Bài toán 4. Xét một tam giác có các số đo độ dài ba cạnh là ba
số nguyên liên tiếp lớn hơn 3 và số đo diện tích cũng là số nguyên.
Chứng minh rằng tồn tại một đường cao của tam giác đã cho mà nó
chia tam giác đó thành hai tam giác nhỏ sao cho số đo độ dài các
cạnh của cả hai tam giác nhỏ cũng là số nguyên.
26 trang |
Chia sẻ: lavie11 | Lượt xem: 1081 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Toán học Luận văn Phƣơng trình vô định nghiệm nguyên và ứng dụng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Nếu a không chia hết
cho b ta ký hiệu là b | a.
Định lý 1.3. Nếu ,a b d thì tồn tại hai số nguyên p và q
sao cho .ap bq d
Bổ đề . Giả sử a, b, q, r là những số thỏa mãn đẳng thức
a bq r . Khi đó , ,a b b r .
Dựa vào bổ đề trên, để tìm ước số chung lớn nhất của hai số
nguyên a và b khác 0, ta chia a cho b ( a b ). Khi đó
a bq r , với 0 .r b
3
Nếu 0r thì dừng lại. Nếu 0r ta chia b cho r và nhận
được đẳng thức tương tự
1 1,b rq r với 10 .r r Tiếp tục quá
trình trên ta nhận được: ,a bq r 1 1,b rq r 1 2 2 ,r rq r
,
2 1 ,k k k kr r q r 1 1 1.k k k kr r q r Vì những số ,r 1,r ,
,kr 1kr tạo thành dãy giảm ngặt những số không âm, nên tồn tại k
để
1 0kr . Khi đó đẳng thức sau cũng có thể viết 1 1.k k kr r q
Theo Bổ đề, ta có 1 1 2, , ... , , .k k k k kr r r r r r b a b
Quá trình nêu trên gọi là thuật toán Euclicde .
1.2. QUAN HỆ ĐỒNG DƢ TRÊN TẬP CÁC SỐ NGUYÊN
Định nghĩa 1.3. Cho m là số nguyên dương và a, b là những số
nguyên. Ta nói rằng a đồng dư với b theo modul m, nếu
,a b m và ký hiệu là mod .a b m Trường hợp ngược lại,
ta nói rằng a không đồng dư với b theo modul m và viết a b
(mod m).
Định nghĩa 1.4. Cho n là một số nguyên dương. Ký hiệu n
là số lượng tất cả các số tự nhiên không lớn hơn n và nguyên tố cùng
nhau với n. Hàm n gọi là hàm Euler.
Định lý 1.7. Nếu , 1a n thì 1 mod .na n
1.3. LIÊN PHÂN SỐ
Định nghĩa 1.5. Liên phân số hữu hạn là một biểu thức có dạng
1
2
1
1
1
n
q
q
q
, trong đó
1q ,
*
iq , 2,i n .
Và được ký hiệu là 1 1, , ..., nq q q .
Bằng thuật toán Euclicde, ta có thể biểu diễn số hữu tỷ
a
b
dưới
4
dạng liên phân số hữu hạn như sau:
1 1,a bq r 1 2 2 ,b rq r
1 2 3 3 ,r r q r , 3 2 1 1,n n n nr r q r 2 1 .n n nr r q
Từ đẳng thức đầu tiên ta nhận được 1
1 1
1
1
.
ra
q q
bb b
r
Từ đẳng thức thứ hai ta có 2
2 2
11 1
2
1
.
rb
q q
rr r
r
Suy ra
1
2
1
2
1
1
a
q
b
q
r
r
.
Tiếp tục quá trình trên, ta được 1
2
1
.
1
1
n
a
q
b
q
q
Định nghĩa 1.6. Cho dãy vô hạn những số nguyên
1 2, ,q q ,
qn, , với 0, 1.iq i Khi đó ta gọi biểu thức
1
2
1
1
1
1
n
q
q
q
là liên phân số vô hạn và ký hiệu 1 2, , ..., , ...nq q q ; còn những số
1 2, , ...q q gọi là những phần tử của liên phân số vô hạn.
