Toán học Luận văn Phƣơng trình vô định nghiệm nguyên và ứng dụng

Nếu a không chia hết cho b ta ký hiệu là b | a. Định lý 1.3. Nếu  ,a b d thì tồn tại hai số nguyên p và q sao cho .ap bq d  Bổ đề . Giả sử a, b, q, r là những số thỏa mãn đẳng thức a bq r  . Khi đó    , ,a b b r . Dựa vào bổ đề trên, để tìm ước số chung lớn nhất của hai số nguyên a và b khác 0, ta chia a cho b ( a b ). Khi đó a bq r  , với 0 .r b  3 Nếu 0r  thì dừng lại. Nếu 0r  ta chia b cho r và nhận được đẳng thức tương tự 1 1,b rq r  với 10 .r r  Tiếp tục quá trình trên ta nhận được: ,a bq r  1 1,b rq r  1 2 2 ,r rq r  , 2 1 ,k k k kr r q r   1 1 1.k k k kr r q r    Vì những số ,r 1,r , ,kr 1kr  tạo thành dãy giảm ngặt những số không âm, nên tồn tại k để 1 0kr   . Khi đó đẳng thức sau cũng có thể viết 1 1.k k kr r q  Theo Bổ đề, ta có        1 1 2, , ... , , .k k k k kr r r r r r b a b       Quá trình nêu trên gọi là thuật toán Euclicde . 1.2. QUAN HỆ ĐỒNG DƢ TRÊN TẬP CÁC SỐ NGUYÊN Định nghĩa 1.3. Cho m là số nguyên dương và a, b là những số nguyên. Ta nói rằng a đồng dư với b theo modul m, nếu   ,a b m và ký hiệu là  mod .a b m Trường hợp ngược lại, ta nói rằng a không đồng dư với b theo modul m và viết a b (mod m). Định nghĩa 1.4. Cho n là một số nguyên dương. Ký hiệu  n là số lượng tất cả các số tự nhiên không lớn hơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Hàm  n gọi là hàm Euler. Định lý 1.7. Nếu  , 1a n  thì    1 mod .na n 1.3. LIÊN PHÂN SỐ Định nghĩa 1.5. Liên phân số hữu hạn là một biểu thức có dạng 1 2 1 1 1 n q q q    , trong đó 1q  , * iq  , 2,i n  . Và được ký hiệu là  1 1, , ..., nq q q . Bằng thuật toán Euclicde, ta có thể biểu diễn số hữu tỷ a b dưới 4 dạng liên phân số hữu hạn như sau: 1 1,a bq r  1 2 2 ,b rq r  1 2 3 3 ,r r q r  , 3 2 1 1,n n n nr r q r     2 1 .n n nr r q  Từ đẳng thức đầu tiên ta nhận được 1 1 1 1 1 . ra q q bb b r     Từ đẳng thức thứ hai ta có 2 2 2 11 1 2 1 . rb q q rr r r     Suy ra 1 2 1 2 1 1 a q b q r r    . Tiếp tục quá trình trên, ta được 1 2 1 . 1 1 n a q b q q     Định nghĩa 1.6. Cho dãy vô hạn những số nguyên 1 2, ,q q , qn, , với 0, 1.iq i   Khi đó ta gọi biểu thức 1 2 1 1 1 1 n q q q     là liên phân số vô hạn và ký hiệu  1 2, , ..., , ...nq q q ; còn những số 1 2, , ...q q gọi là những phần tử của liên phân số vô hạn. Ta có thể biểu diễn số vô tỷ  thành liên phân số như sau  1 1 1 1 ;q q        2 1 2 1 2 1 ;q q       5 1 1 1 ;n n n n n q q           Khi đó  1 2, , ..., , ...nq q q  . Cho liên phân số  1 2, , ..., , ...nq q q  . Ta xác định hai dãy số nP và  1, 2, ...nQ n  theo công thức sau: 1 2 ,n n n nP q P P   1 2 ,n n n nQ q Q Q   trong đó 0 0 1 1 11, 0, , 1.P Q P q Q    Định lý 1.10. Thương số n n p Q biểu diễn giản phân thứ n liên phân số  , nghĩa là  1 2, , ..., . n n n P q q q Q  Định lý 1.11. Với mọi số tự nhiên n, đẳng thức sau đúng  1 1 1 . n n n n nP Q Q P    1.4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG 1.4.1. Các khái niệm liên quan Định nghĩa 1.10. Dạng toàn phương của hai biến x, y là một biểu thức có dạng 2 22 ,ax bxy cy  với a, b, c là những số nguyên không đồng thời bằng 0. Số 2D b ac  được gọi là định thức của dạng toàn phương. Cho dạng toàn phương   2 2, 2f x y ax bxy cy   . Ta đổi biến số x và y bằng những biến  và  theo công thức x y          (1.1) trong đó , , ,    là những số nguyên. 