Tóm tắt Luận án Phân tích phi tuyến động lực của vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên

là mảnh, mau, đặt trực giao, cách đều nhau, có mặt cắt ngang không đổi có thể bố trí ở mặt trên hoặc dưới. Chi tiết kích thước của vỏ, gân và tải trọng như trong hình 2.1. Mô đun đàn hồi và mật độ khối lượng có thể được biểu diễn bởi            2 2 k m m c c m m z h E z z E E E h                , , , , . (2.1) Hệ số Poisson được giả thiết là hằng số. (a) Panel trụ (b) Panel cầu (c) Vỏ hình yên ngựa Hình 2.1. Hệ trục tọa độ và các trường hợp của vỏ thoải hai độ cong có gân gia cường lệch tâm 6 2.2. Các phƣơng trình cơ bản Dựa trên lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học von Kármán [20] kết hợp với lý thuyết vỏ thoải của Vlasov [2], thành phần biến dạng tại một điểm cách mặt trung bình một khoảng z được viết 2 0 2 2 0 2 2 0 2 x x y y xy xy w z x w z y w z x y                                       . (2.2) Quan hệ biến dạng tại mặt trung bình và chuyển được biểu diễn bởi 2 0 0 2 0 0 0 0 0 1 2 1 2 x x y y xy wu w w w x R x x x wv w w w y R y y y w wu v w w w w y x x y y x x y                                                                        . (2.3) Định luật Hooke áp dụng cho gân như sau st x x x st y yy E E                  . (2.6) Nội lực của vỏ ES-FGM được áp dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitskii [54] trong đó có bỏ qua thành phần xoắn của gân do giả thiết gân mảnh [20]. Phương trình chuyển động của vỏ với giả thiết Volmir [93] u w và v w, 2 1 2 0     u t , 2 1 2 0     v t , là 0,      xyx NN x y 0,       xy yN N x y (2.10) 7 2 22 22 0 02 2 2 2 2                   xy y yx x x x y M M NM N ww N q x y R Rx y x x 2 22 2 2 0 0 1 12 2 2 2 2xy y w ww w w w N N x y x y ty y t                               . Hai phương trình đầu của (2.10) được thỏa mãn đồng nhất nếu đưa vào hàm ứng suất φ thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 2 , , .              x y xyN N N x yy x (2.12) Hệ phương trình chuyển động và tương thích của vỏ thoải ES-FGM     4 4 4 4 11 66 12 22 214 2 2 4 4 4 4 2 2 11 22 66 122 2 4 2 2 2 22 2 2 2 0 2 2 2 22 2 0 0 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 * * * * * * * * * ,                                                                  y x w A A A A B x x y y x w w w w B B B B R Rx y y x y ww w w w x y x y x yx y w ww w x x y y (2.13)     2 4 4 1 1 11 12 21 662 4 2 2 4 4 4 4 22 21 11 22 66 124 4 2 2 4 2 22 2 2 2 0 0 2 2 2 22 2 0 2 2 2 2 4 2 2 * * * * * * * * * *                                                                            w w w w D D D D tt x x y w D B B B B B y x x y y w ww w x y x y x yy x x ww x y y 2 2 02 2 1 1 .            x y q R Ry x (2.14) Phương trình (2.13) và (2.14) là hệ phương trình vi phân phi tuyến chủ đạo để khảo sát phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong ES-FGM với hai ẩn hàm w và  . 