Tóm tắt Luận án Một số phương pháp kết hợp giải hệ phương trình toán tử

−y‖ 2 − 1 : ‖x‖ = 1, ‖y‖ = τ } . Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu limτ→0 hX(τ) := limτ→0 ρX(τ) τ = 0. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Ánh xạ PC : H → C xác định bởi PCx = arg min {‖y− x‖ : y ∈ C} được gọi là phép chiếu (metric) từ H lên C. Ánh xạ J : X → 2X ∗ xác định bởi J(x) = { f ∈ X∗ : 〈 f , x〉 = ‖x‖2 = ‖ f‖2 } được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Giả sử C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn X. Phiếm hàm Lyapunov φ : X × X → R+ được xác định bởi φ(x, y) = ‖x‖2 − 2 〈x, Jy〉 + ‖y‖2 , ∀x, y ∈ X. Phép chiếu tổng quát ΠC : X → C được xác định bởi ΠC(x) = arg miny∈C φ(x, y). Trong không gian Hilbert thì φ(x, y) = ||x − y||2 và ΠC = PC. 1.2 Phương trình toán tử trong không gian Banach 1.3 Phương trình toán tử accretive Trong phần đầu tiên của Chương 2, chúng ta xem xét lớp toán tử sau đây. 5 Định nghĩa 1.3. Toán tử liên tục A : X → X được gọi là accretive ϕ-đều ngược ( hay đơn giản là accretive đều ngược), nếu tồn tại một hàm ϕ : R+ ×R+∗ → R + ∗ liên tục, tăng chặt theo biến thứ hai và ϕ(s, t) = 0 khi và chỉ khi t = 0 với mỗi s > 0 cố định, sao cho, với mọi R > 0 và x, y ∈ X, ‖x‖ , ‖y‖ ≤ R, ta có 〈A(x)− A(y), J(x− y)〉 ≥ ϕ (R, ‖A(x)− A(y))‖) . (1.1) Xét hệ phương trình toán tử Ai(x) := Fi(x)− fi = 0, x ∈ X, i = 1, . . . , N, (1.2) trong đó, fi ∈ X và Fi : D(Fi) ⊂ X → X (và do đó Ai) là các toán tử accretive đều ngược với hàm số ϕi tương ứng. Tuy nhiên, không giảm tổng quát, chúng ta giả thiết các toán tử Fi là accretive đều ngược với cùng một hàm số ϕ. Chúng ta đặt hai nhóm điều kiện sau đây lên không gian X, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J, và các toán tử Ai (i = 1, 2 . . . , N). Điều kiện (AJX) A1. Ai, i = 1, 2, . . . , N, là các toán tử accretive ϕ-đều ngược với D(Ai) = X; A2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục và liên tục yếu theo dãy; A3. X là không gian Banach trơn, phản xạ và có tính chất xấp xỉ. Điều kiện (AX) B1. Ai, i = 1, 2, . . . , N, là các toán tử m-accretive và ϕ-đều ngược với D(Ai) = X; B2. X là không gian Banach trơn đều và lồi đều. 1.4 Bài toán tìm điểm bất động Nhiều bài toán trong các lĩnh vực của toán học như tối ưu, bất đẳng thức biến phân và phương trình vi phân có thể đưa về dạng x = T(x), (1.3) trong đó T là toán tử phi tuyến xác định trong không gian metric. Tập nghiệm của phương trình này được gọi là tập điểm bất động của T và kí hiệu bởi F(T). Định nghĩa 1.4. Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C → C được gọi là ánh xạ không giãn nếu ||T(x)− T(y)|| ≤ ||x − y|| với mọi x, y ∈ C. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach X phản xạ, lồi chặt và trơn , T : C → C là một ánh xạ với F(T) là tập các điểm bất động của nó. Điểm p ∈ C được gọi là điểm bất động tiệm cận của T nếu tồn tại một dãy {xn} ⊂ C sao cho xn ⇀ p và ‖xn − Txn‖ → 0 khi n → +∞. Tập các điểm bất động tiệm cận của T kí hiệu bởi F˜(T). Trong chương 2, chúng ta nghiên cứu lớp ánh xạ sau đây. Định nghĩa 1.5. Ánh xạ T : C → C được gọi là 1) không giãn tương đối nếu F(T) 6= Ø, F(T) = F˜(T) và φ(p, Tx) ≤ φ(p, x), ∀p ∈ F(T), ∀x ∈ C; 6 2) tựa φ - không giãn nếu F(T) 6= Ø và φ(p, Tx) ≤ φ(p, x), ∀p ∈ F(T), ∀x ∈ C; 3) tựa φ-không giãn tiệm cận nếu F(T) 6= Ø và tồn tại dãy {kn} ⊂ [1,+∞) với kn → 1 khi n → +∞ sao cho φ(p, Tnx) ≤ knφ(p, x), ∀n ≥ 1, ∀p ∈ F(T), ∀x ∈ C; 4) liên tục Lipschitz đều nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho ‖Tnx − Tny‖ ≤ L ‖x − y‖ , ∀n ≥ 1, ∀x, y ∈ C. 1.5 Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Banach X và A : C → X∗ là toán tử phi tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) đối với toán tử A trên C là tìm x∗ ∈ C sao cho 〈A(x∗), x− x∗〉 ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.4) Tập nghiệm của bài toán VIP (1.4) được kí hiệu bởi VI(A, C). Chú ý rằng p∗ ∈ VI(A, C) khi và chỉ khi p∗ = PC(p ∗ − λAp∗), λ > 0. (1.5) Giả sử f là một song hàm từ C× C vào tập hợp các số thực R. Bài toán cân bằng (EP) cho f trên C là tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (1.6) Tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (1.6) được kí hiệu bởi EP( f , C) hoặc đơn giản hơn EP( f ). Để giải bài toán (1.6) trong không gian Banach X, chúng ta giả thiết song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau đây: (A1) f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C; (A2) f đơn điệu, tức là f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C; (A3) Với mọi x, y, z ∈ C, lim t→0+ sup f (tz + (1− t)x, y) ≤ f (x, y); (A4) Với mọi x ∈ C, f (x, .) là hàm lồi và nửa liên tục dưới. Bổ đề 1.1. Cho C là tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn, song hàm f từ C × C tới ℜ thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) và cho trước r > 0, x ∈ X. Khi đó tồn tại z ∈ C sao cho f (z, y) + 1 r 〈y− z, Jz− Jx〉 ≥ 0, ∀y ∈ C. Bổ đề 1.2. Cho C là tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn, song hàm f từ C × C tới ℜ thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4). Với mọi r > 0, x ∈ X, ta xác định giải thức của f (ánh xạ Combettes) bởi Trx = {z ∈ C : f (z, y) + 1 r 〈y− z, Jz− Jx〉 ≥ 0, ∀y ∈ C}. 7 Khi đó (B1) Tr đơn trị; (B2) Tr là không giãn vững (firmly nonexpansive), tức là với mọi x, y ∈ X, 〈Trx − Try, JTrx − JTry〉 ≤ 〈Trx − Try, Jx− Jy〉; (B3) F(Tr) = Fˆ(Tr) = EP( f ); (B4) EP( f ) lồi đóng và Tr là ánh xạ không giãn tương đối. Trong chương 3, khi X là không gian Hilbert thực H, xét bài toán EP giả đơn điệu. Khi đó, chúng ta giả thiết song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau đây: (A¯1). f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C và f giả đơn điệu, tức là với mọi x, y ∈ C, f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0; (A¯2). f liên tục kiểu Lipschitz, tức là tồn tại hai hằng số dương c1, c2 sao cho f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z)− c1||x − y|| 2 − c2||y− z|| 2, ∀x, y, z ∈ C; (A¯3). f (., y) nửa liên tục trên yếu theo dãy trên C với mỗi y ∈ C, tức là, lim sup n→∞ f (xn, y) ≤ f (x, y) với mỗi dãy {xn} ⊂ C và xn ⇀ x; (A¯4). f (x, .) lồi và khả dưới vi phân trên C