6 Khi đó    2 21 1 1, 2 ,f x y a b c         , trong đó 2 2 1 2 ,a a b c     1 ,b a b b c       2 2 1 2 .c a b c     Đẳng thức (1.1) gọi là phép biến đổi dạng toàn phương. Số   gọi là môđun của phép biến đổi (1.1). Hai dạng toàn phương gọi là tương đương nhau khi từ dạng thứ nhất chuyển đổi sang dạng thứ hai, cũng như ngược lại đều thông qua một phép biến đổi với hệ số nguyên. 1.4.2. Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phƣơng Cho dạng toàn phương 2 22ax bxy cy  và m là một số nguyên. Nếu tồn tại 0 0,x y  sao cho 2 2 0 0 0 02m ax bx y cy   , ta nói rằng số nguyên m biểu diễn qua dạng toàn phương 2 22ax bxy cy  . Nếu 0m  , giả sử rằng m biểu diễn được theo dạng toàn phương, tức là 2 2 0 0 0 02m ax bx y cy   , với 0x , 0y là những số nguyên tố cùng nhau. Ta biết rằng khi 0x , 0y là những số nguyên tố cùng nhau thì tồn tại hai số nguyên p, q sao cho 0 0 1px qy  . Dễ tính toán được đẳng thức sau:  2 2mU V b ac   , với  2 22U aq bqp cp   ,    0 0 0 0V p x b y c q x a y b    . Suy ra nếu số 0m  biểu diễn qua dạng toàn phương 2 22ax bxy cy  với 0x x , 0y y và  0 0, 1x y  , thì phải tồn tại số nguyên V sao cho hiệu bình phương của số đó với định thức của dạng toàn phương chia hết cho m. Mệnh đề 1.2. Nếu một số nguyên biểu diễn thông qua một dạng toàn phương đã cho thì nó cũng biểu diễn thông qua mọi dạng toàn 7 phương khác, mà nó bao hàm bởi dạng toàn phương đã cho. Định lý 1.12. Nếu m là số nguyên khác 0, mà nó biểu diễn thông qua dạng toàn phương 2 22ax bxy cy  với 0x x , 0y y ,  0 0, 1x y  và định thức D của nó là số dư bình phương của số V đối với m thì những dạng toàn phương sau tương đương riêng 2 22ax bxy cy  và 2 2 22 V D m V m       . CHƢƠNG 2 PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT 2.1. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH Định nghĩa 2.1. Phương trình vô định (hay còn gọi là phương trình Diophante) là phương trình có dạng:  1 2, , ..., 0,nF x x x  1n  , trong đó  1 2, , ..., nF x x x là một đa thức của các biến 1 2, , ..., ;nx x x với hệ số nguyên. Để thuận tiện, từ đây về sau nếu không nói gì khác, thì phương trình vô định nghiệm nguyên được gọi là phương trình vô định. 2.2. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2.2.1. Các định nghĩa và định lý tồn tại nghiệm Định nghĩa 2.3. Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng ax by c  (2.1) trong đó a, b, c là những số nguyên; a, b khác 0. Định lý 2.1. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm số nguyên là ước số chung lớn nhất của hai số a và b là ước số của c. Định lý 2.2. Nếu  0 0,x y là một nghiệm nguyên của phương trình (2.1) thì phương trình có vô số nghiệm nguyên và các nghiệm 8 nguyên ( , )x y của nó được cho bởi công thức 0 0 b x x t d a y y t d         , (2.2) trong đó t  và  ,d a b . 2.2.2. Ý nghĩa hình học của phƣơng trình vô định bậc nhất hai ẩn 2.3. PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN Xét phương trình vô định ax by c  , với  , |d a b c . (2.3) Không mất tính tổng quát, ta có thể xem các hệ số a, b của phương trình là những số nguyên dương. 