Ta có thể biểu diễn số vô tỷ thành liên phân số như sau
1 1
1
1
;q
q
2 1 2
1 2
1
;q
q
5
1
1
1
;n n n
n n
q
q
Khi đó 1 2, , ..., , ...nq q q .
Cho liên phân số 1 2, , ..., , ...nq q q . Ta xác định hai dãy
số
nP và 1, 2, ...nQ n theo công thức sau:
1 2 ,n n n nP q P P 1 2 ,n n n nQ q Q Q
trong đó
0 0 1 1 11, 0, , 1.P Q P q Q
Định lý 1.10. Thương số n
n
p
Q
biểu diễn giản phân thứ n liên
phân số , nghĩa là 1 2, , ..., .
n
n
n
P
q q q
Q
Định lý 1.11. Với mọi số tự nhiên n, đẳng thức sau đúng
1 1 1 .
n
n n n nP Q Q P
1.4. DẠNG TOÀN PHƢƠNG
1.4.1. Các khái niệm liên quan
Định nghĩa 1.10. Dạng toàn phương của hai biến x, y là một
biểu thức có dạng 2 22 ,ax bxy cy với a, b, c là những số nguyên
không đồng thời bằng 0.
Số 2D b ac được gọi là định thức của dạng toàn phương.
Cho dạng toàn phương 2 2, 2f x y ax bxy cy . Ta đổi
biến số x và y bằng những biến và theo công thức
x
y
(1.1)
trong đó , , , là những số nguyên.
6
Khi đó 2 21 1 1, 2 ,f x y a b c ,
trong đó 2 2
1 2 ,a a b c
1 ,b a b b c
2 2
1 2 .c a b c
Đẳng thức (1.1) gọi là phép biến đổi dạng toàn phương. Số
gọi là môđun của phép biến đổi (1.1).
Hai dạng toàn phương gọi là tương đương nhau khi từ dạng thứ
nhất chuyển đổi sang dạng thứ hai, cũng như ngược lại đều thông qua
một phép biến đổi với hệ số nguyên.
1.4.2. Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phƣơng
Cho dạng toàn phương 2 22ax bxy cy và m là một số
nguyên. Nếu tồn tại
0 0,x y sao cho
2 2
0 0 0 02m ax bx y cy ,
ta nói rằng số nguyên m biểu diễn qua dạng toàn phương
2 22ax bxy cy .
Nếu 0m , giả sử rằng m biểu diễn được theo dạng toàn
phương, tức là 2 2
0 0 0 02m ax bx y cy , với 0x , 0y là những số
nguyên tố cùng nhau.
Ta biết rằng khi
0x , 0y là những số nguyên tố cùng nhau thì tồn
tại hai số nguyên p, q sao cho
0 0 1px qy .
Dễ tính toán được đẳng thức sau: 2 2mU V b ac ,
với 2 22U aq bqp cp , 0 0 0 0V p x b y c q x a y b .
Suy ra nếu số 0m biểu diễn qua dạng toàn phương
2 22ax bxy cy với
0x x , 0y y và 0 0, 1x y , thì phải tồn
tại số nguyên V sao cho hiệu bình phương của số đó với định thức
của dạng toàn phương chia hết cho m.
Mệnh đề 1.2. Nếu một số nguyên biểu diễn thông qua một dạng
toàn phương đã cho thì nó cũng biểu diễn thông qua mọi dạng toàn
7
phương khác, mà nó bao hàm bởi dạng toàn phương đã cho.
Định lý 1.12. Nếu m là số nguyên khác 0, mà nó biểu diễn
thông qua dạng toàn phương 2 22ax bxy cy với
0x x ,
0y y , 0 0, 1x y và định thức D của nó là số dư bình phương
của số V đối với m thì những dạng toàn phương sau tương đương
riêng 2 22ax bxy cy và
2
2 22
V D
m V
m
.
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT
2.1. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH
Định nghĩa 2.1. Phương trình vô định (hay còn gọi là phương
trình Diophante) là phương trình có dạng: 1 2, , ..., 0,nF x x x
1n , trong đó 1 2, , ..., nF x x x là một đa thức của các biến
1 2, , ..., ;nx x x với hệ số nguyên.
Để thuận tiện, từ đây về sau nếu không nói gì khác, thì phương
trình vô định nghiệm nguyên được gọi là phương trình vô định.
2.2. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2.2.1. Các định nghĩa và định lý tồn tại nghiệm
Định nghĩa 2.3. Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn x, y là
phương trình có dạng ax by c (2.1)
trong đó a, b, c là những số nguyên; a, b khác 0.
Định lý 2.1. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.1) có ít
nhất một nghiệm số nguyên là ước số chung lớn nhất của hai số a và
b là ước số của c.
Định lý 2.2. Nếu 0 0,x y là một nghiệm nguyên của phương
trình (2.1) thì phương trình có vô số nghiệm nguyên và các nghiệm
8
nguyên ( , )x y của nó được cho bởi công thức
0
0
b
x x t
d
a
y y t
d
, (2.2)
trong đó t và ,d a b .
2.2.2. Ý nghĩa hình học của phƣơng trình vô định bậc nhất
hai ẩn
2.3. PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH
VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Xét phương trình vô định ax by c , với , |d a b c . (2.3)
Không mất tính tổng quát, ta có thể xem các hệ số a, b của
phương trình là những số nguyên dương.
2.3.1. Phƣơng pháp dùng thuật toán Euclide
2.3.2. Phƣơng pháp dùng liên phân số
Xét phương trình (2.3) và đặt
1c dc , với 1c .
Chia cả hai vế của phương trình (2.3) cho d ta được:
1 1 1a x b y c , (2.4)
với 1 1,
a b
a b
d d
và 1 1, 1a b .
Giả sử số hữu tỷ 1
1
a
b
có biểu diễn liên phân số như sau:
1 1 2
1
, , ..., n
a
q q q
b
,
và 0 1
0 1
, , ..., n
n
P PP
Q Q Q
là các giản phân của liên phân số này. Theo
Định lý 1.11, ta có: 1 1 1
n
n n n nP Q Q P , và
1
1
n
n
Pa
b Q
.
9
Vì 1
1
a
b
và n
n
P
Q
đều là những phân số tối giản nên
1 1,n na P b Q
suy ra 1 1 1 1 1 1 11 1
n n
n na Q c b P c c
,
nghĩa là 0 1 1 0 1 11 , 1
n n
n nx Q c y P c là một nghiệm riêng
của phương trình (2.4) và là nghiệm riêng của phương trình (2.3).
2.3.3. Phƣơng pháp biến số nguyên
Bây giờ ta sẽ giải ví dụ 2.2 bằng phương pháp biến số nguyên.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 15 9 6x y .
Giải. Ta có 15, 9 3, 3 6d , suy ra phương trình có nghiệm
nguyên. Phương trình đã cho tương đương với:
6 15 2 2
9 3
x x
y x
.
Đặt
2 2
3
x
z
. Suy ra 3 2 2z x hay 2 3 2x z
2 3 2
2 2
z z
x z
.
Đặt
2
2 2
2
z
t t z
. Dễ thấy 1, 0t z là
một nghiệm riêng của phương trình vừa tìm được.
Từ đó suy ra 1x và 1y là một riêng nghiệm riêng của
phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
1 3
1 5
x t
y t
, t .
2.3.4. Phƣơng pháp hàm Euler
Định lý 2.4. Cho a và b là hai số nguyên dương, nguyên tố cùng
nhau và c là một số nguyên bất kì. Khi đó phương trình ax + by = c,
có một nghiệm nguyên là:
1
0
b
x ca
,
0
1
b
a
y c
b
.
10
2.3.5. Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình đồng dƣ
2.4. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
2.4.1. Định nghĩa và định lý tồn tại nghiệm
Định nghĩa 2.4. Phương trình vô định bậc nhất n ẩn là phương
trình có dạng
1 1 2 2 ... n na x a x a x b , (2.5)
trong đó 1n ; *ia , 1,i n ; b .