với mỗi x ∈ C cố định. 1.6 Mối liên hệ giữa các bài toán EP, VIP, FPP và giải phương trình toán tử 1.7 Một số bất đẳng thức sử dụng trong luận án Trong mục này, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức sơ cấp được sử dụng để chứng minh sự hội tụ của các phương pháp đề xuất trong các Chương 2 và 3. Bổ đề 1.3. Giả sử {λn} và {pn} là các dãy số không âm và {bn} là dãy số dương thỏa mãn bất đẳng thức λn+1 ≤ (1− pn) λn + bn, ∀n ≥ 0, trong đó pn ∈ (0; 1) , bnpn → 0 (n → +∞) và ∑ ∞ i=1 pn = +∞. Khi đó λn → 0 (n → +∞). Bổ đề 1.4. Cho các dãy số thực không âm {αn}, {βn}, {γn} và hai số thực a, b sao cho αn ≤ βn + bγn − aγn+1, ∀n ≥ 0. Nếu ∑∞n=0 βn b ≥ 0 thì limn→∞ αn = 0. 8 Chương 2 Một số phương pháp giải hệ phương trình toán tử Trong chương này, chúng ta nghiên cứu và đề xuất các phương pháp tuần tự và song song giải hệ phương trình toán tử trong không gian Banach thực X. Ai(x) = 0, x ∈ X, i = 1, 2, . . . , N, (2.1) trong đó Ai : X → X là các toán tử đã cho. 2.1 Hệ phương trình với các toán tử accretive đều ngược Trong phần này, chúng ta xét hệ (2.1) với các toán tử accretive ϕ - đều ngược Ai. Chúng ta xem xét phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (Implicit Parallel Iterative Regularization Method - IPIRM) được xác định như sau: • Giải đồng thời N phương trình hiệu chỉnh Ai(x i n) + ( αn N + γn)x i n = γnxn, i = 1, 2, . . . , N, (2.2) trong đó αn và γn tương ứng là các tham số hiệu chỉnh và tham số song song. • Xác định xấp xỉ tiếp theo là trung bình cộng của các nghiệm hiệu chỉnh thành phần xin xn+1 = 1 N N ∑ i=1 xin, n = 0, 1, . . . , x0 ∈ X. (2.3) Định lý 2.1. Giả sử điều kiện AJX hoặc AX thỏa mãn. Cho {αn} và {γn} là hai dãy số thực dương sao cho (i) αn → 0, γn → +∞ khi n → +∞. (ii) γn|αn+1−αn| α2n → 0 khi n → +∞, ∑∞n=1 αn γn = +∞. (iii) hX(τn)ϕ −1 R (R1αn) αn → 0 khi n → +∞, trong đó R ≥ 2||x̂∗||, R1 := 3R 2 2 và τn = γ −1 n . Hơn nữa, hàm ϕ(s,t)t bức theo biến t khi cố định s > 0, tức là ϕ(s,t) t → +∞ khi t → +∞. Khi đó, dãy {xn} sinh bởi (2.2) và (2.3) hội tụ mạnh tới x̂∗. Bây giờ, chúng ta xét trường hợp dữ liệu có nhiễu. Giả sử rằng Ai(x) := Fi(x)− fi, trong đó các toán tử Fi(x), i = 1, . . . , N, là accretive đều ngược. Thay vì bộ dữ liệu chính xác (Fi, fi), chúng ta chỉ biết bộ 9 dữ liệu có nhiễu (Fn,i, fn,i), trong đó các toán tử Fn,i : D(Fn,i) = X → X là accretive với mọi n ≥ 1 và i = 1, . . . , N. Hơn nữa, giả sử rằng ‖Fn,i(x)− Fi(x)‖ ≤ hng(‖x‖), (2.4) ‖ fn,i − fi‖ ≤ δn, i = 1, . . . , N, (2.5) trong đó, g(t) là hàm không âm, không giảm và liên tục, hn > 0, δn > 0 với mọi n > 0. Xuất phát từ z0 ∈ X bất kì, dãy {zn} sinh bởi phương pháp IPIRM sau đây: An,i(z i n) + ( αn N + γn)z i n = γnzn, i = 1, 2, . . . , N, (2.6) zn+1 = 1 N N ∑ i=1 zin, n = 0, 1, . . . , (2.7) trong đó An,i(x) := Fn,i(x)− fn,i, i = 1, 2, . . . , N. Ta có kết quả sau đây. Định lý 2.2. Giả sử các điều kiện của Định lý 2.1 và (2.4), (2.5) được thỏa mãn. Nếu hn+δnαn → 0 khi n → +∞, thì dãy {zn} sinh bởi (2.6) , (2.7) hội tụ mạnh tới x̂∗ khi n → +∞. Tiếp theo chúng ta nghiên cứu phương pháp chỉnh lặp song song