2.3.1. Phƣơng pháp dùng thuật toán Euclide 2.3.2. Phƣơng pháp dùng liên phân số Xét phương trình (2.3) và đặt 1c dc , với 1c  . Chia cả hai vế của phương trình (2.3) cho d ta được: 1 1 1a x b y c  , (2.4) với 1 1, a b a b d d   và  1 1, 1a b  . Giả sử số hữu tỷ 1 1 a b có biểu diễn liên phân số như sau:  1 1 2 1 , , ..., n a q q q b  , và 0 1 0 1 , , ..., n n P PP Q Q Q là các giản phân của liên phân số này. Theo Định lý 1.11, ta có:  1 1 1 n n n n nP Q Q P    , và 1 1 n n Pa b Q  . 9 Vì 1 1 a b và n n P Q đều là những phân số tối giản nên 1 1,n na P b Q  suy ra    1 1 1 1 1 1 11 1 n n n na Q c b P c c            , nghĩa là    0 1 1 0 1 11 , 1 n n n nx Q c y P c      là một nghiệm riêng của phương trình (2.4) và là nghiệm riêng của phương trình (2.3). 2.3.3. Phƣơng pháp biến số nguyên Bây giờ ta sẽ giải ví dụ 2.2 bằng phương pháp biến số nguyên. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 15 9 6x y  . Giải. Ta có  15, 9 3, 3 6d   , suy ra phương trình có nghiệm nguyên. Phương trình đã cho tương đương với: 6 15 2 2 9 3 x x y x        . Đặt 2 2 3 x z    . Suy ra 3 2 2z x  hay 2 3 2x z  2 3 2 2 2 z z x z         . Đặt 2 2 2 2 z t t z       . Dễ thấy 1, 0t z  là một nghiệm riêng của phương trình vừa tìm được. Từ đó suy ra 1x  và 1y   là một riêng nghiệm riêng của phương trình đã cho. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 1 3 1 5 x t y t       , t  . 2.3.4. Phƣơng pháp hàm Euler Định lý 2.4. Cho a và b là hai số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và c là một số nguyên bất kì. Khi đó phương trình ax + by = c, có một nghiệm nguyên là:   1 0 b x ca    ,   0 1 b a y c b     . 10 2.3.5. Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình đồng dƣ 2.4. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 2.4.1. Định nghĩa và định lý tồn tại nghiệm Định nghĩa 2.4. Phương trình vô định bậc nhất n ẩn là phương trình có dạng 1 1 2 2 ... n na x a x a x b    , (2.5) trong đó 1n  ; *ia  , 1,i n  ; b . Định lý 2.6. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.5) có nghiệm nguyên là  1 2, , ..., na a a b 2.4.2. Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô định bậc nhất nhiều ẩn Xét phương trình vô định: 1 1 2 2 ... n na x a x a x b    , (2.6) trong đó 1n  ; *ia  , 1,i n  ; b ,  1 2, , ..., na a a b . Đặt  1,n nd a a . Ta có 1 1'n na da  , 'n na da , ở đây 1' , 'n na a là hai số nguyên tố cùng nhau. Phương trình (2.6) được viết lại  1 1 2 2 2 2 1 1... ' 'n n n n n na x a x a x d a x a x b         (2.7) Đặt 1 1' 'n n n nu a x a x   . (2.8) Khi đó (2.7) được viết lại: 1 1 2 2 2 2... n na x a x a x du b      (2.9) Giả sử 0 0 0 01 2 2, , ..., ,nx x x u là một nghiệm nguyên của phương trình (2.9). Với số xác định u0, phương trình (2.8) có nghiệm  0 01,n nx x vì  1' , ' 1n na a  . Khi đó  0 0 0 0 01 2 2 1, , ..., , ,n n nx x x x x  là một nghiệm nguyên của phương trình (2.7) và do đó là nghiệm của phương trình (2.6). Ví dụ 2.3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định: 1 2 3 42 3 4 6 4x x x x    Giải. Ta có  2, 3, 4, 6 1, 1 4  , suy ra phương trình có 11 nghiệm nguyên. Ta đưa vào ẩn mới 3 42 3u x x   , phương trình đã cho viết lại: 1 22 3 2 4x x u   . Phương trình sau cùng đưa ẩn mới 23 2v x u  và nhận được phương trình 12 4x v  . Giải phương trình 3 42 3u x x   , trong đó u là một số nguyên, 3x và 4x là hai ẩn. Tất cả các nghiệm là 3 1 4 1 3 2 x u