Tóm tắt Luận án Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân

dương, tính bị chặn, tính chất ÔĐTCĐP, tính chất ÔĐTCTC và tính không tuần hoàn của nghiệm. Bằng các kỹ thuật của giải tích toán học, chúng tôi chứng minh rằng các LĐSPKT được đề xuất là tương thích động lực với mô hình liên tục. 2.1.1. Mô hình toán học và các tính chất Xét mô hình siêu quần thể được đề xuất trong Keymer et al. (2000) dp0 dt = e(p1+ p2)−λ p0, dp1 dt = λ p0−β p1p2+δ p2− ep1, dp2 dt = β p1p2− (δ + e)p2. (2.1.1) 5 Chi tiết về mô hình này được trình bày trong Keymer et al. (2000). Bởi vì p0+ p1+ p2 = 1 nên ta chỉ cần xem xét mô hình sau đây dp1 dt = λ (1− p1− p2)−β p1p2+δ p2− ep1, dp2 dt = p2(β p1−δ − e). (2.1.2) Từ ý nghĩa sinh học của mô hình, chúng ta chỉ xét các điều kiện đầu p1(0), p2(0) thỏa mãn p1(0), p2(0)≥ 0, p1(0)+ p2(0)≤ 1. (2.1.3) Các phân tích toán học trong Allen (2007) và Keymer et al. (2000) chỉ ra rằng mô hình (2.1.1) sở hữu các tính chất sau đây: (P1) Tính chất đơn điệu của tổng s(t) = p1(t) + p2(t): Với các điều kiện ban đầu thỏa mãn (2.1.3), tổng s(t) = p1(t)+ p2(t) hội tụ đơn điệu đến s∗ = λ/(λ + e). (P2) Tính bị chặn: Tất cả các nghiệm của mô hình (2.1.1) với điều kiện ban đầu cho bởi (2.1.3) đều thỏa mãn p1(t), p2(t)≥ 0 và p1(t)+ p2(t)≤ 1 với mọi t ≥ 0. (P3) Tính chất ÔĐTCĐP: Mô hình (2.1.1) có hai điểm cân bằng p∗1 = ( λ λ + e ,0 ) , p∗2 = (x ∗,y∗) = ( δ + e β , λ λ + e − δ + e β ) . Chúng ta định nghĩa số R0 := βλ (λ + e)(δ + e) . Khi đó, điểm cân bằng thứ nhất p∗1 là ÔĐTCĐP nếu R0 1. (P4) Tính chất ÔĐTCTC: NếuR0 1 thì điểm cân bằng thứ hai là ÔĐTCTC. (P5) Tính không tuần hoàn của nghiệm:Mô hình (2.1.2) không có nghiệm tuần hoàn trong tậpD= { (p1, p2)|0< p1+ p2 < 1 } . 2.1.2. Xây dựng lược đồ sai phân khác thường Để thuận lợi cho việc trình bày, chúng tôi ký hiệu bước lưới là h và đặt x(t)≡ p1(t), y(t)≡ p2(t). Xét các LĐSPKT xác định bởi xk+1− yk+1 ϕ(h) =−c1(λ + e)xk− c2(λ + e)xk+1+ c3(δ −λ )yk+ c4(δ −λ )yk+1 − c5βxkyk− c6βxk+1yk− c7βxkyk+1− c8βxk+1yk+1+λ , yk+1− yk ϕ(h) =−c1(λ + e)yk− c2(λ + e)yk+1+ c3(λ −δ )yk+ c4(λ −δ )yk+1 + c5βxkyk+ c6βxk+1yk+ c7βxkyk+1+ c8βxk+1yk+1, (2.1.4) trong đó c1+ c2 = c3+ c4 = c5+ c6+ c7+ c8 = 1, ϕ(h) = h+O(h2). (2.1.5) Xét một vài trường hợp đặc biệt của lược đồ (2.1.4) như dưới đây. 6 • Lược đồ (2.1.4)-(i): c1+ c2 = 1, c3 = 1, c4 = 0, c5+ c6 = 1, c7 = c8 = 0, ϕ(h) = h+O(h2). (2.1.6) • Lược đồ (2.1.4)-(ii): c1+ c2 = 1, c3 = 1, c4 = 0, c5 = 1, c6 = c7 = c8 = 0, ϕ(h) = h+O(h2). (2.1.7) • Lược đồ Euler khác thường (2.1.4)-(iii): c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, c4 = 0, c5 = 1, c6 = c7 = c8 = 0. (2.1.8) Trong [A1], chúng tôi chứng minh được những kết quả dưới đây về tính chất của các LĐSPKT. Định lý 2.1. LĐSPKT (2.1.4)-(i) bảo toàn các tính chất (P1)− (P3) của mô hình (2.1.2) nếu c1 ≤− δλ + e , 2c2 > δ + e λ + e , c5 ≤ 0, c2 ≥ c6 ≥ 0. (2.1.9) Định lý 2.2. LĐSPKT (2.1.4)-(ii) bảo toàn các tính chất (P1)− (P5) của mô hình (2.1.2) nếu c1 ≤min { −δ λ + e , −β λ + e } , c2 > max { δ + e 2(λ + e) , β λ + e , β |y∗| λ + e } . (2.1.10) Định lý 2.3. Cho q là một số thực thỏa mãn q> max { max Ω ( |λ |2 2|Re(λ )| ) , λ + e+β , δ + e, β |y∗| } , (2.1.11) trong đó Ω= ⋃ e∗∈{p∗1,p∗2}σ(J(e ∗)) với J là ma trận Jacobi của hệ (2.1.2), và ϕ(h) là một hàm thỏa mãn ϕ(h) 0. (2.1.12) Khi đó, lược đồ Euler khác thường (2.1.4)-(iii) bảo toàn các tính chất (P1)− (P5) của (2.1.2). 2.2. Một cách tiếp cận mới nghiên cứu tính chất ổn định của lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình siêu quần thể Trong mục này, chúng tôi xét mô hình siêu quần thể được đề xuất trong Amarasekare và Possingham (2001). Chúng tôi thiết lập tính chất ÔĐTCTC hoàn chỉnh của mô hình và xây dựng các LĐSPKT tương thích động lực với mô hình liên tục. Đáng chú ý là tính chất ổn định tiệm cận của các LĐSPKT được thiết lập nhờ một cách tiếp cận mới dựa trên các mở rộng của Định lý ổn định Lyapunov. 2.2.1. Tính chất ổn định tiệm cận toàn cục Xét mô hình siêu quần thể đề xuất trong Amarasekare và Possingham (2001): dI dt = βISI− eII+ f L−gI, dS dt = eII−βISI+ f R−gS, dL dt = gI− f L− eLL+βLRI, dR dt = gS− f R+ eLL−βLRI. (2.2.1) 7 Chi tiết về mô hình được trình bày trong Amarasekare và Possingham (2001). Dễ dàng chứng minh rằng tập Ω xác định bởi Ω := { (I,S,L,R) ∈ R4+ : I+S+L+R= 1 } (2.2.2) là một tập bất biến dương của (2.2.1). Mô hình (2.2.1) luôn luôn có một điểm cân bằng biên E∗0 = (I ∗ 0 ,S ∗ 0,L ∗ 0,R ∗ 0) với mọi giá trị của tham số, trong đó I∗0 = 0, S ∗ 0 = f f +g , L∗0 = 0, R ∗ 0 = g g+ f . Ta định nghĩa các số a=βIβL, b= βI( f + eL)+βL(eI+g)−βIβL ff +g , c=( f + eL) ( eI−βI ff +g ) +g ( eL−βL ff +g ) . (2.2.3) Khi đó, nếu c< 0 thì mô hình (2.2.1) có duy nhất một điểm cân bằng dương E∗1 = (I ∗ 1 ,S ∗ 1,L ∗ 1,R ∗ 1) các định bởi I∗1 := I ∗ = −b+√b2−4ac 2a , S∗1 := S ∗ = b+2βIβL f f +g −√b2−4ac 2a , R∗1 := R ∗ = g f +g − βI f I∗2+ ( βI f +g − g+ eI f ) I∗, L∗1 := L ∗ = 1− I∗−S∗−R∗ = g f +g −R∗ = βI f I∗2− ( βI f +g − g+ eI f ) I∗, (2.2.4) trong đó I∗1 là nghiệm dương duy nhất của phương trình aX 2+bX+ c= 0. Trong [A3], chúng tôi thiết lập được tính chất ÔĐTCTC của mô hình (2.2.1) như dưới đây. Định lý 2.4. Nếu c≥ 0, thì điểm cân bằng E∗0 của mô hình (2.2.1) là ÔĐTCTC đối với tập Ω. Nếu c< 0, thì điểm cân bằng E∗1 của mô hình (2.2.1) là ÔĐTCTC đối với tập Ω−{E∗0}. 