hiện (Explicit Parallel Iterative Regularization Method - EPIRM) giải hệ phương trình (2.1). Phương pháp được mô tả như sau: Chọn z0 ∈ X và • Tìm đồng thời các xấp xỉ trung gian zni, i = 1, 2, . . . , N, zni = zn − 1 γn { Ai (zn) + αn N zn } = zn − τn { Ai (zn) + αn N zn } . (2.8) • Xác định xấp xỉ tiếp theo zn+1 là trung bình cộng của các xấp xỉ trung gian zni zn+1 = 1 N N ∑ i=1 zni, n = 1, 2, . . . . (2.9) Định lý 2.3. Giả sử điều kiện AX thỏa mãn và hàm ϕ(s,t)t bức theo biến t với s > 0 cố định. Hơn nữa, các dãy số αn → 0, τn := 1/γn → 0 khi n → +∞ sao cho ∞ ∑ i=1 αnτn = +∞, τn αn → 0, |αn − αn+1| τnα2n → 0, ρX (τn) τnαn → 0. (2.10) Khi đó, dãy {zn} xác định bởi (2.8) và (2.9) hội tụ mạnh tới x̂∗ khi n → ∞. 2.2 Điểm bất động chung của một họ các ánh xạ Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các phương pháp lai ghép song song và tuần tự tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận trong không gian Banach trơn đều và lồi đều E, tức là tìm phần tử x ∈ C sao cho Ai(x) = x − Ti(x) = 0, i = 1, 2, . . . , N, (2.11) trong đó C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Banach E và Ti : C → C là ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận). 10 2.2.1 Các phương pháp lai ghép song song Giả sử rằng các toán tử Ti, i = 1, 2, . . . , N là tựa φ-không giãn tiệm cận với các dãy { kin } ⊂ [1,+∞), kin → 1, tức là F(Ti) 6= Ø và φ(p, Tni x) ≤ k i nφ(p, x), ∀n ≥ 1, ∀p ∈ F(Ti), ∀x ∈ C. Khi đó, đặt kn := max{kin : i = 1, . . . , N}, ta có kn ⊂ [1,+∞), kn → 1, và φ(p, Tni x) ≤ knφ(p, x), ∀i = 1, . . . , N, ∀n ≥ 1, ∀p ∈ F, ∀x ∈ C. Ta giả thiết tập F = ⋂N i=1 F(Ti) khác rỗng và trong trường hợp Ti là tựa φ-không giãn tiệm cận, chúng ta giả thiết thêm F là bị chặn, tức là tồn tại một số dương ω sao cho F ⊂ Ω := {u ∈ C : ||u|| ≤ ω}. Định lý 2.4. Cho E là không gian Banach trơn đều, lồi đều và C là tập con lồi đóng khác rỗng của E. Giả sử {Ti} N i=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy {kn} ⊂ [1,+∞), kn → 1. Hơn nữa, giả sử với mỗi i ≥ 1, ánh xạ Ti là Li - liên tục Lipschitz đều và tập F = ⋂N i=1 F(Ti) khác rỗng và bị chặn trong C. Dãy {xn} xác định bởi  x0 ∈ C0 := C, yin = J −1 ( αn Jxn + (1− αn)JTni xn ) , i = 1, 2, . . . , N, in = arg max1≤i≤N {∥∥yin − xn∥∥} , y¯n := yinn , Cn+1 := {v ∈ Cn : φ(v, y¯n) ≤ φ(v, xn) + ǫn} , xn+1 = ΠCn+1x0, n ≥ 0, trong đó ǫn := (kn − 1)(ω+ ||xn||)2 và {αn} là dãy trong đoạn [0, 1] sao cho lim n→∞ αn = 0. Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh tới x† := ΠFx0. Trong Định lý tiếp theo, chúng ta thiết lập kết quả tương tự cho một họ các ánh xạ tựa φ - không giãn {Ti} N i=1. Đối với lớp ánh xạ này, chúng ta không cần các giả thiết về tính liên tục Lipschitz đều và tính bị chặn của tập F = ∩Ni=1F(Ti). Định lý 2.5. Cho E là không gian Banach thực trơn đều, lồi đều và C là tập con lồi đóng khác rỗng của E. Giả sử {Ti} N i=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn và đóng. Giả sử rằng tập F = ∩ N i=1F(Ti) 6= Ø. Dãy {xn} xác định bởi   x0 ∈ C0 := C, yin = J −1 (αn Jxn + (1− αn)JTixn) , i = 1, 2, . . . , N, in = arg max1≤i≤N {∥∥yin − xn∥∥} , y¯n := yinn , Cn+1 := {v ∈ Cn : φ(v, y¯n) ≤ φ(v, xn)} , xn+1 = ΠCn+1 x0, n ≥ 0, trong đó {αn} ⊂ [0, 1] sao cho lim n→∞ αn = 0. Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh tới x† := ΠFx0. 2.2.2 Các phương pháp lai ghép tuần tự Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các phương pháp lai ghép tuần tự tìm điểm bất động chung của một họ các ánh xạ tựa φ - không giãn tiệm cận. 11 Định lý 2.6. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach thực, trơn đều, lồi đều và {Ti} N i=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn tiệm cận với dãy {kn} ⊂ [1,+∞), kn → 1. Giả sử {Ti} N i=1 liên tục Lipschitz đều với hằng số L > 0 và tập F = ⋂N i=1 F(Ti) khác rỗng và bị chặn, tức là, tồn tại số ω > 0 sao cho F ⊂ Ω := {u ∈ C : ||u|| ≤ ω}. Dãy {xn} xác định bởi  x1 ∈ C1 = Q1 := C, yn = J−1 ( αn Jx1 + (1− αn)JT pn jn xn ) , Cn = {v ∈ C : φ(v, yn) ≤ αnφ(v, x1) + (1− αn)φ(v, xn) + ǫn} , Qn = {v ∈ Qn−1 : 〈Jx1 − Jxn; xn − v〉 ≥ 0} , xn+1 = ΠCn ⋂ Qn x1, n ≥ 1, trong đó n = (pn − 1)N + jn, jn ∈ {1, 2, . . . , N}, pn ∈ {1, 2, . . .}, ǫn = (kpn − 1)(ω+ ||xn||) 2 và {αn} là dãy nằm trong đoạn [0, 1] sao cho lim n→∞ αn = 0. Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh tới x† := ΠFx1. Đối với họ hữu hạn các ánh xạ đóng và tựa φ - không giãn, ta không cần giả thiết về tính bị chặn của tập F = ⋂N i=1 F(Ti). Ta có kết quả sau. Định lý 2.7. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach thực trơn đều, lồi đều và {Ti}Ni=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn và đóng. Giả sử {Ti} N i=1 là các ánh xạ liên tục Lipschitz và F = ⋂N i=1 F(Ti) 6= Ø. Dãy {xn} xác định bởi  x1 ∈ C1 = Q1 := C, yn = J−1 ( αn Jx1 + (1− αn)JTjn xn ) , Cn = {v ∈ C : φ(v, yn) ≤ αnφ(v, x1) + (1− αn)φ(v, xn)} , Qn = {v ∈ Qn−1 : 〈Jx1 − Jxn; xn − v〉 ≥ 0} , xn+1 = ΠCn ⋂ Qn x1, n ≥ 1, trong đó n = (pn − 1)N + jn, jn ∈ {1, 2, . . . , N} và {αn} nằm trong đoạn [0, 1] sao cho lim n→∞ αn = 0. Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh tới x† := ΠFx1. 2.3 Thử nghiệm số Kết luận chương Trong chương này, chúng tôi đã trình bày phương pháp chỉnh lặp song song ẩn và phương pháp chỉnh lặp song song hiển giải hệ phương trình toán tử accretive trong không gian Banach. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày các phương pháp lai ghép tuần tự và song song tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận). 12 Chương 3 Nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động Trong chương này, chúng tôi trình bày các phương pháp lai ghép tìm nghiệm (nghiệm chung) của bài toán EP, bài toán VIP và bài toán FPP. Hai phương pháp phổ biến giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân là phương pháp PPM và phương pháp chiếu. 