Toán - Chuyên đề Định m để bất phương trình thỏa điều kiện cho trước

241 VẤN ĐỀ 9 Định m để bất phương trình có nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có nghiệm hoặc vô nghiệm trên một tập con của R. 242 Vấn đề 9 Định m để bất phương trình có nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có nghiệm hoặc vô nghiệm trên một tập con của R. A. VÀI VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI Các bạn có thể tìm hiểu một vài ví dụ cơ bản sau : VD1 : Tìm m sao cho f(x) = x2 ≥ m, ∀x ∈ R (1) Giải (1) thỏa khi m ≤ minf(x), ∀x ∈ R ⇔ m ≤ 0 VD2 : Tìm m để x2 – 2x + 2 – m ≥ 0, ∀x ∈ R (2) Giải Cách 1 : (2) thỏa khi ⎩⎨ ⎧ ≤∆ >= 0' 01a ⇔ 1 – 3 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 Cách 2 : (x – 1)2 + 2 – m ≥ 0 ⇔ (x – 1)2 ≥ m – 2 (*) bất phương trình (*) kuôn đúng, ∀x ∈ R ⇔ m – 2 ≤ min(x – 1)2 , x ∈ R ⇔ m – 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 VD3 : Tìm m để |x – 1| + |x – 2| - m + 1 ≥ 0 , ∀x ∈ R Giải Đặt f(x) = |x – 1| + |x – 2| ⇔ |x – 1| + |x – 2| ≥ m – 1 243 Yêu cầu đề bài xảy ra khi m – 1 ≤ minf(x), x ∈ R ⇔ m – 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2 VD4: Cho f(x) = x2 + 2(m + 1)x + m + 7 Định m để bất phương trình f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; 1] Giải ∆’ = (m + 1)2 – m – 7 = m2 + 2m + 1 – m – 7 = m2 + m – 6 + ∆’ < 0 ⇔ m2 + m – 6 < 0 ⇔ -3 < m < 2 Lúc này f(x) > 0 ; ∀x ∈ R nên hiển nhiên f(x) > 0 ; ∀x ∈ [0 ; 1] Kết luận : -3 < m < 2 (nhận) + ∆ = 0 ⇔ ⎡ = − = − + = − ≥⎢∀ ∈ > ∀ ∈⎢⎢ = = + + = + ≥ ∀ ∈⎢ > ∀ ∈⎢⎣ 2 2 2 2 3 : ( ) 4 4 ( 2) 0 ,nên ( ) 0; [0;1] 2 : ( ) 6 9 ( 3) 0; ( ) 0; [0;1] m f x x x x x R f x x m f x x x x x R nên f x x Kết luận : m = - 3 hay m = 2 (nhận) (b) + ∆ > 0 ⇔ ⎣ 3 2 m m x 0 1 x1 x2 0 1 f(x) + 0 - 0 + Dựa vào bảng xét dấu, xảy ra khi 0 < 1 ≤ x1 < x2 ∪ x1 < x2 ≤ 0 < 1 hay ≤ <⎡⎢ < ≤⎣ 1 2 1 2 1 (1) 0 (2) x x x x (1) ⇔ ⎧⎪ ≥⎪ ⎨⎪⎪ >⎩ 1. (1) 0 3 2 1 2 f m m S ⇔ + + + + ≥⎧⎪ ⎨⎪− − − >⎩ 1 2 2 7 0 3 2 1 1 0 m m m m m 244 ⇔ −⎧ ≥⎪⎪ ⎨⎪ < −⎪⎩ 10 3 3 2 2 m m m m . Vậy : −10 3 ≤ m < -3 (c) (2) ⇔ ≥⎧⎪ ⎨⎪− − <⎩ 1 (0) 0 3 2 1 0 f m m m ⇔ ≥ −⎧⎪ ⎨⎪ > −⎩ 7 3 2 1 m m m m Vậy : m > 2 (d) Hợp (a), (b), (c), (d) ⇔ m ≥ −10 3 Bài tập tương tự – Bạn đọc tự giải . Tìm