Tiểu luận Bài toán cao cấp C2

CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN A.LÝ THUYẾT: 1.1 Đạo hàm riêng: Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f: X: tập xác định Xét 1.2 VI PHÂN: * Định nghĩa: Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là: là giới hạn * Vi phân hai biến: Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) thì Tổng quát: B. BÀI TẬP: Câu 1: Cho hàm số Tính Giải: Ta có: Câu 2: Cho hàm số Tính Giải: Ta có: Câu 3 : Cho hàm số Tính Giải: Ta có: Câu 4: Cho hàm số Tính Giải: Ta có: Câu 5: Cho hàm số Tính Giải: Ta có: Câu 6: Cho hàm số Tính Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số: Giải: Ta có: z = x2 + 4y z/x = (x2 + 4y )/ = 2x z/y = (x2 + 4y )/ = 4y.ln4 dz = 2xdx + 4yln4dy Câu 8: Tìm vi phân cấp một của hàm số: Giải: Ta có: z = z/x = = = z/y = = = Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số: Giải: Ta có: z = z/x z/y Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm: Giải: Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm: Giải: Câu 12: Cho hàm hai biến , tính Giải: Câu 13: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến Giải: Ta có: Câu 14: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến Giải: Ta có: Câu 15: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến Giải: Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn Giải: Ta có: CHƯƠNG II: CỰC TRỊ A. LÝ THUYẾT: CỰC TRỊ TỰ DO: Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D R2 Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu: giả thiết: lân cận điểm P Cực tiểu địa phương Cực trị = cực đại + cực tiểu Điểm dừng: Nếu tồn tại cực trị địa phương thì nó đạt cực trị địa phương tại các điểm dừng *Phương pháp tìm cực trị tự do: Z = f(x,y), D Tìm cực đại: Bước 1: được gọi là điểm dừng. Bước 2: Tính Bước 3: Đặt Xét Nếu <0 điểm (xo,yo) không phải là cực trị Nếu là cực trị Với A>0 (xo,yo) là điểm cực tiểu Với A<0 (xo,yo) là điểm cực đại dùng phương pháp khác hoặc chưa thể kết luận 1.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN: Cho hàm số z = f(x,y) và hàm số Điểm (xo,yo) được gọi là điểm cực trị của hàn số f(x,y) với điều kiện nếu nó là cực trị của z = f(x,y) và thoả mãn * Điều kiện cần: Giả sử (xo,yo) là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện . Ta giả thiết thêm các hàm f(x,y) ; có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm (xo,yo). Khi đó sẽ tồn tại một số thoả: (I) Khi đó (xo,yo) gọi là điểm dừng : nhân tử Lagreange * Phương pháp tìm cực trị có điều kiện : Cách 1: Từ ta tính . Thay vào ta được hàm một biến theo Cách 2: * Giải hệ (I) để tìm điểm dừngvà * Xét Nếu hàm không có cực trị tại Nếu hàm có cực trị + là điểm cực tiểu + là điểm cực đại B. BÀI TẬP: Câu 17: Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Ta có : Giải hệ phương trình: điểm M(1,0) là điểm dừng Đặt: Ta có: Hàm có cực trị. Và A = 2 > 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M(1,0) Câu 18: Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Có 3 điểm dừng Vậy M1(0;0) không phải là cực trị của hàm số Vậy M2(2;0) là điểm cực tiểu của hàm Vậy M3(-2;0) là điểm cực tiểu của hàm Câu 19: Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Ta có : Giải hệ phương trình: điểm M(0,0) là điểm dừng. Đặt: Hàm z không có cực trị tại M(0;0) Câu 20: Cho hàm Tìm cực trị? Có 1 điểm dừng là cực trị Và là cực tiểu của hàm z Câu 21: Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Ta có : Giải hệ phương trình: điểm là điểm dừng Đặt: Hàm z có một điểm dừng nhưng không có cực trị. Câu 22: Cho hàm Tìm cực trị? Giải: ; hệ vô nghiệm, không có điểm dừng Câu 23 : Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Có 1 điểm dừng Đặt: là điểm cực tiểu Câu 24 : Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Có 1 điểm dừng Đặt : Vậy hàm Z không có cực trị tại Câu 25: Tìm cực trị của hàm số: với điều kiện Giải: Từ (1) => = 4 (1/) (3) => y = - 1 (2/) thế (1/), (3/) vaò (2) ta có: 2(-1) – 2 + 4 = 0 2 - 2 – 2 + 4 =0 6 - 4 = 0 => y = là cực tiểu Câu 26 : Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Có 1 điểm dừng Đặt : Vậy hàm Z không có cực trị tại Câu 27 : Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Có 1 điểm dừng Đặt : Và là điểm cực tiểu của hàm z Câu 28 : Cho hàm Tìm cực trị? Giải:  hệ vô nghiệm Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị Câu 29 : Cho hàm Tìm cực trị? Giải: điều này vô lý hệ vô nghiệm Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị Câu 30 : Cho hàm Tìm cực trị? Giải Có 1 điểm dừng Đặt : Vậy hàm z không có cực trị tại Câu 31 : Cho hàm Tìm cực trị? Giải: Có 2 điểm dừng * Xét điểm  : Đặt : Và là điểm cực đại của hàm z Có 2 điểm dừng * Xét điểm  : Đặt : Và là điểm cực đại của hàm z Câu 32 : Cho hàm với điều kiện Giải: Đặt  CT Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm Câu 33 : Cho hàm với điều kiện Giải: 0 2 0.6 2.8 CĐ 0 2 0.6 2.8 CĐ Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm và Câu 33 : Cho hàm với điều kiện Giải: CĐ CT Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm , đạt cực tiểu tại TÀI LIỆU THAM KHẢO Ngô Thành Phong. Giáo trình toán cao cấp ĐHKHTN 2003 Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác Trang wed Google.com