8 2.3. Điều kiện biên và phƣơng pháp giải Xét vỏ thoải có các cạnh được đặt trên tựa đơn, chịu áp lực ngoài phân bố đều 0q và lực nén phẳng theo phương x và y phân bố đều trên hai mặt ngang 0r và 0p . Điều kiện biên tương ứng là 00 0 0, , , ,    x x xyw M N r h N tại 0; ,x a 00 0 0, , , ,    y y xyw M N p h N tại 0; .y b (2.15) Ta lựa chọn dạng nghiệm như sau    0 0, , sin sin ,    m x n y w w f f a b (2.16) trong đó 0f là biên độ không hoàn hảo hình dạng ban đầu,  f f t là biên độ võng thêm phụ thuộc vào thời gian và ,m n là số nửa song theo hai phương x và y tương ứng. Ở đây luận án giả thiết độ không hoàn hảo 0w có dạng tương tự độ võng w . Thế dạng nghiệm (2.16) vào phương trình tương thích (2.13) và giải phương trình nhận được để tìm hàm ứng suất  như sau 1 2 2 2 3 0 0 2 2 2 2 m x n y a b y xm x n y r h p h a b             cos cos sin sin . (2.17) Thế các biểu thức (2.16) và (2.17) vào vế trái của phương trình chuyển động (2.14) sau đó áp dụng phương pháp Galerkin cho phương trình nhận được             22 2 1 2 02 2 4 1 2 0 0 0 0 06 2 4 2 2 2 0 0 0 0 1 22 6 8 2 3 4 2 2 4 0 x y Bd f df mn B M M D f f f f dt A Adt a h Hf f f Kf f f f f k r k p mn a h a r m p n f f q mn                                     . (2.20) Phương trình vi phân cấp hai phi tuyến (2.20) là phương trình chủ đạo để phân tích động lực của vỏ thoải hai độ cong FGM có gân gia cường lệch tâm hoàn hảo và không hoàn hảo. 9 2.3.1. Phân tích dao động phi tuyến Giả sử vỏ chịu áp lực ngoài biến đổi điều hòa 0 sin q Q t và các lực nén 0 0,r p cho trước không đổi. Phương trình (2.20) trở thành               22 2 1 2 02 2 4 0 0 0 1 2 0 06 2 4 2 2 2 0 0 0 1 22 6 8 2 3 4 2 2 4 sin .                                     x y Bd f df mn B M M D f f f f dt A Adt a h Hf f f Kf f f f f k r k p mn a h a r m p n f f Q t mn (2.22) Bỏ qua các thành phần cản, không hoàn hảo, phi tuyến của f . Suy ra biểu thức hiển của tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ hoàn hảo 2 1 .          mn B D M A (2.24) Xét vỏ dao động cưỡng bức phi tuyến không lực nén trước, tìm nghiệm  ( ) sin f t t và áp dụng phương pháp tương tự Galerkin, thu được quan hệ tần số và biên độ của dao động cưỡng bức phi tuyến. Đưa vào hệ số không thứ nguyên ,  mn trở thành 2 21 2 2 8 34 1 3 4 .                mn mn H H F (2.28) trong đó  là biên độ của dao động cưỡng bức phi tuyến. 2.3.2. Phân tích ổn định động phi tuyến 2.3.2.1. Tiêu chuẩn ổn định động Budiansky-Roth Tiêu chuẩn này được phát biểu: Dưới tác động của tải trọng động, độ võng của kết cấu theo thời gian với biên độ tăng dần. Nếu biên độ tăng đột ngột thì kết cấu mất ổn định. Thời điểm tương ứng với sự tăng đột ngột này là thời điểm tới hạn  dcrt t , tải tương ứng là tải tới hạn động. Về phương diện hình học, đường cong độ võng - thời gian tăng độ dốc đột ngột và đạt cực đại qua điểm đổi dốc đầu tiên. Luận án sử dụng đề xuất của Huang và Han [47], lấy thời điểm mất ổn định 2 2 0.   dcrt t d f dt 10 2.3.2.2. Ổn định động của vỏ thoải ES-FGM chịu áp lực ngoài và lực nén trƣớc dọc trục Trong phần này ta tiến hành khảo sát ổn định động lực của vỏ thoải hai độ cong ES-FGM chịu áp lực ngoài tăng tuyến tính theo thời gian 0 q ct và lực nén trước 0 r const , 0 p const . Ta có             22 2 1 2 02 2 4 0 0 0 1 2 0 06 2 4 2 2 2 0 0 0 1 22 6 8 2 3 4 2 2 4 .                                    