Toán 9 - Bài tập về hệ phương trình

Bài tập về hệ phương trỡnh Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: 1 19 37 2 20 38 3 21 39 4 22 40 5 ) 23 41 6 24 42 7 25 43 8 26 44 9 27 45 10 28 46 11 29 47 12 30 48 13 31 49 14 32 50 15 33 51 16 34 52 17 35 53 18 36 54 Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau: 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 Bài 3: Cho hệ phơng trình: a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải: a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m Ta có (m ) Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = với m - Xét m = 1 => Phơng trình (*) 0x = 1, phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Xét m = - 1 => Phơng trình (*) 0x = 3, phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 m = 0 (nhận), m = - 1 (loại) Vậy với m = 0 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Xét hệ phơng trình Từ phơng trình thay vào phơng trình ta có phơng trình Vậy là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Bài 4: Cho hệ phơng trình: có nghiệm duy nhất (x ; y) a) Giải hệ phơng trình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1 d) Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên. Giải: a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Xét hệ phơng trình Từ phơng trình thay vào phơng trình ta có phơng trình: Vậy là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải hệ phơng trình theo tham số m ta có hpt ` Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = () - Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là () +) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1 m = 1 Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1 d) Thay ; vào biểu thức A = ta đợc biểu thức A = = = = = = = Để biểu thức A = nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên (m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) = Kết hợp với điều kiện ; Vậy với các giá trị thì giá trị của biểu thức nhận giá trị nguyên. Bài 5 Cho hệ pt: . Giải và biện luận hệ theo m. Bài làm: + Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3 Nếu 2 + m = 0 m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3) Do phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm. Nếu 2 + m 0 m - 2. Thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = + Thay x = vào phơng trình (2) ta có:y = 2x – 1 = - 1 = Vậy với m - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất . Tóm lại: +) Với m = - 2 thì hệ phơng trình vô nghiệm +) Với m - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất . Bài 6 Tìm giá trị của m và p để hệ phơng trình a) Có một nghiệm duy nhất b) Có vô số nghiệm c) Vô nghiệm Giải: Thay x = 7 – y vào phơng trình thứ hai, ta có: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1) a) Nếu m + 2 m => Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất. Từ (1) => y = , thay vào x = 7 – y => x = 7 - = Vậy khi m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (;) b) Nếu m = - 2 => Phơng trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p Hệ vô số nghiệm khi: -14 – p = 0 p = - 14 Vậy khi m = - 2 và p = - 14 thì hệ vô số nghiệm c) Nếu m = - 2 và p thì phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm *) Cách khác: Hệ phơng trình đã cho a) Hệ có nghiệm duy nhất b) Hệ vô số nghiệm => m = - 2, p = - 14 c) Hệ vô nghiệm => m = - 2, p Bài 7 : Phơng pháp: Cho hệ phơng trình : Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm Cách 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải. Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải. Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số Bài8 : Cho hệ phơng trình Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 – 2.(- 2) = 73 + 4 = 7 (luôn đúng với mọi n) Vậy (2; 1) là nghiệm của (1). Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – 3 7n – 3 = n2 – 4n – 3 n(n –11) = 0 Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Bài 9 Cho hệ phơng trình Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất (x = 1; y = 3). Giải: Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có: 5m2 – 5m + m = 1 – 4m + 4m2 m2 = 1 (I) Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có: 4m + 6 = m2 + 3m + 6 m(m – 1) = 0 (II) Từ (I) và (II) Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm (x = 1 ; y = 3) Bài 10 Cho hệ phơng trình : Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1) Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có: Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1). Bài 11 Cho hệ phơng trình (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn : 4x – 2y = - 6 (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 3(m + 5) + 6m 0 m Do (x; y) là nghiệm của hệ phơng trình (I) và thoả mãn (3) (x; y) là nghiệm của (1), (2), (3) Kết hợp (1) và (3) ta có: Thay x = - 2, y = -1 vào phơng trình (2) ta đợc: 6m – (m +5) = m2 - 1 m2 – 5m + 4 = 0 (thỏa mãn m) Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x – 2y = - 6 Bài 12 Cho hệ phơng trình (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.32.m m 0. Từ (1) y = 5 – mx. Thay vào (2) ta có: 2mx + 3(5 - mx) = 6 x = (m0) Thay x = vào y = 5 – mx ta có: y = 5 - = - 4 Vậy với m0 hệ (I) có nghiệm x = ; y = - 4 Thay x = ; y = - 4 vào phơng trình (3) ta đợc: (2m – 1).+ (m + 1)(- 4) = m 18 - - 4m – 4 = m 5m2 – 14m + 9 = 0 (m – 1).(5m – 9) = 0 (thoả mãn m0) Vậy với m = 1 hoặc m = thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn (2m – 1)x + (m + 1)y = m Bài 13 Cho hệ pt: Tìm mZ để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên Giải: Từ (2) ta có: y = mx – 1. Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = 5 3mx + 2x = 7 x.(3m + 2) = 7 (m ) x = . Thay vào y = mx – 1 y = .m – 1 y = Để xZ Z 3m + 2 Ư(7) = +) 3m + 2 = - 7m = - 3 +) 3m + 2 = 7m = (loại) +) 3m + 2 = 1m = (loại) +) 3m + 2 = -1m = - 1 Thay m = - 3 vào y = y = 2 (t/m) Thay m = - 1 vào y = y = 6 (t/m) Kết luận: mZ để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1 Bài 14 Cho hệ phơng trình : Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Giải: Từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x y = 2 – mx + 3x Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8- mx + 6x = 4 x.(6- m) = 4 (m 6) x = . Thay vào y = 2 – (m – 3).x ta có: y = Để xZ Z 6 - m Ư(4) = +) 6 – m = 1 m = 5 +) 6 – m = -1m = 7 +) 6 – m = 2 m = 4 +) 6 – m = - 2m = 8 +) 6 – m = 4m = 2 +) 6 – m = - 4m = 10 Thay m = 5 vào y = y = - 6 (t/m) Thay m = 7 vào y = y = 18 (t/m) Thay m = 4 vào y = y = 0 (t/m) Thay m = 8 vào y = y = 17 (t/m) Thay m = 2 vào y = y = 3 (t/m) Thay m = 10 vào y = y = 9 (t/m) Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m (2) (1) Bài 15 Cho hệ phơng trình : a) Chứng minh rằng hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó. Giải: a) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; 0) Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm duy nhất hay m2 + 2 0 Do m2 với mọi m m2 + 2 > 0 với mọi m. Hay m2 + 2 0 với mọi m Vậy hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) do m2 + 2 0 x = m + 1 Thay vào (3) y = m.(m + 1) – m2 = m Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + 4 ta đợc: x2 + 3y + 4 = (m + 1)2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5 = (m2 + 2. = Do Vậy Min(x2 + 3y + 4) = khi m = Bài 16 Cho hệ phơng trình : Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó Giải: Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + 2. Thay vào (2) ta có: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 0 với mọi m) Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta đợc y = m + 2 Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + 4 – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 = Do Vậy MaxA = 16 khi m = 2 Bài 17 Biết cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trên trở thành: Hệ phơng trình có nghiệm Khi đó P = Vậy MinP = - 4 m = - 1 (thỏa mãn ) Bài 18 Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn nhất ? Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trên trở thành: Hệ phơng trình có nghiệm Ta có xy = Với => xy Với => xy Do đó Vậy Min(xy) = a = và Max(xy) = a = Bài 19 Tìm giá trị của tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ nhất Hớng dẫn: Tìm đợc với thì hệ có nghiệm duy nhất là Ta có x + y = Min (x + y) = m = - 4 (thỏa mãn ) Cách khác: Ta cần tìm S để phơng trình (*) có nghiệm m - Xét hai trờng hợp *) Trờng hợp 1: S = 1 => m = - 2 (thỏa mãn ) *) Trờng hợp 2: S , để phơng trình có nghiệm thì Vậy Min S = khi đó m = = Min (x + y) = m = - 4 Bài 20 Cho hệ phơng trình: a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải: a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất là ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m Ta có hệ phơng trình - Trờng hợp 1: m2 = 1 m = +) Nếu m = 1, thay vào hệ phơng trình ta có: hệ phơng trình này vô nghiệm vì +) Nếu m = -1, thay vào hệ phơng trình ta có: hệ này cũng vô nghiệm vì - Trờng hợp 2: m2 1 m Hệ phơng trình Vậy với m thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất (x; y ) = Tóm lại: Nếu m = thì hệ phơng trình vô nghiệm Nếu m thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất (x; y ) = c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 Với m = - 1 (loại) và m = 0 (nhận) Vậy với m = 0 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Xét hệ phơng trình Từ phơng trình Thay vào phơng trình ta có phơng trình , đây là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Bài 21 Cho hệ phơng trình: có nghiệm duy nhất (x ; y) a) Giải hệ phơng trình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1 d) Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên. (Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2004 – 2005) Giải: a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y) = b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Xét hệ phơng trình Từ phơng trình . Thay vào phơng trình ta có phơng trình: Vậy là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải hệ phơng trình theo tham số m, ta có hpt - Xét hai trờng hợp: *) Trờng hợp 1: m , hệ phơng trình trên ` Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = () *) Trờng hợp 2: m = 0 hoặc m = 2 - Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là: (x +) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1 m = 1 Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1 d) Thay ; vào biểu thức A = ta đợc biểu thức A = = = = = = = Để biểu thức A = nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên (m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) = Kết hợp với điều kiện ; ta thấy các giá trị m trên đều thỏa mãn Vậy với m thì giá trị của biểu thức nhận giá trị nguyên. Bài 22 Cho hệ phơng trình : Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (- 4 ; ) Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm duy nhất hay - Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với mọi m - Vậy 6m2 + 3 0 với mọi m. Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Rút m từ (1) ta đợc m = thay vào (2) ta có: -x + 3. = 4 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0. Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. Bài 23 Cho hệ phơng trình : Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. Hớng dẫn : Rút m từ (1) ta đợc: . Thay vào (2) ta có: . Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. Bài 24 Cho hợ̀ phương trình õ̉n x, y sau: Xỏc định giỏ trị của m đờ̉ hợ̀ có nghiợ̀m duy nhṍt Giả sử (x ; y) là nghiợ̀m duy nhṍt của hợ̀. Tìm hợ̀ thức liờn hợ̀ giữa x, y đụ̣c lọ̃p với m. Tìm m ẻ Z đờ̉ x, y ẻ Z Chứng tỏ (x ; y) luụn nằm trờn mụ̣t đường thẳng cụ́ định (với (x ; y) là nghiệm của hệ phương trỡnh) Hướng dẫn: Với m ± 1 thì hợ̀ phương trỡnh có nghiợ̀m duy nhṍt b/ Rỳt m từ phương trỡnh thứ nhất và thế vào phương trỡnh thứ hai ta được hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đú là hợ̀ thức đụ̣c lọ̃p với m c/ . Vỡ x, y ẻ Z m = 0 ị (x = 1; y = 0) m = - 2 ị (x = 3; y = 2) d/ Từ (4) và (5) suy ra x – y = 1 ị y = x – 1 Vậy (x ; y) luụn nằm trờn mụ̣t đường thẳng cụ́ định y = x – 1 Bài 25 : Cho hai hệ phơng trình a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phơng trình tơng đơng b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phơng trình không tơng đơng Hớng dẫn: a) Thay a = 2 vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm của chúng : S = S’ = => Hai hệ phơng trình tơng đơng b) Thay a = 5 vào hệ (I) => S = Thay a = 5 vào hệ (II), hệ có nghiệm duy nhất => S’ = Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phơng trình trên không tơng đơng Bài 26: Tìm giá trị của m, n để hai hệ phơng trình sau tơng đơng Hớng dẫn: Trớc hết giải hệ (I) đợc kết quả nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1) Hai hệ phơng trình trên tơng đơng khi hệ (II) cũng có nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1). Để tìm m, n ta thay x = 3 ; y = 1 vào hệ (II) Kết quả m =