m sao cho x2 – 2x + 3 – m ≥ 0 a) ∀x ∈ (0 , +∞) Đáp số : m ≤ 2 b) ∀x ∈ [2 ; 5] . Hướng dẫn : m – 2 ≤ minf(x) , x ∈ [2 , 5] ⇔ m ≤ 3 Để tiến xa hơn một chút ……… các em sẽ theo dõi thêm các bài tập sau Bài 1 –x2 + 2mx + |x – m| - 1 < 0 (1) Tìm m để bất phương trình (1) luôn nghiệm đúng với ∀x ∈ R Giải (1) ⇔ x2 – 2mx - |x – m| + 1 > 0 ⇔ x2 – 2mx + m2 – m2 - |x – m| + 1 > 0 ⇔ (x – m)2 - |x – m| - m2 + 1 > 0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ >+−− ≥−= (2) 01mTT 0|mx|T 22 Để bất phương trình (1) luôn đúng với ∀x ∈ R thì bất phương trình (2) luôn đúng ∀T ≥ 0 245 Xét f(T) = T2 – T > m2 – 1 , T ≥ 0 (*) mà T 0 2 1 +∞ f(T) 0 - 4 1 +∞ (*) thỏa khi m2 – 1 < minf(T) , khi T ≥ 0 ⇔ mα - 1 < - 4 1 ⇔ m2 < 4 3 ⇔ 2 3m 2 3 <<− Kết luận : khi 2 3m 2 3 <<− thì (1) luôn đúng ∀x ∈ R Bài 2 Tìm m để bpt sau : 2 2f (x) x (m 2)x m 1 0= − + + + > nghiệm đúng với x 1∀ > Giải Ta có : a = 1 và 23m 4m∆ = − + có dấu phụ thuộc vào a và ∆ nên ta xét các trường hợp sau : 1) Xét 430 m 0 m∆ Lúc này f (x) 0, x R > ∀ ∈ . Mà (1; ) R+∞ ⊂ Nên : f (x) 0, x 1 > ∀ > Kết luận : Nhận đáp số 4 3m 0 m .(a) 2) Xét 4 30 m 0 m∆ = ⇔ = ∨ = • m 0 := b1 2 2ax x 1= = − = Lập bảng xét dấu : Nhìn vào bảng xét dấu cho ta f (x) 0, x 1 > ∀ > Vậy m = 0 nhận (b1) • 4 3m := 51 2 3x x= = Lập Bảng xét dấu : Vì 0 5x (1; ) 3 ∃ = ∈ +∞ có 5f ( ) 0 0 3 = > Kết luận : 4m 3= không nhận. (b2) 3) Xét 40 0 m :3∆ > ⇔ < < Lưu ý bảng xét dấu cho : 246 Để f (x) 0, x 1 > ∀ > thì 1 2x x 1< ≤ f (1) 0 40 m 3 S 1 2 ⎧⎪ ≥⎪⎪⇔ < <⎨⎪⎪ <⎪⎩ Hợp (a), (b1), (b2), (c) cho ta kết luận m . (c) ⇔ ∈∅ Kết luận : 4m 0 m 3≤ ∨ > Bài 3 Cho hàm số : 4 3 2y x 4x mx= + + 1. Với m = 4, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Chứng tỏ rằng đồ thị có trục đối xứng. 2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số có trục đối xứng. 3. Xác định m sao cho 4 3 2x 4x mx 0 khi x 1 + + ≥ ≥ Giải 1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C) : Hàm số 4 3 2y x 4x 4x= + + . Miền xác định : R 3 2 2y ' 4x 12x 8x 4x(x 3x 2)= + + = + + x 0 (y 0) y ' 0 x 1 (y 1) x 2 (y 0) = =⎡⎢= ⇔ = − =⎢⎢ = − =⎣ 2 2y '' 12x 24x 8 4(3x 6x 2)= + + = + + 2y '' 0 3x 6x 2 0= ⇔ + + = 1 2 3 3x 1,6 x 3 3 3x 0, 4 x 3 ⎡ − −= ≈ =⎢⎢⇔ ⎢ − += ≈ − =⎢⎣ x -∞ x1 x2 +∞ y’’ + 0 - 0 + (C) lõm | lồi | lõm uốn uốn Bảng biến thiên : 247 x -∞ -2 -1 0 +∞ y’’ - 0 + 0 - 0 + (C) +∞ 1 +∞ (max) 0 0 (min) (min) Đồ thị : x 1 y 9 x 3 y 9 + = ⇒ = + = − ⇒ = Bây giờ ta chứng minh (C) có trục đối xứng. Coi điểm I (- 1, 0 ). Dời hệ trục Oxy bằng phép tịnh tiến thành hệ trục IXY. Công thức đổi trục là : x X 1 y Y = −⎧⎨ =⎩ Như vậy, đối với hệ trục IXY, đồ thị (C) trên đây có phương trình là : 4 3 2Y (X 1) 4(X 1) 4(X 1)= − + − + − 2 2Y (X 1) (X 1) 4(X 1) 1⎡ ⎤⇔ = − − + − +⎣ ⎦ 2 2 2 2 4 2(X 1) (X 1) (X 1) X 2X 1 F(X)= − + = − = − + = Rõ ràng Y = F(X) là hàm số chẵn. Vậy (C) nhận trục tung IY làm trục đối xứng. Nói cách khác, (C) có trục đối xứng là đường thẳng x = - 1 trong hệ trục Oxy. 248 2. Định m để m(C ) : 4 3 2y x 4x mx= + + có trục đối xứng : Dễ thấy rằng lim x → ±∞ y ,= +∞ nên m(C ) chỉ có trục đối xứng thẳng đứng. Coi điểm I(a, 0). Dời hệ trục Oxy về đến hệ trục IXY bằng phép tịnh tiến. Công thức đổi trục là x X a y Y = +⎧⎨ =⎩ Như vậy, đối với hệ trục IXY, đồ thị m(C ) có phương trình là : 4 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2 Y (X a) 4(X a) m(X a ) (X 2aX a ) X 2(a 2)X a 4a m X 4(a 1)X (6a 12a m)X = + + + + + ⎡ ⎤= + + + + + + +⎣ ⎦ = + + + + + 3 2 4 3 2(4a 12a 2am)X (a 4a a m) F(X)+ + + + + + = Để m(C ) nhận đường thẳng x = a trong hệ trục Oxy làm trục đối xứng, thì m(C ) phải nhận trục IY trong hệ trục IXY làm trục đối xứng, điều kiện cần và đủ là Y = F(X) là hàm chẵn. 3 2 4(a 1) 0 a 1 m 44a 12a 2am 0 + =⎧ = −⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ =+ + =⎪ ⎩⎩ Vậy chỉ với m = 4 thì m(C ) mới có trục đối xứng là đường thẳng x 1= − trong hệ trục Oxy (ta tìm được lại kết quả câu 1). 3. Định m sao cho : 4 3 2x 4x mx 0 khi x 1 + + ≥ ≥ Để ý rằng 4 3 2 2 2x 4x mx x (x 4x m)+ + = + + . Do đó, [ )x 1; :∀ ∈ ∞ 4 3 2 2x 4x mx 0 x 4x m 0 + + ≥ ⇔ + + ≥ Xét [ )2y f (x) x 4x m, x 1; = = + + ∈ ∞ ; [ )y ' f '(x) 2x 4 0 x 1; = = + > ∀ ∈ ∞ Vậy [ ) Min x 1; ∈ ∞ y f (1) 5 m= = + [ )y 0, x 1; ≥ ∀ ∈ ∞ [ ) Min x 1, ⇔ ∈ ∞ 5 m 0⇔ + ≥ m 5⇔ ≥ − Vậy khi m 5≥ − thì 4 3 2x 4x mx 0 khi x 1 + + ≥ ≥ . Chú ý : Cách khác : Để f(x) [ )0, x 1;≥ ∀ ∈ ∞ điều kiện là : 249 ' 0∆ ≤ hay 1 2 ' 0 ' 0 x x 1 ∆ >⎧ ⇔ ∆ ≤⎨ < ≤⎩ hay ' 0 f (1) 0 S 1 2 ⎧⎪∆ >⎪ ≥⎨⎪⎪ <⎩ m 4 hay m 5 m 5 ⇔ ≥ ≥ − ⇔ ≥ − Bài 4 Cho hàm số xy 1 x = + 1. Dùng định nghĩa của đạo hàm, hãy tính giá trị đạo hàm y ' tại điểm x = 0. 