Tiếp tuyến của đồ thị của hàm số

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ (Các hàm số đã học ) LAISAC biên soạn. Lập phương trình tiếp tuyến Δ của của đường cong (C) có hàm số y = f(x). Lập phương trình Δ là ta tìm Hệ số góc k ( khi cho biết tiếp điểm) hoặc ngược lại tìm Tiếp điểm (x0;y0) (khi cho biết hệ số góc k). Ta thường thấy các dạng toán yêu cầu lập phương trình tiểp tuyến Vấn đề 1.Tại điểm M0(x0;y0) )(C∈ . Trường hợp này M0 chính là tiếp điểm , có duy nhất một tiếp tuyến có phương trình y = f’(x0).(x – x0) + y0. (1) Lưu ý : (x0;y0) là tiếp điểm. và f’(x0)= k là hệ số góc của tiếp tuyến. Vấn đề 2.Qua điểm N(x1;y1). Trường hợp này N(x1;y1) không nhất thiết là tiếp điểm nên có thể có nhiều hơn một tiếp tuyến qua N , ta thường sử dụng hai cách giải sau : +Dùng công thức (1).Tiếp tuyến qua N nên thoả y1 = f’(x0).(x1 – x0) + y0. Giải phương trình này ta tìm x0, suy ra các toạ độ tiếp điểm rồi vận dụng trường hợp 1. +Hệ tiếp xúc. Giả sử k là hệ số góc nên phương trình tiếp tuyến Δ qua N có dạng y = k.(x – x1) + y1 Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ phương trình: )2( )(' )()( 11 ⎩⎨ ⎧ = +−= kxf yxxkxf Suy ra f(x) = f’(x)(x – x1) + y1 (3). Chú ý : Đối với các hàm số đã học ở chương trình phổ thông, thông thường ta có: +Phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm (tiếp điểm) là có bấy nhiêu tiếp tuyến. +Điểm N(x1;y1) có thể thuộc đường cong. Vấn đề 3.Có hệ số góc k cho trước. a .Cho trực tiếp ,hệ số k = a (hằng số) cho trước. b.Cho gián tiếp . Ví dụ : Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng (d): ax + by + c = 0 ⇒ suy ra hệ số góc Δ b ak −= (song song) hoặc a bk = ( vuông góc) c. Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α cho trước.(có hai đường thẳng Δ lần lượt có hệ số góc αα tgktgk −== 21 ; ,) Phương pháp giải có thể vận dụng phương trình (1) hoặc hệ (2). Tất cả hai trường hợp này đều giải phương trình k = f’(x) để tìm x (tiếp điểm). Vấn đề 4.Tìm trên trục ,đường thẳng cho trước những điềm qua đó kẽ đến (C) một tiếp tuyến ,hai tiếp tuyến vv… Phương pháp giải:Đưa về hệ (2) )3())((')( )(' )()( 11 11 yxxxfxf kxf yxxkxf +−=⇒ ⎩⎨ ⎧ = +−= Qua N có bao nhiêu tiếp tuyến khi và chỉ khi phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm. Các ví dụ, bài tập minh hoạ : Bài 1. Cho đường cong (C) có hàm số y = x3 – 3x2 + 2 . 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C). 2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0 ; 3). 3. Lập tiếp tuyến của (C) song song với đường phân giác thứ hai của hệ trục Oxy. 4. Tìm trên trục tung các điểm từ đó kẽ đến (C) đúng hai tiếp tuyến phân biệt. Bài 2.Cho đường cong (C) cóhàm số 2 12 + −+= x xxy . Gọi M là một điểm bất kì trên (C),Giả sử tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B.Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. 1.Chứng minh :IA = IB. 2..Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. Bài 3.Giả sử A và B là hai điểm trên đồ thị (C) có hàm số 1 222 − +−= x xxy ,lần lượt có hoành độ tương ứng là x1 ,x2 sao cho x1 + x2 = 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A bà B song song với nhau . Bài 4.Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số . 1 11 ++−= xmxy cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt A,B mà tiếp tuyến tại A,B song song với nhau. Bài 5.Cho hàm số y = x3 – (m+1)x2 + (m – 1)x + 1. 1. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất. 2. Chứng tỏ rằng với mọi giá trị m 0≠ ,đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A,B,C trong đó B,C có hoành độ phụ thuộc tham số m.Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau. Bài 6.Cho đường cong (Cm) có hàm số : .1)1(2 2 mx mxmxy − ++−+= Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến với (Cm) tại hai điểm đó vuông góc nhau. HD.Chứng minh và sử dụng công thức 2 ' v vuy = . Bài 7. Cho đường cong (Cm) .1)1(2 2 mx mxmxy +− ++−+= Chứng minh rằng với 1≠∀m các đường cong (Cm) luôn luôn tiếp xúc một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Bài 8.Tìm tất cả các điểm trên đồ thị y = (x – 1)2(x – 4) mà qua đó kẽ được một và chỉ một tiếp tuyến với đò thị. HD.Phương trình y = y’(x0).(x – x0) + y0 có đúng một nghiệm ẩn x= 20 =x là điểm uốn. Bài 9. Bài 9.Cho hàm số =y 1 2 −x x có đồ thị ( C ) . 1.Tìm trên trục tung các điểm sao cho qua đó kẽ đến ( C ) đúng một tiếp tuyến 2.Tìm trên đồ thị ( C ) một điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của ( C ) tạo với hai đường tiệm cận của ( C ) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất . HD.2.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy,chú ý tích IA.IB là hằng số. Bài 10. Cho đường cong (C) có hàm số y = x3 – 3x2 + 2 . 1.Lập phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc 450. 2.Tìm trên đường thẳng y = -2 những điểm từ đó kẽ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc. Bài 11 .Tìm điểm A trên trục tung sao cho qua A có thể kẽ được ba tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 – x2 + 1. Bài 12. Định tham số m để đường cong có hàm số y = x3 - 3mx2 +3m + 1 nhận trục Ox là tiếp tuyến của đồ thị. HD.Giải hệ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =− =++− 063 0133 2 3 mxx mmxx