Tiểu luận Ứng dụng đạo hàm của hàm một biến hay nhiều biến trong bài toán kinh tế

1. Một số kết quả trong toán cao cấp a.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b) Đạo hàm của f tại xo là: b.Đạo hàm và độ dốc của đường cong: y (C) M (T) y0+ M0 y0 N 0 x0 x0+ x Cho y = f(x) có đồ thị là đường cong (C), xo D: miền xác định của hàm số Gọi là góc nghiêng của đường thẳng MoM so với trục Ox Gọi là góc nghiêng của tiếp tuyến MoT so với trục Ox Ta có: Khi đường thẳng (MoM) đến vị trí tiếp tuyến MT Ta kết luận: Đạo hàm của y = f(x) tại xo là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại Mo(xo,yo) Và là số đo độ dốc của đường cong y = f(x) tại Mo(xo,yo) c. Vi phân của hàm số y = f(x) là dy = df = d. Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số Cho y = f(x) có đạo hàm trong (a,b)R, khi đó: hàm số tăng hàm số giảm f là hàm hằng Cực trị của hàm số Cho y = f(x), xác định trên (a,b) Điểm cực trị địa phương x0(a,b) của hàm f là điểm mà tại đó hàm số đạt trị lớn nhất (cực đại), hoặc trị nhỏ nhất (cực tiểu). Điều kiện cần: f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0(a,b) và tại x0 hàm f có đạo hàm. Thì Điều kiện đủ: cho y = f(x), có trên (a,b)R. Giải , ta tìm được các nghiệm x0, x1,… gọi là các điểm tới hạn. Nếu: + Tại x0, đổi dấu từ + sang – thì f có cực đại + Tại x0, đổi dấu từ - sang + thì f có cực tiểu + Nếu không đổi dấu thì hàm f không có cực trị Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp 2: + Hàm số y = f(x), có đạo hàm đến cấp 2 + Nếu tại x0 ta có =0 và thì hàm số đạt cực trị tại x0 x0 là điểm mà f đạt cực đại nếu x0 là điểm mà f đạt cực tiểu nếu 2. Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế Cho mô hình hàm số y = f(x), x và y là các biến kinh tế x: biến độc lập hay biến đầu vào y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra Trong quản trị kinh doanh, chúng ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y, khi x thay đổi một lượng nhỏ Với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản, ta có: khi đủ nhỏ, ta có thể viết: Khi Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị Với quan hệ hàm y = f(x), để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế y, khi biến kinh tế x thay đổi, ta gọi là giá trị biên tế y tại x0 (còn gọi là biên tế) Với mỗi hàm kinh tế, ta có một tên gọi riêng: Thí dụ: Với hàm doanh thu: TR = p.Q thì được gọi là doanh thu biên tế Với hàm chi phí: TC = f(x), x: sản lượng thì :chi phí biên tế Với hàm sản xuất: Q = f(L), L: lao động thì sản lượng biên tế II. Một số bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh Bài toán giá trị biên Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ: Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động ha vốn tăng lên 1 đơn vị. Thí dụ 1: Giả sử hàm sản xuất của một doang nghiệp là: Q = f(L) = 5 L: số công nhân Ở mức L = 100 đơn vị lao động = 100 công nhân thì Q = 5 = 50 đơn vị sản phẩm. Sản phẩm biên tế của lao động tại L = 100 là: = f’(L) = = = 0.25 khi L = 100 Điều này có nghĩa là: khi tăng mức sử dụng lao đông từ 100 à 101 thì sản lượng sẽ tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm. Thử xét: L 100 110 120 150 200 400 1.000 MQ 0.25 0.23 0.22 0.2 0.17 0.125 0.079 Nhận xét: MQ là một hàm số giảm dần, đến một số lượng công nhân nhất định nào đó, việc tuyển thêm công nhân không còn hiệu quả, chỉ tăng thêm chi phí. 100 200 400 MQ 0.25 0.17 0.12 Thí dụ 2: Giả sử hàm sản xuất của 1 doanh nghiệp may mặc: Q= f(L) = 5 + 7 L:số công nhân Ở mức L=2500 dơn vị lao động = 2500 công nhân thì Q= 355 dơn vị sản phẩm. Sản phẩm biên tế của lao động tại L=2500 là: = f’(L) = = = 0.07 khi L= 2500 Điều này có nghĩa là : khi tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 thì sản lượng tăng 0.07 đơn vị sản phẩm . Sự thay đổi của giá theo cầu: Là số đo sự thay đổi của giá khi mức sản lượng tăng lên đơn vị. Thí dụ 1: Hàm cầu của một sản phẩm: P = 10 – Q2 , Q là sản lượng, P là giá bán. Sự thay đổi cuả giá bán theo lượng cầu là: P’ = -2Q. Gỉa sử ở mức Q = 5 đơn vị thì P’(5) = -10: Nghĩa là khi tăng sản lượng lên 1 đơn vị (từ 5 lên 6), giá giảm 10 đơn vị tiền tệ. Thí dụ 2: Giả sử 1 shop cửa hàng quần áo có hàm cầu một cái áo :P= 8 -2Q2, Q là sản lượng , P là giá bán. Sự thay đổi của giá theo lượng cầu :P’ = -4Q. Giả sử ở mức Q= 10 đơn vị thì P’(10) =-40 nghĩa là khi tăng sản lượng một đơn vị thì giá giảm 40 đơn vị tiền tệ . Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu MC: Hàm chi phí: TC = TC(Q) Chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng lên 1đơn vị. Thí dụ 1: Hàm chi phí một sản phẩm được cho là: TC = 0.0001Q3 – 0.02Q2 + 5Q + 100 Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 đơn vị sản lượng ? = (0.0001Q3 – 0.02Q2 + 5Q + 500) =0.0003Q2 – 0.04Q + 5 Khi Q = 50, thì MC = 3.75 Điều này có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng thêm 3.75 đơn vị tiền tệ. Chúng ta tính MC ở một số mức sản lượng khác nhau: Q 30 40 50 60 70 80 90 MC 4.07 3.88 3.75 3.68 3.67 3.72 3.83 Q 100 120 150 180 200 300 500 MC 4 4.52 5.75 7.52 9 20 60 Nhận xét: 30 200 300 4.07 9 20 -Chi phí biên là một hàm tăng -Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn. Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR: Xét hàm doanh thu: TR = P.Q; P: giá; Q: sản lượng Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định, thì MR hay giá trị cận biên của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm một đơn vị. Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, P do thị trường quyết định thì MR hay giá trị cận biên cảu doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi cảu doanh thu khi giá tăng 1 đơn vị. Ví dụ1: Cho hàm chi phí C =C(Q). giá trị biên của chi phí MC(Q) là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí Ckhi Q tăng lên một đơn vị. Cho hàm chi phí trung bình để san xuất ra một chiếc máy tính là: = 0.0003Q2 - 0.001Q + 3 + Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với mức sản xuất Q.giá trị cận biên của chi phí là bao nhiêu nếu mức sản xuất Q =70. Giải: Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là: C =Q. =0.0003Q3 -0.001Q2 +3Q+200 Gía trị cận biên của chi phí là: MC(Q) = =0.0009Q2 -0.002Q +3 Khi Q =70 thì