x y Bd f df mn B M M D f f f f dt A Adt a h Hf f f Kf f f f f k r k p mn a h a r m p n f f ct mn (2.31) Giải phương trình (2.31) trong trường hợp tổng quát gặp khó khăn về toán học. Do đó, ta giải bằng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn [7]. Thời gian tới hạn động lực dcrt nhận được bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth và tải trọng tới hạn động tương ứng dcr dcrq ct . Tải trọng vồng tĩnh được xác định bằng cách bỏ qua thành phần quán tính, cản và cho 0 0f và áp dụng tiêu chuẩn mất ổn định cực trị 6 4 2 1 2 3 22 2 2 2 108 2 3 9 2 upper mn q a K B B H K D H K D H A A                                             , (2.39) và tải vồng cận dưới 6 4 2 1 2 3 22 2 2 2 108 2 3 9 2 .                                              lower mn q a K B B H K D H K D H A A (2.40) Tải tới hạn tĩnh được xác định min ,scr upperq q , .  m n Kết quả này trùng với kết quả trong công trình [6]. 11 2.3.2.3. Ổn định động của panel trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục Xét panel trụ ES-FGM chỉ chịu lực nén dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian 0 r ct , phương trình (2.20) trở thành          22 2 1 2 02 2 2 2 0 0 0 02 8 2 3 2 2 0. Bd f df mn B M M D f f f f dt A Adt a h Hf f f Kf f f f f m f f ct                          (2.42) Tương tự, giải phương trình (2.42) và áp dụng tiêu chuẩn Budiansky- Roth để xác định tải trọng tới hạn động. Tải vồng cận trên nhận được 22 2 2upper B r D Am a h         , (2.45) và tải vồng cận dưới được xác định theo tiêu chuẩn mất ổn định cực trị, 22 2 2 2 4 .          lower B H r D A Km a h (2.46) Tải tới hạn tĩnh được xác định min , , .  scr upperr r m n Kết quả này trùng với kết quả trong công trình [6]. 2.4. Kết quả số và thảo luận Trong chương này luận án đã khảo sát chi tiết tần số dao động tự do tuyến tính, tải tới hạn động, đáp ứng động và ảnh hưởng của vật liệu, kích thước hình học, độ không hoàn hảo và tải trọng tới ứng xử của panel trụ, vỏ thoải hai độ cong FGM. Một số kết quả tiêu biểu như sau: Hình 2.3. Ảnh hưởng của biên độ lực cưỡng bức Q tới đường cong tần số - biên độ của panel cầu có gân gia cường lệch tâm ( 5 ,  x yR R R m 1k  ). Hình 2.13. Ảnh hưởng của gân tới đường cong thời gian - độ võng của panel cầu không gân (q0(t)=10 5 sin100t, R=5m, k=1) 12 Như quan sát được trong hình 2.3, biên độ của lực cưỡng bức giảm thì đường cong tần số - biên độ của dao động cưỡng bức tiến sát tới dao động tự do phi tuyến. Đường cong thời gian – biên độ độ võng thể hiện trong hình 2.13 khi tần số của lực cưỡng bức nhỏ hơn nhiều tần số dao động tự do tuyến tính thì biên độ của đường cong thời gian – biên độ độ võng vỏ có gân nhỏ hơn rất nhiều vỏ không gân. Hình 2.23 thể hiện đường cong tải - độ võng của panel trụ FGM hoàn hảo không gân chịu nén dọc trục. Như chỉ ra trong hình 2.25, đối với panel trụ không hoàn hảo thì đoạn mất ổn định rất thoải. Trong trường hợp này không thể sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth. Hình 2.23. Ảnh hưởng của mode vồng tới đường cong tải - độ võng của panel trụ FGM không có gân gia cường. Hình 2.25. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo tới đường cong tải - độ võng của panel trụ FGM có gân gia cường. 2.5. Kết luận chƣơng 2 Một số nhận xét đáng chú ý rút ra từ các kết quả khảo sát như sau: 1. Hiệu quả gia cường của gân là rõ ràng trong mọi kết quả khảo sát. 2. Hiện tượng phách điều hòa xuất hiện khi tần số dao động cưỡng bức tiến sát với tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ. 