Tóm tắt Luận án Điều khiển H∞ các hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên

ơng pháp LMI (bất đẳng thức ma trận tuyến tính), và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả đáng quan tâm. Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một số hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi trễ khả vi và thậm chí có cấu trúc khá phức tạp. Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii và một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án cho bài toán điều khiển H∞ là hệ phi tuyến có trễ (2.1). Bằng cách sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳng thức mới, một điều kiện đủ cho bài toán điều khiển H∞ được thiết lập thông qua LMI, các LMI này có thể giải được một cách đơn giản thông qua Matlab. Cách tiếp cận này cho phép áp dụng nghiên cứu bài toán này cho một lớp hệ không chắc chắn có trễ tương ứng. Lớp hệ thứ hai được nghiên cứu trong luận án là một lớp hệ Large-Scale phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi, được tạo thành từ nhiều hệ con có liên kết trong giữa các hệ con, được mô tả bởi phương trình vi phân (2.21). Kết quả chính thu được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ và tính ổn định hóa dạng mũ cho hệ đóng tương ứng. Đây là kết quả đầu tiên về bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ (2.21). Phần tiếp theo của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch Large-Scale được mô tả bởi 2 phương trình vi phân (3.1) với các quy tắc bật nhận giá trị trong tập hữu hạn cho trước. So sánh với các kết quả đã có, kết quả của chúng tôi có các ưu điểm sau: (i) hàm trễ liên tục biến thiên dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ, và cận dưới của trễ có thể khác không; (ii) các điều kiện được thể hiện thông qua LMI có thể giải số một cách hiệu quả thông qua Matlab; (iii) một thiết kế hình học đơn giản được sử dụng để tìm các luật chuyển đổi và cho phép đảm bảo tính ổn định mũ cho hệ thống. Phần cuối của luận án, chúng tôi mở rộng các kết quả về ổn định cho hệ chuyển mạch (3.1) để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch (3.17). Kết quả đạt được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ và là kết quả đầu tiên về điều khiển H∞ cho hệ Large-Scale chuyển mạch có trễ biến thiên dạng khoảng. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu, danh mục 3 công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương như sau: Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC Chương 2. ĐIỀU KHIỂNH∞ CHOMỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chương 3. ĐIỀU KHIỂNH∞ CHOHỆ LARGE-SCALE CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN 3 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa 1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân x˙(t) = f(t, x(t)), t ≥ 0. (1.1) Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f(t, 0) = 0,∀t ≥ 0. Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) với x(t0) = x0 thỏa mãn ||x(t)|| ≤Me−δ(t−t0)||x0||, ∀t ≥ t0. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử f(t, 0) = 0,∀t ≥ 0. Hàm V : R+ × D → R khả vi liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0,∀t ≥ 0, với D ⊂ Rn là lân cận mở tùy ý của 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa ∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ ×D với K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+, a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s > 0. ii) V˙ (t, x) := ∂V ∂t + ∂V ∂x f(t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ ×D. Nếu hàm V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm các điều kiện iii) ∃b ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ ×D; 4 iv) ∃c ∈ K sao cho V˙ (t, x(t)) ≤ −c(||x||), ∀t ∈ R+, ∀x ∈ D \ {0}, thì V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt. Định lí 1.1.4. Giả sử f(t, 0) = 0,∀t ≥ 0. Khi đó, nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định tiệm cận đều. 1.1.2 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân x˙(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0. (1.2) Định nghĩa 1.1.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h : Rn → Rm, h(0) = 0, sao cho với điều khiển u = h(x), nghiệm x = 0 của hệ x˙(t) = f(t, x(t), h(x(t))) là ổn định tiệm cận. Trong trường hợp này, hàm u = h(x) được gọi là hàm điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống. 1.2 Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ Xét hệ phương trình vi phân hàm x˙(t) = f(t, xt), t ≥ t0 ≥ 0, x(t) = ϕ(t), t ∈ [t0 − τ, t0]. (1.3) Định lí 1.2.3. Cho hàm số f : [0,+∞)× PC([−r, 0],Rn)→ Rn thỏa mãn các điều kiện sau. i) Với bất kì H > 0, tồn tại M(H) > 0 sao cho ||f(t, ϕ)|| ≤M(H), (t, ϕ) ∈ [0,+∞)×PC([−r, 0],Rn), ||ϕ||C ≤ H; ii) Hàm f(t, ϕ) là hàm liên tục trên tập [0,+∞)×PC([−r, 0],Rn) với cả hai biến; 5 iii) Hàm f(t, ϕ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai, tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho ||f(t, ϕ1)− f(t, ϕ2)|| ≤ L(H)||ϕ1 − ϕ2||C , với mọi t ≥ 0, ϕi ∈ PC([−r, 0],Rn), ||ϕi||C ≤ H, i = 1, 2. iv) ||f(t, ϕ)|| ≤ η(||ϕ||C ), t ≥ 0, ϕ ∈ PC([−r, 0],Rn), trong đó η : [0,∞) → R liên tục, không giảm và sao cho với r0 ≥ 0 bất kì điều kiện sau thỏa mãn lim R→∞ R∫ r0 dr η(r) = +∞. Khi đó, với t0 ≥ 0 và hàm ϕ ∈ PC([−r, 0], Rn) cho trước, hệ (1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định trên [t0 − r,∞) với điều kiện ban đầu xt0 = ϕ. 1.3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ 1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ Định nghĩa 1.3.2. Giả sử f(t, 0) = 0,∀t ∈ R và β > 0 cho trước. Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.3) được gọi là β− ổn định mũ nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho mọi nghiệm x(t0, ϕ) của hệ (1.3) thỏa mãn ||x(t0, ϕ)(t)|| ≤Me−β(t−t0)||ϕ||C , ∀t ≥ t0. Định nghĩa 1.3.3. Đặt QH := {ϕ ∈ C([−r, 0],Rn)| ||ϕ||C ≤ H}. Nếu V : R × QH → R liên tục và x(·) là nghiệm của phương trình (1.3), chúng ta định nghĩa V˙ (t, ϕ) = lim sup h→0+ 1 h [V (t+ h, xt+h(t, ϕ)) − V (t, ϕ)] . Định nghĩa 1.3.4. Hàm V : R×QH → R liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ∈ R, được gọi là hàm Lyapunov-Krasovskii của hệ (1.3) nếu 6 i) hàm V (t, ϕ) xác định dương, tức là ∃u ∈ K : u(||ϕ(0)||) ≤ V (t, ϕ), ∀ϕ ∈ QH , t ∈ R, ii) V˙ (t, ϕ) ≤ 0, ∀ϕ ∈ QH . Định lí 1.3.7. Nếu tồn tại hàm liên tục V : R+ × C → R thỏa mãn i) Tồn tại λ1, λ2 > 0 sao cho λ1||ϕ(0)||2 ≤ V (t, ϕ) ≤ λ2||ϕ||2C ii) V˙ (t, ϕ) ≤ 0, thì hệ (1.3) là ổn định và nghiệm là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho ||x(t0, ϕ)(t)|| ≤M ||ϕ||C , ∀(t0, ϕ) ∈ R+×C, t ≥ t0. Nếu thay điều kiện (ii) bằng điều kiện iii) Tồn tại λ0 > 0 sao cho V˙ (t, ϕ) ≤ −2λ0V (t, ϕ) với mọi (t, ϕ) ∈ R+ × C, thì hệ (1.3) là ổn định mũ và nghiệm của hệ thỏa mãn ||x(t0, ϕ)(t)|| ≤ √ λ2 λ1 e−λ0(t−t0)||ϕ||C , ∀t ≥ t0. 1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân x˙(t) = f(t, xt, u(t)), t ≥ 0, x0 = ϕ. (1.4) Định nghĩa 1.3.8. Cho β > 0. Hệ (1.4) gọi là ổn định hóa được dạng mũ nếu tồn tại hàm g : Rn → Rm, g(0) = 0, sao cho x = 0 của hệ x˙(t) = f(t, xt, g(x(t))) là β− ổn định mũ. 1.4 Phương pháp H∞ trong lí thuyết điều khiển 7 1.4.1 Không gian H∞ Định nghĩa 1.4.1. H∞ là không gian các hàm có giá trị ma trận, giải tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > 0 và bị chặn trên trục ảo. Chuẩn H∞ được định nghĩa ||F ||∞ := sup Re(s)>0 √ λmax(F ∗(s)F (s)). Định nghĩa 1.4.2. Cho ω ∈ L2 ([0,∞),Rn) và z ∈ L2 ([0,∞),Rm) . Ma trận chuyển Tzω từ ω tới z được định nghĩa Z(s) = Tzω(s)Ω(s), trong đó Z(s),Ω(s) là các biến đổi Laplace của z(t), ω(t). 1.4.2 Bài toán điều khiển H∞ Xét hệ điều khiển được mô tả như sau: Thiết bị P có hai đầu vào: đầu vào ngoại sinh ω và các biến điều khiển u. Các kết quả đầu ra, các tín hiệu lỗi z và các biến đo x được sử dụng trong K để thiết kế biến điều khiển u. Trước hết, chúng ta nhận định một bộ điều khiển là chấp nhận được nếu nó ổn định hệ thống khi không có đầu vào ngoại sinh (ω ≡ 0). Hình 1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H∞ H1. Điều khiển H∞ tối ưu. Tìm tất cả các điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||Tzω||∞ là nhỏ nhất. H2. Điều khiển H∞ tựa tối ưu (suboptimal). Cho γ > 0. Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||Tzω||∞ ≤ γ. 8 CHƯƠNG 2 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, và không khả vi. Nội dung được trình bày trong chương này dựa vào hai bài báo [1,2] trong danh mục các công trình khoa học của tác giả. 2.1. Điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến Xét phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên  x˙(t) = Ax(t) +Dx(t− h(t)) +Bu(t) + Cω(t) +f(t, x(t), x(t− h(t)), u(t), ω(t)), z(t) = Ex(t) +Gx(t− h(t)) + Fu(t) +g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t)), t ≥ 0, x0 = ϕ, (2.1) trong đó hàm trễ h : R+ → R+ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2, F T [E,G] = 0, F TF ≤ I, hàm f và hàm liên tục g thỏa mãn ||f(t, x0, x1, x2, x3)|| ≤ a||x0||+ b||x1||+ c||x2||+ d||x3||, ||g(t, x0, x1, x2)||2 ≤ a1||x0||2 + b1||x1||2 + c1||x2||2. Ngoài ra, hàm f(t, x0, x1, x2, 0) : R+ ×Rn ×Rn × Rm → Rn liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x0, x1, x2). Định nghĩa 2.1.2. Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tại ma trận hằng K thỏa mãn các điều kiện sau: 9 i) Nghiệm x = 0 của hệ (2.1) khi u ≡ 0, ω ≡ 0, là β−ổn định. ii) Tồn tại c0 > 0 sao cho ∞∫ 0 ||z(t)||2dt c0||ϕ||2 C1 + ∞∫ 0 ||ω(t)||2dt ≤ γ, với mọi ϕ ∈ C1 ( [−h2, 0],Rn ) , ω ∈ L2 ([0,∞),Rr) , ω 6= 0. Định lí 2.1.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P,Q,R,U,Λ và các ma trận S, Y sao cho có bất đẳng thức ma trận tuyến tính  Ω11 Ω12 ∗ Ω22   < 0. Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ cho hệ (2.1) giải được với điều khiển ngược hệ thống u(t) = Y P−1x(t), và nghiệm của hệ thỏa mãn ||x(t)|| ≤ √ α2 α1 e−βt||ϕ||C1 , t ≥ 0, trong đó P1 = P −1, Q1 = P −1QP−1, R1 = P −1RP−1, U1 = P −1UP−1, Λ1 = P −1ΛP−1, S1 = P −1SP−1, ε = a+ b+ c+ 4d2/γ, T11 = AP + PA T + 2βP − (e−2βh1 + e−2βh2)R+ 4CCT /γ +εI − 2e−4βh2 (h2−h1) h2+h1 Λ + ( BY + Y TBT ) + 2Q, T12 = DP, T13 = e −2βh1R, T14 = e −2βh2R, T15 = 2e−4βh2 h2+h1 Λ, T16 = PA T + Y TBT , T22 = e −2βh2 ( − 2U + S + ST ) , T23 = e −2βh2 (U − S) , T24 = e−2βh2 ( U − ST ) , T25 = 0, T26 = PD T , T33 = −e−2βh1Q− e−2βh1R− e−2βh2U, T34 = e −2βh2ST , T35 = 0, T36 = 0, 10 T44 = −e−2βh2Q− e−2βh2R− e−2βh2U, T45 = 0, T46 = 0, T55 = −2e−4βh2h22−h21 Λ, T56 = 0, T66 = ( h21 + h 2 2 ) R+ (h2 − h1)2U + h2(h2 − h1)Λ −2P + 4CCT /γ + εI, α1 = λmin(P1), α2 = λmax(P1) + β −1λmax(Q1) + ( h31 + h 3 2 ) λmax(R1) +(h2 − h1)3λmax(U1) + (h2 − h1)h22λmax(Λ1), Ω22 = diag(− I3 , − I3 , −I, −I,−I). Ω11 =   T11 T12 T13 T14 T15 T17 0 0 ∗ T22 T23 T24 T25 T26 0 0 ∗ ∗ T33 T34 T35 T36 0 0 ∗ ∗ ∗ T44 T45 T46 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ T55 T56 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ T66 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U −S ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U   , Ω12 =   PET 0 P √ 4a1 + 2a 0 Y T √ 2 + 4c1 + 2c 0 PGT 0 P √ 4b1 + 2b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   . 11 2.2. Điều khiển H∞ cho một lớp hệ Large-Scale Xét một lớp hệ Large-Scale có trễ được tạo nên từ N hệ con   x˙i(t) = Aixi(t) +Biui(t) +Diωi(t) + N∑ j=1,j 6=i Aijxj(t− hij(t)) +fi(t, xi(t), {xj(t− hij(t))}Nj=1,j 6=i, ui(t), ωi(t)) zi(t) = Cixi(t) + Fiui(t) + N∑ j=1,j 6=i Gijxj(t− hij(t)) +gi(t, xi(t), {xj(t− hij(t))}Nj=1,j 6=i, ui(t)), xi(θ) = ϕi(θ), θ ∈ [−h2, 0], (2.21) trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ hij(t) ≤ h2, F Ti Fi ≤ Ii, các hàm fi(·) và các hàm liên tục gi(·) thỏa mãn ||fi(t, xi, {xj}Nj 6=i,j=1, ui, ωi)|| ≤ai||xi||+ N∑ j=1,j 6=i aij ||xj ||+ bi||ui||+ di||ωi||, ||gi(t, xi, {xj}Nj 6=i,j=1, ui)||2 ≤ ci||xi||2 + ei||ui||2 + N∑ j=1,j 6=i gij ||xj||2. Ngoài ra, các hàm fi(t, xi, {xj}Nj 6=i,j=1, ui, 0) : R+×Rni× ( N∏ j=1,j 6=i R nj ) ×Rmi → Rni liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, {xj}Nj 6=i,j=1, ui). Định lí 2.2.