Toán 10 - Chuyên đề 1: Tam thức bậc hai

Chuyên đề 1: Tam thức bậc hai I. Lý thuyết: - Là biểu thức có dạng : 2( ) ( 0)y f x ax bx c a= = + + ≠ - Khi đó ta có các tính chất sau: 1. Nếu 0∆ với x∀ ∈ℝ . 2. Nếu 0∆ ≤ thì ( ) 0af x > với 2 \ b a x   −    ∀ ∈ℝ 3. Nếu 0∆ > thì 2( ) 0 1 x x af x x x     > > ⇔ < và ( ) 0 1 2af x x x x< ⇔ < < 4. Nếu ( ). ( ) 0f fα β < thì tam thức có nghiệm thỏa mãn: xα β< < . 5. Nếu ( ) 0af α < thì phương trình luông có hai nghiệm thỏa mãn: 1 2x xα< < II. Bài tập: 1. Cho hệ phương trình: 2 2 2 ax bx c y ay by c z az bz c x        + + = + + = + + = trong đó: 0a ≠ và 2( 1) 4b ac∆ = − − .CMR: nếu 0∆ < thì hệ vô nghiệm. 2. Chứng minh rằng nếu: a c b+ < thì phương trình: 2 0ax bx c+ + = luôn có nghiệm. 3. Biết 2 3 6 0a b c+ + = . CMR: 2 0ax bx c+ + = có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1). 4. CMR: 2 0ax bx c+ + = có nghiệm thì một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn: i) ( 2 4 ) 0a a b c+ + < ii) 5 3 2 0a b c+ + = iii) 2 5 0a b c+ + = 5. Chứng minh rằng: trong 3 phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm: i) 2 2 0x ax bc+ + = ii) 2 2 0x bx ac+ + = iii) 2 2 0x cx ab+ + = 6. CMR: Nếu 2( )1 2 1 2a a b b≥ + thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 1 1 2 0x a x b+ + = và 2 22 0x a x b+ + = 7. Giả sử phương trình 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm thuộc [0;1]. Tìm a, b, c để biểu thức sau : ( )(2 )( ) a b a cP a a b c − − = − + đạt gái trị nhỏ nhất, lớn nhất. 8.Cho Parapol: 2y x= − và đường thẳng d đi qua điểm I(0;-1) Có hệ số góc k. Gọi giao điểm của (P) và d là A, B. Giả sử A, B có hoành độ là ;1 2x x . a) CMR: 3 21 2x x− ≥ b) Tính diện tích tam giác OAB, tìm k để diện tích đó là lớn nhất. 9. Tìm điều kiện của các hệ số a, b, c để phương trình sau vô nghiệm : 2 (2 2( ) )a ax bx c b ax bx c c x++ + + + + = . 10. Xét tam thức 2 0ax bx c+ + = với a, b, c nguyên có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;1). Tìm tam thức có hệ số a nhỏ nhất. 11. CMR nếu đa thức : 2 (2 2( ) ( ) )bf x a ax bx c ax bx c c+= + + + + + vô nghiệm, thì tam thức: 2 0ax bx c+ − = có hai nghiệm trái dấu. 12. Gọi ;1 2x x là 2 nghiệm của tam thức: 2( )f x x ax b= + + , với a,b thuộc [-1;1]. CMR: ( 1)( 1) 2 51 2x x+ + ≤ + . 13. Cho tam thức: 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ . a) CMR: 0ac < thì phương trình ( ( )) 0f f x = có nghiệm. b) Cho a = 1, giả sử phương trình ( )f x x= có 2 nghiệm phân biệt. CMR phương trình ( ( ))f f x x= có 4 nghiệm phân biệt nếu 2( 1) 4( 1)b b c+ > + + . Chuyên đề 2: Hệ thức lượng trong tam giác I. Lý thuyết: 1. Định lý hàm số sin: - Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, khi đó ta có: 2 sin sin sin a b c R A B C = = = 2. Định lý hàm số Cosin: - Cho tam giác ABC, khi đó ta có: 2 2 2 2 .cosa b c bc A= + − ; 2 2 2 2 .cosb a c ac B= + − ; 2 2 2 2 .cosc a b ab C= + − 3. Công thức đường trung tuyến: - Cho tam giác ABC, khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 4a b c a m + − = ; 2 2 2 2 2 2 4b a c b m + − = ; 2 2 2 2 2 2 4c a b c m + − = 4. Các công thức về diện tích: - Cho tam giác ABC, khi đó ta có: S = 1 1 1sin sin sin 2 2 2 ab C bc A ca B= = = pr = 4 abc R = ( )( )( )p p a p b p c− − − II. Bài tập: 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thỏa mãn: AM = AB. CMR : sinA=2.Sin(B-C) 2. Tìm min của 3 3 3 3 3 3 a b c a b cP m m m = + + 3. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu có x ∈ℝ để : 2 21; 2 1; 1a x x b x c x= + + = + = − . 4. CHo tam giác ABC và K, L, M lần lượt nằm trên AB, BC, CA sao cho 1 3 AK BL CM AB BC CA = = = , biết bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK, CML là bắng nhau. CMR tam giác ABC đều. 5. Xác định dạng tam giác ABC biết các góc A, B, C của tam giác thỏa mãn hệ thức: sin 2 sin .cos C A B = 6. Cho tam giác ABC có S=1. CMR: 2 2 22012. 2010. 1005. 4. 2010a b c+ − ≥ Giải: Bất đẳng thức tương đương với: 2 2 2 2 21005( ) (1005. 1007 ) 4. 2010.a b c b a S+ − + + ≥ 2 2 2 2 2(1005. 1007 ) 4. 2010. 1005( ) 2 2 2 b a S a b c ab ab ab + + − ⇔ ≥ − 2 2(1005. 1007 ) 2010.sin 1005.cos 2 b a C C ab + ⇔ ≥ − (1) Theo BĐT Cauchy thì 1005.1007VT ≥ . Theo BĐT BCS thì 1005.1007VP ≤ . Từ đó ta có điều phải chứng minh. 7. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cotA + cotC=α.cotB 1. Xác định góc giữa hai trung tuyến 1AA và 1BB của tam giác khi 1 2 α = 2. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi 2α = . 8. Cho tam giác ABC biết sinA:sinB: sinC= sin : sin : sin ( 3 1) : 6 : 2A B C = + 1. Tính các góc của tam giác. 2. Tính tỉ số: 1; : 5 r rCMR R R > . 9. Tam giác ABC là tam giác gì nếu các góc thỏa mãn: 1 1 1 sin sin sin cot cot cot cot cot cot A B C A B B C C A+ + = + ++ + + 10. Cho tam giác ABC và XYZ có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c; YZ=x, ZX=y, XY=z, liên hệ bởi hệ thức: 2 2a x xy xz+ = + ; 2 2b y yx yz+ = + ; 2 2c z zx zy+ = + . 1. CMR: tam giác ABC nhọn, và tồn tại tam giác A’B’C’ có độ dài các cạnh là: a2; b2; c2. 2. So sánh góc bé nhất cuẩtm giác ABC và góc bé nhất của tam giác A’B’C’. 11. Cho tam giác ABC, có M nằm trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB. CMR:   cot ' cot ' cot 'AA B BB C CC A+ + là không đổi. 12. Cho tam giác ABC nhọn, thỏa mãn: 060A B C≤ ≤ ≤ và: 2 3a r = . CMR tam giác ABC đều. 13. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 1 1 1 ah b c = + . 14. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: sin sin sin1 1 1 4 3 2 sin sin sin B A C A C B     + + + = +        15. Cho tam giác ABC có R=2 và: cos 2cos 3cosA B C a b c = = . Tính cạnh bé nhất và góc bé nhất của tam giác. 16. CMR: 2 2 2 2sinsin sin22 2 mm m a b ca b c BA C r + + + + ≥ . 17.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đặt BAM α= . Chứng minh rằng: 2 2 3cos cot sin C α α −≥ 18. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Đặt BGC α= . CMR: 2cot cot 3 A α≥ + . 19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: ( )4 4 4 2 2 2sin 2sin 2sin 2sin sin sinC A B C A B+ + = + . CMR: Tam giác ABC vuông cân. 20. CMR: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2IA IB IC c p a a p b b p c + + = − − − . 21. Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM, đường cao CN, phân giác BP đồng quy. CMR: 2 2 2 2 2abc a b a b = + − + . 22. Cho tam giác ABC. a. Tìm vị trí của M để biểu thức: . . .P MB MC MB MC MC MA= + +      đạt GTNN. b. CMR: 53(cos2 cos2 ) cos2 2A C B− + ≤ 23. Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng với mọi điểm O nằm trong tứ giác ta có: 2 2 2 2S OA OB OC ODABCD ≤ + + + 24. Cho tam giác ABC có A, B là 2 góc nhọn thỏa mãn: (0;2)α∃ ∈ sao cho 2 2sin sin sinA B Cα+ = . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?.