3. Độ không hoàn hảo ảnh hưởng lớn với ổn định phi tuyến của panel trụ chịu lực nén dọc trục khi làm độ dốc của đoạn mất ổn định giảm và không thể áp dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth trong trường hợp này. 4. Đối với vỏ FGM không gia cường, tần số dao động tự do tuyến tính phụ thuộc vào hai thông số: độ cong Gauss x yk k và x yk k . Tuy vậy đối với vỏ FGM có gân gia cường thì lại có sự khác biệt. 5. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích, độ cong của vỏ tới ứng xử động lực của vỏ cũng thể hiện một cách rõ rệt. 13 Chƣơng 3: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ TRỤ TRÕN VÀ VỎ TRỐNG FGM CÓ GÂN GIA CƢỜNG LỆCH TÂM Điểm mới của chương này là: +) Đề xuất quy luật mở rộng quy luật phân bố Sigmoid của FGM. +) Xây dựng các phương trình chủ đạo và trình bày phương pháp giải bài toán phi tuyến động lực của vỏ trống ES-FGMC. +) Mở rộng kết quả của Huang và Han [47] năm 2010, với kết cấu gia cường. Độ võng được chọn là biểu thức một số hạng và ba số hạng. +) Phân tích phi tuyến động lực của vỏ trụ FGM chịu nén dọc trục và áp lực ngoài với một số loại gân gia cường hay gặp trong kỹ thuật. 3.1. Đặt vấn đề Bài toán vỏ trống phủ mặt FGM có điều kiện biên tựa đơn tại hai đầu vỏ và được gia cường bởi hệ thống gân đai và gân dọc thuần nhất. Hình 3.1. Vỏ trống có gân gia cường lệch tâm Độ cong dọc 1 a mang giá trị dương với vỏ trống lồi và giá trị âm đối với vỏ trống lõm. Vỏ được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak. Chi tiết 14 kích thước và vật liệu được thể hiện trong hình 3.1 và 3.2. (a) (b) Hình 3.2. Các loại vật liệu phủ mặt FGM Các tính chất hiệu dụng của vỏ Preff như mô đun đàn hồi E , và mật độ thể tích  có thể được xác định bởi   2 2 2 2 2 2 in ou effeff ou inio in effeff ou inin effeff ou ouio ou k z h h h z h h z h z h k z h h z h h h                              Pr Pr , , Pr Pr , , Pr Pr , , (3.1) ở đây ký hiệu chỉ số dưới ,ou in chỉ các đặc trưng của hai lớp FGM ở phía ngoài và phía trong vỏ. Đây là quy luật tổng quát dành cho kết cấu thuần nhất, FGM phủ mặt, FGM đối xứng và FGM theo quy luật lũy thừa. Hệ số Poisson  được giả thiết là hằng số. Phương trình tương thích biến dạng và phương trình chuyển động của vỏ trống nhận được     4 4 4 4 11 66 12 22 214 2 2 4 4 4 4 2 2 11 22 66 122 2 4 2 2 2 1 1 2 * * * * * * * * *                                  w A A A A B x x y y x w w w w B B B B R ax y y x y 2 2 2 2 2 2 0,                w w w x y x y (3.6) 15     2 4 4 1 1 11 12 21 662 4 2 2 4 4 4 4 22 21 11 22 66 124 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 2 1 1 2 * * * * * * * * * *                                                                          w w w w D D D D tt x x y w D B B B B B y x x y y w w w R a x y x yx y y x x y w w K w K x y 0 0.  q (3.7) Phương trình (3.6) và (3.7) là hệ phương trình vi phân phi tuyến chủ đạo để khảo sát đáp ứng phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong với hai ẩn độc lập w và  . Đây là hai phương trình tổng quát phân tích ứng xử động lực của một số loại vỏ như vỏ trống lồi, vỏ trống lõm và vỏ trụ. Khi độ cong 1 a mang giá trị dương và âm đối với vỏ trống lồi và vỏ trống lõm, a đối với vỏ trụ tròn tương ứng. 3.2. Ổn định động phi tuyến vỏ trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục: Độ võng chọn một số hạng Vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh được đặt trên tựa đơn và chịu lực nén dọc trục 0 0r r h(N/m). Điều kiện biên trong mục này là 00 0 0 0, , , , ; .     