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của hệ (2.21) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi, Qi, Ri, Ui,Λi và các ma trận Si, Yi i = 1, ..., N, 12 sao cho có các bất đẳng thức ma trận tuyến tính   H i11 H i 12 . . . H i 1(3N+5) 0 0 ∗ H i22 ∗ ∗ ∗ H i2(3N+5) 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H i(3N+5)(3N+5) 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui −Si ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui   < 0. Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ cho hệ (2.21) giải được với điều khiển ngược ui(t) = YiP −1 i xi(t), và nghiệm của hệ, khi các nhiễu ωi ≡ 0, thỏa mãn ||x(t)|| ≤ √ α2 α1 e−βt ||ϕ||C1 , t ≥ 0, trong đó Pi1 = P −1 i , Qi1 = P −1 i QiP −1 i , Ri1 = P −1 i RiP −1 i , Ui1 = P −1 i UiP −1 i , Λi1 = P −1 i ΛiP −1 i , Si1 = P −1 i SiP −1 i , H i11 = PiA T i +AiPi+BiYi+Y T i B T i +2βPi+2Qi− ( e−2βh1 + e−2βh2 ) Ri − 2e −4βh2 (h2−h1) h2+h1 Λi + N∑ j=1,j 6=i AijA T ij + 4 γ DiD T i + εiIi H i1k = 0, k = 2, ..., N, H i 1(N+1) = e −2βh1Ri, H i1(N+2) = e −2βh2Ri, H i 1(N+3) = PiA T i + Y T i B T i , H i1(N+4) = 2e−4βh2 h2+h1 Λi, H i kj = 0, ∀k 6= j, k, j = 2, ..., N, H ikk = e−2βh2 N−1 [ − 2Ui + Si + STi ] , H i k(N+1) = e−2βh2 N−1 [ Ui− Si ] , 13 H i k(N+2) = e−2βh2 N−1 [ Ui − STi ] , H i k(N+3) = H i k(N+4) = 0, k = 2, N, H i (N+1)(N+2) = e −2βh2STi , H i(N+1)(N+1) = −e−2βh1Qi − e−2βh1Ri − e−2βh2Ui, H i(N+2)(N+2) = −e−2βh2Qi − e−2βh2Ri − e−2βh2Ui, H i(N+3)(N+3) = (h2−h1)h2Λi+ ( h21+h 2 2 ) Ri−2Pi+(h2−h1)2Ui + 4 γ DiD T i + N∑ j=1,j 6=i AijA T ij + εiIi, H i(N+3)(N+4) = 0, H i (N+4)(N+4) = −2e −4βh2 h22−h 2 1 Λi, H i(N+5)(N+5) = − IN+2 , H i1(N+5) = PiCTi , H i(N+4+k)(N+4+k) = − IN+2 , H i j(N+4+k) = 0, k = 2, ..., N, j = 1, ..., (N + 3 + k), j 6= k, H i k(N+4+k) = PiG T ki, i = 1, k = 2, ..., N, H i k(N+4+k) = PiG T (k−1)i, i 6= 1, k ≤ i, k = 2, ..., N, H i k(N+4+k) = PiG T ki, i 6= 1, i < k = 2, ..., N, H i(2N+3+k)(2N+3+k) = − Ii2+2aki+(N+2)gki , H i k(2N+3+k) = Pi, i = 1, k = 2, ..., N, H i(2N+3+k)(2N+3+k) = − Ii2+2a(k−1)i+(N+2)g(k−1)i , H i k(2N+3+k) = Pi, i 6= 1, k ≤ i, k = 2, ..., N, H i(2N+3+k)(2N+3+k) = − Ii2+2aki+(N+2)gki , H i k(2N+3+k) = Pi, i 6= 1, i < k = 2, ..., N, H i(3N+4)(3N+4) = −I, H i1(3N+4) = Pi √ 2ai + (N + 2)ci, H i(3N+5)(3N+5) = − I 2bi+ ( N+2 ) (1+ei) , H i1(3N+5) = Y T i , εi = ai + bi + 4d2i γ + N∑ j=1,j 6=i aij, α1 = min i=1,...,N λmin(Pi1), α2 = max i=1,...,N { λmax(Pi1)+β −1λmax(Qi1)+ ( h31+h 3 2 ) λmax(Ri1) +(h2−h1)3λmax(Ui1)+(h2−h1)h22λmax(Λi1) } 14 CHƯƠNG 3 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ LARGE-SCALE CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞ của một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch có trễ dạng khoảng. Dựa vào các bất đẳng thức ma trận tuyến tính, chúng tôi xây dựng các quy tắc chuyển mạch dạng hình học nhằm đảm bảo tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch, cũng như thiết kế các điều khiển H∞ tương ứng. Các kết quả chính trong chương này dựa vào