CỰC TRỊ TỰ DO:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D R2
Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:
giả thiết: lân cận điểm P
Cực tiểu địa phương
Cực trị = cực đại + cực tiểu
Điểm dừng:
19 trang |
Chia sẻ: netpro | Lượt xem: 5239 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Tiểu luận Bài toán cao cấp C2, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
A.LÝ THUYẾT:
1.1 Đạo hàm riêng:
Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f:
X: tập xác định
Xét
1.2 VI PHÂN:
* Định nghĩa:
Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là:
là giới hạn
* Vi phân hai biến:
Định nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) thì
Tổng quát:
B. BÀI TẬP:
Câu 1: Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 2: Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 3 : Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 4: Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 5: Cho hàm số Tính
Giải:
Ta có:
Câu 6: Cho hàm số Tính
Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số:
Giải:
Ta có:
z = x2 + 4y
z/x = (x2 + 4y )/ = 2x
z/y = (x2 + 4y )/ = 4y.ln4
dz = 2xdx + 4yln4dy
Câu 8: Tìm vi phân cấp một của hàm số:
Giải:
Ta có:
z =
z/x = = =
z/y = = =
Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số:
Giải:
Ta có:
z =
z/x
z/y
Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm:
Giải:
Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm:
Giải:
Câu 12: Cho hàm hai biến , tính
Giải:
Câu 13: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến
Giải:
Ta có:
Câu 14: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến
Giải:
Ta có:
Câu 15: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến
Giải:
Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn
Giải:
Ta có:
CHƯƠNG II: CỰC TRỊ
A. LÝ THUYẾT:
CỰC TRỊ TỰ DO:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D R2
Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:
giả thiết: lân cận điểm P
Cực tiểu địa phương
Cực trị = cực đại + cực tiểu
Điểm dừng:
Nếu tồn tại cực trị địa phương thì nó đạt cực trị địa phương tại các điểm dừng
*Phương pháp tìm cực trị tự do:
Z = f(x,y), D
Tìm cực đại:
Bước 1:
được gọi là điểm dừng.
Bước 2:
Tính
Bước 3:
Đặt
Xét
Nếu <0 điểm (xo,yo) không phải là cực trị
Nếu là cực trị
Với A>0 (xo,yo) là điểm cực tiểu
Với A<0 (xo,yo) là điểm cực đại
dùng phương pháp khác hoặc chưa thể kết luận
1.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:
Cho hàm số z = f(x,y) và hàm số Điểm (xo,yo) được gọi là điểm cực trị của hàn số f(x,y) với điều kiện nếu nó là cực trị của z = f(x,y) và thoả mãn
* Điều kiện cần:
Giả sử (xo,yo) là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện . Ta giả thiết thêm các hàm f(x,y) ; có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm (xo,yo). Khi đó sẽ tồn tại một số thoả:
(I)
Khi đó (xo,yo) gọi là điểm dừng
: nhân tử Lagreange
* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :
Cách 1: Từ ta tính . Thay vào
ta được hàm một biến theo
Cách 2:
* Giải hệ (I) để tìm điểm dừngvà
*
Xét
Nếu hàm không có cực trị tại
Nếu hàm có cực trị
+ là điểm cực tiểu
+ là điểm cực đại
B. BÀI TẬP:
Câu 17: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
Giải hệ phương trình:
điểm M(1,0) là điểm dừng
Đặt:
Ta có: Hàm có cực trị.
Và A = 2 > 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M(1,0)
Câu 18: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 3 điểm dừng
Vậy M1(0;0) không phải là cực trị của hàm số
Vậy M2(2;0) là điểm cực tiểu của hàm
Vậy M3(-2;0) là điểm cực tiểu của hàm
Câu 19: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
Giải hệ phương trình:
điểm M(0,0) là điểm dừng.
Đặt:
Hàm z không có cực trị tại M(0;0)
Câu 20: Cho hàm Tìm cực trị?
Có 1 điểm dừng
là cực trị
Và là cực tiểu của hàm z
Câu 21: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
Giải hệ phương trình:
điểm là điểm dừng
Đặt:
Hàm z có một điểm dừng nhưng không có cực trị.
Câu 22: Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
; hệ vô nghiệm, không có điểm dừng
Câu 23 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 1 điểm dừng
Đặt:
là điểm cực tiểu
Câu 24 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 1 điểm dừng
Đặt :
Vậy hàm Z không có cực trị tại
Câu 25: Tìm cực trị của hàm số: với điều kiện
Giải:
Từ (1) => = 4 (1/)
(3) => y = - 1 (2/)
thế (1/), (3/) vaò (2) ta có:
2(-1) – 2 + 4 = 0
2 - 2 – 2 + 4 =0
6 - 4 = 0
=> y =
là cực tiểu
Câu 26 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 1 điểm dừng
Đặt :
Vậy hàm Z không có cực trị tại
Câu 27 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 1 điểm dừng
Đặt :
Và là điểm cực tiểu của hàm z
Câu 28 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
hệ vô nghiệm
Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị
Câu 29 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
điều này vô lý hệ vô nghiệm
Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị
Câu 30 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải
Có 1 điểm dừng
Đặt :
Vậy hàm z không có cực trị tại
Câu 31 : Cho hàm Tìm cực trị?
Giải:
Có 2 điểm dừng
* Xét điểm :
Đặt :
Và là điểm cực đại của hàm z
Có 2 điểm dừng
* Xét điểm :
Đặt :
Và là điểm cực đại của hàm z
Câu 32 : Cho hàm với điều kiện
Giải:
Đặt
CT
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Câu 33 : Cho hàm với điều kiện
Giải:
0
2
0.6
2.8
CĐ
0
2
0.6
2.8
CĐ
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm và
Câu 33 : Cho hàm với điều kiện
Giải:
CĐ
CT
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm , đạt cực tiểu tại
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ngô Thành Phong. Giáo trình toán cao cấp ĐHKHTN 2003
Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác
Trang wed Google.com
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Bài tiểu luận toán cao cấp C2.doc