x x xyw M N r h N tai x L (3.8) Độ võng và độ không hoàn hảo được lựa chọn như biểu thức 2.16. Áp dụng phương pháp tương tự ta thu được phương trình chuyển động        2 4 1 0 0 2 2 2 0 0 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 2 0 d f B L D f Gf f f f f A L m hr f f dt L K f L m n K f                      . (3.13) 3.2.1. Ổn định tĩnh Bỏ qua thành phần quán tính và độ không hoàn hảo, tải vồng tĩnh của vỏ trụ hoàn hảo có thể xác định theo tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh  2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 21 sbu B r D AL m h L m h L K L m n K              . (3.16) Tải tới hạn tĩnh được xác định minscr sbur r vs.  ,m n . 16 3.2.2. Ổn định động phi tuyến Phân tích ổn định động phi tuyến được khảo sát với hai loại tải trọng: i) Lực nén dọc trục thay đổi tuyến tính theo thời gian 0r = ct . ii) Vỏ chịu tải trọng bậc thang với bước thời gian vô hạn 0r = const, t . Bằng cách sử dụng phương pháp Runge-Kutta và sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth để xác định tải tới hạn động của vỏ. 3.3. Ổn định động phi tuyến vỏ trống ES-FGMC chịu tải dọc trục và áp lực ngoài: Độ võng chọn ba số hạng Xét trường hợp vỏ trống ES-FGMC với hình dạng gân khác nhau hoàn hảo chịu tải kéo và nén dọc trục và áp lực ngoài. Nghiệm xấp xỉ của w thỏa mãn điều kiện biên (3.8) theo nghĩa trung bình có dạng 2 0 1 2sin sin sin ,      m x ny m x w f f f L R L (3.17) trong đó 0 0( )f f t là độ võng đều phụ thuộc vào thời gian của trạng thái trước vồng, 1 1( )f f t là độ võng tuyến tính phụ thuộc vào thời gian của trạng thái sau vồng, 2 2( )f f t là độ võng phi tuyến phụ thuộc vào thời gian của trạng thái sau vồng. Thực hiện các bước tương tự chương 2, áp dụng phương pháp Galerkin và kết hợp với điều kiện chu vi kín [43] 2 2 2 0 0 0 0 0 1 0 2 R L R L y v w w dxdy dxdy y R y                      , (3.22) ta thu được hệ 3 phương trình vi phân cấp hai chuyển động của vỏ. 3.3.1. Phân tích ổn định tĩnh Tương tự chương 2, tải dọc trục vồng cận trên của vỏ trống ES-FGMC được xác định theo tiêu chuẩn rẽ nhánh 1 34 11 16 12 312 upper H r H H H H         , (3.28) và áp lực ngoài vồng cận trên cũng nhận được theo tiêu chuẩn rẽ nhánh 11 12 33 17 312 .  upper H q H H H H (3.30) 17 3.3.2. Phân tích động phi tuyến Sau khi biến đổi ta thu được 2 2 20 0 11 0 12 1 13 1 2 14 2 15 0 22 13 0 14 0 16 1 0 17 1 2 18 2 2 2 0,                     d f df f f f f f r f dtdt q r K f K f K f (3.34) 2 21 1 22 1 21 1 0 22 1 2 25 1 22 3 23 1 24 1 0 25 1 0 26 1 1 0 27 1 1 2 28 2 1 2 28 1 1 29 2 1 2 0,                        d f df f f f f f f f dtdt f f q f r K f f K f f K f f K f K f (3.35) 2 2 22 2 31 1 32 1 2 33 22 34 0 2 35 1 2 0 36 2 2 2 3 0 4 d f df f f f f dtdt r f K f f K f                       . (3.36) Đặt maxf W , trong đó lưu ý rằng  0 0f f t ,  1 1f f t ,  2 2f f t và  f f t , từ phương trình (3.17), độ võng lớn nhất nhận được 0 1 2,  f f f f (3.37) tại 2  iL x m , 2   j R y n trong đó ,i j là các số nguyên dương lẻ. 3.3.2.1. Ổn định động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC i) Trƣờng hợp 1: Vỏ trống chỉ chịu áp