bài báo [3] trong danh mục các công trình khoa học của tác giả. 3.1 Tính ổn định của hệ Large-Scale phi tuyến chuyển mạch Xét hệ Large-Scale chuyển mạch được hình thành từ các hệ con Σi, i = 1, 2, ..., N, có dạng như sau Σi :   x˙i(t) = A σi i xi(t) + N∑ j=1,j 6=i Aσiij xj(t− hij(t)) +fσii ( t, xi(t), {xj(t− hij(t))}Nj=1,j 6=i ) , xi(θ) = ϕi(θ), θ ∈ [−h2, 0], (3.1) trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ hij(t) ≤ h2, các hàm σi : R ni → {1, 2, ..., s} là quy tắc bật của hệ con thứ i nhận giá trị trong tập hữu hạn {1, 2, ..., s}. Quy tắc này lựa chọn cho tất cả các i sao cho σi(xi(t)) = l suy ra chuyển chế độ thứ l được kích hoạt cho hệ con thứ i. Chính xác hơn, σ(x(t)) = [ σ1(x1(t)), σ2(x2(t)), ..., σN (xN (t)) ] = [ l1, l2, ..., lN ] , 15 tức là sự chuyển chế độ thứ li được kích hoạt cho hệ con thứ i. Các ma trận ( Aσii , {Aσiij }Nj=1,j 6=i ) nhận giá trị trong tập ( Ali, {Alij}Nj=1,j 6=i ) . Các hàm f li (·), thỏa mãn điều kiện tăng trưởng ||f li (t, xi, {xj}Nj 6=i,j=1)|| ≤ ali||xi||+ N∑ j=1,j 6=i alij||xj ||, liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, {xj}Nj 6=i,j=1). Định nghĩa 3.1.2. Hệ các ma trận vuông cấp n, {Ll}sl=1, được gọi là đầy đủ nghiêm ngặt nếu với mỗi x ∈ Rn \ {0}, tồn tại l ∈ {1, 2, ..., s} sao cho xTLlx < 0. Định lí 3.1.4. Cho β > 0. Giả sử các ma trận hệ số của hệ (3.1) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi, Qi, Ri, Ui,Λi, và các ma trận Sli, i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, sao cho: i) Với mọi i = 1, 2, ..., N, tập các ma trận {Lli}sl=1 là đầy đủ nghiêm ngặt. ii) Với i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn  H l11(i) H l 12(i) . . . H l 1(2N+4)(i) 0 0 ∗ H l22(i) ∗ ∗ ∗ H l2(2N+4)(i) 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H l(2N+4)(2N+4)(i) 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui −Sli ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui   < 0. 16 Khi đó, hệ (3.1) là ổn định mũ với quy tắc chuyển mạch σ(x(t)) = ( l1, l2, ..., lN ) nếu x(t) ∈ Ωl11 × Ωl22 × · · · × ΩlNN . Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn ||x(t)|| ≤ √ α2 α1 e−βt ||ϕ||C1 , t ≥ 0, trong đó aij = max l=1,2,...,s alij , ε l i = a l i + N∑ j=1,j 6=i aij , i, j = 1, 2, ..., N, Pi1 = P −1 i , Qi1 = P −1 i QiP −1 i , Ri1 = P −1 i RiP −1 i , Ui1 = P −1 i UiP −1 i , Λi1 = P −1 i ΛiP −1 i , S l i1 = P −1 i S l iP −1 i , H l11(i) = − e −4βh2(h2−h1) h2+h1 Λi − ( e−2βh1 + e−2βh2 ) Ri, H l1(N+1)(i) = e −2βh1Ri, H l 1(N+2)(i) = e −2βh2Ri, H l1(N+3)(i) = Pi ( Ali )T , H l1(N+4)(i) = 2 e−4βh2 h2+h1 Λi, H lkm(i) = 0, k,m = 2, ..., N, k 6= m, H lkk(i) = e−2βh2 N−1 [ − 2Ui + Sli + ( Sli )T ] , H l k(N+1)(i) = e−2βh2 N−1 [ Ui − Sli ] , H l k(N+2)(i) = e−2βh2 N−1 [ Ui − ( Sli )T ] , H l k(N+3)(i) = H l k(N+4)(i) = 0, k = 2, ..., N, H l(N+1)(N+1)(i) = −e−2βh1Qi − e−2βh1Ri − e−2βh2Ui, H l(N+1)(N+2)(i) = e −2βh2 ( Sli )T , H l(N+2)(N+2)(i) = −e−2βh2Qi − e−2βh2Ri − e−2βh2Ui, H l(N+3)(N+3)(i) = (h2−h1)h2Λi+ ( h21+h 2 2 ) Ri+(h2−h1)2Ui −2Pi + N∑ j=1,j 6=i Alij ( Alij )T + εliIi, H l(N+3)(N+4)(i) = 0, H l (N+4)(N+4)(i) = −2e −4βh2 h22−h 2 1 Λi, 17 H l(N+5)(N+5)(i) = − I2ali , H l (N+5)1(i) = Pi, H l(N+4+k)k(i) = Pi, k = 2, ...N, H l(N+4+k)(N+4+k)(i) = − I2+2aki , k = 2, ...N, i = 1, H l(N+4+k)(N+4+k)(i) = − I2+2a(k−1)i , k = 2, ...N, i 6= 1, k ≤ i, H l(N+4+k)(N+4+k)(i) = − I2+2aki , k = 2, ...N, i 6= 1, k > i, α1 = min i=1,...,N λmin(Pi1), α2 = max i=1,...,N { λmax(Pi1)+β −1λmax(Qi1)+ ( h31+h 3 2 ) λmax(Ri1) +(h2−h1)3λmax(Ui1)+(h2−h1)h22λmax(Λi1) } Lli = Pi ( Ali )T +AliPi + 2βPi + 2Qi − e −4βh2 (h2−h1) h2+h1 Λi + N∑ j=1,j 6=i Alij ( Alij )T + εliIi, Ωli = {x ∈ Rni : xTP−1i LliP−1i x < 0}, l = 1, s, i = 1, N, Ω1i = Ω 1 i ∪ {0}, Ωli = Ωli \ j−1⋃ k=1 Ωki , j = 2, ..., N, i = 1, 2, ..., N. 3.2 Điều khiển H∞ cho hệ Large-Scale phi tuyến chuyển mạch Xét hệ điều khiển Large-Scale chuyển mạch được hình thành từ các hệ con Σi, i = 1, 2, ..., N, có dạng như sau   x˙i(t) = A σi i xi(t) + N∑ j=1,j 6=i Aσiij xj(t− hij(t)) +Bσii uσii (t) +Dσii ωi(t) +fσii ( t, xi(t), {xj(t− hij(t))}Nj=1,j 6=i, uσii (t), ωi(t) ) , zi(t) = C σi i xi(t) + F σi i u σi i (t) + N∑ j=1,j 6=i Gijxj(t− hij(t)) +gσii ( t, xi(t), {xj(t− hij(t))}Nj=1,j 6=i, uσii (t) ) , xi(θ) = ϕi(θ), θ ∈ [−h2, 0], (3.17) 18 trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h1 ≤ hij(t) ≤ h2, các hàm σi : R ni → {1, 2, ..., s} là quy tắc bật của hệ con thứ i. Các ma trận ( Aσii , {Aσiij , }Nj=1,j 6=i, Bσii , Dσii , Cσii , F σii , {Gij}Nj=1,j 6=i ) nhận giá trị trong tập ( Ali, {Alij}Nj=1,j 6=i, Bli, Dli, C li , F li , {Gij}Nj=1,j 6=i ) , i = 1, N, l = 1, s, ( F li )T F li ≤ Ii, i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s. Các hàm f li (·), và các hàm liên tục gli(·), thỏa mãn ||f li (t, xi, {xj}Nj 6=i,j=1, uli, ωi)|| ≤ ali||xi||+ N∑ j=1,j 6=i alij ||xj ||+ bli||uli||+ dli||ωi||, ||gli(t, xi, {xj}Nj 6=i,j=1, uli)||2 ≤ cli||xi||2 + N∑ j=1,j 6=i glij||xj ||2 + eli||uli||2. Ngoài ra, giả thiết các hàm f li (t, xi, {xj}Nj 6=i,j=1, uli, 0) : R+×Rni× ( N∏ j=1,j 6=i R nj ) ×Rmli → Rni liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (xi, {xj}Nj 6=i,j=1, uli). Định nghĩa 3.2.1 Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H∞ cho hệ (3.17) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tại nếu tồn tại các quy tắc chuyển mạch {σi(·)}Ni=1 và các ma trận hằng K li , i = 1, 2, . . . , N, l = 1, ..., s, thỏa mãn các điều kiện sau: i) Nghiệm x = 0 của hệ (3.17) khi uσi(xi(t))i (t) = K σi(xi(t)) i xi(t), ωi ≡ 0, với mọi i = 1, 2, . . . N, là β− ổn định. 19 ii) Tồn tại c0 > 0 sao cho ∞∫ 0 ||z(t)||2dt ∞∫ 0 ||ω(t)||2dt+ c0||ϕ||2C1 ≤ γ, với mọi ϕi ∈ C1 ( [−h2, 0], Rni ) , ωi ∈ L2 ( [0,∞),Rri ) \ {0}. Trong trường hợp này, ta nói rằng các điều khiển ngược uli(t) = K lixi(t), i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, ổn định mũ hóa hệ thống. Định lí 3.2.2. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của hệ (3.17) thỏa mãn tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Pi, Qi, Ri, Ui,Λi, và các ma trận Sli, Y l i , i = 1, N, l = 1, s, sao cho: i) Với mỗi i = 1, 2, ..., N, tập các ma trận {Lli}sl=1 là đầy đủ nghiêm ngặt. ii) Với i = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., s, các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn   H l11(i) H l 12(i) . . . H l 1(3N+5)(i) 0 0 ∗ H l22(i) ∗ ∗ ∗ H l2(3N+5)(i) 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H l(3N+5)(3N+5)(i) 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui −Sli ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ui   < 0. 20 Khi đó, bài toán điều khiển H∞ ứng với các hệ số β, γ, cho hệ (3.17) giải được với các điều khiển ngược uli(t) = Y l i P −1 i xi(t) và quy tắc chuyển mạch σ(x(t)) = ( l1, l2, ..., lN ) nếu x(t) ∈ Ωl11 × Ωl22 × · · · × ΩlNN . Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn ||x(t)|| ≤ √ α2 α1 e−βt ||ϕ||C1 , t ≥ 0, trong đó aij = max l=1,2,...,s alij , gij = max l=1,2,...,s glij , Pi1 = P −1 i , Qi1 = P −1 i QiP −1 i , Ri1 = P −1 i RiP −1 i , Ui1 = P −1 i UiP −1 i , Λi1 = P −1 i ΛiP −1 i , Si1 = P −1 i SiP −1 i , H l11(i) = − ( e−2βh1 + e−2βh2 ) Ri − e −4βh2(h2−h1) h2+h1 Λi +BliY l i + ( Y li )T ( Bli )T + 4 γ Dli ( Dli )T , H i1(N+1) = e −2βh1Ri, H l 1(N+2)(i) = e −2βh2Ri, H l1(N+3)(i) = Pi ( Ali )T + ( Y li )T ( Bli )T , H i1(N+4) = 2e−4βh2 h2+h1 Λi, H lkk(i) = e−2βh2 N−1 [ − 2Ui + Sli + ( Sli )T ] , H l k(N+1)(i) = e−2βh2 N−1 [ Ui − Sli ] , H l k(N+2)(i) = e−2βh2 N−1 [ Ui − ( Sli )T ] , k = 2, ...., N, H l(N+1)(N+1)(i) = −e−2βh1Qi − e−2βh1Ri − e−2βh2Ui, H l(N+1)(N+2)(i) = e −2βh2 ( Sli )T , H l(N+2)(N+2)(i) = −e−2βh2Qi − e−2βh2Ri − e−2βh2Ui, H l(N+3)(N+3)(i) = (h2 − h1)h2Λi + ( h21 + h 2 2 ) Ri − 2Pi +(h2−h1)2Ui+ 4γDli ( Dli )T + N∑ j=1,j 6=i Alij ( Alij )T +εliIi, 21 H l(N+4)(N+4)(i) = −2e −4βh2 h22−h 2 1 Λi, H l (N+5)(N+5)(i) = − IN+2 , H l1(N+5)(i) = Pi ( C li )T , H l k(N+5)(i) = 0, k = 2, ...., (N + 4), H l(N+4+k)(N+4+k)(i) = − IN+2 , H l j(N+4+k)(i) = 0, k = 2, ..., N, j = 1, ..., (N+3+k), j 6= k, H l k(N+4+k)(i) = PiG T ki, i = 1, k = 2, ..., N, H l k(N+4+k)(i) = PiG T (k−1)i, i 6= 1, k ≤ i, k = 2, ..., N, H l k(N+4+k)(i) = PiG T ki, i 6= 1, i < k = 2, ..., N, H l k(2N+3+k)(i) = Pi, H l(2N+3+k)(2N+3+k)(i) = − Ii2+2aki+(N+2)gki , i = 1, H l(2N+3+k)(2N+3+k)(i) = −Ii 2+2a(k−1)i+(N+2)g(k−1)i , i 6= 1, k ≤ i, H l(2N+3+k)(2N+3+k)(i) = − Ii2+2aki+(N+2)gki , i 6= 1, i < k, H l j(2N+3+k)(i) = 0, k = 2, N, j = 1, ..., (2N+2+k), j 6= k, H l(3N+4)(3N+4)(i) = −I, H l1(3N+4)(i) = Pi √ 2ali + (N + 2)c l i, H l(3N+5)(3N+5)(i) = − I 2bli+ ( N+2 ) (1+eli) , H l1(3N+5)(i) = ( Y li )T , εli = a l i + b l i + (4dli) 2 γ + N∑ j=1,j 6=i aij, α1 = min i=1,...,N λmin(Pi1), α2 = max i=1,...,N { λmax(Pi1)+β −1λmax(Qi1)+ ( h31+h 3 2 ) λmax(Ri1) +(h2−h1)3λmax(Ui1)+(h2−h1)h22λmax(Λi1) } Lli = Pi ( Ali )T +AliPi + 2βPi + 2Qi − e −4βh2 (h2−h1) h2+h1 Λi + N∑ j=1,j 6=i Alij ( Alij )T + εliIi, Ωli = {x ∈ Rni : xTP−1i LliP−1i x < 0}, l = 1, s, i = 1, N, Ω1i = Ω 1 i ∪ {0}, Ωli = Ωli \ j−1⋃ k=1 Ωki , j =