Tóm tắt Luận án Hội tụ kiểu Tauber cho hàm và ánh xạ chỉnh hình

DỊnh lý 2.2.1. Cho V là một trọng trên một miền D trong không gian lồi địa phương khả metric E và AV(D) là không gian con của ỈỈV(D) sao cho hình cầu đơn vị đóng là T0- compact. Khi đó, tồn tại một không gian Banach PAV(D) và một ánh xạ (SD E H(D, PAvW) CÓ tính chắt phổ dụng sau: Với mỗi không gian lồi địa phương đầy đủ F, một hàm f E AV(D. F) nếu và chỉ nếu tồn tại duy nhất một ánh xạ Tf E L(PAV(D)Ĩ p) sao cho TfOỗD = f. ơ đây PAV(D) xác định duy nhất sai khác một phép đắng cấu đắng cự.

Vì J là đẳng cấu tôpô nên không gian PAV(D) được gọi là tiền đối ngẫu của AV(D).

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các kết quả trên cho các hàm chỉnh hình Gâteaux có trọng.

Cho D là một tập con mơ của không gian lồi địa phương khả metric E. Ký hiệu '^(E) là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E. Theo Định lý 2.2.1, với mỗi Y E #\E), tồn tại duy nhất một ánh xạ PY E L(PAv(DnY)ĩ PAV(D)) sao ch° biểu đồ sau là giao hoán

D n ỉ ■ > D (2.3)

ổDoY ổD

PAV(DOY) — *■ PAV(D)

trong đó id là ánh xạ đồng nhất và TX(Dny) là tiền đối ngẫu của AV(D n y).

Nếu Y. z E '^(E) sao cho Y <= z thì theo Định lý 2.2.1 tồn tại duy nhất một ánh xạ

PZY 6 L(/Ù„(ơnr), -P.4„(Dnz)) sao cho biểu đồ sau là giao hoán

id

<5D<-.Y

PZY

Từ đó, ta suy ra Pz °PZY = pY nếu Y <= z. Ký hiệu

PAV(D) '■= u Pr(fa„(Dny))

y&?(E)

và trang bị cho tôpô cảm sinh bơi tôpô của PAV{D)-

Giả sứ AGv{D) là không gian con của HG^(D) sao cho hình cầu đơn vị đóng là compact đối với tôpô T0. Với mỗi không gian lồi địa phương đầy đủ F, ta đặt

AG^D, F).= {f.D^F: uofe AG'V(D) Vu e F'}.