lực ngoài tăng tuyến tính theo thời gian 0  qq c t . Ta bỏ qua thành phần cản nhớt và lực dọc trục. ii) Trƣờng hợp 2: Vỏ trống chỉ chịu lực dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian 0  rr c t . Ta bỏ qua thành phần cản nhớt và áp lực ngoài. iii) Trƣờng hợp 3: Vỏ trống chịu lực dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian 0  rr c t và áp lực ngoài tĩnh 0 q const hoặc ngược lại áp lực ngoài tăng tuyến tính theo thời gian 0  qq c t và lực dọc tĩnh 0 r const . Phương trình (3.34-3.36) là hệ ba phương trình vi phân phi tuyến cấp hai liên quan và phức tạp. Trong luận án này, hệ phương trình này được giải bằng phương pháp Runge-Kutta. Tải tới hạn động được xác định bằng tiêu chuẩn Budiansky-Roth với độ võng lớn nhất theo (3.37). 18 3.3.2.2. Dao động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC Vỏ trống ES-FGMC chịu áp lực ngoài theo quy luật điều hòa, giải hệ phương trình nhận được bằng phương pháp Runge-Kutta. Bỏ qua thành phần độ võng đều và độ võng phi tuyến, tần số dao động tự do tuyến tính không cản của vỏ trống ES-FGMC được xác định bởi 22 1 28 2 29mn K K       . (3.49) Tương tự chương 2 quan hệ biên độ - tần số nhận được 2 223 24 2 2 4 3 8 1 4 3 .            mn mn mn Q (3.51) 3.4. Kết quả số và thảo luận Trong nội dung này luận án đã khảo sát chi tiết tần số dao động tự do tuyến tính, tải tới hạn động, đáp ứng động và ảnh hưởng của vật liệu, kích thước hình học, nền, độ không hoàn hảo và tải trọng tới ứng xử của vỏ trụ tròn, vỏ trống FGM và FGMC. Một số kết quả tiêu biểu như sau: Hình 3.5. Đường cong tải - độ võng của vỏ không gân chịu tải trọng bậc thang kéo dài vô hạn Hình 3.10. Ảnh hưởng của tỷ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới đường cong tải - độ võng chịu tải nén tăng tuyến tính theo thời gian của vỏ trụ gân ngoài. Hình 3.43. Ảnh hưởng của chỉ số k tới đường cong tải - độ võng của vỏ trống lồi phủ mặt FGM chịu kéo. Hình 3.49. Ảnh hưởng của hệ số nền 1K tới đường cong tải - độ võng của vỏ trống lồi phủ mặt FGM chịu nén dọc trục. 19 Như quan sát được trên hình 3.5, có một bước nhảy đột ngột của giá trị độ võng trung bình khi giá trị tải trọng đạt tới giá trị tải tới hạn bậc thang của vỏ. Hình 3.10 chỉ ra ảnh hưởng của tỷ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới đường cong tải - độ võng của vỏ không gân và có gân chịu tải nén dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian. Cũng tương tự trường hợp panel trụ chịu nén dọc trục khi độ dốc của khoảng mất ổn định của vỏ không hoàn hảo rất nhỏ. Vì vậy rất khó để sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth để xác định được tải tới hạn động. Hình 3.43 chỉ ra ảnh hưởng của hệ số đặc trưng tỷ phần thể tích tới đường cong tải - độ võng của vỏ trống không gân chịu kéo dọc trục. Có thể nhận thấy đường cong tải - độ võng ở giai đoạn trước mất ổn định gần như một đường thẳng nằm phía trên trục tọa độ. Hình 3.49 cho thấy ảnh hưởng của 1K tới đường cong tải – biên độ độ võng vỏ trống lồi chịu nén. Đường cong tải – biên độ độ võng của trạng thái trước mất ổn định gần như đường thẳng nằm dưới trục hoành. Độ dốc của đường cong trước mất ổn định thay đổi lớn khi 1K thay đổi. 3.5. Kết luận chƣơng 3 Một số nhận xét đáng chú ý rút ra từ các kết quả khảo sát như sau: 1. Hiệu quả gia cường của gân vẫn thể hiện một cách rõ ràng. 2. Đối với vỏ trụ và vỏ trống lõm, chỉ tồn tại tải tới hạn nén dọc trục, ngược lại đối với vỏ trống lồi tồn tại cả tải tới hạn kéo và nén dọc trục. 3. Đối với dạng nghiệm độ võng một số hạng, đường cong tải - độ võng của giai đoạn trước mất ổn định của vỏ trụ gần như là một đường thẳng bám sát trục hoành, ngược lại với dạng nghiệm ba số hạng đường cong này gần như một đường thẳng nằm phía trên hoặc dưới trục hoành. 