3.1 Phương pháp điểm gần kề 3.1.1 Phương pháp lai ghép trong không gian Banach Cho E là không gian Banach trơn đều và 2 - lồi đều và C là một tập con lồi đóng khác rỗng của E, fk : C × C → ℜ, k = 1, . . . , K là các song hàm cân bằng, Ai : C → E∗, i = 1, . . . , M là các toán tử và Sj : C → C, j = 1, . . . , N là các ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận). Bài toán được phát biểu như sau: Tìm một điểm x∗ ∈ F, trong đó F = ( ∩Mi=1VI(Ai, C) )⋂ ( ∩Nj=1F(Sj) )⋂ ( ∩Kk=1EP( fk) ) . Chúng tôi giả thiết tập F khác rỗng và mỗi toán tử Ai thỏa mãn các điều kiện sau. (V1) Ai là α - đơn điệu mạnh ngược. (V2) VI(Ai, C) 6= ∅. (V3) ||Aiy|| ≤ ||Aiy− Aiu|| với mọi y ∈ C và u ∈ VI(Ai, C). Phương pháp A.   x0 ∈ C chọn bất kỳ, yin = ΠC ( J−1(Jxn − λn Aixn) ) , i = 1, 2, . . . M, in = arg max { ||yin − xn|| : i = 1, . . . , M } , y¯n = y in n , z j n = J −1 ( αn Jxn + (1− αn)JSnj y¯n ) , j = 1, . . . , N, jn = arg max { ||z j n − xn|| : j = 1, . . . , N } , z¯n = z jn n , ukn = T k rn z¯n, k = 1, . . . , K, kn = arg max { ||ukn − xn|| : k = 1, 2, . . . K } , u¯n = u kn n , Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, u¯n) ≤ φ(z, z¯n) ≤ φ(z, xn) + ǫn} , xn+1 = ΠCn+1 x0, n ≥ 0. (3.1) 13 Các dãy tham số điều khiển {λn} , {αn} , {rn} thỏa mãn các điều kiện 0 ≤ αn ≤ 1, lim sup n→∞ αn < 1, λn ∈ [a, b], rn ≥ d, (3.2) với a, b ∈ (0, αc2/2), d > 0 và 1/c là hằng số 2 - lồi đều của không gian E. Dãy {ǫn} được xác định trong hai trường hợp. Nếu các ánh xạ {Si} là tựa φ - không giãn tiệm cận, chúng ta giả thiết tập F bị chặn, tức là tồn tại số dương ω sao cho F ⊂ Ω := {u ∈ C : ||u|| ≤ ω} và đặt ǫn := (kn − 1)(ω+ ||xn||)2. Nếu {Si} là tựa φ - không giãn, khi đó kn = 1 và ta đặt ǫn = 0. Định lý 3.1. Giả sử các toán tử {Ai} M i=1 thỏa mãn các điều kiện (V1)-(V3); các song hàm { fk} K k=1 thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) và { Sj }N j=1 là các ánh xạ L-liên tục Lipschitz đều và tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy {kn} ⊂ [1,+∞), kn → 1. Hơn nữa, tập nghiệm F khác rỗng và bị chặn, nghĩa là, tồn tại số thực dương ω sao cho F ⊂ Ω := {u ∈ C : ||u|| ≤ ω}. Khi đó, nếu các tham số điều khiển {αn} , {λn} , {rn} thỏa mãn điều kiện (3.2) thì dãy {xn} xác định bởi (3.1) hội tụ mạnh tới ΠFx0. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một phương pháp lai ghép song song khác. Ý tưởng của phương pháp này tương tự phương pháp A. Tuy nhiên, tập Cn+1 đơn giản hơn. Phương pháp B.   x0 ∈ C chọn bất kì, yin = ΠC ( J−1(Jxn − λn Aixn) ) , i = 1, . . . , M, in = arg max { ||yin − xn|| : i = 1, . . . , M } , y¯n = y in n , zn = J−1 ( αn,0 Jxn + ∑ N j=1 αn,j JS n j y¯n ) , ukn = T k rn zn, k = 1, . . . , K, kn = arg max { ||ukn − xn|| : k = 1, . . . , K } , u¯n = u in n , Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, u¯n) ≤ φ(z, xn) + ǫn} , xn+1 = ΠCn+1 x0, n ≥ 0, (3.3) trong đó các dãy tham số điều khiển {λn} , { αn,j } , {rn} thỏa mãn các điều kiện 0 ≤ αn,j ≤ 1, N ∑ j=0 αn,j = 1, lim n→∞ inf αn,0αn,j > 0, λn ∈ [a, b], rn ≥ d. (3.4) Định lý 3.2. Kết luận của Định lý 3.1 vẫn đúng cho Phương pháp B. Tiếp theo, chúng tôi trình bày hai phương pháp lai ghép song song cho các bài toán VIP, các bài toán EP và các bài toán FPP cho các ánh xạ tựa φ - không giãn. Điều đặc biệt là ta không cần giả thiết về tính bị chặn của tập F và tính liên tục Lipschitz đều của Si. Định lý 3.3. Giả sử {Ai} M i=1 , { fk} K k=1 , {αn} , {rn} và {λn} thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1 và { Sj }N j=1 là họ hữu hạn các ánh xạ đóng và tựa φ - không giãn. Hơn nữa, giả sử tập F khác rỗng. Khi đó, dãy {xn} xác định 14 bởi: x0 ∈ C và   yin = ΠC ( J−1(Jxn − λn Aixn) ) , i = 1, 2, . . . M, in = arg max { ||yin − xn|| : i = 1, 2, . . . M. } , y¯n = y in n , z j n = J −1 ( αn Jxn + (1− αn)JSjy¯n ) , j = 1, 2, . . . N, jn = arg max { ||z j n − xn|| : j = 1, 2, . . . N } , z¯n = z jn n , ukn = T k rn z¯n, k = 1, 2, . . . K, kn = arg max { ||ukn − xn|| : k = 1, 2, . . . K } , u¯n = u kn n , Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, u¯n) ≤ φ(z, z¯n) ≤ φ(z, xn)} , xn+1 = ΠCn+1 x0, n ≥ 0, (3.5) hội tụ mạnh tới ΠFx0. Định lý 3.4. Giả sử các điều kiện của Định lý 3.3 thỏa mãn. Khi đó, dãy {xn} xác định bởi: x0 ∈ C và  yin = ΠC ( J−1(Jxn − λn Aixn) ) , i = 1, 2, . . . M, in = arg max { ||yin − xn|| : i = 1, 2, . . . M. } , y¯n = y in n , zn = J−1 ( αn,0 Jxn + ∑ N j=1 αn,j JSjy¯n ) , ukn = T k rn zn, k = 1, 2, . . . K, kn = arg max { ||ukn − xn|| : k = 1, 2, . . . K } , u¯n = u kn n , Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, u¯n) ≤ φ(z, xn)} , xn+1 = ΠCn+1 x0, n ≥ 0, (3.6) hội tụ mạnh tới ΠFx0. 3.1.2 Phương pháp lai ghép trong không gian Hilbert Các kết quả đã trình bày trong Mục 3.1.1 có thể được sử dụng để tìm nghiệm chung cho các bài toán EP, VIP và FPP trong không gian Hilbert. Tuy nhiên, sự hội tụ của các phương pháp này yêu cầu các toán tử Ai thỏa mãn điều kiện (V3) : ||Ai(y)|| ≤ ||Ai(y)− Ai(u)|| với mọi y ∈ C và u ∈ VI(Ai, C). Giả thiết này rất khó kiểm tra trong thực tế vì tập nghiệm VI(Ai, C) chưa biết. Để khắc phục điều này, chúng tôi đề xuất một phương pháp lặp trong không gian Hilbert H mà không cần giả thiết (V3). Thuật toán được thiết kế như sau: Chọn x0 ∈ H, C0 = Q0 = H và  zln = T f l rn xn, l = 1, . . . , K, ln := arg max {∥∥∥zln − xn∥∥∥ : l = 1, . . . , K} , z¯n := zlnn , ukn = PC(z¯n − λAk z¯n), k = 1, . . . , M, kn := arg max {∥∥∥ukn − xn∥∥∥ : k = 1, . . . , M} , u¯n := uknn , yin = αnu¯n + (1− αn)Siu¯n, i = 1, . . . , N, in := arg max {∥∥yin − xn∥∥ : i = 1, . . . , N} , y¯n := yinn , Cn = {v ∈ H : ‖v− y¯n‖ ≤ ‖v− z¯n‖ ≤ ‖v− xn‖} , Qn = {v ∈ H : 〈x0 − xn, xn − v〉 ≥ 0} , xn+1 = PCn∩Qn x0, n ≥ 1, (3.7) trong đó λ và các dãy tham số điều khiển {rn} , {αn} thỏa mãn các điều kiện nêu trong Định lý dưới đây. 15 Định lý 3.5. Giả sử {Ak} M k=1 : C → H là họ hữu hạn các toán tử α - đơn điệu mạnh ngược, {Si} N i=1 : C → C là họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và { fl} K l=1 là họ hữu hạn các song hàm từ C × C vào tập số thực R thỏa mãn các điều kiện (A1)− (A4). Hơn nữa, tập nghiệm F khác rỗng, λ ∈ (0; 2α) và dãy các tham số điều khiển {αn} và {rn} thỏa mãn các điều kiện: (i) {αn} ⊂ (0, 1), lim supn→∞ αn < 1; (ii) {rn} ⊂ [d, ∞) với d > 0 nào đó. Khi đó, dãy {xn} sinh bởi thuật toán (3.7) hội tụ mạnh tới PFx0. 3.2 Các phương pháp chiếu Trong mục này chúng tôi trình bày hai phương pháp chiếu tìm nghiệm (nghiệm chung) của bài toán EP và FPP. Hai phương pháp được đề cập trong mục này là: Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường (EGM - Extragradient Method) và phương pháp chiếu kiểu đạo hàm (GLM - Gradient-like Method). 