Định lý 2.6. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.5) có
nghiệm nguyên là 1 2, , ..., na a a b
2.4.2. Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô định bậc nhất
nhiều ẩn
Xét phương trình vô định:
1 1 2 2 ... n na x a x a x b , (2.6)
trong đó 1n ; *ia , 1,i n ; b , 1 2, , ..., na a a b .
Đặt 1,n nd a a . Ta có 1 1'n na da , 'n na da , ở đây
1' , 'n na a là hai số nguyên tố cùng nhau. Phương trình (2.6) được viết
lại 1 1 2 2 2 2 1 1... ' 'n n n n n na x a x a x d a x a x b (2.7)
Đặt 1 1' 'n n n nu a x a x . (2.8)
Khi đó (2.7) được viết lại: 1 1 2 2 2 2... n na x a x a x du b (2.9)
Giả sử 0 0 0 01 2 2, , ..., ,nx x x u là một nghiệm nguyên của phương
trình (2.9). Với số xác định u0, phương trình (2.8) có nghiệm
0 01,n nx x vì 1' , ' 1n na a . Khi đó 0 0 0 0 01 2 2 1, , ..., , ,n n nx x x x x là
một nghiệm nguyên của phương trình (2.7) và do đó là nghiệm của
phương trình (2.6).
Ví dụ 2.3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định:
1 2 3 42 3 4 6 4x x x x
Giải. Ta có 2, 3, 4, 6 1, 1 4 , suy ra phương trình có
11
nghiệm nguyên. Ta đưa vào ẩn mới
3 42 3u x x , phương trình đã
cho viết lại:
1 22 3 2 4x x u .
Phương trình sau cùng đưa ẩn mới
23 2v x u và nhận được
phương trình
12 4x v .
Giải phương trình
3 42 3u x x , trong đó u là một số nguyên,
3x và 4x là hai ẩn. Tất cả các nghiệm là
3 1
4 1
3
2
x u t
x u t
,
1t .
Giải phương trình
23 2v x u , trong đó v là một số nguyên, u
và
2x là hai ẩn. Tất cả các nghiệm là
2 2
2
2
3
x v t
u v t
,
2t .
Tất cả những nghiệm nguyên của
12 4x v với một nghiệm
riêng 0 0
1 1, 2x v là
1 3
3
1
2 2
x t
v t
,
3t .
Bằng cách thay u và v vào các biểu thức của
2x , 3x , 4x ta nhận
được công thức nghiệm:
1 31x t , 2 2 3 22 2 2 2x v t t t ,
3 1 2 1 3 2 13 3 3 2 2 3 3x u t v t t t t t ,
4 1 2 1 3 2 12 3 2 2 2 3 2x u t v t t t t t ,
trong đó
1 2 3, ,t t t là những số nguyên, tùy ý.
2.5. MỘT SỐ BÀI TOÁN DÂN GIAN VÀ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Bài toán 1. Đem một trăm đồng chẵn Con mái ba đồng tròn
Mua gà được trăm con Mỗi đồng ba gà chiếp
Năm đồng mỗi con trống Hỏi mỗi loại mấy con?
Giải. Ta ký hiệu x là số con gà trống mua được, y là số con gà
mái mua được, z là số con gà chiếp mua được.
Khi đó tổng số gà là: 100x y z , và số tiền là:
z
5 3 100
3
x y .
12
Từ hai phương trình ta suy ra được 7 4 100x y , (2.10)
đây là một phương trình vô định có nghiệm được xác định trong tập
số tự nhiên.
(2.10)
7
25
4
y x .
Từ điều kiện ,x y , ta có x phải chia hết cho 4 và nhỏ hơn
15. Như vậy x chỉ có thể là 4, 8, 12, ứng với chúng ta có y = 18,
11, 4 và số gà con mua được là z = 78, 81, 84
Vậy bài toán có 3 đáp án: 4 gà trống, 18 gà mái, 78 gà con,
hoặc 8 gà trống, 11 gà mái, 81 gà con, hoặc 12 gà trống, 4 gà mái, 84
gà con.