2.2.2. Lược đồ sai phân khác thường bán ẩn cho mô hình (2.2.1) Chúng tôi đề xuất LĐSPKT bán ẩn cho mô hình (2.2.1) ở dạng Sk+1−Sk ϕ = eIIk−βISk+1Ik+ f Rk−gSk, Ik+1− Ik ϕ = βISk+1Ik− eIIk+ f LK−gIk, Rk+1−Rk ϕ = gSk− f Rk+ eLLk−βLRk+1Ik, Lk+1−Lk ϕ = gIk− f Lk− eLLk+βLRk+1Ik. (2.2.5) Mục tiêu của chúng tôi là xác định các điều kiện đặt lên ϕ(h) sao cho lược đồ (2.2.5) bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình (2.2.1), bao gồm: (P1) Tính chất hội tụ đơn điệu: Với các giá trị ban đầu nằm trong tập Ω, các tổng a(t) := I(t) + S(t) và b(t) := R(t)+L(t) hội tụ đơn điệu đến a∗ := f/( f +g) và b∗ := g/( f +g), tương ứng. (P2) Tính chất bị chặn: Tập Ω cho bởi (2.2.2) là một tập bất biến dương của (2.2.1). 8 (P3) Tính chất ÔĐTCĐP: E∗0 là ÔĐTCĐP nếu c> 0 và E ∗ 1 là ÔĐTCĐP nếu c< 0. Trong [A2], bằng cách đề xuất một cách tiếp cận mới dựa trên các mở rộng của Định lý ổn định Lyapunov (Iggidr & Bensoubaya 1998), chúng tôi thu được kết quả sau đây. Định lý 2.5. (i) Trong trường hợp c > 0, lược đồ (2.2.5) bảo toàn các tính chất (P1)− (P3) của mô hình (2.2.1) nếu ϕ(h)< ϕ∗ := min { 1 eI+g , 1 f + eL , 1 f +g , τ c , 2 τ } , ∀h> 0, (2.2.6) trong đó τ := f + eL+ eI+g−βI ff +g . (2.2.7) (ii) Trong trường hợp c< 0, xét các đa thức λ1(ϕ) := ϕ3[(βIβL)2I∗4−α4]+ϕ2[2(βI+βL)βIβLI∗3−α3] +ϕ[(βI+βL)2I∗2+2βIβLI∗2−α2]+ [2(βI+βL)I∗−α1], λ2(ϕ) := [β 2I β 2 L I ∗4− γ4+α4]ϕ2+[2(βI+βL)βIβLI∗3− γ3+α3]ϕ +[(βI+βL)2I∗2+2βIβLI∗2− γ2+α2], λ3(ϕ) := [β 2I β 2 L I ∗4+ γ4+α4]ϕ4+[2(βI+βL)βIβLI∗3+ γ3+α3]ϕ3 +[(βI+βL)2I∗2+2βIβLI∗2+ γ2+α2]ϕ2+[2(βI+βL)I∗+ γ1+α1]ϕ+4, và đặt ϕ∗i := sup { ϕ > 0 : λi(ϕ)> 0 } , i= 1,2,3; ϕ0 := min i=1,2,3 {ϕ∗i }. Khi đó, lược đồ (2.2.5) bảo toàn các tính chất (P1)− (P3) của mô hình (2.2.1) nếu ϕ(h)< ϕ∗ := min { 1 eI+g , 1 f + eL , 1 f +g , ϕ0 } , ∀h> 0. (2.2.8) 2.2.3. Lược đồ sai phân khác thường dạng hiển cho mô hình (2.2.1) Chúng ta xét lược đồ Euler khác thường Ik+1− Ik ϕ(h) = βISkIk− eIIk+ f Lk−gIk, Sk+1−Sk ϕ(h) = eIIk−βISkIk+ f Rk−gSk, Lk+1−Lk ϕ(h) = gIk− f Lk− eLLk+βLRkIk, Rk+1−Rk ϕ(h) = gSk− f Rk+ eLLk−βLRkIk, (2.2.9) trong đó ϕ(h) = h+O(h2) khi h→ 0. Sử dụng cách tiếp cận được đề xuất trong Mục 2.2.2, trong [A3] chúng tôi thu được kết quả sau đây . Định lý 2.6. (i) Trong trường hợp c≥ 0, lược đồ Euler khác thường (2.2.9) bảo toàn tính bị chặn, tính hội tụ đơn điệu, tính chất ÔĐTCTC của E∗0 và tính chất không ổn định của E ∗ 1 của mô hình (2.2.1) nếu ϕ(h)< ϕ∗ := min { 1 eI+g , 1 βI+g , 1 f + eL , 1 f +βL , 1 f +g } , ∀h> 0. (2.2.10) 9 (ii) Trong trường hợp c< 0, lược đồ Euler khác thường (2.2.9) bảo toàn tính chất bị chặn, tính chất đơn điệu, tính chất ÔĐTCĐP của E∗1 và tính chất không ổn định của E ∗ 0 của mô hình (2.2.1) nếu ϕ(h)< ϕ∗ := min { 1 eI+g , 1 βI+g , 1 f + eL , 1 f +βL , 1 f +g , τ1 τ2 , 2 τ1 } , ∀h> 0, (2.2.11) trong đó τ1 := f + eL+βLI∗+2βII∗+ eI+g−βI ff +g , τ2 := βIβLI∗2+βI( f + eL)I∗+ fβLL∗ > 0. (2.2.12) 2.2.4. Một chú ý về lược đồ sai phân khác thường cho mô hình (2.2.1) Chúng ta xem xét lại LĐSPKT (2.1.4) với điều