Toán 8 - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp đặt nhân tử chung ( thừa số chung): a2 + 3a 14a + 21b a(x+y) + b(x+y) 10a6 + 20a5 5x2 – 10xy +5y2 3ab3 + 6ab2 – 18ab 15x3y2 + 10x2y2 - 20x2y3 a2(x – 1) – b(1 – x) x(x – 5) – 4(5 – x) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: x2 + 2x + 1 4x2 - 12x + 9 9x2 – 4y2 8x3 – 27 16a2 – (x – y)2 (a – 3b)2 – 16c2 16(x - y)2 - 25(x + y)2 m3 – 27 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 a4 – b4 1+ x3 – 3x2 + 3x – 1 x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử để đặt thừa số chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức: 6a(x+y) + x+ y a(x-y) – bx + by x2 + xy + ax + ay 10ay – 5by + 2ax – bx x+ x2 – x3 – x4 ax2 – bx2 – bx – ax – a – b 7x2 – 7xy – 4x + 4y x(2x – 7) – (4x – 14) x2 + 6x + 9 – y2 x3 – 3x2 + 3x -1 – 27y3 Phương pháp thêm , bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung: Đối với phương pháp này thường được chia ra làm hai dạng : Đa thức có dạng bình phương của một tổng: A = a4 + b4 Ví dụ 1: Phân tích đa thức P = x4 + 4y4 thành nhân tử. Nhận xét: Hiện đa thức có tổng bình phương (x2)2 + (2y2)2 tương ứng với 2 số hạng a2 + b2 của hằng đẳng thức a2 + 2ab + b2 như vậy còn thiếu 2ab nên để có hằng đẳng thức thì chúng ta thêm tích 2.x.2y2 rồi bớt đi 2.x.2y2 . P = x4 + 4y4 = (x2)2 + (2y2)2 + 2.x.2y2 - 2.x.2y2 = (x2 – 2y2)2 – (2xy2)2 = (x2 – 2y2 – 2xy2) (x2 – 2y2 + 2xy2). Chú ý: Số hạng thêm và bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp được bài toán được. Ví dụ 2: (Bài 43d trang 20 / SGK) Phân tích đa thức Q = = Bài tập: a) x4 + 64 b) x4 + 4 c) x4 + 4b4 d) 81x4 + 1 Đa thức có dạng như: a3k+2 + a3k + 11, a7 + a5 +1, a8 + a4 +1 vv Đối với những đa thức như trên khi chúng ta muốn phân tích đa thức thành nhân tử thì nên tìm cách giảm dần số mũ luỹ thừa nhưng cần chú ý đến các biểu thức dạng a6 – 1; a3- 1; a2 + a + 1. Ví dụ : 1: Q = Cách 1: Thêm bớt để đặt nhân tử chung Q = = + - = = Cách 2: Thêm bớt x2 để có dạng x3 – 1 dẫn đến thừa số chung x2+ x +1. Q = x5 - x2 + x2 + x + 1 = x2( x3 – 1) + (x2+ x +1) = x(x-1)( x2+ x +1) + (x2+ x +1) = (x2+ x +1)( x3- x2 +1). Ví dụ 2: D = x8 + x7 +1 Cách 1: Thêm bớt để đặt nhân tử chung x2+ x +1. D = =+()-() = = Cách 2: Thêm bớt x2 + x để xuất hiện x6 – 1 dẫn đến x3 – 1 có chứa x2+ x +1. D = = = = = = = = = = Bài tập : Phương pháp tách các hạng tử. Đối với phương pháp này thường được được áp dụng đối tam thức bậc hai ax2 + bx +c và có hai cách tách hạng tử: Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử. Trong tam thức bậc hai ax2 + bx +c hệ số b được tách thành b =b1 + b2 sao cho b1b2 = ac. Trong thực tế khi làm chúng ta nên làm như sau: Ví dụ 1: M = x2 – 4x – 12 Bước 1: Tìm tích ac = 1.(-12) = -12 Bước 2: Phân tích ac ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. -12=1.(-12) = (-1).12 = (-2).6 = 2.(-6) = (-3).4 = (-4).3 Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b = - 4 = - 6 +2 như vậy tách – 4x = - 6x + 2x M = x2 – 6x + 2x – 12 =x(x – 6) +2(x- 6) = (x- 6) ( x + 2) Ví dụ 2: N = 2x2 + x – 6 Ta thấy 2.