CHƢƠNG 3. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN
3.1. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH DẠNG TOÀN PHƢƠNG
3.1.1. Các định nghĩa và định lý
Định nghĩa 3.1. Cho dạng toàn phương
2 2, 2f x y ax bxy cy ,
với , ,a b c , 2 2 2 0a b c . Phương trình ,f x y m ,
m , được gọi là phương trình vô định dạng toàn phương.
Một nghiệm nguyên tố cùng nhau 0 0,x y của phương trình
,f x y m , mà qua nó xác định V, nghĩa là
0 0 0 0V p x b y c q x a y b với 0 0 1x p y q , được gọi là
nghiệm thuộc V.
Định lý 3.1. Cho 2 2, 2f x y ax bxy cy biến đổi thành
2 21 1 1, 2a b c theo phép biến đổi riêng
x
y
13
Khi đó tất cả các phép biến đổi riêng mà nó biến đổi ,f x y
thành , được xác định theo công thức
1 1
1 1
x t b c u t b c u
y t a b u t a b u
trong đó , 2 ,a b c ; t và u là những nghiệm nguyên của
phương trình vô định 2 2 2t Du .
Hệ quả. Giả sử tồn tại nghiệm nguyên 0 0,x y , với
0 0, 1x y và thuộc V, của phương trình
2 22ax bxy cy m ,
0m . Khi đó, cặp số ,x y được xác định bởi công thức
0 0 0
0 0 0
1
1
x x t x b y c u
y y t x a y b u
, (3.1)
trong đó , 2 ,a b c ; t và u là những nghiệm nguyên của
phương trình vô định 2 2 2t Du , cũng là nghiệm nguyên tố
cùng nhau thuộc V của phương trình.
3.1.2. Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô định dạng toàn phƣơng
i. Trường hợp 0D .
Xét phương trình vô định dạng toàn phương
2 22ax bxy cy m , (3.3)
trong đó 2 0D b ac .
- Nếu 0a , thì 0b . Khi đó phương trình trở thành
2cy m , ta dễ dàng tìm được nghiệm ,x y của phương trình này.
- Nếu 0a , khi đó
2
2 22
ax by
ax bxy cy
a
. Và
14
phương trình (3.3) có thể đưa về dạng
2
ax by ma .
Phương trình trên tương đương với hai phương trình
ax by ma (3.4)
ii. Trường hợp 0D .
Xét phương trình vô định 2 22ax bxy cy m , (3.5)
trong đó 2 0D b ac .
- Nếu m = 0, ta có
2b b ac
x y
a
, khi 0a . Trong
trường hợp này phương trình (3.5) có nghiệm khi và chỉ khi
2D b ac là một số chính phương. Đồng thời nó trở thành
phương trình vô định bậc nhất hai ẩn mà ta đã biết cách giải. Nếu
0a thì (3.5) trở thành 2 0y bx cy . Ta dễ dàng tìm được
nghiệm của phương trình này.
- Nếu 0m , trước tiên ta giải phương trình (3.5) trong những
số nguyên tố cùng nhau theo các bước.
1. Tìm tất cả những số V, 0 V m , với nó định thức D là
số dư của bình phương V đối với m.
a. Nếu những số như vậy không có, thì phương trình (3.5) không
có nghiệm nguyên nguyên tố cùng nhau.
b. Nếu
1 2, , ...V V là những số, với chúng D là số dư bình
phương đối với m, ta tìm nghiệm cho từng trường hợp của phương
trình (3.5) tương ứng với
1 2, , ...V V
2. Để tìm nghiệm của (3.5), mà nó tương ứng với V1, ta xét hai
dạng toàn phương
2 22ax bxy cy và
2
2 22
V D
m V
m
.
a. Nếu những dạng toàn phương này không tương đương riêng
thì phương trình (3.5) không có nghiệm nguyên, mà nó tương ứng
với số V1.
