Toán - Chuyên đề Số phần tử của một tập hợp, tập hợp con

có một số chia hết cho n .Kiểm tra một số có là số nguyên tố hay không: p2 a Bài tập : Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố. Bài 2: Một số là số nguyên tố p khi chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm r Bài 4: Tìm số có 4 chữ số , chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp. Bài 5: Tìm số nguyên tố bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố. Bµi 6: Hai sènguyªn tè ®­îc gäi lµ sinh ®«i nÕu chóng lµ 2 sè lÎ liªn tiÕp . Chøng minh r»ng mét sè tù nhiªn lín h¬n 3 n»m gi÷a hai sè nguyªn tè sinh ®«i th× chia hÕt cho 6. Bài 7: Một số nguyên tố khi chia cho 30 có số dư là r. Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố. Bài 8: a. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng 6n +1 hoặc 6n - 1 ( n N ) b. Có phải mọi số có dạng 6n 1 (n N) đều là số nguyên tố không? Lời giải: 1. Một số tự nhiên luôn được viết dưới các dạng: 3k; 3k +1; 3k +2 ( kN). - Nếu p = 3k thì p = 3 vì p là số nguyên tố, khi đó p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố. - Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 luôn 3 và lớn hơn 3 nên p là hợp số. - Nếu p = 3k +2 thì p + 4 = 3k + 6 luôn 3 và lớn hơn 3 nên p là hợp số. Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm. giải 2: Ta có: p = 42k + r = 2.3.7k + r ( k, r N, 0 < r < 42 ) Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,7. Các hợp số nhỏ hơn 42 không chia hết cho 2 là 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39 . Trong đó chỉ có 25 là số không chia hết cho 3 và 7. Vậy r = 25. giải 3: Gọi số cần tìm có dạng: - Các số có 3 chữ số là lập phương của một số tự nhiên: 125, 216, 343, 512, 729. - Trong đó chỉ có số 125 thoả mãn bài toán. Vì số 512 là số nguyên tố. Vậy số cần tìm là 512. giải 4: Gọi số cần tìm có dạng: Theo đề bài: 11 và là tích của 3 số nguyên tố nên 1 trong các số này phải là 11. Xét các tích : 5.7.11 = 385 ( loại ) 7.11.13 = 1001 ( thoả mãn ) 11.13.17 = 2431 ( loại ) Vậy số tìm được là : 1001 Lời giải 5: Gọi a, b, c, d, e là các số nguyên tố sao cho? a = b + c = d - e ( giả sử b c) Chøng tá r»ng c = e = 2, nªn b, a, d lµ 3 sè lÎ liªn tiÕp, sau ®ã chøng tá b = 3. VËy sè nguyªn ph¶i t×m lµ 5 V× 5 = 3 + 2 = 7 – 2 Lêi gi¶i 6: Gäi hai sè nguyªn tè sinh ®«i lµ : p vµ p +2. Ta cÇn chøng minh p + 1 chia hÕt cho 2 vµ chia hÕt cho 3. Lời giải 7: * Gọi số nguyên tố là p. Theo đề bài : p = 30.k + r = 2.3.5.k + r ( k, r N, 0 < r < 30 ) + Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 2, 3, 5 vì vậy r cũng không chia hết cho 2,3,5 ( Tính chất chia hết của một tổng). + Mặt khác hợp số nhỏ hơn 30 mà không chia hết cho 2, 3, 5 là: 1 Vậy r = 1. Lời giải 8: Mọi số tự nhiên m > 3 đều viết được 1 trong các dạng 6n - 2, 6n - 1, 6n , 6n +1, 6n +2, 6n + 3. Vì m là số nguyên tố lớn hơn 3 nên m không chia hết cho 3, do đó m không có dạng 6n - 2, 6n, 6n +2, 6n +3. Vậy m viết được dưới dạng 6n - 1, 6n +1 