MC(70) =7,72.Như vậy, nếu tăng Q lên một đơn vị từ 70 lên 71 thì chi phí tăng lên khoảng 7,72 đơn vị. Ví dụ 2: Một sản phẩm có hàm cầu là Q=1000-14P, Q là sản lương, P là giá bán.tìm doanh thu biên khi P=10,50. Ta có hàm doanh thu: TR = PQ =P(1000-14P) =1000P – 14P2 Có : MR= 1000 – 28P Với P=10, ta có MR=720 nghĩa là khi tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng một đơn vị tiền tệ) thì doanh thu sẽ tăng 720 đơn vị tiền tệ. Với P=50, ta có MR=-400 nghĩa là khi tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 thì doanh thu sẽ giảm một mức 400 đơn vị tiền tệ. Thí dụ 3: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: Q= 1.000 - 14P, Q là sản lượng, P là giá bán. Tìm MR khi P = 40 và P = 30 Hàm doanh thu là: TR = PQ = P(1.000 – 14P) = 1.000P – 14P2 MR = 1.000 – 28 P *Khi P = 40, MR = 1000 – 28(40) = -120 Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ giảm 120 đơn vị tiền tệ. *Khi P = 30, MR = 1.000 – 28(40) = 160 Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ tăng 160 đơn vị tiền tệ. Ta tính MR ở một số mức khác nhau: P 30 32 34 35 35.5 36 38 40 MR 120 104 48 20 6 -8 -64 -120 Nhận xét: - MR là một hàm số giảm, - Có một mức giá MR = 0. P 30 -120 120 MR 40 0 Cũng với thí dụ này Q = 1000 – 14P, chúng ta có thể tính một cách khác 14P = 1.000 – Q a P = , khi đó doanh thu là TR = PQ = = MR = = đo lượng thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. MR ở một số mức sản lượng như sau: Q 200 300 400 500 600 700 800 MR 42.8 28.5 14.9 0 -14.9 -28.5 -42.8 Nhận xét: - MR là một hàm số giảm, - Có một mức sản lượng MR = 0 42.8 MR -42.8 800 Q 200 500 Lợi nhuận biên Xét hàm lợi nhuận của sản phẩm A: = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)), Trong đó: - TR là hàm doach thu; - TC là hàm chi phí; - FC là định phí, VC(Q) là biến phí. Lợi nhuận biên hay lợi nhuận cận biên là số đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá tăng thê một đơn vị tiền tệ hay sản lượng tăng thêm một đơn vị. Một doanh nghiệp luôn muốn đạt được lợi nhuận tối đa, có hai cách để lựa chọn: Cách 1: Gía bán P được xách định theo yêu cầu thị trường, doanh nghiệp ấn định mức sản lượng sản xuất Q. Giả định là hàm xác định, liên tục, có đạo hàm đến cấp 2. Muốn có lợi nhuận tối đa phải thỏa 2 điều kiện: (1) = (TR-TC) = - = MR – MC = 0 (2) = (TR – TC) < 0 Từ (1) a MR = MC, nghĩa là doanh thu biên = chi phí biên Từ (2) a <. Đã biết: Doanh thu biên là hàm giảm, chi phí biên là hàm tăng. Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q được xác định theo yêu cầu thị trường. = TR – TC = (TR – TC) = - = 0 a = (1) = (TR – TC)<0 a < Ta có: cực đại tại MR = MC. f. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích cận biên giảm dần : Xét hàm mục tiêu y = f(x) x : yếu tố đầu vào; y: yếu tố đầu ra Qui luật lợi ích cận biên giảm dần ( the law of diminishing returns) cho biết : Khi x càng lớn thì giá trị cận biên của y càng nhỏ Nghĩa là f’(x) là một hàm đơn điệu giảm Điều kiện để giá trị cận biên của y giảm dần theo x là : f’’(x) < 0 Ví dụ : Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau : Hàm cầu là P = 600 – 2Q Hàm chi phí là TC = 0,2Q2 + 28Q +200 a) Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu? b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản lượng và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi ấy lợi nhuận là bao nhiêu? Câu a : Có 2 cách giải quyết Cách 1: Hàm doanh thu : TR = PQ = (600 – 2Q)Q = 600Q -2Q2 Hàm lợi nhuận là : = TR – TC = - 2,2Q2 + 572Q – 200 Để đạt tối đa thì : đơn vị sản lượng Khi đó giá bán trên thị trường là : P = 600 – 2.130 = 340 đv tiền tệ Lợi nhuận đạt được là: – 37.180 + 74.360 – 200 = 3698 đơn vị tiền tệ. Nhớ rằng chúng ta có thể tìm Q = đạt giá trị cực đại MR = MC 600 – 4Q = 0,4Q + 28 Cách 2: Từ P = 600 – 2Q Q = 300 TR = PQ = (300 )P = 300P - MR = 300 – P TC = 0,2 MC = 0,1P - 74 MR = MC 300 – P = 0,1P – 74P = P = 340 đơn vị tiền tệ để lợi nhuận đạt được tối đa. Khi đó Q = 130 đơn vị ssản lượng, và = 36..980 đơn vị tiền tệ Câu b: Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty nộp thuế là là 22 đơn vị tiền tệ, thì hàm chi phí là: TC = 0,2Q2 + 28Q +22Q + 200 = 0,2Q2 + 50Q +200 MC = 0,4Q + 50 Hàm doanh thu là: TR = PQ = 600Q – 2Q2 MR = 600 – 4Q đạt tối đa khi: MR = MC 600 - 4Q = 0,4Q + 50 Q = 125 đơn vị sản phẩm. Khi đó P = 350 đơn vị tiền tệ, lợi nhuận là 34.175 Nhận xét: Khi giá tăng từ 340 lên 350, tương đương 3% thì lợi nhuận giảm từ 36,980 xuống 34.1175 tương 7,6% Sản lượng giảm từ 130 xuống 125 tương đương 3,8%. h. Tiêu dùng và tiết kiệm: Gọi I là tổng thu nhập của quốc gia; C là tiêu dùng của toàn dân và S là tiết kiệm. ( Income, Cconsumption, Save) Tiêu dùng sẽ phụ thuộc vào thu nhập, do đó tiêu dùng là hàm số của thu nhập Gọi C = C(I) : hàm tiêu dùng; thì tiết kiệm là S = I – C. Tiêu dùng biên là đại lượng đo sự thay đổi của tiêu dùng khi thu nhập tăng một đơn vị, được xác định là : MC = Tiết kiệm biên là đại lượng đo sự thay đổi của tiết kiệm khi thu nhập tăng 1 đơn vị, được xác định là : MS = Lưu ý : người ta thường dùng đơn vị tiền tệ là 1 tỉ USD. (1 đv tiền = 1tỉ USD) Thí dụ : Hàm tiêu dùng quốc dân của một nước được cho là : , xác định xu hướng tiêu dùng và tiết kiệm biên ở mức tổng thu nhập quốc gia 400 tỉ USD? Tiêu dùng biên là : ở mức I = 400 tỉ thì : Do đó MS = 100% - 18% = 82% j. Một số bài toán khác ứng dụng đạo hàm: * BÀI TOÁN THUẾ DOANH THU Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa. Biết hàm cầu của xí nghiệp về loại hàng hóa này là Qd=Qd(P) và hàm tổng chi phí của xí nghiệp là TC=TC(Q). Hãy xác định mức thuế t thu trên một đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất ? Giải: Gọi Q(t) là sản lượng làm cho xí nghiệp k tối đa hóa lợi nhuận với thuế là t. Q=Qd(P) hay P=P(Q) Doanh thu: TR=P(Q)*Q Chi phí: TC= chi phí sản xuất + thuế Lợi nhuận: LN(Q) =TR – TC - t(Q) Từ đây ta ứng dụng các nguyên lí tính toán trong đạo hàm sẽ cho kết quả. Ví dụ : Một doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí cầu tương ứng như sau : TC=Q2+1000Q+50 Qd = 2000 – P Xác định thuế t thu trên một đơn vị sản phẩm để CP có thể thu nhiều thuế nhất Giải : Gọi Q(t) là mức sản lượng của công ty là cho lợi nhuận của