Toán cao cấp A3 Đại học

2 2 1 3 1 0 1 9 9 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy= +∫ ∫ ∫ ∫ . 1.4.2. Phương pháp ñổi biến a) Công thức ñổi biến tổng quát ðịnh lý. Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số có các ñạo hàm riêng liên tục trên miền ñóng giới nội Duv trong mp Ouv. Gọi {( , ) : ( , ), ( , ), ( , ) } xy uvD x y x x u v y y u v u v D= = = ∈ . Nếu hàm f(x, y) khả tích trên Dxy và ñịnh thức Jacobi ( , ) 0( , ) x yJ u v ∂ = ≠ ∂ trong Duv thì: ( , ) ( ( , ), ( , )) xy uvD D f x y dxdy f x u v y u v J dudv=∫∫ ∫∫ . Trong ñó: / / / // / / / ( , ) 1 1 ( , )( , ) ( , ) u v x yu v x y x xx yJ u vu v u uy y x y v v ∂ = = = =∂∂ ∂ . VD 4. Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v). Tính tích phân của hàm 1( , ) 1 4 4 f x y x y = + + trên miền biến hình Dxy = g(Duv). VD 5. Cho miền Duv là phần tư hình tròn ñơn vị trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv). Tính tích phân của hàm 2 2 1( , )f x y x y = + trên miền biến hình Dxy. VD 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn Parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2. b) ðổi biến trong tọa ñộ cực • ðổi biến: cos sin x r y r ϕ ϕ =  = , với 0, 0 2r ϕ pi≥ ≤ ≤ hoặc pi ϕ pi− ≤ ≤ . Khi ñó, miền Dxy trở thành: 1 2 1 2{( , ) : , ( ) ( )}rD r r r rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= ≤ ≤ ≤ ≤ và / / / / cos sin( , ) sin cos( , ) r r x x rx yJ r y y rr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ −∂ = = = = ∂ . Vậy ta có: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) xy rD D r r f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ . Chú ý 1) ðổi biến trong tọa ñộ cực thường dùng khi biên D là ñường tròn hoặc elip. 2) ðể tìm 1 2( ), ( )r rϕ ϕ ta thay cos sin x r y r ϕ ϕ =  = vào phương trình của biên D. 3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O cắt biên D không quá 1 ñiểm thì: ( )2 0 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕpi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫ ∫ ∫ . 4) Nếu cực O nằm trên biên D thì: 2 1 ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫ ∫ ∫ . 5) Nếu biên D là elip thì ñặt: cos {( , ) : 0 2 , 0 1} sin r x r a D r r y r b ϕ ϕ ϕ ϕ piϕ = ⇒ = ≤ ≤ ≤ ≤ = . VD 7. Biểu diễn tích phân ( , ) D f x y dxdy∫∫ trong tọa ñộ cực. Biết miền D là miền phẳng nằm ngoài (C1): (x – 1)2 + y2 = 1 và nằm trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4. VD 8. Tính diện tích hình ellip: 2 2 2 2 1 x y a b + ≤ . VD 9. Tính tích phân 2 2( )x y D I e dxdy− += ∫∫ với D là hình tròn 2 2 2x y R+ ≤ . VD 10. Tính diện tích miền D giới hạn bởi: y = –x, 2 2 2 23 3x y x y x+ = + − và 0y ≥ . Công thức Walliss 2 2 0 0 ( 1)!! , !! sin cos ( 1)!! . , 2 !! n n n n n xdx xdx n n n pi pi pi −  = =  −  ∫ ∫ leû chaün . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 7 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz • Trong không gian Oxyz, mặt bậc hai là tập hợp tất cả các ñiểm M(x; y; z) có tọa ñộ thỏa phương trình: Ax2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz + L = 0. Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñồng thời bằng 0. • Các dạng chính tắc của mặt bậc hai: 1) 2 2 2 2x y z R+ + = (mặt cầu); 2) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = (mặt elipxoit); 3) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = (hyperboloit 1 tầng); 4) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + − = − (hyperboloit 2 tầng); 5) 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c + − = (nón eliptic); 6) 2 2 2 2 2 x y z a b + = (parabolit eliptic); 7) 2 2 2 2 2 x y z a b − = (parabolit hyperbolic – yên ngựa); 8) 2 2 2 2 1 x y a b + = (mặt trụ eliptic); 9) 2 2 2 2 1 x y a b − = (mặt trụ hyperbolic); 10) 2 2y px= (mặt trụ parabolic). ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 8 §2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1. Bài toán mở ñầu (khối lượng vật thể) • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không ñồng chất, biết mật ñộ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) là ( ) ( , , )P x y zρ ρ ρ= = . Ta chia V tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là ∆Vi (i=1,2,,n). Trong mỗi ∆Vi ta lấy ñiểm Pi(xi; yi; zi) và ñường kính của ∆Vi là di. Khối lượng V xấp xỉ: 1 1 ( ) ( , , ) n n i i i i i i i i m P V x y z Vρ ρ = = ≈ ∆ = ∆∑ ∑ . Nếu tồn tại max 0 1 lim ( , , ) i n i i i id i x y z Vρ → = ∆∑ thì ñó là khối lượng m của vật thể V. 2.2. ðịnh nghĩa • Cho hàm số f(x, y, z) xác ñịnh trong miền ño ñược V của không gian Oxyz. Chia miền V một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là ∆Vi (i=1,2,,n). Trong mỗi ∆Vi ta lấy Pi(xi; yi; zi) tùy ý và lập tổng tích phân 1 : ( , , ) n n i i i i i I f x y z V = = ∆∑ . Nếu max 0 1 lim ( , , ) i n i i i id i I f x y z V → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia V và cách chọn ñiểm Pi thì số thực I ñược gọi là tích phân bội ba của f(x, y, z) trên V. Ký hiệu ( , , ) V I f x y z dV= ∫∫∫ . ðịnh lý. Hàm f(x, y, z) liên tục trong miền bị chặn, ñóng V thì khả tích trong V. • Nếu tồn tại tích phân, ta nói f(x, y, z) khả tích; f(x, y, z) là hàm dưới dấu tích phân; x, y, z là các biến tích phân. Nhận xét 1) Nếu chia V bởi các ñường thẳng song song với các trục tọa ñộ thì ∆Vi = ∆xi.∆yi.∆zi hay dV = dxdydz. Vậy ( , , ) ( , , ) V V I f x y z dV f x y z dxdydz= =∫∫∫ ∫∫∫ . 2) Nếu ( , , ) 0f x y z ≥ trên V thì ( , , ) V I f x y z dxdydz= ∫∫∫ là khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất chiếm thể tích V là f(x, y, z). Nếu f(x, y, z) = 1 thì I là thể tích V. 3) Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép. 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba 2.3.1. ðưa về tích phân lặp a) Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z = z2(x, y), giới hạn dưới bởi z = z1(x, y), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song với trục Oz. Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy. Khi ñó: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) z x y V D z x y z x y D z x y f x y z dxdydz f x y z dz dxdy dxdy f x y z dz   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) y x z x yb V a y x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x y z x yd V c x y z x y f x y z dxdydz dy dx f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz. Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) bởi hai mặt y = y2(x, z) và mặt y = y1(x, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song Oy. Khi ñó: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) y x z V D y x z y x z D y x z f x y z dxdydz f x y z dy dxdz dxdz f x y z dy   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : , z ( ) ( )}D x z a x b x z z x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z x y x zb V a z x y x z f x y z dxdydz dx dz f x y z dy=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : ( ) ( ), e }D x z x z x x z z f= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x z y x zf V e x z y x z f x y z dxdydz dz dx f x y z dy=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 9 c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz. Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) bởi hai mặt x = x2(y, z) và mặt x = x1(y, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có ñường sinh song song Ox. Khi ñó: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z V D x y z x y z D x y z f x y z dxdydz f x y z dx dydz dydz f x y z dx   =       = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : , z ( ) ( )}D y z c y d y z z y= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z y x y zd V c z y x y z f x y z dxdydz dy dz f x y z dx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . • Nếu 1 2{( , ) : ( ) ( ), e }D y z y z y y z z f= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) y z x y zf V e y z x y z f x y z dxdydz dz dy f x y z dx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . ðặc biệt • Nếu {( , , ) : , c , e } [ , ] [ , ] [ , ] D x y z a x b y d z f a b c d e f = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = × × thì: ( , , ) ( , , ) fb d V a c e f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ . VD 1. Tính tích phân 8 V I xyzdxdydz= ∫∫∫ với V = [1, 2] × [–1, 3] × [0, 2]. VD 2. Tính tích phân lặp 2 1 1 2 1 0 (4 ) x I dx dy z dz − = +∫ ∫ ∫ và dựng miền lấy tích phân V. VD 3. Tính tích phân V I ydxdydz= ∫∫∫ với V giới hạn bởi x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa ñộ. 2.3.2. ðổi biến tổng quát • ðặt ( , , ) ( , , ) ( , , ) x x u v w y y u v w z z u v w =  =  = và / / / / / / / / / ( , , ) ( , , ) u v w u v w u v w x x x x y zJ y y y u v w z z z ∂ = = ∂ . Giả sử các hàm x, y, z có ñạo hàm riêng liên tục trong miền ñóng, giới nội ño ñược Vuvw trong không gian Ouvw và 0J ≠ thì: ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )). . uvw V V f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw= ∫∫∫ ∫∫∫ . VD 4. Tính tích phân ( ) V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với : 2V x y z x y z x y z− + + + − + + + − ≤ . VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit 2 2 2 2 2 2 2: x y zV R a b c + + ≤ . 2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ trụ ðặt cos sin x r y r z z ϕ ϕ =  =  = , với 0, 0 2r ϕ pi≥ ≤ ≤ hoặc pi ϕ pi− ≤ ≤ . Ta có: / / / / / / 2 / / / ( , , ) sin( , , ) r r r x x x x y zJ y y y r r z z z ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ∂ = = = ∂ . Khi ñó ta có: ( , , ) ( cos , sin , ). . r zV V f x y z dxdydz f r r z r drd dz ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫∫ ∫∫∫ . VD 6. Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt 2 2 4x y z+ = − , 2 2 2x y+ ≥ và z = 0. VD 7. Tính tích phân 2 2 V I z x y dxdydz= +∫∫∫ với V là miền hình trụ giới hạn bởi: 2 2 2x y y+ = , z = 0 và z = 1. VD 8. Tính tích phân 2 2 2( ) V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với V là miền hình nón giới hạn bởi các mặt: 2 2 2x y z+ = và z = 1. 2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ cầu ðặt sin cos sin sin cos x r y r z r θ ϕ θ ϕ θ =  =  = , với 0, 0 2 , 0r ϕ pi θ pi≥ ≤ ≤ ≤ ≤ hoặc pi ϕ pi− ≤ ≤ . Ta có: / / / / / / / / / cos sin 0 ( , , ) sin cos 0( , , ) 0 0 1 r z r z r z x x x r x y zJ y y y r r r z z z z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − ∂ = = = = ∂ . Khi ñó ta có: 2 ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ). sin . r V V f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ= ∫∫∫ ∫∫∫ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 10 §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI VD 9. Tính tích phân 2 2 2 1 V I dxdydz x y z = + + ∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi các mặt cầu: 2 2 2 1x y z+ + = và 2 2 2 4x y z+ + = . VD 10. Tính tích phân 2 2( ) V I x y dxdydz= +∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 4x y z+ + ≤ và 0z ≥ . 