b. Không phải mọi số có dạng 6n 1 (n N) đều là số nguyên tố. Ví dụ: 6.4 + 1 = 25 ( không là số nguyên tố ) Bài tập tự luyện: 1) Các số sau là số nguyên tố hay hợp số? A = 3.5.7.9 - 28 B = 311141111 2) Cho biểu thức . Xét xem với p = 3, 5, 7 ,9 thì n là số nguyên tố hay hợp số. 3) Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1, 8p – 1 là số nguyên tố, số thứ ba laf số nguyên tố hay hợp số. 4) Tìm 3 số nguyên tố dạng: p, p + d , p + 2d biết : a) d = 2k + 1 b) d = 2 c) d = 10 5) Tìm số nguyên tố p sao cho: a) p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố b) p + 6 , p + 8, p + 12 và p + 14 cũng là số nguyên tố. Ngµy so¹n: Ngµy d¹y: Chuyên đề 4: Một số dạng bài tập về số nguyên tố (tiếp) I.MôC TI£U - HS vËn dông c¸c tÝnh vÒ sè nguyªn tè ®Ó t×m mét sè cã lµ sè nguyªn tè kh«ng. - RÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc gi¶i to¸n mét c¸ch hîp lý. II. CHUẨN BỊ: - GV: Chuyên đề và các vài tập tự luyện II. Néi dung I. Lý thuyết cơ bản 1. Khi ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè, sè chÝnh ph­¬ng chØ chøa c¸c thõa sè nguyªn tè víi sè mò ch½n. 2. TÝnh chÊt chia hÕt liªn qua ®Õn sè nguyªn tè. NÕu tÝch ab chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× hoÆc a p hoÆc b p. §Æc biÖt nÕu anp th× ap Bài 1. Tìm các số tự nhiên x và y sao cho a) (2x +1)(y – 3) = 10 b) (x + 1)(2y – 1) = 12 c) x – 3 = y(x + 2) Bµi 2. a) Cho n lµ sè kh«ng chi hÕt cho 3. Chøng minh r»ng n2 chia 3 d­ 1. b) Cho p lµ sè nguyªn tèa lín h¬n 3. Hái p2 + 2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè. Bµi 3. Cho n> 2 vµ kh«ng chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng hai sè n2 – 1 vµ n2 + 1 kh«ng thÓ ®ång thêi lµ sè nguyªn tè. Bµi 4: Cho p vµ p + 8 ®Òu lµ sè nguyªn tè (p ñ 3). Hái p + 100 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? Bµi5: T×m n Î N* biÕt: a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 210 b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = 225 Bµi 6. Chøng minh r»ng b×nh ph­¬ng cña mét sè nguyªn tè kh¸c 2 vµ 3 khi chia cho 12 ®Òu d­ 1. Bµi 7. T×m sè n Î N*, sao cho n3 - n2 + n - 1 lµ sè nguyªn tè. Bµi 8: T×m c¸c sè tù nhiªn m vµ n sao cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91 Bµi 9: T×m c¸c sè tù nhiªn n sao cho 5n + 45 n + 3 Bµi 10: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¶ p + 4 vµ p + 8 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè Bµi 11: Cho p, q , r lµ ba sè nguyªn tè lín h¬n 3 Chøng minh r»ng: p2 + q2 + r2 lµ hîp sè. Bµi 12. T×m hai sè nguyªn tè biÕt tæng cña chóng b»ng 601. Bµi 13. Tæng cña 3 sè nguyªn tè b»ng 1012.T×m sè nhá nhÊt trong 3 sè ®ã. Bµi 14. Cho A = 5 + 52 + 53 +...+ 5100 Sè A lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? Sè A cã ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng? Bµi 15. Tæng (hiÖu) sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? 