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 3. Tìm số a lớn nhất sao cho với mọi giá trị x ta đều có : 2x ax x 1 x ≥ ++ Giải 1. Tính đạo hàm của y tại x = 0 Đặt xy f (x) . 1 x = = + Miền xác định : R f(0) = 0 Ta có, theo định nghĩa : lim f (x) f (0)y '(0) f '(0) x 0 x 0 −= = → − lim 1 1 x 01 x = =→ + 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị : Ta viết : x , 1 xy f (x) x , 1 x nếu x 0 nếu x < 0 ⎡ ≥⎢ += = ⎢⎢⎢⎣ − lim x →+∞ y = 1. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang cho nhánh vô tận bên phải là 1(D ) : y = 1 250 lim x →−∞ y = - 1. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang cho nhánh vô tận bên trái là 2(D ) : y = - 1 Kết hợp với kết quả câu 1/, đạo hàm là : 2 1 , (1 x) y ' 1, ,2 nếu x > 0 nếu x = 0 1 nếu x < 0 (1-x) ⎡⎢ +⎢⎢= ⎢⎢⎢⎢⎣ (theo câu 1) Bảng biến thiên : x -∞ 0 +∞ y’ + 1 + y 1 -1 Đồ thị : x = 1 1 1y ; x 1 y 2 2 ⇒ = = − ⇒ = − Hàm số có đạo hàm tại x = 0 nên liên tục tại x = 0 và hệ số góc của tiếp tuyến cho đồ thị tại x = 0 là y '(0) 1= 3. Tìm số a lớn nhất : Xét bất đẳng thức : 2x ax x (1) 1 x ≥ ++ Nếu x = 0 thì (1) thỏa và là đẳng thức, a R.∀ ∈ Nếu x > 0 (1) 2 2 x xax x 1 x 1 x −⇔ ≤ − =+ + 1a 1 1 x ⇔ ≤ <− Kết hợp với trường hợp x = 0, ta viết : a 1, x 0 (2) ≤ − ∀ ≥ Nếu x < 0 : 251 (1) 2 2 x xax x 1 x 1 x ⇔ ≤ − =− − 1a 1 (3) 1 x ⇔ ≤ <− (2) và (3) cho ta kết luận : 2x ax x, x R a 1 x R 1 x ≥ + ∀ ∈ ⇔ ≤ − ∀ ∈+ Vậy giá trị a lớn nhất là a = - 1 Bài 5 Cho hàm số 2y x 1 x m= + − − Tìm m để hàm số không nhận giá trị dương tại mọi điểm x thuộc miền xác định của hàm số. Giải Miền xác định của hàm số là tập nghiệm BPT 2 21 x 0 x 1 x 1 1 x 1 − ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ Vậy miền xác định của hàm số là [ ]X 1;1= − 2 2 2 x 1 x xx ( 1;1) : y ' 1 1 x 1 x − −∀ ∈ − = − = − − y’ = 0 ⇔ 21 x x (x ( 1;1))− = ∈ − 2 2 2 x 0 x 0 1 x x 2x 1 ≥ ≥⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨− = =⎪ ⎪⎩ ⎩ 2x (y 2 m) 2 ⇔ = = − Bảng biến thiên : + y '(0) 1 0.