15
b. Nếu những dạng trên tương đương riêng, thì tìm nghiệm
riêng của phương trình (3.5), mà nó tương ứng với số V1.
3. Bằng cách thử trực tiếp để tìm một nghiệm riêng của phương
trình (3.5), mà nó thuộc tương ứng số V1. Nghiệm riêng 0 0' , 'x y
thuộc V1, nếu có thể tìm được số nguyên p và q mà chúng là nghiệm
của phương trình vô định
0 0' ' 1x p y q và với chúng
0 0 0 0' ' ' 'V p x b y c q x a y b .
4. Nếu 0 0' , 'x y thuộc V1, 0 0'' , ''x y thuộc V2, thì tất cả
nghiệm của phương trình (3.5) trong những số nguyên tố cùng nhau
xác định bằng công thức
0 0 0 0 0 0
1 1
' ' ' ' , ' ' ' 'x x t x b y c u y y t x a y b u
0 0 0 0 0 0
1 1
'' '' '' '' , '' '' '' ''
.........
x x t x b y c u y y t x a y b u
trong đó , 2 ,a b c ; t và u là những nghiệm nguyên của
phương trình vô định 2 2 2t Du .
Để tìm tất cả các nghiệm nguyên của (3.5) trong những số không
nguyên tố cùng nhau, cần phải giải trong những số nguyên tố cùng
nhau tất cả các phương trình, mà nó nhận từ (3.5), sao cho trong nó ta
thay số m bởi thương của m với tất cả các bình phương ước số của m.
Ví dụ 3.2. Giải phương trình vô định sau
2 26 13 4x xy y
Giải. Ở đây 2 4.D b ac Ta tìm các số nguyên không
âm V, nhỏ hơn 4 sao cho 4D là số dư bình phương V đối với
4. Bằng cách kiểm tra trực tiếp, chỉ có 1 0V và 2 2V là thỏa
mãn điều kiện trên.
16
1) Xét trường hợp
1 0V . Dễ thấy 0 03, 1x y là một
nghiệm của phương trình vô định đã cho. Ta sẽ chứng minh rằng
nghiệm này thuộc số
1 0V .
Những nghiệm của phương trình vô định 3 1,p q là
1
, .
2 3
p t
t
q t
Từ công thức 0 0 0 0V p x b y c q x a y b với
0 03, 1x y và 1t ta nhận được 1 0.V V Suy ra
nghiệm
0 03, 1x y thuộc 1.V Từ công thức nghiệm của phương
trình vô định, suy ra
3 4x t u
y t
, với 2 24 1t u .
Dễ thấy nghiệm nguyên của phương trình 2 24 1t u là
1,t 0u . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm tương ứng
với trường hợp
1 0V , là 3, 1 ; 3, 1 .
2) Xét trường hợp
2 2.V Xét hai dạng toàn phương
2 26 13 x xy y và
2
2 2 2 22 4 4 2 .
V D
m V
m
Theo Mệnh đề 1.2, nếu một số nguyên biểu diễn qua một dạng
toàn phương thì nó cũng biểu diễn qua mọi dạng toàn phương khác
mà tương đương với dạng ban đầu. Nhưng 2 25 6 13x xy y
với 1, 2,x y trong khi đó dạng 2 24 4 2 chỉ biểu
diễn số chẵn. Do đó hai dạng toàn phương nói trên không tương
đương. Theo Định lý 1.12, phương trình vô định
2 26 13 4x xy y không có nghiệm nguyên trong trường hợp
2 2.V
Ta thấy
2
1
2
m
. Xét phương trình 2 26 13 1x xy y .
Phương trình này có hai nghiệm là 1, 0 ; 1, 0 .
Suy ra 2, 0 ;
17
2, 0
nghiệm của phương trình đã cho ban đầu.
Vậy phương trình đã cho ban đầu có các nghiệm là 2, 0 ;
2, 0 ; 3, 1 ; 3, 1 .