1.3.5.713 + 20 147.247.347 – 13 Bµi 16.T×m sè nguyªn tè p sao cho 4p + 11 lµ sè nguyªn tè nhá h¬n 30. P + 2; p + 4 ®Òu lµ sè nguyªn tè. P + 10; p +14 ®Òu lµ sè nguyªn tè. Bµi 17. Cho n N*; Chøng minh r»ng: lµ hîp sè. Bµi 18. + Cho n lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho 3. CMR n2 chia 3 d­ 1. + Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Hái p2 + 2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? Bµi 19. Cho n N, n> 2 vµ n kh«ng chia hÕt cho 3. CMR n2 – 1 vµ n2 + 1 kh«ng thÓ ®ång thêi lµ sè nguyªn tè. Bµi 20. Cho p lµ sè nguyªn tè vµ mét trong hai sè 8p + 1 vµ 8p – 1 lµ sè nguyªn tè, sè cßn l¹i lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? Bµi 21. Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. CMR (p - 1)(p + 1) chia hÕt cho 24. Bµi 22. Cho p vµ 2p + 1 lµ hai sè nguyªn tè (p > 3). CMR: 4p + 1 lµ hîp s Ngày soạn: Ngày giảng: CHUYÊN ĐỀ 5: CÁC DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN Mục tiêu: Hệ thống cho học sinh các dạng toán liên quan đến số nguyên tố, ƯC và BC Các phương pháp và cách làm cơ bản của các dạng toán. Vận dụng vào giải nhanh, chính xác các bài toán. Chuẩn bị: - Giáo án + bài tập chuyên đề, máy tính bỏ túi KiÕn thøc bæ sung. ¦C - ¦CLN + NÕu a b th× (a,b) = b. + a vµ b nguyªn tè cïng nhau (a,b) = 1 + Muèn t×m ­íc chung cña c¸c sè ®· cho ta t×m c¸c ­íc cña ¦CLN cña c¸c sè ®ã. + Cho ba sè a,b,c nguyªn tè víi nhau tõng ®«i mét nÕu (a,b) = 1; (b,c) = 1; (a,c) = 1 TÝnh chÊt chhia hÕt liªn quan ®Õn ¦CLN Cho (a,b) = d . NÕu chia a vµ b cho p th× th­¬ng cña chóng lµ nh÷ng sè nguyªn tè cïng nhau. Cho a.b mµ (a,m) = 1 th× b m 2 . BC – BCNN + NÕu sè lín nhÊt trong mét nhãm chia hÕt cho c¸c sè cßn l¹i th× sè nµy lµ BCNN cña nhãm ®ã. + NÕu c¸c sè nguyªn tè víi nhau tõng ®«i mét th× BCNN cña chóng lµ tÝch cña c¸c sè ®ã. + Muèn t×m BC cña c¸c sè ®· cho, ta t×m béi cña BCNN cña c¸c sè ®ã. N©ng cao. TÝch cña hai sè b»ng tÝch cña ¦CLN vµ BCNN cña chóng. a.b = ¦CLN(a,b) . BCNN(a,b) - NÕu lÊy BCNN(a,b) chia cho tõng sè a vµ b th× c¸c th­¬ng cña chóng lµ nh÷ng sè nguyªn tè cïng nhau. - NÕu a m vµ an th× a chia hÕt cho BCNN(m,n). Tõ ®ã suy ra + NÕu mét sè chia hÕt cho hai sè nguyªn tè cïng nhau th× nã chia hÕt cho tÝch cña chóng. + NÕu mét sè chia hÕt cho c¸c sè nguyªn tè cïng nhau ®«i mét th× nã chia hÕt cho tÝch cña chóng. + §Ó kÕt luËn sè a lµ sè nguyªn tè (a > 1), chØ cÇn chøng tèn kh«ng chia hÕt cho mäi sè nguyªn tè mµ b×nh ph­¬ng kh«ng v­ît qu¸ a. + §Ó chøng tá mét sè tù nhiªn a > 1 lµ hîp sè , chØ cÇn chØ ra mét ­íc kh¸c 1 vµ a. + C¸ch x¸c ®Þnh sè l­îng c¸c ­íc cña mét sè: NÕu sè M ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè ®­îc M = ax . by cz th× sè l­îng c¸c ­íc cña M lµ ( x + 1)( y + 1)( z + 1). + Khi ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè , sè chÝnh ph­¬ng chØ chøa c¸c thõa sè nguyªn tè víi sè mò ch½n. Tõ ®ã suy ra. + TÝnh chÊt chia hÕt liªn quan ®Õn sè nguyªn tè: NÕu tÝch a.b chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× hoÆc ap hoÆc bp. §Æc biÖt nÕu an p th× ap + ¦íc nhá nhÊt kh¸c 1 cña mét