Toán cao cấp A2 Đại học

  =       . §2. ðỊNH THỨC 2.1. ðịnh nghĩa a) Ma trận con cấp k • Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ . Ma trận vuông cấp k ñược lập từ các phần tử nằm trên giao k dòng và k cột của A ñược gọi là ma trận con cấp k của A. • Ma trận Mij cấp n–1 thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi dòng thứ i và cột thứ j là ma trận con của A ứng với phần tử aij. b) ðịnh thức • ðịnh thức cấp n của ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ký hiệu detA hay A , là 1 số thực ñược ñịnh nghĩa: 1) A cấp 1: 11 11( ) detA a A a= ⇒ = ; 2) A cấp 2: 11 12 11 22 12 21 21 22 det a a A A a a a a a a   = ⇒ = −    ; 3) A cấp n: det A = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n, trong ñó Aij = (–1)i+jdet(Mij) là phần bù ñại số của phần tử aij. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 4 Chú ý • 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + 31 22 13 12 21 33 23 32 11a a a a a a a a a− − − (quy tắc 6 ñường chéo). ðặc biệt. det In = 1, det 0n = 0. VD 1. Tính các ñịnh thức của: 3 2 1 4 A −  =     , 1 2 1 3 2 1 2 1 1 B −    = −      và 1 0 2 0 4 1 2 1 3 1 0 2 2 3 3 5 C     −  =       . 2.2. Các tính chất cơ bản của ñịnh thức • Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ta có các tính chất cơ bản sau: Tính chất 1 ( )det detTA A= . VD 2. 1 3 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 − − = − − ; 1 3 2 1 0 0 0 2 1 3 2 0 0 0 1 2 1 1 − = − . Tính chất 2. Hoán vị hai dòng (cột) cho nhau thì ñịnh thức ñổi dấu. VD 3. 1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 1 2 − − − = − − = − − . Hệ quả • ðịnh thức có ít nhất 2 dòng (cột) giống nhau thì bằng 0. VD 4. 3 3 1 2 2 1 0 1 1 7 = ; 2 3 2 5 2 5 1 0 1 x x x y y y y = ; 2 5 2 5 2 5 1 1 0 1 y y y y y y = . Tính chất 3. Nhân 1 dòng (cột) với số thực λ thì ñịnh thức tăng lên λ lần. VD 5. 3 0 3 1 0 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 7 3 1 7 − − − = − ; 3 3 3 3 3 3 1 1 ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x y y x y y z z x z z + + = + + . Hệ quả 1) ðịnh thức có ít nhất 1 dòng (cột) bằng 0 thì bằng 0. 2) ðịnh thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ với nhau thì ñịnh thức bằng 0. Tính chất 4 • Nếu ñịnh thức có 1 dòng (cột) mà mỗi phần tử là tổng của 2 số hạng thì có thể tách thành tổng 2 ñịnh thức. VD 6. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x y y x y y y y x z z x z z z z + + = + − − . Tính chất 5 • ðịnh thức sẽ không ñổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) với λ lần dòng (cột) khác. VD 7. Tính các ñịnh thức: 1 2 3 1 2 1 2 3 4 − − ; 1 1 1 1 1 1 x x x . Chú ý • Phép biến ñổi 1 2 121 5 0 7 2 3 1 3 d d d→ − − = là sai do dòng 1 ñã nhân với số –2. 