công ty tối đa tương ứng với mức thuế t. Ta sẽ đi tìm Q(t). Khi công ty sản xuất Q sản phẩm thì công ty phải bán với giá P sao cho : Q = 2000 – P hay P = 2000 – Q Khi đó doanh thu của công ty là : T = t(Q) Lợi nhuận của công ty : (Q)=P(Q)Q – C(Q) – t(Q) =-2Q2 + (1000 – t)Q -50 Dạo hàm của lợi nhuận bằng : -4Q + 1000 – t Từ điều kiện để lợi nhuận cực đại ta có : Q(t) = (1000 – t)/4 Vì đạo hàm cấp hai của lợi nhuận = -4<0 nên Q(t) là sản lượng làm cho xí nghiệp có lợi nhuận cực đại. Khi đó tổng số thuế thu được là T(t) = (1000 – t)t/4 Đạo hàm của thuế là : T’(t)= ¼ (1000 – 2t) Từ điều kiện T’(t) = 0 suy ra t = 500 Vì T’’(t) = ½ <0 nên t = 500 chính là định mức thuế để thu được nhiều thuế nhất. Khi đó sản lượng sản xuất của công ty là Q(t) = (1000 – 500)/4 = 125 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận và tối đa hóa doanh thu - Tối đa hóa lợi nhuận:doanh nghiệp sẽ lựa chọn mức sản lượng mà tại đó chênh lệch giữa tổng doanh thu và tổng chi phí là lớn nhất. điều này có thể đạt được khi đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận bằng 0 d/dQ= dTR/dQ –dTC/dQ= 0 hay MC=MR Để tối đa hóa lợi nhuận, doanh nghiệp lựa chọn mức sản lượng Qe. Tại đó doanh thu biên bằng chi phí biên. - Tối đa hóa doanh thu: doanh thu là hàm số của giá và sản lượng hay TR= PQ. Mức sản lượng mà tại đó doanh nghiệp tối đa hóa doanh thu phải thỏa mãn điều kiện MR=0 Vd1: Hãng kẹo XuXu có hàm cầu là Q=100-P, hàm chi phí là Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất Giải: Q=100-P hay P=100-Q Từ đó doanh thu là R=(100-Q)Q và hàm lợi nhuận là =Q(100-Q)-() = hoặc Q= 11 >0 <0 Từ đó đạy cực đại khi Q=11, Vd2: Số vé bán được của một hãng xe buýt liên hệ giá vé P là : Q = 10000 – 125P Tìm mức giá P để doanh thu đạt mức tối đa. Tính lượng vé bán được ở mức giá đó. Giải: Ta có: R(P) = P.Q = P (10000 – 125P) = 125P2 + 10000P Để tìm cực đại của hàm R(P), ta sử dụng đạo hàm cấp 2 R’ = -250P + 10000, R’= 0 ó P = 40 R’’ = -250 Với P = 40, R’’ < 0 nên hàm R đạt cực đại tại P= 40 _Doanh thu lúc đó là Rmax= R(40) = 200000 ( đơn vị) _Với mức doanh thu đó số vé bán được là Q= 10000 – 125.40 = 5000 ( vé ) Với mô hình hàm chi phí TC = TC (Q) thì TC’ (Q) được gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0 , chi phí cận biên được kí hiệu là MC, MC = TC’ (Q) tại mỗi mức lượng Q, MC cho biết lượng chi phí xấp xỉ tăng lên thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Độ co giãn của một hàm số a. Độ co dãn của một hàm số Cho hàm số: y = f(x), xác định trên (a,b). Muốn biết sự thay đổi của y phụ thuộc vào biến x như thế nào người ta xét đến hay Trong quản trị kinh doanh, tỷ số trên nhiều khi không cho nhà quản trị thấy rõ mối liên hệ giữa hai biến kinh tế x và y Thí dụ: Xét hàm cầu Q = f(q), cầu theo giá Với ∆Q = 10 và ∆p = 1 = 10 (đơn vị 1000 đ) Giả sử hai mặt hàng: Máy tính: = 10.000 đồng Sữa hộp: = 10.000 đồng Nhận xét: Đối với sữa hộp cho bé, chênh lệch 10.000 đồng là rất có ý nghĩa. Đối với máy tính, sự chênh lệch 10.000 đồng không cho thấy sự khác biệt nào. Để giả quyết vấn đề này, các nhà kinh tế định nghĩa: b. Định