hîp sè lµ mét sè nguyªn tè vµ b×nh ph­¬ng lªn kh«ng v­ît qu¸ nã. + Mäi sè nguyªn tè lín h¬n 2 ®Òu cã d¹ng: + Mäi sè nguyªn tè lín h¬n 3 ®Òu cã d¹ng: + Hai sè nguyªn tè sinh ®«i lµ hai sè nguyªn tè h¬n kÐm nhau 2 ®¬n vÞ + Mét sè b»ng tæng c¸c ­íc cña nã (Kh«ng kÓ chÝnh nã) gäi lµ ‘Sè hoµn chØnh’. VÝ dô: 6 = 1 + 2 + 3 nªn 6 lµ mét sè hoµn chØnh c¸c d¹ng bµi tËp vÒ sè nguyªn tè – hîp sè: - NÕu ta nãi b lµ ­íc cña a a lµ béi cña b - Khi vµ ta nãi d lµ ­íc chung cña a vµ b. Khi d lµ sè lín nhÊt trong tËp hîp c¸c ­íc chung cña a vµ b ta nãi d lµ ­íc chung lín nhÊt cña a vµ b Ký hiÖu ¦CLN(a,b) = d hoÆc (a,b) = d - - Khi vµ ta nãi m lµ béi chung cña a vµ b. Khi m # 0 vµ m lµ sè nhá nhÊt trong tËp hîp c¸c béi chung cña a vµ b ta nãi m lµ béi chung nhá nhÊt cña a vµ b Ký hiÖu BCNN(a,b) = m hoÆc [a,b] = m C. C¸c bµi to¸n vÒ ­íc vµ béi vµ sè nguyªn tè Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số. 2/ Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này không khó : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] . (**) Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa. Bài toán 1 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Lời giải : Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b. Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. Chú ý : Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy ra mn = 15. Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18. Bài toán 3 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2. Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15. Chú ý : Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. Vì vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25. Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1. Bài toán 5 : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. Lời giải : Đặt (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d. Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16. Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. Vì vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8 Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80 Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72. Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n. Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)    [a, b] = mnd = 72 (2) => d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}. Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 =>   m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa mãn các điều kiện của m, n). Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài toán 8 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140. Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. Do đó : a - b = d(m - n) = 7   (1’)    [a, b] = mnd = 140   (2’) => d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}. Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy nhất d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4 Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . BÀI TẬP 1) T×m hai sè biÕt ¦CLN cña chóng: VÝ dô 1: T×m hai sè tù nhiªn, biÕt r»ng tæng cña chóng b»ng 100 vµ cã ¦CLN lµ 10. Gi¶i: Gäi hai sè ph¶i t×m lµ a vµ b (a b). Ta cã ¦CLN(a,b) = 10 Do ®ã a =10.a’ vµ b = 10.b’ trong ®ã ¦CLN(a’,b’) = 1 (a, b, a’, b’ N) Theo ®Çu bµi: a + b = 100 suy ra 10.a’ + 10.b’ =100 nªn a’+b’ = 10 (a’ b’) Chän hai sè nguyªn tè cïng nhau cã tæng lµ 10 ta cã a’ 1 3 Do ®ã a 10 30 b’ 9 7 b 90 70 VÝ dô 2: T×m hai sè tù nhiªn biÕt ¦CLN cña chóng lµ 5 vµ chóng cã tÝch lµ 300 Gi¶i: Gäi hai sè ph¶i t×m lµ a vµ b (a b). Ta cã ¦CLN(a,b) = 5 Do ®ã a =5.a’ vµ b = 5.b’ trong ®ã ¦CLN(a’,b’) = 1 (a, b, a’, b’ N) Theo ®Çu bµi: a.b = 300 suy ra 25.a’.b’ =300 nªn a’.b’ = 12 (a’ b’) Chän hai sè nguyªn tè cïng nhau cã tÝch lµ 12 ta cã a’ 1 3 Do ®ã a 5 15 b’ 12 4 b 60 20 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn tè p > 3 th× (p - 1).(p + 1) 24 Gi¶i: Ta cã : (p - 1).p.(p + 1) 3 (TÝch 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp) V× p lµ sè nguyªn tè vµ p > 3 nªn ¦CLN(3, p) = 1 (p - 1).(p + 1) 3 Do p lµ sè nguyªn tè nªn p – 1 vµ p + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp nªn cã 1sè lµ béi cña 2 vµ mét sè lµ béi cña 4 (p - 1).(p + 1) 8 Mµ ¦CLN(3,8) = 1 nªn (p - 1).(p + 1) 3. 8. VËy (p - 1).(p + 1) 24 §pcm. 2) C¸c bµi to¸n phèi hîp gi÷a ¦CLN vµ BCNN VÝ dô: T×m hai sè tù nhiªn a, b (a b)biÕt ¦CLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180 Gi¶i: Theo ®Çu bµi: ¦CLN(a,b) = 12 Do ®ã a =12.a’ vµ b = 12.b’ trong ®ã ¦CLN(a’,b’) = 1 (a’ b’; a’, b’ N). V× ¦CLN(a,b) . BCNN(a,b) = a.b nªn 144a’.b’ = 2160 suy ra a’.b’ = 15 a’ 1 3 Do ®ã a 12 36 b’ 15 5 b 180 60 d. C¸c d¹ng bµi tËp Bài tập tự giải : Bài 1 : a) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. b) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. c) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. d) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. e) Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. HD: Đặt (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d. Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 suy ra d = 7 suy ra a = 28 ; b = 35. Bài 2: Tìm hai số a, b biết: a) 7a = 11b và (a, b) = 45. b) a + b = 448, ƯCLN (a,b) = 16 và chúng có chữ số tËn cïng giống nhau. Bµi 3: Cho hai số tự nhiên a và b. Tìm tất cả các số tự nhiên c sao cho trong ba số, tích của hai số luôn chia hết cho số còn lại. Bµi 4: T×m c¸c sè tù nhiªn m vµ n sao cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91 Bµi 5: T×m c¸c sè tù nhiªn n sao cho 5n + 45 n + 3 Bµi 6: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¶ p + 4 vµ p + 8 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè Bµi 7: Cho p, q , r lµ ba sè nguyªn tè lín h¬n 3 Chøng minh r»ng: p2 + q2 + r2 lµ hîp sè. - D¹ng 1 Bµi tËp. Bµi 1. T×m ¦CLN råi t×m ¦C cña 48 vµ 120. Bµi 2. T×m sè tù nhiªn a lín nhÊt, biÕt r»ng 120a vµ 150 a. Bµi 3. T×m sè tù nhiªn x biÕt r»ng 210 x , 126 x vµ 10 < x < 35. Bµi 4. T×m sè tù nhiªn a nhá nhÊt