2.3. ðịnh lý Laplace • Cho ma trận vuông ( ) ( )ij nnA a M= ∈ ℝ , ta có các khai triển det A sau: a) Khai triển theo dòng thứ i 1 1 2 2 1 det ... , ( 1) det( ) i i i i in in n i j ij ij ij ij j A a A a A a A a A A M+ = = + + + = = −∑ . b) Khai triển theo cột thứ j 1 1 2 2 1 det ... , ( 1) det( ) j j j j nj nj n i j ij ij ij ij i A a A a A a A a A A M+ = = + + + = = −∑ . VD 8. Tính ñịnh thức 1 0 0 2 2 1 1 2 1 2 2 3 3 0 2 1 bằng cách khai triển theo dòng 1; cột 2. VD 9. Áp dụng tính chất và ñịnh lý Laplace, tính ñịnh thức: 1 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 3 3 2 1 − − . Các kết quả ñặc biệt: 1) 11 12 1 11 22 2 21 22 11 22 1 2 ... 0 ... 0 0 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ... n n nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a = = (dạng tam giác). ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 5 2) det(AB) = detA.detB (ñịnh thức của tích hai ma trận). 3) det .det 0 n A B A C C = , với , , ( ) n A B C M∈ ℝ (ñịnh thức chia khối). VD 10. a) 1 2 3 4 0 2 7 19 1 2 3 0 0 0 3 0 0 2 0 1 0 0 0 1 − = − − − ; b) 1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4 2 0 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 − −        =        − −    ; c) 1 1 1 2 1 4 3 1 4 2 0 3 2 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 T − −            =            −      1 1 1 2 1 4 3 1 4 2 0 3 2 1 3 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 − − = − . 2.4. Ứng dụng ñịnh thức tìm ma trận nghịch ñảo a) ðịnh lý • Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0. b) Thuật toán tìm A–1 • Bước 1 Tính det A. Nếu det A = 0 thì kết luận A không khả nghịch, ngược lại làm tiếp bước 2. • Bước 2 Lập ma trận ( ) ( )TTij ijn nA A A⇒ = (ma trận phụ hợp của A). • Bước 3. Ma trận nghịch ñảo là: 1 1 . det T A A A − = . VD 11. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của: 1 2 1 1 1 2 3 5 4 A     =       và 1 2 1 0 1 1 1 2 3 B     =       . Nhận xét • Nếu 0ac bd− ≠ thì: 1 1a b c b d c d aac bd − −    =    −−    . 2.5. Hạng của ma trận a) ðịnh thức con cấp k • Cho ma trận ( )ij m nA a ×= . ðịnh thức của ma trận con cấp k của A ñược gọi là ñịnh thức con cấp k của A. ðịnh lý • Nếu trong ma trận A tất cả các ñịnh thức con cấp k ñều bằng 0 thì các ñịnh thức con cấp k + 1 cũng bằng 0. b) Hạng của ma trận • Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của ñịnh thức con khác 0 của A, ký hiệu r(A). Ta có: 1 ( ) min{ , }r A m n≤ ≤ . • Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r(A) = 0. c) Phương pháp tìm hạng của ma trận ðịnh lý • Hạng của ma trận bậc thang (dòng) bằng số dòng khác 0 của ma trận ñó. • Cho A là ma vuông cấp n, ( ) det 0r A n A= ⇔ ≠ . Phương pháp • Bước 1. Dùng PBðSC dòng ñưa ma trận A về bậc thang. • Bước 2. Số dòng khác 0 của A sau biến ñổi là r(A). VD 12. Tìm hạng của ma trận 2 1 1 3 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 4 A −    −  =     − −  . VD 13. Tìm hạng của ma trận 1 3 4 2 2 5 1 4 3 8 5 6 A −    = −    −  . VD 14. Tùy theo giá trị m, tìm hạng của ma trận 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 m A m − −    − − −  =     −  . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 6 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. ðịnh nghĩa • Hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn và m phương trình có dạng: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ................................................. ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =  + + + =    + + + = (1). ðặt ( ) 11 1 1 ... ... ... ... ... n ij m n m mn a a A a a a ×     = =      (ma trận hệ số), ( ) 1 1... ... T m m b B b b b     = =      (ma trận cột tự do) và ( ) 1 1... ... T n n x X x x x     = =      là ma trận cột ẩn. Khi ñó, hệ (1) trở thành AX B= . • Bộ số ( )1 ... Tnα α α= ñược gọi là nghiệm của (1) nếu A Bα = . VD 1. Cho hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 2 3 2 4 4 2 4 3 2 7 5 x x x x x x x x x − + + =  + + = −  − = ðưa hệ về dạng ma trận: 1 2 3 4 1 1 2 4 4 2 1 4 0 3 0 2 7 0 5 x x x x   −          = −        −        . Khi ñó, (1; –1; –1; 1) là 1 nghiệm của hệ. 3.2. ðịnh lý Crocneker – Capelli • Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Xét ma trận mở rộng ( ) 11 12 1 1 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n m m mn m a a a b A A B a a a b     = =       . Hệ có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( )r A r A r= = . Khi ñó: 1) r = n: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất; 2) r < n: Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm phụ thuộc vào n – r tham số. 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận nghịch ñảo • Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có 1AX B X A B−= ⇔ = . VD 2. Giải hệ phương trình 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − =  + =  + + = − . b) Phương pháp ñịnh thức (Cramer) • Cho hệ pttt AX = B, A là ma trận vuông cấp n. ðặt 11 1 1 1 ... ... det ... ... ... ... ... ... ... j n n nj nn a a a A a a a ∆ = = , 11 1 1 ... ... ... ... ... ... ... , 1, ... ... j n j n j nn a b a j n a b a ∆ = = (thay cột j trong A bởi cột tự do). Khi ñó, ta có các trường hợp: 1) Nếu 0∆ ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất , 1,jjx j n ∆ = ∀ = ∆ . 2) Nếu 0, 1,j j n∆ = ∆ = ∀ = thì hệ có vô số nghiệm (thay tham số vào hệ và tính trực tiếp). 3) Nếu 0∆ = và 0, 1,j j n∃∆ ≠ = thì hệ vô nghiệm. VD 3. Giải hệ phương trình sau bằng ñịnh thức: 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − =  + =  + + = − . VD 4. Tùy theo tham số m, giải và biện luận hệ phương trình: 2 1mx y z x my z m x y mz m  + + =  + + =  + + = . c) Phương pháp Gauss • Bước 1. ðưa ma trận mở rộng ( )A B về dạng bậc thang bởi PBðSC trên dòng. • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. Chú ý Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: 1) Có 2 dòng tỉ lệ thì xóa ñi 1 dòng; 2) Có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng ñó; 3) Có 1 dòng dạng ( )0 ... 0 , 0b b ≠ thì kết luận hệ vô nghiệm. 4) Gặp hệ giải ngay ñược thì không cần phải ñưa ( )A B về bậc thang. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 7 VD 5. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x + + − − = −  + + − − = −  + + − − = − . VD 6. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 1 2 7 = 1 x x x x x x x x x x x − + − =  + + − =  + − − . 