nghĩa độ co dãn của hàm số Cho y = f(x), xác định, liên tục, có đạo hàm trên (a,b) Độ co dãn của hàm dược ký hiệu là E và bằng: Nhận xét rằng: Nếu ta thay: x1= x và y thì: Như vậy độ co dãn của hàm số phụ thuộc vào x và y c. Hàm cầu biểu diễn quan hệ giá p và QD = f(p) Định nghĩa: Độ co dãn của cầu theo giá (ở mỗi mức giá) là số đo sự thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1% , Khi p 0 Thì d. Hàm số cung biểu diễn quan hệ giữa giá p và Qs = G(p) Qs = G(p), cung được tính theo giá Định nghĩa: Hệ số co dãn của cung theo giá là số đo thay đổi phần trăm của cung khi giá tăng 1% Vd: ứng dụng trong kinh tế về hệ số co dãn Vd1: cho hàm cầu Q= 60P2+12P-24. Tìm hệ số co dãn tại điểm P=5 Giải: Ta có: QP =(120P+12) = = 1.99 Kết luận: điều này có ý nghĩa là với mức giá P=5 thì khi giá tăng 1% lượng cầu sẽ tăng 1.99% Vd2: Hàm cung và hàm cầu của đĩa vi tính trên địa bàn An Giang lần lượt là: QS=5P + 90, QD=250 – 15P. Tính hệ số co dãn theo giá của cung và cầu tại điểm cân bằng. Giải: Tại thời điểm cân bằng, ta có: QS = QD ó5P + 90 = 250 – 15P ó20P = 160 óP = 8 Với P = 8, ta có: QS = QD = 130 Hệ số co dãn theo giá của cung và cầu tại thời điểm cân bằng: B. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM NHIỀU BIẾN I. Cơ sở lí thuyết 1. Hàm số hữu dụng của người tiêu dùng. Hữu dụng – U (Utility) : là sự thỏa mãn của một người cảm nhận được khi tiêu dùng một loại sản phẩm hay dịch vụ. Tổng hữu dụng – TU ( Total Utility) : tổng mức thỏa mãn đạt được khi tiêu thụ một số lượng sản phẩm hay dịch vụ trong một đơn vị thời gian. Hữu dụng biên tế - MU (Marginal Utility) : là sự thay đổi trong tổng hữu dụng khi thay đổi một đơn vị sản phẩm tiêu dùng trong mỗi đơn vị thời gian (với điều kiện các yếu tố khác không đổi) Nhớ : Trên đồ thị thì MU chính là độ dốc của đường biểu diễn TU MUx = ( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục) MUx = ( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục) Với hàm nhiều biến, thì hàm hữu dụng được cho là : U = U (x1, x2,…, xn ) Thì Ui = : Hữu dụng biên tế của sản phẩm thứ i MUi = : Biểu diễn mức độ hữu dụng thay đổi khi người tiêu dùng sử dụng thêm một đơn vị sản phẩm thứ i Quy luật dụng ích biên tế giảm dần : Cho : U = f(x1, x2,…, xn ). Trong đó : U : Dụng ích x1, x2,…, xn : các sẩn phẩm dần được mô tả bằng công thức : Thí dụ: Cho hàm dụng ích của một bé như sau : D = f(t,c) Trong đó: t: Thịt , c: Cá U : là dụng ích của bé khi tiêu thụ (t,c) Thì = = MUt : giảm khi thịt tăng, cá không đổi. Và : = = MUc : Ui = giảm khi cá tăng thịt không đổi, thịt không đổi. Thí dụ : Q = f(K,L) : Hàm sản xuất của một doanh nghiệp. K : Tư bản vay vốn L : Số lao động Thì: = = MPK : giảm khi K tăng, L không đổi. Và: = = MPL : giảm khi L tăng, K không đổi Tính hệ số co dãn (trường hợp nhiều biến) Gọi y là đại lượng kinh tế phụ thuộc vào các biến kinh tế khác : x1, x2,…, xn biểu diễn qua quan hệ làm: Y = f(x1, x2,…, xn ) Khi đó độ co dãn của y theo biến xj được định nghĩa là: Eyxj = , Thí dụ: j = Với hàm sản xuất Q = AKaL1-a ; A < 0, 0 < a <1 EK = = ( aAKa-1L1-a ) () = = a EL = = ( 1 - a) AKaL1-a 1 - a Vấn đề quản trị : Một công ty sản xuất sản phẩm A có hàm sản xuất là Q = f(K,L) K : Tư bản, L : nhân công Gọi: a : Giá thuê tư bản, b : giá thuê lao động, Co : Chi phí cố định. P : Giá bán do thị trường quyết định Câu hỏi đặt ra : Công ty sử dụng các yếu tố đầu vào như thế nào để đạt được lợi nhuận tối đa? Đặt bài toán : Gọi R = pQ = pf(K,L), C = aK + bL + Co : chi phí cho việc sản xuất A. Hàm lợi nhuận : p = R – C = pf(K,L) – (aK + bL + Co ) Việc sử dụng K và L như thế nào để có lợi nhuận tối đa => Tìm cự trị cùa hàm lợi nhuận p Ta có: = p - a = p - b Điều kiện cần để có cực trị là: (1) Gọi : R = , s = , t = Điều kiện đủ để cực trị là cực đại (Lợi nhuận tối đa) Û (2) Điều kiện (1) : Cho chúng ta biết rằng : Điều kiện cần để công ty đạt lợi nhuận tối đa là : công ty sử dụng các yếu tố đầu vào sao cho sản phẩm biên tế của tư bản (tính bằng tiền) bằng chi phí tư bản, và sản phâm biên tế của lao động bằng chi phí lao động. Điều kiện (2) : Cho thấy sự tương quan của 2 yếu tố K và L đến lợi nhuận tối đa của công ty Thí dụ : Công ty Nhôm Văn Hải, chuyên sản xuất đồ gia dụng và nồi cơm điện có các thông tin sau (10/2008): Hàm số sản xuất : Q = f(K,L) = -K2 – L2 + 25K + 60L Hàm chi phí : C = 10K + 20L + 150 (150 chi phí cố định) Đơn vị tính : 1.000.000 Giá bán : p = 2.106 = 2 (đơn vị tính) Hỏi : Nhăm Văn Hải cần phối hợp các yếu tố K và L như thế nào để đạt được lợi nhuận tối đa? Ta có : Doanh thu : R = pQ = 2(-K2 – L2 + 25K + 60L) = -2 K2 – 2L2 + 50K + 120L Hàm lợi nhuận : p = R – C = -2K2 + 40K + 100L – 150 Để đạt lợi nhuận tối đa, p phải thỏa 2 điều kiện: (1) (2) Và - = -16 < 0 Vậy Nhôm Văn Hải cần có phối hợp : K = 10 và L = 25 khi đó p = 130, Q = 1025 đơn vị sản phẩm, R = 2050, C = 750 Tháng 10/2008 – Lãi được 1.300.000.000 » 1,3 tỷ 2. Bài toán tìm tổ hợp sản phẩm sản xuất sao cho đạt lợi nhuận tối đa Thí dụ 1: Doanh nghiệp tư nhân Trần Hiền chuyên sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm võng xếp và giường xếp. Thông tin do xưởng sản xuất cung cấp như sau : Q1 : Số lượng võng xếp, giá P1 Q2 : Số lượng giường xếp, giá P2 Hàm cầu : Q1 = 14 - 1/4P1 của võng xếp Q2 = 24 – 1/2P2 của giường xếp Hàm tổng chi phí là: TC = + 5Q1Q2 + Trần Hiền nên định giá bán 2 loại sản phẩm là bao nhiêu để đạt lợi nhuận tối đa? Ta có : Hàm doanh thu : TR = Q1P1 + Q2P2 Hàm lợi nhuận : p = TR – TC = P1Q2 + P2Q2 - - 5Q1Q2 - p = (56 – 4Q1) Q1 + (48 – 2Q2) Q2 - - 5Q1Q2 - = 56Q1 + 48Q2 - 5- 3- 5Q1Q2 (1) Û Þ Q2 » 6 ; Q1 » 3 Vậy sản xuất đạt lợi nhuận tối đa ở mức giá là: P1 = 56 – 4.3 = 44 (đv : 10.000đ) = 440.000đ/1 sản phẩm P2 = 48 – 2.6 = 36 (đv : 10.000đ) = 360.000đ/1 sản phẩm Thí dụ 2 : Công ty Vissan sản xuất thịt hộp và lạp xưởng phục vụ Tết âm lịch 2008 Các thông tin được cho như sau: - Lạp xưởng : Q1, giá thị trường P1 = 80.000đ/ 1kg - Thịt hộp : Q2, giá thị trường P2 = 50.000đ/ 1kg Hàm chi phí cho hai sản phẩm trên là : TC = C(Q1,Q2) = 4- 5- 3Q1Q2 Nhà quản trị hỏi : Chọn tổ hợp sản xuất (Q1,Q2) như thế nào để công ty Vissan đạt lợi nhuận tối đa. Gọi hàm doanh thu : TR = P1Q1 + P2Q2 = 80Q1 + 50Q2 Hàm lợi nhuận