kh¸c 0, biÕt r»ng a120 vµ a86. Bµi 5. T×m c¸c béi chung nhá h¬n 300 cña 25 vµ 20. Bµi 6. Mét ®éi y tÕ cã 24 b¸c sü vµ 108 y t¸. Cã thÓ chia ®éi y tÕ ®ã nhiÒu nhÊt thµnh mÊy tæ ®Ó sè b¸c sü vµ y t¸ ®­îc chia ®Òu cho c¸c tæ? Bµi 7. Mét sè s¸ch khi xÕp thµnh tõng bã 10 cuèn, 12 cuèn, 15 cuèn, 18 cuèn ®Òu võa ®ñ bã. BiÕt sè s¸ch trong kho¶ng 200 ®Õn 500. T×m sè s¸ch. Bµi 8. Mét liªn ®éi thiÕu niªn khi xÕp hµng 2, hµng 3, hµng 4, hµng 5 ®Òu thõa 1 ng­êi. TÝnh sè ®éi viªn cña liªn ®éi ®ã biÕt r»ng sè ®ã trong kho¶ng tõ 100 ®Õn 150. Bµi 9. Mét khèi häc sinh khi xÕp hµng 2, hµng 3, hµng 4, hµng 5, hµng 6 ®Òu thiÕu 1 ng­êi, nh­ng xÕp hµng 7 th× vµ ®ñ. BiÕt r»ng sè häc sinh ®ã ch­a ®Õn 300. TÝnh sè häc sinh ®ã. Bµi 10. Mét con chã ®uæi mét con thá c¸ch nã 150 dm. Mét b­íc nh¶y cña chã dµi 9 dm, mét b­íc nh¶y cña thá dµi 7 dm vµ khi chã nh¶y mét b­íc th× thá cñng nh¶y mét b­íc. Hái chã ph¶i nh¶y bao nhiªu b­íc míi ®uæi kÞp thá? Bµi 11. T«i nghÜ mét sè cã ba ch÷ sè. NÕu bít sè t«i nghÜ ®i 7 th× ®­îc sè chia hÕt cho 7. NÕu bít sè t«i nghÜ ®i 8 th× ®­îc sè chia hÕt cho 8. NÕu bít sè t«i nghÜ ®i 9 th× ®­îc sè chia hÕt cho 9. Hái sè t«i nghÜ lµ sè nµo? Bµi 12. chøng minh r»ng hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. Bµi 13. CMR c¸c sè sau ®©y nguyªn tè cïng nhau. Hai sè lÎ liªn tiÕp. 2n + 5 vµ 3n + 7. Bµi 14. ¦CLN cña hai sè lµ 45. Sè lín lµ 270, t×m sè nhá. Bµi 15. T×m hai sè biÕt tæng cña chóng lµ 162 vµ ¦CLN cña chóng lµ 18. Bµi 16. T×m hai sè tù nhiªn a vµ b, biÕt r»ng BCNN(a,b) = 300; ¦CLN(a,b) = 15. Bµi 17. T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tÝch cña chóng lµ 2940 vµ BCNN cña chóng lµ 210. Bµi 18. T×m sè tù nhiªn a nhá nhÊt khi chia cho 5, cho 7, cho 9 cã sè d­ theo thø tù lµ 3,4,5. Bµi 19. T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt khi chia cho 3, cho 4, cho 5 cã sè d­ theo thø tù lµ 1;3;1. Bµi 20. Cho ¦CLN(a,b)= 1. CMR ¦CLN(a+b,ab) = 1. T×m ¦CLN(a+b, a-b). Bµi 21. Cã 760 qu¶ vµ cam, võa t¸o, võa chuèi. Sè chuèi nhiÒu h¬n sè t¸o 80 qu¶, sè t¸o nhiÒu h¬n sè cam 40 qu¶. Sè cam, sè t¸o, sè chuèi ®­îc chia ®Òu cho c¸c b¹n trong líp. Hái chia nh­ vËy th× sè häc sinh nhiÒu nhÊt cña líp lµ bao nhiªu? mçi phÇn cã bao nhiªu qu¶ mçi lo¹i? Bµi 22. a) ¦íc chung lín nhÊt cña hai sè tù nhiªn b»ng 4, sè nhá b»ng 8. t×m sè lín. b) ¦íc chung lín nhÊt cña hai sè tù nhiªn b»ng 16, sè lín b»ng 96, t×m sè nhá. Bµi 23. T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng : HiÖu cña chóng b»ng 84,¦CLN b»ng 28, c¸c sè ®ã trong kho¶ng tõ 300 ®Õn 440. HiÖu cña chóng b»ng 48, ¦CLN b»ng 12. Bµi 24. T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng: TÝch b»ng 720 vµ ¦CLN b»ng 6. TÝch b»ng 4050 vµ ¦CLN b»ng 3. Bµi 25. CMR víi mäi sè tù nhiªn n , c¸c sè sau lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau. 7n +10 vµ 5n + 7 2n +3 vµ 4n +8. Thời gian thực hiện: Chuyên đề 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I.MôC TI£U - HS n¾m thÕ nµo lµ mét sè chÝnh ph­¬ng - VËn dông vµo t×m mét sè cã lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng - RÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc gi¶i to¸n mét c¸ch hîp lý. II. Néi dung A. LÍ THUYẾT I. Định nghĩa Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên Ví dụ : 32 = 9 152 = 225 Các số 9, 225 là bình phương các số tự nhiên 3, 15 được gọi là số chính phương II. Tính chất 1, Số chính phương chỉ có thể tận cùng băng 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 2, Một số chính phương có chử số tận cùng là 5 thì chử số hàng chục là 2. Thật vậy, giả sử vì chử số hàng chục của 100a2 và 100a là chử số 0 nên chử số hàng chục của M là 2. 3, Một số chính phương có chử số hàng đơn vị là 6 thì chử số hàng chục của nó là số lẽ. Thật vậy, giả sử số chính phương N = a2 có chử số tận cùng là 6 thì chử số hàng đơn vị của số a chỉ có thể 4 hoặc 6. Giả sử hai chử số tận cùng của số a là ( nếu là thì chứng minh tương tự ) khi đó Vì chử số hàng chục của số 100b2 là 80b là số chẵn nên chử số hàng chục của N là số lẽ 4, Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số với số mũ lẽ Thật vậy, giả sử A = k2 và k = axbycz(a, b, c là số nguyên tố) thì A = (axbycz)2 = a2xb2yc2z Từ tính chất này suy ra: Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9 Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16 5, Số lượng các ước của một số chính phương là số lẽ. Đảo lại một số có số lượng các ước là số lẽ thì số đó là số chính phương Thật vậy , nếu A = 1 thì A là số chính phương có 1 ước . Ta giả sử số A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = axbycz thì số lượng ước của nó bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1) a, Nếu A là số chính phương thì x, y, z chẵn nên x + 1, y + 1 , z +1 lẽ . Vậy số lượng các ước của A là số lẽ. b, Nếu số lượng các ước của A là số lẽ thì (x + 1)(y + 1)(z + 1)lẽ do đó các thừa số x + 1, y + 1, z + 1 .đều lẽ , suy ra x, y, z chẵn. Đặt x = ax’ , y = 2y’, z = 2z’ (x’, y’ ,z’ thì nên A là số chính phương CÁC DẠNG TOÁN. Bài 1: Tìm số chính phương biết rằng Giải. Giả sử Suy ra : Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91 thử lại có 82 – 81 =1 vậy số cần tìm là 8281 Bài 2: Tìm số chính phương có 4 chử số mà hai chử số đầu giống nhau và hai chử số cuối giống nhau Giải. Giả sử là một số chính phương ta có: Do là số chính phương nên Do nên x + y = 11 Suy ra 9x + 1 là số chính phương suy ra x = 7, y = 4 Thử lại 7744 = 882 . Vậy số cần tìm là 7744. Bài 6: Cho số tự nhiên A gồm 100 chử số 1, số tự nhiên B gồm 50 chử số 2. Chứng minh rằng A – B là một số chính phương. Giải Đặt thì B = 2C Do đó A – B = C.1050 + C – 2C = C. 1050 – C = C (1050 – 1 ) Ta lại có Vậy A – B = C.9C = (3C)2 là số chính phương. -------------------------------------------------------------------------------------- D¹ng 2: DÙNG TÍCH CHIA HẾT . Bài 1: Tìm dư trong phép chia một số chính phương cho 3, cho 5 Giải. Số chính phương có dạng n2 ( ) Chia n cho 3 thì n = 3k hoặc