= > Dùng phương pháp khoảng, ta có : x 1 0 2 2 1 y’’ | + 0 - | (C) | m−2 | | (max) | + Rõ ràng Max x X∈ y 2 m= − y không nhận giá trị dương trên miền xác định Max x X ⇔ ∈ y 0 2 m 0 m 2 ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ 252 Bài 6 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2x x 2y x 1 − += − 2. Xác định tập hợp tất cả các điểm N(x,y) có tọa độ thỏa mãn điều kiện : 2x x 2y x 1 − +≥ − 3. Biện luận theo m số nghiệm [ ]x 0;∈ π của phương trình : 2cos x (m 1)cos x m 2 0− + + + = Giải 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị : (Các bạn tự giải) (H) : 2x x 2 2y x x 1 x 1 − += = +− − Bảng biến thiên x -∞ 1- 2 1 1+ 2 +∞ y’ + 0 - || - 0 + y 1-2 2 || +∞ (max) || -∞ -∞ || 1+2 2 (min) Đồ thị : Đồ thị (H) là 1 hypebol xiên góc (là đường cong được vẽ nét liền trong hình). 2. Xác định tập hợp tất cả điểm N(x,y) sao cho 2x x 2y (1) x 1 − +≥ − Đặt f(x) = 2x x 2 x 1 − + − thì { }{ }(x, f (x)) / x R \ 1∈ là đồ thị (H) đã vẽ ở câu 1. 253 + Nếu x < 1 thì f(x) < 0, do đó y f (x),≥ bất chấp y. Nói cách khác, điểm N(x,y) nằm bên trái tiệm cận đứng x = 1, thì hệ thức y f (x),≥ luôn thỏa. Vậy tập hợp điểm N(x,y) thỏa (1) là phần mặt phẳng Oxy ứng với x < 1 (phần gạch sọc bên trái tiệm cận đứng). + Nếu x > 1 thì f(x) > 0, do đó : (1) y f (x),nếuy 0 (2) y -f(x),nếu y < 0 (3) ≥ ≥⎡⇔ ⎢ ≤⎣ (2) Chứng tỏ tập hợp điểm N(x,y) là phần gạch sọc trên (H), kể cả (H), ứng với x > 1 (nhánhHypebol bên phải tiệm cận đứng). (3) Chứng tỏ tập hợp điểm N(x,y) là phần gạch sọc dưới (H'), kể cả (H'), với (H') là đối xứng của (H) qua Ox, ứng với x > 1. Tóm lại : tập hợp tất cả điểm N(x,y) sao cho 2x x 2y x 1 − +≥ − là phần mặt phẳng Oxy bị gạch sọc trong hình. 3. Biện luận theo tham số m : Xét phương trình : 2cos (m 1)cos x m 2 0 (4)− + + + = Đặt [ ]X cos x, x 0; .= ∈ π Rõ ràng : [ ] [ ]x 0; X 1;1 .∈ π − > ∈ Mặt khác : Mỗi [ ]X 1;1∈ − tương ứng với 1 nghiệm [ ]x 0;∈ π (4) 2X (m 1)X m 2 0⇔ − + + + = 2X X 2 (X 1)m (5) ⇔ − + = − Dễ thấy X = 1 không là nghiệm của (5), do đó : (4) 2X X 2 m X 1 − +⇔ =− với [ ]X 1;1 (6) ∈ − Đây chính là phương trình hoành độ điểm chung của hai đường 254 [ )20 X X 2(H ) : y , X 1;1X 1 (D) : y m ⎧ − +⎪ = ∈ −⎨ −⎪ =⎩ Đồ thị 0(H ) là phần đồ thị (H) ứng với [ )X 1;1∈ − khi ta thay trục Ox bởi