t x u t      , 1t  . Giải phương trình 23 2v x u  , trong đó v là một số nguyên, u và 2x là hai ẩn. Tất cả các nghiệm là 2 2 2 2 3 x v t u v t       , 2t  . Tất cả những nghiệm nguyên của 12 4x v  với một nghiệm riêng 0 0 1 1, 2x v  là 1 3 3 1 2 2 x t v t      , 3t  . Bằng cách thay u và v vào các biểu thức của 2x , 3x , 4x ta nhận được công thức nghiệm: 1 31x t  , 2 2 3 22 2 2 2x v t t t     , 3 1 2 1 3 2 13 3 3 2 2 3 3x u t v t t t t t           , 4 1 2 1 3 2 12 3 2 2 2 3 2x u t v t t t t t           , trong đó 1 2 3, ,t t t là những số nguyên, tùy ý. 2.5. MỘT SỐ BÀI TOÁN DÂN GIAN VÀ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Bài toán 1. Đem một trăm đồng chẵn Con mái ba đồng tròn Mua gà được trăm con Mỗi đồng ba gà chiếp Năm đồng mỗi con trống Hỏi mỗi loại mấy con? Giải. Ta ký hiệu x là số con gà trống mua được, y là số con gà mái mua được, z là số con gà chiếp mua được. Khi đó tổng số gà là: 100x y z   , và số tiền là: z 5 3 100 3 x y   . 12 Từ hai phương trình ta suy ra được 7 4 100x y  , (2.10) đây là một phương trình vô định có nghiệm được xác định trong tập số tự nhiên. (2.10) 7 25 4 y x   . Từ điều kiện ,x y , ta có x phải chia hết cho 4 và nhỏ hơn 15. Như vậy x chỉ có thể là 4, 8, 12, ứng với chúng ta có y = 18, 11, 4 và số gà con mua được là z = 78, 81, 84 Vậy bài toán có 3 đáp án: 4 gà trống, 18 gà mái, 78 gà con, hoặc 8 gà trống, 11 gà mái, 81 gà con, hoặc 12 gà trống, 4 gà mái, 84 gà con. CHƢƠNG 3. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN 3.1. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH DẠNG TOÀN PHƢƠNG 3.1.1. Các định nghĩa và định lý Định nghĩa 3.1. Cho dạng toàn phương   2 2, 2f x y ax bxy cy   , với , ,a b c  , 2 2 2 0a b c   . Phương trình  ,f x y m , m  , được gọi là phương trình vô định dạng toàn phương. Một nghiệm nguyên tố cùng nhau  0 0,x y của phương trình  ,f x y m , mà qua nó xác định V, nghĩa là    0 0 0 0V p x b y c q x a y b    với 0 0 1x p y q  , được gọi là nghiệm thuộc V. Định lý 3.1. Cho   2 2, 2f x y ax bxy cy   biến đổi thành   2 21 1 1, 2a b c        theo phép biến đổi riêng x y          13 Khi đó tất cả các phép biến đổi riêng mà nó biến đổi  ,f x y thành  ,   được xác định theo công thức         1 1 1 1 x t b c u t b c u y t a b u t a b u                                               trong đó  , 2 ,a b c  ; t và u là những nghiệm nguyên của phương trình vô định 2 2 2t Du   . Hệ quả. Giả sử tồn tại nghiệm nguyên  0 0,x y , với  0 0, 1x y  và thuộc V, của phương trình 2 22ax bxy cy m   , 0m  . Khi đó, cặp số  ,x y được xác định bởi công thức     0 0 0 0 0 0 1 1 x x t x b y c u y y t x a y b u                  , (3.1) trong đó  , 2 ,a b c  ; t và u là những nghiệm nguyên của phương trình vô định 2 2 2t Du   , cũng là nghiệm nguyên tố cùng nhau thuộc V của phương trình. 3.1.2. Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô định dạng toàn phƣơng i. Trường hợp 0D  . Xét phương trình vô định dạng toàn phương 2 22ax bxy cy m   , (3.3) trong đó 2 0D b ac   . - Nếu 0a  , thì 0b  . Khi đó phương trình trở thành 2cy m , ta dễ dàng tìm được nghiệm  ,x y của phương trình này. - Nếu 0a  , khi đó   2 2 22 ax by ax bxy cy a     . Và 14 phương trình (3.3) có thể đưa về dạng   2 ax by ma  . Phương trình trên tương đương với hai phương trình ax by ma   (3.4) ii. Trường hợp 0D  . Xét phương trình vô định 2 22ax bxy cy m   , (3.5) trong đó 2 0D b ac   . - Nếu m = 0, ta có 2b b ac x y a    , khi 0a  . Trong trường hợp này phương trình (3.5) có nghiệm khi và chỉ khi 2D b ac  là một số chính phương. Đồng thời nó trở thành phương trình vô định bậc nhất hai ẩn mà ta đã biết cách giải. Nếu 0a  thì (3.5) trở thành  2 0y bx cy  . Ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình này. - Nếu 0m  , trước tiên ta giải phương trình (3.5) trong những số nguyên tố cùng nhau theo các bước. 1. Tìm tất cả những số V, 0 V m  , với nó định thức D là số dư của bình phương V đối với m. a. Nếu những số như vậy không có, thì phương trình (3.5) không có nghiệm nguyên nguyên tố cùng nhau. b. Nếu 1 2, , ...V V là những số, với chúng D là số dư bình phương đối với m, ta tìm nghiệm cho từng trường hợp của phương trình (3.5) tương ứng với 1 2, , ...V V 2. Để tìm nghiệm của (3.5), mà nó tương ứng với V1, ta xét hai dạng toàn phương 2 22ax bxy cy  và 2 2 22 V D m V m       . a. Nếu những dạng toàn phương này không tương đương riêng thì phương trình (3.5) không có nghiệm nguyên, mà nó tương ứng với số V1. 15 b. Nếu những dạng trên tương đương riêng, thì tìm nghiệm riêng của phương trình (3.5), mà nó tương ứng với số V1. 3. Bằng cách thử trực tiếp để tìm một nghiệm riêng của phương trình (3.5), mà nó thuộc tương ứng số V1. Nghiệm riêng  0 0' , 'x y thuộc V1, nếu có thể tìm được số nguyên p và q mà chúng là nghiệm của phương trình vô định 0 0' ' 1x p y q  và với chúng    0 0 0 0' ' ' 'V p x b y c q x a y b    . 4. Nếu  0 0' , 'x y thuộc V1,  0 0'' , ''x y thuộc V2, thì tất cả nghiệm của phương trình (3.5) trong những số nguyên tố cùng nhau xác định bằng công thức    0 0 0 0 0 0 1 1 ' ' ' ' , ' ' ' 'x x t x b y c u y y t x a y b u                   0 0 0 0 0 0 1 1 '' '' '' '' , '' '' '' '' ......... x x t x b y c u y y t x a y b u                trong đó  , 2 ,a b c  ; t và u là những nghiệm nguyên của phương trình vô định 2 2 2t Du   . Để tìm tất cả các nghiệm nguyên của (3.5) trong những số không nguyên tố cùng nhau, cần phải giải trong những số nguyên tố cùng nhau tất cả các phương trình, mà nó nhận từ (3.5), sao cho trong nó ta thay số m bởi thương của m với tất cả các bình phương ước số của m. Ví dụ 3.2. Giải phương trình vô định sau 2 26 13 4x xy y   Giải. Ở đây 2 4.D b ac    Ta tìm các số nguyên không âm V, nhỏ hơn 4 sao cho 4D   là số dư bình phương V đối với 4. Bằng cách kiểm tra trực tiếp, chỉ có 1 0V  và 2 2V  là thỏa mãn điều kiện trên. 16 1) Xét trường hợp 1 0V  . Dễ thấy 0 03, 1x y  là một nghiệm của phương trình vô định đã cho. Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm này thuộc số 1 0V  . Những nghiệm của phương trình vô định 3 1,p q  là 1 , . 2 3 p t t q t       Từ công thức    0 0 0 0V p x b y c q x a y b    với 0 03, 1x y  và 1t   ta nhận được 1 0.V V  Suy ra nghiệm 0 03, 1x y  thuộc 1.V Từ công thức nghiệm của phương trình vô định, suy ra 3 4x t u y t     , với 2 24 1t u  . Dễ thấy nghiệm nguyên của phương trình 2 24 1t u  là 1,t   0u  . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm tương ứng với trường hợp 1 0V  , là  3, 1 ;  3, 1 .  2) Xét trường hợp 2 2.V  Xét hai dạng toàn phương 2 26 13 x xy y và 2 2 2 2 22 4 4 2 .       