Tiểu luận Cấu trúc đại số

MỞ ĐẦU. Cấu trúc đại số được xác định bởi việc cho trên tập nền một hay nhiều phép toán trong hay ngoài thỏa mãn các tiên đề đã cho. Ngoài ra chúng ta có thể xây dựng một cấu trúc đại số bằng cách lấy đối ngẫu một cấu trúc đã có. Đại số là một cấu trúc phong phú, nó có cấu trúc mô đun (phép toán cộng và phép nhân ngoài) đồng thời cũng có cấu trúc vành (phép nhân trong). Đây là cấu trúc được sử dụng nhiều trong toán học hiện đại. Đối đại số là một cấu trúc được xây dựng trên việc lấy đối ngẫu của đại số thông qua ngôn ngữ tenxơ. Chính vì vậy cấu trúc này rất gần với cấu trúc đại số. Trong tiểu luận này chúng tôi trình bày một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đối đại số đồng thời đưa ra các ví dụ để minh hoạ cho định nghĩa, tính chất đó cũng như việc so sánh hai cấu trúc nói trên. Tiểu luận này là sự cố gắng của bản thân chúng tôi trong quá trình tiếp thu, học tập, tham khảo các tài liệu. Tuy nhiên, tiểu luận cũng còn nhiều hạn chế. Mong được sự thông cảm của quý thầy cô. Xin chân thành cảm ơn! I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tích tenxơ 1.1. Định nghĩa: Cho MR; RN là các mô dun Cặp ( T, t) bao gồm: T nhóm aben t: M x N ® T là ánh xạ song tuyến tính được gọi là tích tenxơ của M và N nếu với mọi nhóm aben A và với mọi ánh xạ song tuyến tính. b: M x N ® A Tồn tại duy nhất Z - đồng cấu f: T ® A t sao cho giản đồ sau giao hoán: M x N ® T f b A 2. Đại số và đối đại số: Đại số hay đối đại số được xây dựng trên một vành cơ sở R. Ở phần này ta chỉ xét R là vành giao hoán có đơn vị 1 ¹ 0. 2.1.Đại số. 2.1.1. Định nghĩa: Chúng ta chỉ xét định nghĩa của đại số qua ngôn ngữ tenxơ (mục đích là để lấy đối ngẫu). Định nghĩa: Một R - môđun A được gọi là R - đại số nếu tồn tại một đồng cấu R - môđun µ: A ÄRA ® A (µ được gọi là phép nhân của A). 2.2. Đối đại số. Lấy đối ngẫu của định nghĩa đại số ta có định nghĩa đối đại số. 2.2.1. Định nghĩa: Một R - mônđun C được gọi là R- đối đại số nếu tồn tại một R- đồng cầu D: C ® C ÄR C (D được gọi là đối nhân của C) 2.3. Nhận xét: -µ (D) là các R- đồng cấu Þ A Ä A (C Ä C) là các môđun Þ A (C) là các song môđun điều này được giải thích bởi R là vành giao hoán. - R- đại số A rất gần với R- đối đại số C. Điều này do khả năng lập được một tích các R- đồng cấu từ C. Cụ thể: Tồn tại R- đồng cấu. µ f Ä g D HomR (C, A) Ä HomR (C, A) ® Hom (C, A) f Ä g [C ® C Ä C ® A Ä A ® A] 3. Tính chất của đối đại số: Các đại số được phân loại tuỳ theo tính chất của phép nhân trong nó. Điều này cũng được diễn đạt theo ngôn ngữ tenxơ và bằng cách lấy đối ngẫu ta cùng có các tính chất tương ứng của đối đại số 3.1. Tính đối kết hợp. 3.1.1. Định nghĩa: Cho D: C ® C Ä C là một đối đại số. C được gọi là đối kết hợp nếu với mọi R- đại số kết hợp µ : A Ä A ® A, HomR (C, A) là một đại số kết hợp. Nhận xét: Tính đối kết hợp của đối đại số được chuyển qua tính kết hợp của đại số HomR (C, A). 3.1.2. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương đối với R- đối đại số C. C là đối kết hợp. D D Ä id Giản đồ là giao hoán C C ÄR C id Ä D C ÄR C C ÄR C ÄR C Nghĩa là (id Ä D)o D = (D Ä id)o D 3.2. Tính đối giao hoán. 3.2.1. Định nghĩa: Cho D : C ® C ÄR C là đối đại số. C được gọi là đối giao hoán nếu với mọi R- đại số giao hoán µ : A ÄR A ® A, Hom (C, A) là đại số giao hoán. Nhận xét: Tính đối giao hoán của đối đại số được chuyển qua tính giao hoán của đại số Hom (C, A). 3.2.2. Mệnh đề: Các điều kiện sau là tương đương đối với đối đại số C (1) C là đối giao hoán. (2) Giản đồ sau là giao hoán. C D C ÄR C t D C ÄR C Trong đó: t: C ÄR C ® C ÄR C x Ä y ® y Ä x 3.3. Đối đơn vị. 3.3.1. Định nghĩa: Cho D: C ® C ÄR C là một đối đại số. Một R- đồng cấu e: C ® R được gọi là đối đơn vị của C nếu với mọi R- đại số có đơn vị A, R- đại số HomR (C, A) là một đại số có đơn vị đặc biệt e là đơn vị của HomR (C1, R). 3.3.2. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương đối với R- đối đại số C. (1) C có đối đơn vị e: C ® R e Ä id id Ä e (2) Giản đồ sau giao hoán: R ÄR C C ÄR C C ÄR R D C Trong đó: (r Ä c) = r c và (c Ä r) = c r Nghĩa là: (e Ä id) o D = ( id Ä e) o D = II. CÁC VÍ DỤ 1. Đối đại số: Ví dụ 1: R vành bất kỳ thì R là Z- đối đại số. Chứng minh: R-Z modun Xét R- đồng cấu: D: R ® R ÄZR r ® r Ä r0 ;(r0 R) D(r1+ r2) = (r1+ r2) Ä r0 = r1Ä r0 + r2Ä r0 = D (r1) + D (r2) D (z.r) = z.r Ä r0 = (r + r + r.... + r) Ä r0 = z.( r Ä r0 ) =z.D(r) z lần Ví dụ 2: R là vành giao hoán có đơn vị 1 ¹ 0 từ R là R - đối đại số. Chứng minh: R là R-môđun Xét R-đồng cấu D: R ® R Ä R r ® r Ä 1 D(r1+ r2) =(r1+ r2) Ä1= r1Ä1+ r2Ä1=D (r1) + D (r2) D (r.r’) = (r.r’) Ä1 = r Ä r’.1 = (r Ä 1) r’ = D (r) r’ Ví dụ 3: Cho F là R- môđun tự do với cơ sơ fx X X là tập nào đó Khi đó : F là R- đối đại số Xét D: F ® F Ä F fx ® fx Ä fx0 Ví dụ 4: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 ¹ 0. Vành đa thức một biến R [x] cùng phép nhân vô hướng thông thường của đa thức là một R- đối đại số. Xét D: R [x] ® R [x] Ä R[x] f(x) ® f ( x) Ä f0(x) Tổng quát: Vành đa thức n biến cũng là R _đối đại số. Ví dụ 5: R-modun Mn(R) = cùng với phép nhân thông thường các ma trận vuông cấp n là một R-đối đại số. Xét D : Mn(R) ® Mn(R) Ä Mn(R) A ® A Ä I 2. Đối kết hợp Ví dụ 1: R là vành giao hoán có đơn vị 1 ¹ 0 . R là đối đại số và R là đối kết hợp D R R ÄR R D id Ä D D Ä id R ÄR R R ÄR R ÄR R Trong đó: D (r) = r Ä 1 sơ đồ trên giao hoán 3. Đối giao hoán Ví dụ 1: R là vành giao hoán có đơn vị 1 ¹ 0 . R là R-đối đại số và R là đối giao hoán Xét R-đồng cấu D(r) = r Ä 1 và t(x Ä y) = y Ä x sơ đồ sau giao hoán D R R ÄR R t R ÄR R (D(r) = r Ä 1= 1Ä r = tD(r) ) 4 . Đối đơn vị Ví dụ 1: Đẳng cấu chính tắc R ® R ÄR R xác định một R-đối đại số trên R với đơn vị R ® R như là đối đơn vị Ví dụ 2: F là R- mô đun tự do với cơ sở fx X .X là tập nào đó F là R- đối đại số với R-đồng cấu D: F ® F ÄR F , fx ® fx Ä fx Khi đó đối đơn vị là đồng cấu e : F ® R fx ®1 (e Ä id)D(fx) = (e Ä id)(fx Ä fx) = 1Ä fx = (fx) (id Ä e)D(fx) = (id Ä e)(fx Ä fx) = fx Ä 1= (fx) tài liệu tham khảo 1-Lê Văn Thuyết, Các cấu trúc Đại số cơ bản, NXB GD 1999 2-Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB GD 1998 3-Frank W Anderson, Kent R Fuller Rings and Categories of Modules