – iz + 1 = 0 trên tập số phức. Đáp số : z1 = i ; z2 = − (2010 GDTX) Giải :2z2 + 6z + 5 = 0 Đáp số : z1 =− ; z2 = − (2010 Cơ bản ) Cho hai số phức: z1 = 1 + 2i ; z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 −2z2 . Đáp số : Phần thực : −3 ; Phần ảo : 8. (2010 NC) Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i ; z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2 . Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7. Chủ đề 5 & 6: KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY Một số kết quả cần nhớ Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao . * Diện tích: . Tam ABC vuông tại A: . Hình vuông ABCD: * Đường chéo . * S=AB2. Hình thang : Diện Tích Hình tròn: * S= THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Ÿ Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thướca; b; c: Vhộp = a.b.c Ÿ Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao. Vchóp = Sđáy. Cao =B.h Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó. Vlăng trụ = Sđáy. Cao =B.h TỶ SỐ THỂ TÍCH ĐỊNH LÝ 1: Cho DABC và đường thẳng d cắt AB; AC lần lượt tại B’;C’ khi đó ĐỊNH LÝ 2: Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA;SB;SC lần lượt tại A’; B’; C’ khi đó THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Khối nón: Ÿ Sxq = πRl; Ÿ Stp = Sxq + Sđáy = πRl + πR2 ; Ÿ V =Sđáy. Cao = Khối trụ: Ÿ Sxq = 2πRl; Ÿ Stp = Sxq + 2Sđáy = 2πRl + 2πR2 ; Ÿ V = Sđáy. Cao = πR2h Khối cầu: Ÿ Smặt cầu = 4πR2; Ÿ Vcầu = PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp Xác định đỉnh khối chóp cho phù hợp nếu là khối chóp tam giác. Xác định chân đường cao nằm ở vị trí nào trên mặt đáy. Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy; nếu các mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. Dạng 2: Tính thể tích; diện tích của khối trụ; khối nón Xác định đường cao bán kính của khối trụ; khối nón. Áp dụng công thức phù hợp Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Các cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp. Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông Tìm giao của trục đường tròn đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Dạng 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Lăng trụ nội tiếp mặt cầu nếu nó là lăng trụ đứng có đáy nội tiếp trong đường tròn. Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối tâm của hai đường tròn đáy. Luyện tập KHỐI ĐA DIỆN ĐS: b. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a; cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a. Chứng minh SA vuông góc với BC. b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. ĐS: a. ; b. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. Biết AB=a; ; SA=3a. a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.ĐS: ĐS: a) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. ĐS: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a; bán kính đáy r=1;5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a. Cho hình chữ nhật ABCD; có AB=a; AC=. Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC. ĐS: ; ; . Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a; AB=b; AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a; góc . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300. a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. . KHỐI TRÒN XOAY Bài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a. ĐS : Sxq = ; V = Bài 2 : Cho hình lập phương cạnh a . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ ngọai tiếp hình lập phương . ĐS : Sxq = ; V = Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm ; một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm2 . 1/. Tính chu vi của thiết diện (S). ĐS : 1/. 28cm 2/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T). ĐS Sxq = (cm2) ; V = 96p Bài 4 : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S1 = 4pa2 và diện tích xung quanh bằng S . 1/. Tính thể tích của (T) . ĐS : aS 2/. Cho S = 25a2 ; Tính diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T). ĐS : Bài 5 : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm; một thiết diện song song với trục hình trụ ; cách trục một khoảng 6cm có diện tích 80cm2 . Tính thể tích khối trụ (T). ĐS : 500p Bài 6: Cho hình nón có bán kính đáyR và góc giữa đường sinh và mp chứa đáylà a. 1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón ĐS : V = ; Sxq = 2/. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nó