V D m V m       Theo Mệnh đề 1.2, nếu một số nguyên biểu diễn qua một dạng toàn phương thì nó cũng biểu diễn qua mọi dạng toàn phương khác mà tương đương với dạng ban đầu. Nhưng 2 25 6 13x xy y   với 1, 2,x y  trong khi đó dạng 2 24 4 2    chỉ biểu diễn số chẵn. Do đó hai dạng toàn phương nói trên không tương đương. Theo Định lý 1.12, phương trình vô định 2 26 13 4x xy y   không có nghiệm nguyên trong trường hợp 2 2.V  Ta thấy 2 1 2 m  . Xét phương trình 2 26 13 1x xy y   . Phương trình này có hai nghiệm là  1, 0 ;  1, 0 . Suy ra  2, 0 ; 17  2, 0 nghiệm của phương trình đã cho ban đầu. Vậy phương trình đã cho ban đầu có các nghiệm là  2, 0 ;  2, 0 ;  3, 1 ;  3, 1 .  3.2. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN 3.2.1. Một số khái niệm liên quan Định nghĩa 3.2. Phương trình vô định bậc hai hai ẩn x và y là phương trình có dạng 2 22 2 2 0ax bxy cy dx ey f      (3.6) trong đó a, b, c, d, e, f là những số nguyên, 2 2 2 0a b c   . 3.2.2. Phƣơng pháp giải của phƣơng trình vô định bậc hai hai ẩn i. Trường hợp 2 0D b ac   . Để giải phương trình (3.6) trong trường hợp này, ta đặt z ax by d   , khi đó phương trình (3.6) trở thành 2 2z n my  . Bây giờ chỉ còn tìm những giá trị nguyên của z sao cho 2z n chia hết cho 2m. Tương ứng với từng giá trị của z ta tiến hành tìm x và y thông qua hai phương trình 2 2z n my  và z ax by d   . Ví dụ 3.3. Giải phương trình vô định 2 29 12 4 4 6 5 0.x xy y x y      Giải. Ta có 2 0.D a bc   Phương trình đã cho tương đương   2 9 6 2 30 41 0x y y     . Đặt 9 6 2z x y   , (3.7) khi đó ta có phương trình 2 41 30 .z y   Tìm 30 , 0 30z t r r    sao cho  2 41 30.z  Ta có 18    2 241 30 41 30.z r   Thay lần lượt 0,29r  vào biểu thức 2 41,r  ta thấy 7,r  13r  , 17,r  và 23r  là thỏa mãn yêu cầu. Nên  2 30 7 30 13 41 30 , . 30 17 30 23 z t z t z t z t z t               1) Với 30 7z t  9 6 30 5x y t    Suy ra 3 | 5 (vô lý). Nên 30 7z t  bị loại. 2) Với 30 13z t   9 6 30 11.x y t   Suy ra 3|11 (vô lý). Nên 30 13z t  bị loại. 3) Với 230 17 30 34 11.z t y t t       Thay y và z vào (3.7) ta được 220 26 9.x t t   4) Với 230 23 30 46 19.z t y t t       Thay y và z vào (3.7) ta được 220 34 15.x t t   Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là 2 2 20 26 9 30 34 11 x t t y t t          và 2 2 20 34 15 , . 30 46 19 x t t t y t t          ii. Trường hợp 2 0D b ac   . Cho phương trình vô định bậc hai hai ẩn X và Y có dạng 2 22 2 2 0aX bXY cY dX eY f      trong đó a, b, c, d, e, f là những số nguyên; với 2 0D b ac   . Để tìm nghiệm của phương trình vô định trên, trước hết ta đổi ẩn số X và Y bằng x và y theo công thức , x cd be y ae bd X Y D D       . Khi đó ta nhận được phương trình vô định 2 22ax bxy cy m   . 19 Phương trình này là một phương trình vô định dạng toàn phương có định thức khác không mà ta đã biết cách giải. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình ban đầu. Ví dụ 3.4. Giải phương trình vô định 2 22 5 2 2 4 0X XY Y X Y      Giải. Ta có 2 4.D b ac    Đặt 1, ,X x Y y   ta suy ra được       2 21 2 1 5 2 1 2 4 0.x x y y x y         sau khi rút gọn ta có 2 22 5 5.x xy y   (3.8) Giải phương trình (3.8), ta có các nghiệm  2, 1 ;  2, 1 ;    0, 1 ; 0, 1 . Suy ra phương trình đã cho có nghiệm là  1, 1 ;  3, 1 ;  1, 1 ;  1, 1 .  