3.2. PHƢƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC HAI HAI ẨN
3.2.1. Một số khái niệm liên quan
Định nghĩa 3.2. Phương trình vô định bậc hai hai ẩn x và y là
phương trình có dạng
2 22 2 2 0ax bxy cy dx ey f (3.6)
trong đó a, b, c, d, e, f là những số nguyên, 2 2 2 0a b c .
3.2.2. Phƣơng pháp giải của phƣơng trình vô định bậc hai
hai ẩn
i. Trường hợp 2 0D b ac .
Để giải phương trình (3.6) trong trường hợp này, ta đặt
z ax by d , khi đó phương trình (3.6) trở thành
2 2z n my . Bây giờ chỉ còn tìm những giá trị nguyên của z sao
cho 2z n chia hết cho 2m.
Tương ứng với từng giá trị của z ta tiến hành tìm x và y thông
qua hai phương trình 2 2z n my
và z ax by d .
Ví dụ 3.3. Giải phương trình vô định
2 29 12 4 4 6 5 0.x xy y x y
Giải. Ta có 2 0.D a bc Phương trình đã cho tương
đương
2
9 6 2 30 41 0x y y .
Đặt 9 6 2z x y , (3.7)
khi đó ta có phương trình 2 41 30 .z y
Tìm 30 , 0 30z t r r sao cho 2 41 30.z Ta có
18
2 241 30 41 30.z r
Thay lần lượt 0,29r vào biểu thức 2 41,r ta thấy 7,r
13r , 17,r và 23r là thỏa mãn yêu cầu. Nên
2
30 7
30 13
41 30 , .
30 17
30 23
z t
z t
z t
z t
z t
1) Với 30 7z t 9 6 30 5x y t
Suy ra 3 | 5 (vô lý). Nên 30 7z t bị loại.
2) Với 30 13z t 9 6 30 11.x y t
Suy ra 3|11 (vô lý). Nên 30 13z t bị loại.
3) Với 230 17 30 34 11.z t y t t
Thay y và z vào (3.7) ta được 220 26 9.x t t
4) Với 230 23 30 46 19.z t y t t
Thay y và z vào (3.7) ta được 220 34 15.x t t
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là
2
2
20 26 9
30 34 11
x t t
y t t
và
2
2
20 34 15
, .
30 46 19
x t t
t
y t t
ii. Trường hợp 2 0D b ac .
Cho phương trình vô định bậc hai hai ẩn X và Y có dạng
2 22 2 2 0aX bXY cY dX eY f
trong đó a, b, c, d, e, f là những số nguyên; với 2 0D b ac .
Để tìm nghiệm của phương trình vô định trên, trước hết ta đổi ẩn
số X và Y bằng x và y theo công thức
,
x cd be y ae bd
X Y
D D
.
Khi đó ta nhận được phương trình vô định 2 22ax bxy cy m .
19
Phương trình này là một phương trình vô định dạng toàn phương có
định thức khác không mà ta đã biết cách giải. Từ đó suy ra nghiệm
của phương trình ban đầu.
Ví dụ 3.4. Giải phương trình vô định
2 22 5 2 2 4 0X XY Y X Y
Giải. Ta có 2 4.D b ac Đặt 1, ,X x Y y ta suy
ra được
2 21 2 1 5 2 1 2 4 0.x x y y x y
sau khi rút gọn ta có 2 22 5 5.x xy y (3.8)
Giải phương trình (3.8), ta có các nghiệm 2, 1 ; 2, 1 ;
0, 1 ; 0, 1 .
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm là 1, 1 ; 3, 1 ;
1, 1 ; 1, 1 .
3.2.3. Một cách giải khác của phƣơng trình dạng elip,
phƣơng trình dạng hyperbolic
CHƢƠNG 4
PHƢƠNG TRÌNH PELL
4.1. PHƢƠNG TRÌNH PELL
4.1.1. Định nghĩa và nhận xét
Định nghĩa 4.1. Phương trình Pell là phương trình vô định có
dạng 2 2 1x dy , (4.2)
với d là một số nguyên dương không chính phương.
4.1.2. Sự tồn tại nghiệm và công thức nghiệm của phƣơng
trình Pell
Định lý 4.1. Phương trình (4.2) luôn có nghiệm nguyên dương
,x y .