3.1. Diện tích, thể tích (xem nhận xét tích phân bội hai, ba). 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền ñóng • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền ñóng D là: 1 ( , )( ) D f f x y dxdy S D = ∫∫ . VD 1. Tính giá trị trung bình của f(x, y) = xcosxy trong hình chữ nhật 0 x pi≤ ≤ , 0 1y≤ ≤ . • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y, z) trên miền ñóng Ω là: 1 ( , , )( )f f x y z dxdydzV Ω = Ω ∫∫ . VD 2. Tính giá trị trung bình của f(x, y, z) = xyz trong hình lập phương [0, 2] × [0, 2] × [0, 2]. 3.3. Khối lượng • Cho một bản phẳng chiếm miền D ñóng trong Oxy có khối lượng riêng (mật ñộ khối lượng) tại ñiểm M(x, y) thuộc D là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khối lượng của bản phẳng là: ( , ) D m x y dxdyρ= ∫∫ . • Cho một vật thể chiếm miền V ñóng trong Oxyz có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) thuộc V là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khối lượng của vật thể là: ( , , ) V m x y z dxdydzρ= ∫∫∫ . VD 3. Tính khối lượng bản phẳng chiếm miền D giới hạn bởi 2 2 4x y+ ≤ , 0x ≥ và 0y ≥ . Biết khối lượng riêng là hàm ( , )x y xyρ = . 3.4. Momen tĩnh ðịnh nghĩa • Momen tĩnh của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y) trong Oxy ñối với trục Ox, Oy theo thứ tự là: My=0 = my, Mx=0 = mx. • Momen tĩnh của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y, z) trong Oxyz ñối với các mặt phẳng tọa ñộ Oxy, Oyz, Oxz theo thứ tự là: Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my. Công thức tính • Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D là: 0 0( , ) , ( , )y x D D M y x y dxdy M x x y dxdyρ ρ = = = =∫∫ ∫∫ . • Momen tĩnh của vật thể chiếm miền V trong Oxyz có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V là: 0 0 0 ( , , ) , M ( , , ) , M ( , , ) . z V x V y V M z x y z dxdydz x x y z dxdydz y x y z dxdydz ρ ρ ρ = = = = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 3.5. Trọng tâm • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khi ñó, tọa ñộ trọng tâm G của bản phẳng là: ( , ) 1 ( , ) , ( , ) ( , ) 1y ( , ) . ( , ) D G D D D G D D x x y dxdy x x x y dxdy mx y dxdy y x y dxdy y x y dxdy mx y dxdy ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ Khi bản phẳng ñồng chất thì ( , )x yρ là hằng số nên: 1 1 , y( ) ( )G GD D x xdxdy ydxdy S D S D = =∫∫ ∫∫ . • Cho vật thể chiếm thể tích V trong Oxyz có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khi ñó, tọa ñộ trọng tâm G của vật thể là: 1 ( , , ) , 1y ( , , ) , 1 ( , , ) . G V G V G V x x x y z dxdydz m y x y z dxdydz m z z x y z dxdydz m ρ ρ ρ = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Khi vật thể ñồng chất thì ( , , )x y zρ là hằng số nên: 1 , 1y , 1 z . G V G V G V x xdxdydz V ydxdydz V zdxdydz V = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ . VD 4. Tìm tọa ñộ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi 0, 0, 1x y x y≥ ≥ + ≤ . Biết ( , ) 2x y x yρ = + . VD 5. Tìm tọa ñộ trọng tâm của vật thể ñồng chất chiếm thể tích V giới hạn bởi mặt nón 2 2 2z x y= + , 0z ≥ và mặt cầu 2 2 2 1x y z+ + = . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 11 3.4. Momen quán tính ðịnh nghĩa • Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y) ñối với trục Ox, Oy và gốc tọa ñộ O theo thứ tự là: Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2 + y2). • Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y, z) ñối với trục Ox, Oy, Oz và gốc tọa ñộ O theo thứ tự là: Ix = m(y2 + z2), Iy = m(x2 + z2), Iz = m(x2 + y2) và IO = Ix + Iy + Iz = m(x2 + y2 + z2). • Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt tại ñiểm M(x, y, z) ñối với các mặt phẳng tọa ñộ Oxy, Oyz, Oxz thứ tự là: Iz=0 = mz2, Ix=0 = mx2, Iy=0 = my2. Công thức tính • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong mpOxy có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khi ñó: ( ) 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) , ( , ) . x D y D O D I y x y dxdy I x x y dxdy I x y x y dxdy ρ ρ ρ = = = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ • Cho vật thể chiếm miền V trong Oxyz có khối lượng riêng tại ñiểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khi ñó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) x V y V z V O V I y z x y z dxdydz I x z x y z dxdydz I x y x y z dxdydz I x y z x y z dxdydz ρ ρ ρ ρ = + = + = + = + + ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ và 2 0 2 0 2 0 ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) . z V x V y V I z x y z dxdydz I x x y z dxdydz I y x y z dxdydz ρ ρ ρ = = = = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ VD 6. Tính Ix, Iy của hình D giới hạn bởi y2 = 1 – x, x = 0, y = 0. Biết khối lượng riêng là ( , )x y yρ = . VD 7. Tính IO của hình tròn 2 2 2 0x y Rx+ − ≤ . Biết 2 2( , )x y x yρ = + . Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT §1. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI I 1.1. ðịnh nghĩa • Giả sử ñường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương trình tham số ( )x x t= , ( )y y t= với a t b≤ ≤ và f(x, y) là hàm số xác ñịnh trên L. Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các ñiểm chia ứng với 0 1 ... na t t t b= < < < = . Gọi ñộ dài cung thứ i là is∆ . Trên cung thứ i lấy ñiểm ( , )i i iM x y . Tổng 1 ( , ) n n i i i i I f x y s = = ∆∑ ñược gọi là tổng tích phân ñường (loại 1) của hàm f(x, y) trên ñường cong L. Giới hạn 0 1 lim ( , ) i n i i i max s i f x y s ∆ → = ∆∑ tồn tại ñược gọi là tích phân ñường loại 1 của f(x, y) trên ñường cong L. Ký hiệu là ( , ) L f x y ds∫ . Nhận xét 1) Tích phân ñường loại 1 có tất cả các tính chất của tích phân xác ñịnh. 2) Tích phân ñường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của L:   ( , ) ( , ) AB BA f x y ds f x y ds=∫ ∫ . 1.2. Phương pháp tính a) ðường cong L có phương trình tham số • Nếu L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= với a t b≤ ≤ thì: ( ) ( )2 2/ /( , ) ( ( ), ( ))b t t L a f x y ds f x t y t x y dt= +∫ ∫ . • Nếu L trong không gian có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= với a t b≤ ≤ thì: ( ) ( ) ( )2 2 2/ / /( , , ) ( ( ), ( ), ( ))b t t t L a f x y z ds f x t y t z t x y z dt= + +∫ ∫ . b) ðường cong L trong Oxy có phương trình tổng quát • Nếu L có phương trình ( )y y x= với a x b≤ ≤ thì: ( )2/( , ) ( , ( )) 1b x L a f x y ds f x y x y dx= +∫ ∫ . • Nếu L có phương trình ( )x x y= với a y b≤ ≤ thì: ( )2/( , ) ( ( ), ) 1b y L a f x y ds f x y y x dy= +∫ ∫ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 12 ðặc biệt • Nếu L có phương trình y α= (hằng số) với a x b≤ ≤ thì: ( , ) ( , ) b L a f x y ds f x dxα=∫ ∫ . • Nếu L có phương trình x α= (hằng số) với a y b≤ ≤ thì: ( , ) ( , ) b L a f x y ds f y dyα=∫ ∫ . c) ðường cong L trong tọa ñộ cực • Nếu L ñược cho trong tọa