Nếu n = 3k thì Nếu thì chia 3 dư 1 Vậy số chính phương chia cho 3 có dư la 0 hoặc 1. Từ đó ta có kết quả sau. Một số có dạng 3k + 2 không thể là một số chính phương Chia n cho 5 thì Nếu n = 5k thì Nếu thì chia 5 dư 1 Nếu thì chia 5 dư 4 Vậy số chính phương khi chia cho 5 dư 0, 1 hoặc 4. Từ đó ta có kết quả sau : một số có dạng 5k +2 hoặc 5k + 3 không thể là một số chính phương. Bài 2: Chứng minh rằng tổng luỹ thừa chẵn của ba số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương. Giải. Tổng luỹ thừa 2k của ba số nguyên liên tiếp có dạng (n – 1)2k + n2k + (n + 1)2k Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3, hai số còn lại có dạng nên tổng luỹ thừa chẵn của ba số nguyên liên tiếp chia cho 3 có dư là 2 nên không thể là một số chính phương. Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương. Giải. Tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp có dạng T = ( n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2 ) Ta chứng minh n2 + 2 không chia hết cho 5 với mọi n Nếu thì n2 + 2 chia cho 5 dư 2 Nếu thì chia 5 dư 3 Nếu thì chia 5 dư 1 Vậy n2 + 2 không chia hết cho 5 nên T chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 do đó T không phải là một số chính phương. Bài 4: Các tổng sau có là số chính phương hay không A = 3 + 32 + 33 + + 320 B = 11 + 112 + 113 1010 + 8 100! + 7 1010 + 5 10100 + 1050 +1 Giải. Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. A chia hết cho 3, nhưng chia 9 dư 3 , do đó A không là số chính phương. B tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương 1010 + 8 không là số chính phương vì tận cùng bằng 8. 100! + 7 không là số chính phương vì tận cùng bằng 7 1010 + 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương. 10100 + 1050 + 1 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương. --------------------------------------------------------------- Một số bài toán vô định Bài 1: Biết a + 1 và 2a + 1 đồng thời là hai số chính phương. Chứng minh rằng a chia hết cho 24 Giải. Đặt Vì 2a + 1 là một số lẽ nên m2 là số lẽ do đó m là số lẽ Đặt m = 2t + 1 khi đó là số chẵn nên a + 1 là số lẽ vì k2 là số lẽ. Ta lại có a = k2 – 1 = (k – 1)(k + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp nên a chia hết cho 8 (1) Mặt khác a + 1 + 2a + 1 = 3a + 2 = k2 + m2 là số chia cho 3 dư 2. Do vậy cả hai số k2 và m2 khi chia cho 3 đều dư 1 Khi đó m2 – k2 = 2a + 1 – a – 1 = a chia hết cho 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra . Bài 2: Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3, , 1994 thành một hàng ngang theo thứ tự tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không. Giải. Gọi A là số nhận được khi viết liên tiêp các số : 1, 2, 3, ,1994 thành một hàng ngang theo thứ tự tuỳ ý. S(A) là tổng các chử số của A. Ta có: S(A) = 1 + 2 + 3 + + 9 + (1 + 0 ) + +(1 + 9 + 9 + 4) = 1 + 2 + 3 + + 10 + 11 + + 1994 = 1995.997 Ta thấy A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, do đó A không là số chí