20
Nhận xét 4.1. Nếu phương trình (4.2) có nghiệm nguyên dương
thì tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất , ,x y a b , trong đó
b là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa 21 db là số chính phương.
Định lý 4.2 (công thức nghiệm). Giả sử ,a b là nghiệm
nguyên dương nhỏ nhất của phương trình (4.2). Xét hai dãy số
nguyên ,n nx y cho bởi hệ thức truy hồi
0 1 2 1
0 1 2 1
1, , 2
0, , 2
n n n
n n n
x x a x ax x
y y b y ay y
, với n .
Khi đó ,n nx y với n = 1, 2, là tất cả các nghiệm dương của
phương trình Pell.
4.1.3. Cách giải phƣơng trình Pell bằng liên phân số
Định lí 4.3. Nếu (a, b) là một nghiệm nguyên dương của
phương trình Pell thì
a
b
là một giản phân của liên phân số biểu
diễn số vô tỉ .d
Từ Định lí 4.3, để giải phương trình Pell ta thực hiện theo các
bước sau:
1. Khai triển d thành liên phân số.
2. Tính các giản phân , 0, 1, ...n
n
P
n
Q
của liên phân số đó.
3. Tính 2 2 , 0, 1, ...n nP dQ n Nghiệm nhỏ nhất của phương
trình Pell là ,n nP Q với n là số tự nhiên nhỏ nhất mà
2 2 1.n nP dQ
4. Viết nghiệm của phương trình theo hệ thức truy hồi với
1 1, .n nx P y Q
Ví dụ 4.2. Giải phương trình Pell 2 213 1.x y
21
Giải. Khai triển 13 thành liên phân số: 13 3, 1, 1, 1, 1, 6 .
Lập bảng tính giản phân và biểu thức 2 213 .n nP Q
kq 3 1 1 1 1 6 1 1 1 1
kP 3 4 7 11 18 119 137 256 393 649
kQ 1 1 2 3 5 33 38 71 109 180
2 27k kP Q
-4 3 -3 4 -1 4 -3 3 4 1
Vậy
1 1649, 180.x y
Phương trình có nghiệm ,n nx y với
0 1 1 2
0 1 1 2
1, 649, 1298
, 2
0, 180, 1298
n n n
n n n
x x x x x
n
y y y y y
4.2. MỘT SỐ DẠNG KHÁC CỦA PHƢƠNG TRÌNH PELL
4.2.1. Phƣơng trình Pell loại 2
Định nghĩa 4.2. Phương trình Pell loại 2 là phương trình có
dạng 2 2 1x dy , (4.4)
trong đó d là số nguyên dương không chính phương.
Phương trình Pell: 2 2 1x dy được gọi là phương trình Pell
liên kết với phương trình Pell loại 2 (4.4).
Cũng như phương trình Pell, ta chỉ xét nghiệm dương của
phương trình Pell loại 2.
Định lý 4.3 (Về sự tồn tại nghiệm). Gọi ,a b là nghiệm
nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell liên kết với phương
trình (4.4). Khi đó phương trình (4.4) có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau
có nghiệm nguyên dương
2 2
2
a x dy
b xy
(4.5)
Định lý 4.4 (Công thức nghiệm). Giả sử hệ (4.5) có nghiệm
nguyên dương duy nhất ,u v . Xét các dãy số nguyên dương
22
,n nx y xác định bởi:
3 2
0 1 2 1
3 2
0 1 2 1
, 3 , 2
, 3 , 2
n n n
n n n
x u x u duv x ax x
y v y dv u v y ay y
, với n .
Khi đó ,n nx y là tất cả các nghiệm nguyên dương của (4.4).
4.2.2. Phƣơng trình Pell với tham số
Định nghĩa 4.3. Phương trình Pell với tham số n là phương
trình có dạng: 2 2x dy n (4.6)
trong đó d là một số nguyên dương không chính phương, n là một
số nguyên.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- lethikimanh_tt_6492_1947508.pdf