OX. Kết quả : * m 2 : (6)< − có 1 nghiệm [ )X 1;1∈ − do đó (4) có 1 nghiệm [ ]x 0;∈ π * 2 m 1 2 2 : (6)− = < − có 2 nghiệm [ )X 1;1∈ − , do đó (4) có một nghiệm [ ]x 0;∈ π * m 1 2 2 : (6)> − vô nghiệm, do đó (4) vô nghiệm. Bài 7 Cho hàm số 2 2m x 1y x += 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1 2. Tìm những điểm trên đường thẳng y = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị của hàm số đi qua. 3. Tìm những điểm cố định mà đồ thị của hàm số đi qua, với mọi m. 4. Xác định a để 2x ax 1 0− + > với mọi x > 0 Giải 1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ 1(H ) 2 1 x 1 1(H ) : y x x x += = + ( bạn hãy tự giải) Bảng biến thiên : x -∞ -1 0 1 +∞ y’’ - 0 + || - 0 + (C) -2 || +∞ +∞ (max) || -∞ -∞ (min) Đồ thị : + Vì y là hàm lẻ nên đồ thị nhận gốc O làm tâm đối xứng. 255 + x 2= 5y 2 ⇒ = 2. Tìm điểm thuộc đường thẳng y = 1 không có đồ thị đi qua Xem m(C ) : 2 2m x 1y x += . Gọi M(x,1) là điểm trên đường thẳng y = 1 mà không có đồ thị của ho m(C ) ï đi qua 2 2m x 11 x +⇔ = vô nghiệm m (*) . Rõ ràng khi x = 0 thì ta có điểm M(0, 1). Mặt khác đường thẳng x = 0 là đường tiệm cận đứng cố định của họ m(C ) , nên không có đồ thị nào qua mọi điểm trên đường này. Nói riêng điểm M(0, 1) là một đáp số (1). . Khi x 0≠ (*) 2 2x m x 1⇔ = − vô nghiệm m ⇔ x – 1 < 0 ⇔ x < 1 (bao gồm cả x = 0) (2) . (1) và (2). Cho ta kết luận : Các điểm M(x, 1) với x < 1 trên đường thẳng y = 1 là những điểm không có đồ thị nào của họ đi qua. 3. Tìm điểm cố định của họ m(C ) . N(x, y) là điểm cố định của ho m(C ) ï 2 2m x 1y x +⇔ = có vô số nghiệm m (x 0)≠ 2 2x m 1 xy 0⇔ + − = có vô số nghiệm m (x 0)≠ x 0 1 xy 0 (không nhận)=⎧⇔ ⎨ − =⎩ Hệ này vô nghiệm . Họ đồ thị không có điểm cố định 4. Định a để 2x ax 1 0, x 0− + > ∀ > 2 2 x 1x 1 ax a x x 0 x 0 ⎧ +⎧ + >⎪ ⎪ >⇔ ⇔⎨ ⎨>⎪ ⎪⎩ >⎩ 2x 1Min a 2 a2 x 0 ⎧ ⎛ ⎞+ >⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟⇔ ⇔ >⎨ ⎝ ⎠⎪ >⎩ 256 (Do đồ thị câu 1) . Đáp số : a < 2 Cách khác : Đặt 2f (x) x ax 1= − + 1 2 0 f (x) 0, x 0 0 hay x x 0 ∆ ≥⎧> ∀ > ⇔ ∆ < ⎨ ≤ <⎩ 2 2 a 4 0 a 4 0 hay f (0) 0 S 0 2 ⎧⎪ − ≥⎪⇔ − ⎨⎪⎪ <⎩ ⇔ -2 < a < 2 hay a ≤ -2 ⇔ a < 2 Bài 8 Tìm a sao cho bất đẳng thức : 25y2 + 1 100 ≥ x – axy + y – 25x2 (1) được nghiệm đúng với mọi cặp (x , y) thỏa |x| = |y|. Giải Từ |x| = |y| ⇔ y = ±x. Vậy (1) phải nghiệm đúng với cả hai trường hợp. Trường hợp 1 : y = x, thay vào (1) ta được : 25x2 + 1 100 ≥ x – ax2 + x – 25x2 với mọi x ⇔ (a + 50)x2 – 2x + 1 100 ≥ ∀x ⇔ a 50 0 1' 1 (a 50). 