là : p = TR – TC = 80Q1 + 50Q2 - 4- 5- 3Q1Q2 Điều kiện cần để Vissan có lợi nhuận tối đa là : Giải hệ phương trình này ta được: Được : Ở tổ hợp (Q1Q2) » (9,2,5) Điều kiện để có lợi nhuận tối đa là : Kết luận Công ty Vissan nên sản xuất ở mức : Tức sản xuất 9 đơn vị sản phẩm lạp xưởng và 2,5 đơn vị sản phẩm thịt hộp. 3. Bài toán tìm mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa: Giả định công ty có sản phẩm A, bán trên 2 thị trường khác nhau, với 2 mức giá khác nhau, 2 hàm cầu khác nhau. Tìm mức sản lượng cần phân bổ sao cho công ty đạt lợi nhuận tối đa? Gọi: Q=D(P); Q=D(P), trong đó: Q, P là cầu và giá bán trên thị trường thứ 1 Q, P là cầu và giá trị bán trên thị trường thứ 2 Hàm tổng chi phí là: TC=C(Q), trong đó Q= Q + Q( trong một đơn vị thời gian) Ta có: D(P) = QD(P) = Q; P = P(Q).P = P.(Q) Doanh thu thị trường 1: R(Q) = P(Q)Q. Doanh thu thị trường 2: R(Q) = P(Q)Q Tổng doanh thu: TR = R(Q) + R(Q) Hàm lợi nhuận: = TR – TC = R(Q) + R(Q) – C(Q), Q = Q + Q Ta có: = R- C; = R- C Từ điều kiện để có cực trị: = 0; = 0 MR = MR = MC (*) Từ (*) ta có kết luận rằng: Để đạt lợi nhuận tối đa, số lượng sản phẩm A cần phân bố cho hai thị trường sao cho doanh thu biên tại 2 thị trường bằng nhau và bằng chi phí biên. 4. Ứng dụng cực trị có điều kiện trong kinh doanh: Bài toán 1: Một sinh viên, mỗi tháng được bố mẹ cho 1.500.000đ, sau khi trừ các khoản chi tiêu bắt buộc như: ăn, thuê nhà, sinh hoạt cần thiết, chỉ còn 200.000đ cho mua sách và xem ca nhạc, đây là hai sở thích của sinh viên này. Gọi x là mỗi lần xem ca nhạc, với giá vé p = 25.000đ/1 vé Gọi y là 1 quyển sách với giá p = 20.000đ/1 quyển. Hỏi sinh viên này nên xem ca nhạc và mua bao nhiêu quyển sách trong 1 tháng để đạt dụng ích tối đa? Biết rằng hàm dụng ích là: U(x,y) = (x + 4)(y + 5). Giải: Bài toán được đưa về tìm cực trị có điều kiện như sau: Tìm cực trị của U(x,y) = (x +4)(y +5) (1) thỏa điều kiện 25.000x + 20.000y = 200.000 (2) Tương đương: Tìm cực trị của (1) thỏa điều kiện: 5x + 4y = 40 (2) Cách 1: Từ (2) ta suy ra y = , thay vào (1) ta được: U(x,y) = (x + 4)( + 5) = (x +4)(15 – x) = - x2 + 10x +60 Ux’ = -x +10; Ux’ = 0 x = 4, y = 5 Umax tại (x = 4,y = 5). Cách 2: Dùng phương pháp Lagrange Tìm cực trị của U(x,y) = (x + 4)(y + 5) (1) thỏa điều kiện 5x + 4y = 40 (2) Hàm Lagrange L(x,y) = (x + 4)(y +5) + (40 – 5x – 4y) (3) Lx = y – 5 + 5 = 0 Lập hệ phương trình Ly = x – 4 + 4 = 0 (4) L’ = 40 – 5x – 4y = 0 Giải hệ phương trình (4) ta được nghiệm là (4,5,2), tronh đó = 2 Như vậy (1) thỏa điều kiện (2), đạt cực trị tại x = 4 và y = 5. Để kết luận cực trị đó là cực đại hay cực tiểu, ta lập: p = 5, q = 4, r = 0, s = 1, t = 0 H= , có detH = 40 > 0 Kết luận sinh viên này đạt dụng ích tối đa khi xem ca nhạc 4 lần và mua 5 quyển sách trong một tháng. Bài toán 2: Trong một mùa tuyển sinh đại học, một trường đại học tại thành phố Hồ Chí Minh tuyển 5.000 sinh viên, được đào tạo tại 2 cơ sở: Cơ sở A với số lượng x sinh viên, hàm chi phí là: CA = 0,01x2 + 70x + 9300 Cơ sở B với số lượng y sinh viên, hàm chi phí là: CB = 0,015y2 + 72y + 5200 Lãnh đạo nhà trường nên