3.2.1 Phương pháp chiếu EGM Giải sử C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H; { fi} N i=1 : C × C → ℜ là một họ các song hàm thỏa mãn điều kiện (A¯1)− (A¯4) và { Sj }M j=1 : C → C là một họ các ánh xạ không giãn. Trong mục này, chúng tôi trình bày thuật toán lai ghép song song tìm nghiệm chung của các bài toán EP và các bài toán FPP. Giả thiết tập nghiệm F = ( ∩Ni=1EP( fi) )⋂ ( ∩Mj=1F(Sj) ) khác rỗng và các song hàm fi, i = 1, . . . , N thỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz (Lipschitz-type continuous) với cùng cặp hằng số c1 và c2. Thuật toán 3.1. (Phương pháp lai ghép EGM song song) Khởi tạo. Chọn x0 ∈ C, 0 < ρ < min ( 1 2c1 , 12c2 ) , n := 0 và dãy {αk} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện lim supk→∞ αk < 1. Bước 1. Giải N bài toán lồi mạnh yin = argmin{ρ fi(xn, y) + 1 2 ||xn − y|| 2 : y ∈ C}, i = 1, . . . , N. Bước 2. Giải N bài toán lồi mạnh zin = argmin{ρ fi(y i n, y) + 1 2 ||xn − y|| 2 : y ∈ C}, i = 1, . . . , N. Bước 3. Tìm trong các zin, i = 1, . . . , N, xấp xỉ xa xn nhất, tức là in = argmax{||z i n − xn|| : i = 1, . . . , N}, z¯n := z in n . Bước 4. Tính các xấp xỉ trung gian ujn u j n = αnxn + (1− αn)Sjz¯n, j = 1, . . . , M. Bước 5. Tìm trong các ujn, j = 1, . . . , M, xấp xỉ xa xn nhất, tức là jn = argmax{||u j n − xn|| : j = 1, . . . , M}, u¯n := u jn n . 16 Bước 6. Xây dựng hai tập con lồi đóng của C Cn = {v ∈ C : ||u¯n − v|| ≤ ||xn − v||}, Qn = {v ∈ C : 〈x0 − xn, v− xn〉 ≤ 0}. Bước 7. Tìm phép chiếu xn+1 = PCn∩Qn(x0). Bước 8.Nếu xn+1 = xn thì dừng. Ngược lại, đặt n := n + 1 và quay lại Bước 1. Định lý 3.6. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Giả sử { fi} N i=1 là họ hữu hạn các song hàm thỏa mãn các điều kiện (A¯1)− (A¯4) và { Sj }M j=1 là họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên C. Hơn nữa, giả sử rằng tập nghiệm F khác rỗng. Khi đó, dãy (vô hạn) {xn} sinh bởi Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh tới x† = PFx0. 3.2.2 Phương pháp chiếu GLM Trong mục này, chúng tôi đề xuất một phương pháp chiếu kiểu đạo hàm (GLM - Gradient-like Method) tìm nghiệm của một bài toán EP. Trong phương pháp đề xuất, chỉ một bài toán tối ưu cần giải và sự hội tự của nó không yêu cầu thêm bất kì một giả thiết nào. Thuật toán 3.2. (Phương pháp chiếu GLM) Khởi tạo. Các tham số λ và k thỏa mãn các điều kiện sau đây. 0 < λ < 1 2(c1 + c2) , k > 1 1− 2λ(c1 + c2) . Chọn x0, x1 ∈ H, y0 ∈ C, C0 = Q0 = H và tính y1 = argmin y∈C {λ f (y0, y) + 1 2 ||x0 − y|| 2}. Bước 1. Giải bài toán tối ưu yn+1 = argmin y∈C {λ f (yn, y) + 1 2 ||xn − y|| 2}. Nếu yn+1 = yn = xn thì dừng. Ngược lại, Bước 2. Tính xn+1 = PCn∩Qn(x0), trong đó Cn = { z ∈ H : ||yn+1 − z|| 2 ≤ ||xn − z|| 2 + ǫn } , Qn = {z ∈ H : 〈x0 − xn, z− xn〉 ≤ 0} , và ǫn = k||xn − xn−1||2 + 2λc2||yn − yn−1||2 − (1− 1k − 2λc1)||yn+1 − yn|| 2. Đặt n := n + 1 và quay lại Bước 1. Định lý 3.7. Cho C là tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Giả sử f là một song hàm thỏa mãn c