(-6) = - 12 = 4 . (- 3) mà 4 + (- 3) = 1 vậy tách x = 4x – 3x ta có N = 2x2 + 4x – 3x – 6 = 2x( x+2) – 3(x+2) = (2x – 3)(x+2) Cách 2: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử rồi đưa về dạng hiệu hai bình phương. Tổng quát: A = x2 + 2ax +b = x2 + 2ax + a2– a2 + b = (x + a)2– = Điều kiện: a2 ≥ b Ví dụ 1: M = x2 – 4x – 12 = x2 – 2.x.2 + 22 – 22 – 12 = (x – 2)2 – 16 = (x- 2 – 4)(x-2+4) = (x- 6)(x +2) Chú ý : - Thường áp dụng đối với tam thức bậc hai có hệ số của x chia cho hệ số của x2 được thương chia hết cho 2 còn không thì nên áp dụng theo cách 1. - a2 < b thì đa thức không thể phân tích tiếp được nữa. Ví dụ 2: K = x2 + 6x + 5 = x2 + 2.x.3 + 32 – 32 + 5 = (x + 3)2 – 22 = (x +3 -2)(x+3 +2) = (x+1)(x+5) Ví dụ 3: H = = x2 + 10x + 16 = x2 + 2.x.5 + 52 – 52 + 16 = (x + 5)2 – 32 = (x +5 -3)(x+5 +3) = (x+2)(x+8) Bài tập: x2 - 6x + 5 x2 + 6x + 8 2x2 + 10x + 8 9x2 + 6x – 8 x2 -5x + 14 4x2 - 36x + 56 x2 – 7xy + 10y2 x2 - 5x – 14 x2 - 9x + 18 2x2 - 6x + 4 3x2 - 5x – 2 7x2 + 50x + 7 15x2 + 7x – 2 x2 - 5x + 14 4x2 -36x + 56 x2 - 7x + 10 3x2 - 5x – 2 2x2 + x - 6 15x2 + 7x - 12 3x2 – 8xy + 4y2 x2 - 10x + 21 x2 + 11x + 30 Phương pháp dự đoán nghiệm của đa thức Để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng hệ quả của địng lí Bezout: “ Nếu α là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa thừa số x- α” Ví dụ 1: f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4 Thường ta dự đoán nghiệm của đa thức là các ước của hạng tử độc lập là - 4 , Ư(- 4) = Thế x= vào f(x) thì ta thấy x= 1 và x= 2 làm f(x) = 0 . Vậy f(x) có nghiệm x = 1 và x= 2 cho nên theo hệ quả của định lí Be zout f(x) sẽ chứa thừa số x – 1 và x- 2 . Vậy ta cố gắng làm xuất hiện thừa số x-1 và x–2. f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4 = x3 – x2 – 4x2 + 4x + 4x – 4 = x2( x – 1) - 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1) ( x2 – 4x + 4) = (x - 1)(x -2)2 Ví dụ 2: f(x) = x3 – 6x2 + 6x – 7 Ư(-7) = Thử thế các giá trị x= -7;-1; 1; 7vào f(x) thì ta thấy chỉ có x= 7 làm f(x) bằng 0 . Vậy f(x) có nghiệm x = 7 nên ta cố gắng làm xuất hiện thừa số x – 7 f(x) = x3 – 6x2 + 6x – 7 = x3 – 7x2 + x2 – 7x + x – 7 = x2(x – 7) – x(x – 7) + (x – 7) = ( x2 – x + 1)(x – 7) Trường hợp đặc biệt: Khi nghiệm là x = 1 hoặc x = -1. Định lí 1: “ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì nó có chứa một thừa số là (x – 1) ( tức là f(x) có nghiệm x = 1)”. Ví dụ : A = x3 – 6x2 + 11x – 6 Ta thấy 1 + (-6) +11 + (- 6) = 0 nên A chứa thừa số x – 1. Ta cố gắng tách hạng tử sao cho có thừa số (x – 1) A = x3 – 6x2 + 11x – 6 = x3 – x2 - 5x2 + 5x + 6x – 6 = x2(x-1) – 5x(x – 1) + 6(x – 1) =(x - 1)(x2 – 5x + 6) (áp dụng tiếp phương pháp 1 hoặc nhẩm nghiệm ) = ( x – 1)( x- 2)(x – 3) Định lí 2: “ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa bậc chữa bằng tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì thì f(x) chứa một thừa số là (x + 1) ( tức là f(x) có nghiệm x = -1)”. Ví dụ : B = x3 + 2x2 + 4x + 3 Nhận xét: 1 + 4 = 2 + 3 (=5) nên B có chứa thừa số x + 1. Ta cố gắng tách hạng tử sao cho có thừa số (x +1). B = x3 + x2 + x2 + x + 3x + 3 = x2(x + 1) + x(x +1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x2 + x + 3) Bài tập: x3 - 6x2 + 11x – 6 6x3 - 295x – 7 x3 - 3x2 - 4x + 12 4x3 - 24x2 + 45x – 27 2x3 - 5x2 + 8x – 3 6x3 - x2 - 486x + 81 x3 - 5x2 + 8x – 4 x3 - 4x2 - 8x + 8 x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 x3 + 2x2 + 3x + 2 3x3 - 14x2 + 4x + 3 x4 + 6x3 + 17x2 - 6x + 1 x3 + 8x2 - 8x - 1 Phương pháp dùng máy tính và sơ đồ Hoor ner Giả sử chia đa thức P(x) = cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn-1(x) = thì giữa các hệ số an ; an-1; an-2 ; ;a1 ; a0 và các hệ số bn-1; bn-2 ; ;b1 ; b0 có mối liên hệ sau: an an-1 an-2 a1 a0 m bn-1 = an bn-2=an-1+mbn-1 bn-3 = an-2+ mbn-2 . . . b0 =a1 + mb1 r=a0 + mb0 Trong đó r là số dư trong phép chia P(x) cho (x – m). P(x)= (x- m)Q(x) + r R là hằng số vì bậc của r phải nhỏ hơn bậc 1 của (x – m). Nếu r = 0 thì x = m là nghiệm của f(x). Ví dụ: C = x4 + 2x3 - 4x2 - 5x – 6 Ư(- 6) = {- 6; -3 ; -2; -1 ; 1 ; 2; 3 ; 6} Ta thấy hai trường hợp đặc biệt không xảy ra nên ta thử x = 2 ta làm như sau: ( nên dùng máy tính cho nhanh) a4=1 a3=2 a2=- 4 a1= -5 a0= -6 x=2 b3 = 1 b2=2.1+2=4 b1 = 2.4+(-4) =4 b0 =2.4 + (- 5) = 3 r = 2.3 + (- 6) = 0 Vậy C = (x - 2)( x3 + 4x2 + 4x + 3) Tiếp tục sử dụng thuật toán Hor ner ta có b3 = 1 b2= 4 b1 = 4 b0 =3 x= - 3 b2 = 1 b1= (-3).1+4=1 b0 = (-3).1+ 4 =1 r =(-3).1 + 3 = 0 Ta có C = (x - 2)( x +3)(x2 + x + 1) Phương pháp đặt ẩn phụ Trong một số trường hợp việc đặt ẩn phụ làm cho bài toán dễ thấy lời giải phân tích thành nhân tử nhanh hơn. Ví dụ 1: M = ( x2 + 4x + 8)2 – 3x ( x2 + 4x + 8) + 2x2 Đặt x2 + 4x + 8 = t Ta có M = t2 - 3xt + 2x2 = t2 - 2xt - xt + 2x2 = t(t - 2x) – x(t - 2x) = ( t – 2x) ( t – x) = (x2 + 4x + 8 -2x) (x2 + 4x + 8 – x) = (x2 + 2x + 8) (x2 + 3x + 8) Ví dụ 2: N = (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) +1 = [(x+1)(x+4)] [(x+2) (x+3)] +1 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) +1 Đặt x2 + 5x + 5 = t N = (t – 1)(t + 1) +1 = t2 - 1 + 1 = t2 = (x2 + 5x + 5)2 Bài tập: ( x2 + x)2 + 3( x2 + x ) + 2 x (x+1) (x+2) (x+3) +1 ( x2 + x + 1)( x2 + 3x + 1 ) + x2 (x – y)2 + 4(x – y) -12 (x-1) (x-3) (x-5) (x- 7) – 20 (x-1) (x+2) (x+3) (x+ 6) – 20 6x4 – 11x2 +3 Phương pháp dùng hệ số bất định. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . x4 + 6x3 + 11 x2 + 6x + 1 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 Giải Giả sử đa thức được phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng (x2 + ax + 1) (x2 + bx + 1) Thực hiện phép nhân ta có : (x2 + ax + 1) (x2 + bx + 1) = x4 + ( a+ b)x3 + ( 2 + ab)x2 + ( a+b)x + 1. Đồng nhất với đa thức đã cho ta được : Vậy x4 + 6x3 + 11 x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 1) = (x2 + 3x + 1)2 Ta tìm a, b, c, d sao cho : 3x2 - 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 = (3x + ax +b)(x + cy + d) = 3x2 + (3c + a)xy (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd Đồng nhất các hệ số tương ứng của hai vế ta được: Từ bd = 1 chọn b = d = -1 (vì b + 3d = - 4) . Ta có a+ c = -8 kết hợp với 3c + a = -22 ta được a = -1, c = -7 Vậy 3x2 - 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 = (3x - x - 1)(x - 7y -1)