ñộ cực ( )r r ϕ= với α ϕ β≤ ≤ thì ta xem ϕ là tham số. Khi ñó, phương trình của L là ( )cosx r ϕ ϕ= , ( ) siny r ϕ ϕ= , α ϕ β≤ ≤ và: ( )22 /( , ) ( ( )cos , ( )sin ) L f x y ds f r r r r d β ϕ α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= +∫ ∫ . VD 1. Tính L zds∫ với L là ñường xoắn ốc trụ tròn xoay có phương trình cosx a t= , siny a t= , z bt= , 0 2t pi≤ ≤ . VD 2. Tính ( ) L x y ds+∫ với L là tam giác có các ñỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1). VD 3. Tính L xyds∫ với L là phần giao tuyến giữa mặt 2 22 2z x y= − − và 2z x= nằm trong góc phần tám thứ nhất từ ñiểm A(0; 1; 0) ñến B(1; 0; 1). 1.3. Ứng dụng 1) ðộ dài cung L là L ds∫ , với f(x, y) = 1 hoặc f(x, y, z) = 1. 2) Nếu dây vật dẫn có hình dạng L và hàm mật ñộ khối lượng ( , )x yρ phụ thuộc vào ñiểm M(x, y) trên L thì khối lượng của dây vật dẫn là ( , ) L m x y dsρ= ∫ . Trọng tâm G của L là: 1 ( , )G L x x x y ds m ρ= ∫ , 1 ( , )G L y y x y ds m ρ= ∫ . 3) Nếu dây vật dẫn có hình dạng L và hàm mật ñộ khối lượng ( , , )x y zρ phụ thuộc vào ñiểm M(x, y, z) trên L thì khối lượng của dây vật dẫn là ( , , ) L m x y z dsρ= ∫ . Trọng tâm G của L là: 1 ( , , )G L x x x y z ds m ρ= ∫ , 1 ( , , )G L y y x y z ds m ρ= ∫ , 1 ( , , )G L z z x y z ds m ρ= ∫ . VD 4. Tính ñộ dài cung tròn 2 2 2 0x y x+ − = nằm trong góc thứ nhất từ A(2; 0) ñến 1 3; 2 2 B       . VD 5. Cho một dây thép dạng nửa ñường tròn trong mpOyz với phương trình 2 2 1y z+ = , 0z ≥ . Biết mật ñộ khối lượng ( , , ) 2x y z zρ = − . Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép. §2. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI II 2.1. Bài toán mở ñầu • Tính công sinh ra do lực ( )F F M=   tác dụng lên chất ñiểm M(x, y) di chuyển dọc theo ñường cong L. Nếu L là ñoạn thẳng AB thì công sinh ra là ( ). cos ,W F AB F AB F AB= =      . Chia L thành n cung nhỏ bởi các ñiểm chia 0 1, ,..., nA A A . Trên mỗi cung 1i iA A− lấy ñiểm Mi(xi, yi) tùy ý. Chiếu ( )iF M  và 1i iA A−  lên trục Ox, Oy ta ñược: ( ) ( , ). ( , ).i i i i iF M P i Q jξ η ξ η= +    và 1 . .i i i iA A x i y j− = ∆ + ∆    . Khi ñó, công W sinh ra: [ ] 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( , ) . n n i i i i i i n i i i i i i i W W F M A A P x Q yξ η ξ η − = = = ≈ = = ∆ + ∆ ∑ ∑ ∑   Vậy [ ] 1 0 1 lim ( , ) ( , ) i i n i i i i i i max A A i W P x Q yξ η ξ η − → = = ∆ + ∆∑ . 2.2. ðịnh nghĩa • Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác ñịnh trên ñường cong L. Chia L thành n cung nhỏ bởi các ñiểm chia 0 1, ,..., nA A A . Trên mỗi cung 1i iA A− lấy ñiểm Mi(xi, yi) tùy ý. Gọi ( )1 ,i i i iA A x y− = ∆ ∆  . Tổng [ ] 1 ( , ) ( , ) n n i i i i i i i I P x Q yξ η ξ η = = ∆ + ∆∑ ñược gọi là tổng tích phân ñường (loại 2) của hàm P(x, y) và Q(x, y) trên ñường cong L. Giới hạn 1 0 lim i i n max A A I − →  tồn tại ñược gọi là tích phân ñường loại 2 của P(x, y) và Q(x, y) trên ñường cong L. Ký hiệu là ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy+∫ . Nhận xét 1) Tích phân ñường loại 2 có tất cả các tính chất như tích phân xác ñịnh. 2) Tích phân ñường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L vì khi thay ñổi chiều thì ( )1 ,i i i iA A x y− = ∆ ∆  ñổi dấu, do ñó khi viết tích phân ta cần ghi rõ ñiểm ñầu và cuối:   ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) AB BA P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ = − +∫ ∫ . ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 13 3) Từ ñịnh nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết:    ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) AB AB AB P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ = +∫ ∫ ∫ . • Nếu L là ñường cong phẳng, kín lấy theo chiều dương (ngược chiều kim ñồng hồ) thì ta dùng ký hiệu: ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy+∫ . • ðịnh nghĩa tương tự: ( , , ) ( , , ) ( , , ) L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz+ +∫ . 2.3. Phương pháp tính a) ðường cong L có phương trình tham số • Nếu L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= thì:  / / ( , ) ( , ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) . B A AB t t t t P x y dx Q x y dy P x t y t x Q x t y t y dt +  = +  ∫ ∫ • Nếu L trong không gian có pt ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= :  / / / ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) . ( ( ), ( ), ( )) B A AB t t t t t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz P x t y t z t x Q x t y t z t y dt R x t y t z t z + +  + =   +   ∫ ∫ b) ðường cong L trong Oxy có phương trình tổng quát • Nếu L có phương trình ( )y y x= thì:  /( , ( )) ( , ( )). B A x x xAB Pdx Qdy P x y x Q x y x y dx + = + ∫ ∫ . • Nếu L có phương trình ( )x x y= thì:  /( ( ), ). ( ( ), ) B A y y yAB Pdx Qdy P x y y x Q x y y dy + = + ∫ ∫ . ðặc biệt • Nếu L có phương trình y α= (hằng số) thì:  ( , ) ( , ) ( , ) B A x xAB P x y dx Q x y dy P x dxα+ =∫ ∫ . • Nếu L có phương trình x α= (hằng số) thì:  ( , ) ( , ) ( , ) B A y yAB P x y dx Q x y dy Q y dyα+ =∫ ∫ . VD 1. Tính L xdy ydx−∫ với L là elip 2 2 2 2 1 x y a b + = lấy theo chiều dương. VD 2. Tính ( ) ( ) L x y dx x y dy− + +∫ với L là ñường nối ñiểm O(0; 0) với A(1; 1) trong các trường hợp: a) ñường thẳng y = x; b) ñường y = x2; c) ñường y x= . VD 3. Tính L dx ydy dz− +∫ với L là ñường xoắn ốc trụ tròn xoay có phương trình cosx t= , siny t= , 2z t= từ ñiểm A(1; 0; 0) ñến (0; 1; )B pi . 2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép) • Cho miền D là miền liên thông, bị chặn, có biên L Jordan kín trơn từng khúc. Chiều dương của L là chiều mà khi di chuyển ta thấy miền D nằm về phía tay trái. • Nếu các hàm số P(x, y) và Q(x, y) có các ñạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên D thì: ( )/ / ( , ) ( , )x y D L Q P dxdy P x y dx Q x y dy− = +∫∫ ∫ . Hệ quả 1( ) 2 D S D xdy ydx ∂ = −∫ . VD 4. Tính diện tích của elip 2 2 2 2 1 x y a b + = . VD 5. Tính 2 2( ) ( 2 )y L xarctgx y dx x xy y e dx−+ + + +∫ , với L là 2 2 2 0x y y+ − = . VD 6. Tính 2 2 L xdy ydx x y − +∫ trong các trường hợp: a) L là ñường cong kín không bao gốc O; b) L là ñường cong kín bao gốc O. 2.5. ðiều kiện tích phân ñường không phụ thuộc ñường lấy tích phân ðịnh lý • Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) và các ñạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền ñơn liên D. Khi ñó, bốn mệnh ñề sau tương ñương: 1) / / , ( , )y xP Q x y D= ∀ ∈ . 2) ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy+ =∫ dọc theo mọi ñường kín L nằm trong D. 3)  ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy+∫ , trong ñó AB nằm trong D, chỉ phụ thuộc vào hai mút A, B mà không phụ thuộc vào ñường nối A với B. 4) Biểu thức P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y) nào ñó trong miền D. ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH Trang 14 §3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Hệ quả • Nếu P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x, y) nào ñó trong miền D, nghĩa là / / , ( , )y xP Q x y D= ∀ ∈ thì:  ( , ) ( , ) ( ) ( ) AB P x y dx Q x y dy u B u A+ =