3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất a) ðịnh nghĩa • Hệ pttt thuần nhất là hệ pttt có dạng: 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ............................................. ... 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x AX a x a x a x θ + + + =  + + + = ⇔ =   + + + = (2). Nhận xét • Do ( ) ( )r A r A= nên hệ pttt thuần nhất luôn có nghiệm. Nghiệm (0; 0;; 0) ñược gọi là nghiệm tầm thường. b) ðịnh lý • Hệ (2) chỉ có nghiệm tầm thường ( ) det 0r A n A⇔ = ⇔ ≠ . c) Liên hệ với hệ pttt tổng quát ðịnh lý • Xét hệ pttt tổng quát AX = B (1) và hệ pttt thuần nhất AX θ= (2). Khi ñó: 1) Hiệu hai nghiệm bất kỳ của (1) là nghiệm của (2); 2) Tổng 1 nghiệm bất kỳ của (1) và 1 nghiệm bất kỳ của (2) là nghiệm của (1). Chương 2. KHÔNG GIAN VECTOR §1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR 1.1. ðịnh nghĩa • Không gian vector V trên ℝ là cặp (V, ℝ ) trang bị hai phép toán ( , ) ( , ) V V V V V x y x y y xλ λ × → × → + ℝ ֏ ֏ thỏa 8 tính chất sau: 1) x + y = y + x; 2) (x + y) + z = x + (y + z); 3) ! :V x x xθ θ θ∃ ∈ + = + = ; 4) ( ) : ( ) ( )x V x x x x θ∃ − ∈ − + = + − = ; 5) 1 2 1 2( ) ( )x xλ λ λ λ= ; 6) ( )x y x yλ λ λ+ = + ; 7) 1 2 1 2( )x x xλ λ λ λ+ = + ; 8) 1.x = x. VD 1. Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là không gian vector. Tập { }( )nV A M= ∈ ℝ các ma trận vuông cấp n là kgvt. { }1 2( , ,..., ) , 1,n iV u x x x x i n= = ∈ ∀ ∈ℝ là kgvt Euclide nℝ . 1.2. Không gian con của kgvt • Cho kgvt V, tập W V⊂ là kgvt con của V nếu (W, ℝ ) cũng là một kgvt. • Cho kgvt V, tập W V⊂ là kgvt con của V nếu: ( ) , , , x y W x y Wλ λ+ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ℝ . VD 2. Tập { }W θ= là kgvt con của mọi kgvt V. Trong nℝ , tập { }1 1( ,0,...,0)W u x x= = ∈ℝ là kgvt con. §2. SỰ ðỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. ðịnh nghĩa Trong kgvt V, cho n vector ui (i = 1, 2,, n). • Tổng 1 , n i i i i uλ λ = ∈∑ ℝ ñược gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector ui. • Hệ n vector {u1, u2,, un} ñược gọi là ñộc lập tuyến tính nếu có 1 n i i i uλ θ = =∑ thì 0, 1,i i nλ = ∀ = . • Hệ n vector {u1, u2,, un} không là ñộc lập tuyến tính thì ñược gọi là phụ thuộc tuyến tính. VD 1. Trong 2ℝ , hệ {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là ñltt. Trong nℝ , hệ {ui = (0; 0;; 1; 0;; 0)} (vị trí thứ i là 1) là ñltt. Trong 3ℝ , hệ {u1=(–1;3;2), u2=(2;0;1), u3=(0;6;5)} là pttt. ðịnh lý • Hệ n vector phụ thuộc tuyến tính ⇔ ∃ 1 vector là tổ hợp tuyến tính của n – 1 vector còn lại. VD 2. Nếu x1 = 2x2 – 3x3 thì hệ {x1, x2, x3} là phụ thuộc tuyến tính. Hệ quả • Hệ có 1 vector không thì phụ thuộc tuyến tính. • Nếu có 1 bộ phận của hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ phụ thuộc tuyến tính. 2.2. Hệ vector trong nℝ ðịnh nghĩa • Trong nℝ cho m vector 1 2( , ,..., ), 1,i i i inu a a a i m= = . Ta gọi ( )ij m nA a ×= là ma trận dòng của m vector ui. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 8 §3. CƠ SỞ – SỐ CHIỀU – TỌA ðỘ ðịnh lý • Trong nℝ , hệ { }1 2, ,..., mu u u ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi r(A) = m (bằng số phần tử của hệ). • Trong nℝ , hệ { }1 2, ,..., mu u u phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r(A) < m. VD 3. Xét sự ñltt hay pttt của các hệ: B1 = {(–1;2;0), (1;5;3), (2;3;3)}, B2 = {(–1; 2; 0), (2; 1; 1)}. Hệ quả • Trong nℝ , hệ có nhiều hơn n vector thì phụ thuộc tuyến tính. • Trong nℝ , hệ n vector ñộc lập tuyến tính det 0A⇔ ≠ . 3.1. Cơ sở của kgvt ðịnh nghĩa • Trong kgvt V, hệ B = {u1, u2,, un} ñược gọi là một cơ sở của V nếu hệ B ñltt và mọi vector của V ñều biểu diễn tuyến tính qua B. VD 1. – Trong nℝ , hệ E = {e1 = (1; 0;; 0), e2 = (0; 1;; 0), , en = (0;; 0; 1)} là cơ sở chính tắc. – Trong 2ℝ , hệ B = {u1 = (1;–1), u2 = (2; 3)} là cơ sở. 3.2. Số chiều của kgvt ðịnh nghĩa • Kgvt V ñược gọi là có n chiều, ký hiệu dimV = n, nếu trong V có ít nhất 1 hệ gồm n vector ñltt và mọi hệ gồm n+1 vector ñều pttt. ðịnh lý • dimV = n khi và chỉ khi trong V tồn tại 1 cơ sở gồm n vector. Hệ quả • Trong nℝ , mọi hệ gồm n vector ñltt ñều là cơ sở. 3.3. Tọa ñộ a) ðịnh nghĩa • Trong kgvt V cho cơ sở B = {u1, u2,, un}. Khi ñó, mỗi x V∈ có biểu diễn tuyến tính duy nhất x = x1u1++xnun. Ta nói x có tọa ñộ ñối với B là (x1,, xn). Ký hiệu [ ] 1 ...B n x x x     =       . • ðặc biệt, tọa ñộ của vector x ñối với cơ sở chính tắc E là [x]E = [x] (tọa ñộ cột thông thường của x). VD 2. Trong 2ℝ cho cơ sở B = {u1 = (2;–1), u2 = (1; 1)} và x = (3;–5). Tìm [x]B. b) ðổi cơ sở • Ma trận chuyển cơ sở – Trong kgvt V cho 2 cơ sở B1 = {u1, u2,, un} và B2 = {v1, v2,, vn}. Ma trận [ ] [ ] [ ]( ) 1 1 11 2 ... nB B B v v v ñược gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2. Ký hiệu 1 2B BP → . – ðặc biệt, nếu E là cơ sở chính tắc thì: [ ][ ] [ ]( ) 1 1 2 ...E B nP u u u→ = . • Công thức ñổi tọa ñộ [ ] [ ] 1 21 2B BB B x P x→= . VD 3. Trong 2ℝ cho 2 cơ sở B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0;–1)}, B2 = {v1 = (2;–1), v2 = (1; 1)} và [ ] 2 1 2B x   =     . a) Tìm 1 2B B P → ; b) Tìm [ ] 1Bx . ðịnh lý Trong kgvt nℝ cho 3 cơ sở B1, B2 và B3. Khi ñó: 1) i iB B n P I→ = (i = 1, 2, 3); 2) 1 3 1 2 2 3 .B B B B B BP P P→ → →= ; 3) ( )1 2 2 1 1B B B BP P −→ →= . Hệ quả ( )1 2 1 2 1 21B B B E E B E B E BP P P P P−→ → → → →= = . VD 4. Giải lại VD 3. 3.4. Không gian con sinh bởi 1 hệ vector • Trong kgvt V cho hệ m vector S = {u1,, um}. Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của S ñược gọi là không gian con sinh bởi S trên ℝ . Ký hiệu spanS hoặc . • Trong kgvt nℝ , ta có: { }1 2 1 1 2 2, ,..., : ... ,nm m m iu u u x x u u uλ λ λ λ= ∈ = + + + ∈ℝ ℝ . Khi ñó: 1) dim = r(S) (hạng ma trận dòng m vector của S); 2) Nếu dim = r thì mọi hệ con gồm r vector ñltt của S ñều là cơ sở của spanS. VD 5. Trong 4ℝ cho hệ vector S = {u1 =(–2; 4;–2;–4), u2 = (2;–5;–3; 1), u3 = (–1; 3; 4; 1)}. Tìm 1 cơ sở và dimspanS. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 9 §4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4.1. ðịnh nghĩa • Ánh xạ : n mf →ℝ ℝ thỏa ( ) ( ) ( ) , ,( ) ( ) n f x y f x f y x yf x f x λλ λ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ = ℝ ℝ ñược gọi là ánh xạ tuyến tính. • Ánh xạ : n nf →ℝ ℝ thỏa ( ) ( ) ( ) , ,( ) ( ) n f x y f x f y x yf x f x λλ λ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ = ℝ ℝ ñược gọi là phép biến ñổi tuyến tính. VD 1. f(x1; x2; x3) = (x1–x2 +x3; 2x1 +3x2) là AXTT từ 3 2→ℝ ℝ . f(x1; x2) = (x1 – x2; 2x1 + 3x2) là PBðTT từ 2 2→ℝ ℝ . f(x1; x2) = (x1 – x2; 2 + 3x2) không là PBðTT từ 2 2→ℝ ℝ . Chú ý ðiều kiện ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x f y f x f xλ λ + = +  = ( ) ( ) ( ) , ,nf x y f x f y x yλ λ λ⇔ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℝ . VD 2. Các PBðTT thường gặp trong mặt phẳng: 1) Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox, Oy: f(x; y) = (x; 0), f(x; y) = (0; y). 2) Phép ñối xứng qua Ox, Oy: f(x; y) = (x;–y), f(x; y) = (–x; y). 3) Phép quay góc φ quanh gốc tọa ñộ O: f(x; y) = (xcosφ – ysinφ; xsinφ + ycosφ). 4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính a) ðịnh nghĩa • Cho AXTT : n mf →ℝ ℝ và hai cơ sở lần lượt là B1 = {u1, u2,, un} và B2 = {v1, v2,, vm}. Ma trận cấp m n× [ ] [ ] [ ]( ) 2 2 21 2 ( ) ( ) ... ( ) nB B B f u f u f u ñược gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2. Ký hiệu 2 1 [ ]BBf hoặc A. Cụ thể, nếu ( ) ( ) ( ) 1 11 1 21 2 31 3 1 2 12 1 22 2 32 3 2 1 1 2 2 3 3 ... ... .................................................................... ... m m m m n n n n mn m f u a v a v a v a v f u a v a v a v a v f u a v a v a v a v = + + + +  = + + + +    = + + + + thì 2 1 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ...[ ] ... ... ... ... ... n nB B m m mn a a a a a af a a a       =       . • Cho PBðTT : n nf →ℝ ℝ và cơ sở B = {u1, u2,, un}. Ma trận vuông cấp n [ ] [ ] [ ]( )1 2( ) ( ) ... ( )nB B Bf u f u f u ñược gọi là ma trận của PBðTT f trong cơ sở B. Ký hiệu [ ]Bf hoặc [f] hoặc A. Chú ý • Nếu A là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2 thì 1 2 1 2( , ,..., ) ( ... )Tn nf x x x A x x x= . VD 3. a) Cho AXTT f(x, y, z, t) = (3x + y – z; x – 2y + t; y + 3z – 2t). Tìm 3 4 [ ]EEf . b) Cho AXTT f(x, y) = (3x; x – 2y; –5y). Tìm 3 2 [ ]EEf . c) Cho PBðTT f(x, y, z) = (3x + y – z; x – 2y; y + 3z). Tìm 3 [ ]Ef . VD 4. Cho AXTT 2 3:f →ℝ ℝ có ma trận của f trong hai cơ sở chính tắc E2 và E3 là 1 3 0 2 4 3 A −    =       . Tìm ma trận f trong hai cơ sở B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} và B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}. b) Ma trận ñồng dạng ðịnh nghĩa • Hai ma trận vuông A, B cấp n ñược gọi là ñồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P–1AP. ðịnh lý • Nếu AXTT : n mf →ℝ ℝ có ma trận trong các cặp cơ sở ( )/1 1,B B , ( )/2 2,B B tương ứng là A1, A2 và 1 2B BP P →= , / / 1 2B B P P → ′ = thì ( ) 12 1A P A P−′= . • ðặc biệt, nếu PBðTT : n nf →ℝ ℝ có ma trận trong hai cơ sở B1, B2 lần lượt là A, B và 1 2B BP P →= thì B = P –1AP. VD 5. Cho PBðTT f(x, y) = (x + y; x – 2y). Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc E và trong B={u1=(2;1),u2=(1;–1)}. VD 6. Cho AXTT f(x, y, z) = (x + y – z; x – y + z). Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở: 1 2 3{ (1;1;0), (0;1;1), (1;0;1)}B u u u= = = = và / /1 2{ (2;1), (1;1)}B u u′ = = = . c) Thuật toán tìm ma trận của AXTT • Cho AXTT : n mf →ℝ ℝ và hai cơ sở lần lượt là B1 = {u1, u2,, un} và B2 = {v1, v2,, vm}. – Ký hiệu: [ ][ ] [ ]( )1 2 ... mS v v v= (ma trận cột các vector của B2), [ ][ ] [ ]( )1 2( ) ( ) ... ( )nQ f u f u f u= . – Dùng PBðSC dòng ñưa ma trận ( ) [ ]( )2 1 B B S Q I f→ . VD 7. Tìm lại các ma trận f trong VD 4 và VD 6. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 10 §5. CHÉO HÓA MA TRẬN 5.1. Giá trị riêng, vector riêng của PBðTT a) ðịnh nghĩa Cho PBðTT : n nf →ℝ ℝ có ma trận trong cơ sở B = {u1, u2,, un} là A. • Số λ ∈ℝ ñược gọi là giá trị riêng của A (hay f) nếu: , :nx x Ax xθ λ∃ ∈ ≠ =ℝ . • Vector x ñược gọi là vector riêng của A (hay f) ứng với giá trị riêng λ . • ða thức PA(λ) = det(A – λI) ñược gọi là ña thức ñặc trưng của A (hay f) và λ là nghiệm của pt ñặc trưng PA(λ) = 0. Cách tìm giá trị riêng và vector riêng: • Bước 1. Giải phương trình ñặc trưng 0A Iλ− = ñể tìm giá trị riêng λ. • Bước 2. Giải hệ phương trình ( )A I xλ θ− = , nghiệm không tầm thường là vector riêng. VD 1. Cho 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A     =       . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. VD 2. Cho 1 3 3 3 5 3 3 3 1 B     = − − −      . Tìm giá trị riêng và vector riêng của B. b) Tính chất • Các vector riêng ứng với giá trị riêng λ cùng với vector không tạo thành 1 không gian vector con riêng E(λ) của n ℝ . • Các vector riêng ứng với giá trị riêng khác nhau thì ñộc lập tuyến tính. 5.2. Chéo hóa ma trận a) ðịnh nghĩa • Cho PBðTT : n nf →ℝ ℝ , nếu có một cơ sở sao cho ma trận của f là ma trận ñường chéo thì ta nói f chéo hóa ñược. • Ma trận vuông A là chéo hóa ñược nếu nó ñồng dạng với ma trận ñường chéo D, nghĩa là P–1AP = D. Khi ñó, ta nói P làm chéo hóa A. VD 3. Cho 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A     =       , xét ma trận: 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 P P−         = ⇒ =        −    . Khi ñó: 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 P AP A P P− −         = ⇒ =            . b) ðiều kiện chéo hóa ñược ðịnh lý • Nếu A có n giá trị riêng ñôi phân biệt thì A chéo hóa ñược. • A chéo hóa ñược khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả bội và số chiều của tất cả không gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương ứng. c) Thuật toán chéo hóa ma trận • Bước 1. Giải phương trình ñặc trưng ñể tìm các giá trị riêng của A. 1) Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo hóa ñược. 2) Giả sử A có k giá trị riêng phân biệt λ1, λ2,, λk với số bội tương ứng n1, n2,, nk. Khi ñó: a) n1 + n2 ++ nk < n thì A không chéo hóa ñược. b) n1 + n2 ++ nk = n thì ta làm tiếp bước 2. • Bước 2. Với mỗi λi tính r(A – λiI) = ri. Khi ñó dimE(λi) = n – ri. 1) Nếu có một λi mà dimE(λi) < ni thì A không chéo hóa ñược. 2) Nếu dimE(λi) = ni với mọi λi thì kết luận A chéo hóa ñược. Ta làm tiếp bước 3. • Bước 3. Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của E(λi). Khi ñó, P–1AP = D với D là ma trận ñường chéo có các phần tử trên ñường chéo chính lần lượt là λi (xuất hiện liên tiếp ni lần). VD 4. Chéo hóa các ma trận: 3 0 8 1 A  =   −  , 1 0 6 1 B  =   −  . VD 5. Chéo hóa các ma trận : 0 0 0 0 1 0 1 0 1 A     =       , 1 3 3 3 5 3 3 3 1 B     = − − −      . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH Trang 11 Chương 3. DẠNG TOÀN PHƯƠNG §1. KHÁI NIỆM DẠNG TOÀN PHƯƠNG 1.1. Dạng toàn phương tổng quát ðịnh nghĩa • Hàm số n biến số x = (x1, x2,, xn) : nQ →ℝ ℝ cho bởi biểu thức [ ] [ ] 1 1 ( ) n n T ij i j i j Q x x A x a x x = = = =∑∑ (A là ma trận ñối xứng) ñược gọi là dạng toàn phương trong nℝ . • Ma trận A và r(A) ñược gọi là ma trận và hạng của dạng toàn phương Q. VD 1. Tìm dạng toàn phương Q(x) hai biến x1, x2. Biết ma trận của Q(x) là 1 1 1 2 A −  =   −  . VD 2. Cho dạng toàn phương 3 biến 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3( ) 2 3 6Q x x x x x x x x= + − − + . Tìm ma trận A. 1.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phương ðịnh nghĩa • Dạng chính tắc là dạng toàn phương trong nℝ chỉ chứa bình phương của các biến 2 1 ( ) n ii i i Q x a x = =∑ . • Ma trận A của dạng chính tắc là ma trận ñường chéo. VD 3. Tìm dạng chính tắc Q(x) hai biến x1, x2. Biết ma trận của Q(x) là 1 0 0 2 A  =   −  . VD 4. Cho dạng chính tắc 3 biến 2 2 21 2 3( ) 5 3Q x x x x= − − . Tìm ma trận A. 1.3. Dạng toàn phương xác ñịnh dấu a) ðịnh nghĩa • Dạng toàn phương Q(x) là xác ñịnh dương nếu: ( ) 0, ( )nQ x x x θ> ∀ ∈ ≠ℝ . • Dạng toàn phương Q(x) là xác ñịnh âm nếu: ( ) 0, ( )nQ x x x θ< ∀ ∈ ≠ℝ . • Dạng toàn phương Q(x) là nửa xác ñịnh dương (âm) nếu: ( ) 0, ( ( ) 0, )n nQ x x Q x x≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ℝ ℝ . • Dạng toàn phương Q(x) là không xác ñịnh nếu nó nhận cả giá trị dương lẫn âm. b) các tiêu chuẩn xác ñịnh dấu ðịnh lý 1 • Dạng toàn phương Q(x) của nℝ xác ñịnh dương khi và chỉ khi tất cả các hệ số dạng chính tắc của nó ñều dương. • Dạng toàn phương Q(x) của nℝ xác ñịnh âm khi và chỉ khi tất cả các hệ số dạng chính tắc của nó ñều âm. ðịnh lý 2 (Sylvester) Cho ma trận vuông cấp n ( )ij nA a= . ðịnh thức: 11 1 1 ... ... ... ... ... k k k kk a a D a a = (1 )k n≤ ≤ ñược gọi là ñịnh thức con chính của A (A có n ñịnh thức con chính). • Dạng toàn phương Q(x) của nℝ xác ñịnh dương khi và chỉ khi tất cả các ñịnh thức con chính Dk > 0. • Dạng toàn phương Q(x) của nℝ xác ñịnh âm khi và chỉ khi các ñịnh thức con chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm. §2. ðƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Phương pháp chung ðổi biến nx ∈ℝ bằng biến [ ] [ ] [ ] [ ]1:ny x P y y P x−∈ = ⇔ =ℝ (P là ma trận vuông không suy biến, det 0P ≠ ) sao cho D = PTAP có dạng chéo. Khi ñó: [ ] [ ] [ ] [ ]( ) T TQ x x A x y D y= = (dạng chính tắc theo biến y). 2.1. Thuật toán Lagrange Cho dạng toàn phương 2 1 1 1 1 ( ) 2 n n n ij i j ii i ij i j i j i i j n Q x a