4. Trong trường hợp vỏ trống chịu kéo, độ dốc của đường cong trước mất ổn định của vỏ không thay đổi khi 1K và 2K thay đổi. 5. Đối với vỏ trụ chịu áp lực ngoài, gân dọc ảnh hưởng nhỏ còn gân đai ảnh hưởng lớn tới tải tới hạn động, ngược lại với tải nén dọc trục. 6. Gân đai ảnh hưởng rất lớn và gân dọc ảnh hưởng nhỏ tới tải tới hạn kéo dọc trục của vỏ trống, ngược lại, với vỏ trống chịu nén dọc trục. 20 Chƣơng 4: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ CẦU THOẢI ĐỐI XỨNG TRỤC FGM Mục tiêu chương này là nghiên cứu về dao động và ổn định động đàn hồi phi tuyến của vỏ cầu thoải FGM và FGMC trong đó có xem xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ. Hàm ứng suất được xác định một cách chính xác từ phương trình tương thích và sử dụng phương pháp Galerkin tính trên toàn miền biên của vỏ. 4.1. Đặt vấn đề Xét vỏ cầu thoải với bán kính cong R , bán kính đáy a , bề dày h như thể hiện trên hình 4.1. Vỏ được đặt trên nền đàn hồi theo mô hình hai hệ số Pasternak. Chu tuyến đáy bị ngàm cứng hoặc ngàm trượt, áp lực ngoài phân bố đều 0q và nhiệt độ tăng đều trong toàn kết cấu. Hình 4.1. Hình dạng và hệ trục tọa độ của vỏ cầu thoải 4.2. Phƣơng trình chủ đạo Áp dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học của von Kármán trong đó có xem xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ và độ không hoàn hảo ta nhận được hệ phương trình tương thích và chuyển động 22 2 2 0 0 2 2 2 2 0 1 2 1 12 1 1 1 2 0,                                       s s s w ww w D R r r r r rr r r w w q K w K w tt (4.12) 21 22 2 2 0 0 2 2 2 1 1 1 1 1s s w w ww w w w E R r r r r r rr r r                   . (4.13) Hai phương trình (4.12) và (4.13) là hệ phương trình chủ đạo vi phân phi tuyến theo hai ẩn hàm w và  . 4.3. Phân tích phi tuyến động lực Xét vỏ cầu chịu ngàm trên biên và chịu áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt ngoài và nhiệt độ tăng đều. Điều kiện biên được xác định 0r  , w f , 0 w r    , r a , 0 w w r     , 0r rN N , (4.14) trong đó  f f t là biên độ độ võng. Trong trường hợp ngàm trượt thì 0 0rN  , trong khi nếu ngàm cứng 0rN là phản lực trên cạnh biên. Nghiệm xấp xỉ được chọn để thoả mãn các điều kiện biên (4.14) là       2 2 2 0 0 4 a r w w f f a  , , , (4.15) trong đó độ không hoàn hảo 0w được giả thiết cùng dạng với độ võng. Thay (4.15) vào (4.12) và lấy tích phân, xác định các hằng số tích phân theo điều kiện về tính hữu hạn và điều kiện ràng buộc trên biên     5 2 3 7 2 5 4 31 01 4 8 1 01 02 2 2 6 2 6 3 2 3 2 r E f f fE f r a r r a r a r r a R a E f f fE f r r N r R a                          , (4.16) trong đó 0 0rN  đối với trường hợp cạnh biên của vỏ ngàm trượt. Thay các phương trình (4.15), (4.16) vào (4.14) và áp dụng phương pháp Galerkin, nhận được          2 1 2 0 3 02 4 0 0 5 0 0 0 0 1 22