0 100 + >⎧⎪⎨∆ = − + ≤⎪⎩ ⇔ a 50 100 a 50 0 > −⎧⎨ − − ≤⎩ ⇔ a 50 a 50 > −⎧⎨ ≥⎩ ⇒ a ≥ 50 Trường hợp 2 : y = -x thay vào (1) và biến đổi được : (50 – a)x2 + 1 100 ≥ 0 với ∀x ⇔ 50 – a ≥ 0 ⇔ a ≤ 50 257 Vậy để thỏa đầu bài phải có : a 50 a 50 ≥⎧⎨ ≤⎩ ⇒ a = 50 C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 Tìm m sao cho 2 2 2 x mx 1 3 3 x x 1 2 − +≤ ≤− + đúng với mọi x. Đáp số : 1 4m 2 3 ≤ ≤ Bài 2. Tìm m sao cho : x2 + 4y2 + 2x + my + 3 > 0 với mọi x, y. Đáp số : 4 2 m 4 2− < < Bài 3 Định m để bất phương trình sau có nghiệm : a) mm3xx <++ Hướng dẫn Giải : x – x - 3m> m. ( )m3xx +− ⇔ -3m > m ( )m3xx +− ⇔ -3 > ( )m3xx +− (m >0 , vì nếu m ≤ 0 bài toán không xảy ra .) ⇔ m3x + > x + 3 ⇔ x+ 3m > x +6 x + 9 ⇔ 3m > 6 x + 9 ⇔ m > 2 x +3 ⇔ ………… b) 2 1x + > x + m ĐS: m < 1. Bài 4 Định m để bất phương trình : x3 + x2 + 2x + m2 + 5m ≥ 0 (1) có tập nghiệm là [ 1 ,+∞) . Hưóng dẫn : Với f(x) = x3 + x2 + 2x X 1 +∞ f’ + f 4 258 Do f không có max , (1) có tập nghiệm là [ 1 ,+∞) khi –m2 – 5m ≤ minf ⇔ m2 + 5m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≤ -4 hay m ≥ -1. Bài 5 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x + 1 = m 1x 2 + . Hướng dẫn : ⇔ 1x 1x 2 + + = m . Bài 6 Tìm m sao cho : a) 2 2f (x) 3x 2(m 1)x (2m 3m 2) 0, x 2= − + − − + > ∀ ≥ b) [ ]2f (x) 2m mx 3 0, x -1,1= + + > ∀ ∈ c) [ ]2f (x) x (3m 1)x m 0, x 1, 2= − + + ≥ ∀ ∈ d) 2f (x) x (1 3m)x 3m 2, x= + − + − ∀ thỏa x 2> e) [ ]2f (x) 3x 2(m 1)x (m 3) 0, x -1,0= − − − + < ∀ ∈ f) 2 2f (x) (m 2) x 3(m 6)x m 1 0, x (1,0)= − − − − − < ∀ ∈ g) 2f (x) mx 4x 3m 1 0, x > 0= − + + > ∀ h) 2f (x) 3(m 2)x 6mx 1 0, x > 0= + − + ≥ ∀ i) 2f (x) (m 2)x 2(m 3)x 3 m 0, x <1= + − + + − < ∀ j) 2(x 1)(x 3)(x 4x 6) m, x R+ + + + ≥ ∀ ∈ Bài 7 Tìm các giá trị của a và b để hàm số : 1xx baxy 2 ++ += có giá trị nhỏ nhất bằng 1 và lớn nhất bằng 3. Bài 8 Tìm các giá trị của a và b để hàm số : 1xx baxy 2 ++ += có giá trị nhỏ nhất bằng 1 và lớn nhất bằng 3.