3.2.3. Một cách giải khác của phƣơng trình dạng elip, phƣơng trình dạng hyperbolic CHƢƠNG 4 PHƢƠNG TRÌNH PELL 4.1. PHƢƠNG TRÌNH PELL 4.1.1. Định nghĩa và nhận xét Định nghĩa 4.1. Phương trình Pell là phương trình vô định có dạng 2 2 1x dy  , (4.2) với d là một số nguyên dương không chính phương. 4.1.2. Sự tồn tại nghiệm và công thức nghiệm của phƣơng trình Pell Định lý 4.1. Phương trình (4.2) luôn có nghiệm nguyên dương  ,x y . 20 Nhận xét 4.1. Nếu phương trình (4.2) có nghiệm nguyên dương thì tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất    , ,x y a b , trong đó b là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa 21 db là số chính phương. Định lý 4.2 (công thức nghiệm). Giả sử  ,a b là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình (4.2). Xét hai dãy số nguyên    ,n nx y cho bởi hệ thức truy hồi 0 1 2 1 0 1 2 1 1, , 2 0, , 2 n n n n n n x x a x ax x y y b y ay y              , với n  . Khi đó  ,n nx y với n = 1, 2, là tất cả các nghiệm dương của phương trình Pell. 4.1.3. Cách giải phƣơng trình Pell bằng liên phân số Định lí 4.3. Nếu (a, b) là một nghiệm nguyên dương của phương trình Pell thì a b là một giản phân của liên phân số biểu diễn số vô tỉ .d Từ Định lí 4.3, để giải phương trình Pell ta thực hiện theo các bước sau: 1. Khai triển d thành liên phân số. 2. Tính các giản phân , 0, 1, ...n n P n Q  của liên phân số đó. 3. Tính 2 2 , 0, 1, ...n nP dQ n  Nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell là  ,n nP Q với n là số tự nhiên nhỏ nhất mà 2 2 1.n nP dQ  4. Viết nghiệm của phương trình theo hệ thức truy hồi với 1 1, .n nx P y Q  Ví dụ 4.2. Giải phương trình Pell 2 213 1.x y  21 Giải. Khai triển 13 thành liên phân số:  13 3, 1, 1, 1, 1, 6 .    Lập bảng tính giản phân và biểu thức 2 213 .n nP Q kq 3 1 1 1 1 6 1 1 1 1 kP 3 4 7 11 18 119 137 256 393 649 kQ 1 1 2 3 5 33 38 71 109 180 2 27k kP Q -4 3 -3 4 -1 4 -3 3 4 1 Vậy 1 1649, 180.x y  Phương trình có nghiệm  ,n nx y  với 0 1 1 2 0 1 1 2 1, 649, 1298 , 2 0, 180, 1298 n n n n n n x x x x x n y y y y y              4.2. MỘT SỐ DẠNG KHÁC CỦA PHƢƠNG TRÌNH PELL 4.2.1. Phƣơng trình Pell loại 2 Định nghĩa 4.2. Phương trình Pell loại 2 là phương trình có dạng 2 2 1x dy   , (4.4) trong đó d là số nguyên dương không chính phương. Phương trình Pell: 2 2 1x dy  được gọi là phương trình Pell liên kết với phương trình Pell loại 2 (4.4). Cũng như phương trình Pell, ta chỉ xét nghiệm dương của phương trình Pell loại 2. Định lý 4.3 (Về sự tồn tại nghiệm). Gọi  ,a b là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell liên kết với phương trình (4.4). Khi đó phương trình (4.4) có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm nguyên dương 2 2 2 a x dy b xy      (4.5) Định lý 4.4 (Công thức nghiệm). Giả sử hệ (4.5) có nghiệm nguyên dương duy nhất  ,u v . Xét các dãy số nguyên dương 22    ,n nx y xác định bởi: 3 2 0 1 2 1 3 2 0 1 2 1 , 3 , 2 , 3 , 2 n n n n n n x u x u duv x ax x y v y dv u v y ay y                 , với n  . Khi đó  ,n nx y là tất cả các nghiệm nguyên dương của (4.4). 4.2.2. Phƣơng trình Pell với tham số Định nghĩa 4.3. Phương trình Pell với tham số n là phương trình có dạng: 2 2x dy n  (4.6) trong đó d là một số nguyên dương không chính phương, n là một số nguyên.