kiện (2.1.5) được đã được xây dựng trong Mục 2.1. Nhờ cách tiếp cận được đề xuất trong Mục 2.2.2, chúng ta thu được kết quả dưới đây. Định lý 2.7. LĐSPKT (2.1.4)-(2.1.5) bảo toàn các tính chất (P1)− (P5) của mô hình (2.1.1) nếu c5 ≤ 0, c6 ≥ 0, c2 ≥max { c6,c∗ } , c1 ≤− δλ + e . (2.2.13) Chú ý rằng trong Mục 2.1 chúng ta chỉ kết luận được tính dương và không khẳng định được các tính chất khác của LĐSPKT. Vì vậy, Định lý 2.7 là một cải thiện quan trọng cho các kết quả trong Mục 2.1. Đều này khẳng định sự hiệu quả và ưu thế của cách tiếp cận mới. 2.3. Lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình lan truyền virus máy tính Mục tiêu chính của mục này là đề xuất và nghiên cứu các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất trong Yang et al. (2013). Đặc biệt, bằng cách sử dụng định lý ổn định Lyapunov, chúng tôi thiết lập được tính chất ÔĐTCTC của các LĐSPKT. 2.3.1. Mô hình toán học Chúng ta xét một mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất trong Yang et al. (2013): S˙= δ −βS(L+B)+ γ1L+ γ2B−δS, L˙= βS(L+B)− γ1L−αL−δL, B˙= αL− γ2B−δB. (2.3.1) Chi tiết về mô hình này được trình bày trong Yang et al. (2013). Bởi vì S(t)+L(t)+B(t)≡ 1 nên ta chỉ cần xét hệ sau L˙= β (1−L−B)(L+B)− γ1L−αL−δL, B˙= αL− γ2B−δB. (2.3.2) Dễ dàng chỉ ra rằng tập Ω= { (L,B) : L≥ 0,B≥ 0,L+B≤ 1 } là một tập bất biến dương của (2.3.2). Các phân tích toán học chỉ ra rằng mô hình (2.3.2) có hai điểm cân bằng E0 và E∗ xác định bởi E0 = (0,0), E∗ = (L∗,B∗) = ((γ2+δ )(1− 1 R0 ) α+δ + γ2 , α ( 1− 1 R0 ) α+δ + γ2 ) , (2.3.3) 10 trong đó R0 = β (α+ γ2+δ ) (α+ γ1+δ )(γ2+δ ) . (2.3.4) Hơn nữa, (i) E0 là ÔĐTCTC đối với tập Ω nếuR0 ≤ 1. (ii) E∗ là ÔĐTCTC đối với Ω′ =Ω−E0 nếu 1 <R0 ≤ 4. 2.3.2. Lược đồ sai phân khác thường cho mô hình (2.3.1) Chúng tôi đề xuất lược đồ Euler khác thường cho mô hình (2.3.1) Sk+1−Sk ϕ(h) = δ −βSk(Lk+Bk)+ γ1Lk+ γ2Bk−δSk, Lk+1−Lk ϕ(h) = βSk(Lk+Bk)− γ1Lk−αLk−δLk, Bk+1−Bk ϕ(h) = αLk− γ2Bk−δBk, (2.3.5) trong đó ϕ(h) = h+O(h2) khi h→ 0. Các điều kiện đặt lên ϕ(h) sẽ được xác định sao cho các tính chất quan trọng của mô hình (2.3.1) được bảo toàn. Trong [A4], nhờ lý thuyết ổn định Lyapunov, chúng tôi chứng minh được rằng: Định lý 2.8. (i) Trong trường hợp R0 ≤ 1, lược đồ Euler khác thường (2.3.5) bảo toàn tính dương, tính bị chặn, tính ÔĐTCTC của E0 và tính không ổn định của E∗ nếu ϕ(h)< ϕ∗ := min { 1 β +δ , 1 γ1+α+δ , 1 δ + γ2 } , ∀h> 0, (2.3.6) (ii) Trong trường hợp R0 > 1, lược đồ Euler khác thường (2.3.5) bảo toàn tính dương, tính bị chặn, tính ÔĐTCĐP của E∗ và tính không ổn định của E0 nếu ϕ(h)< ϕ∗ := min { 1 β +δ , 1 γ1+α+δ , 1 δ + γ2 , 2 τ1 , τ1 τ2 } , ∀h> 0. (2.3.7) trong đó τ1 và τ2 được cho bởi τ1 =: 2β (L∗+B∗)+α+2δ + γ1+ γ2−β , τ2 =: [ 2β (L∗+B∗)+α+ γ1+δ −β ] (γ+δ )+ [ 2β (L∗+B∗)−β ] α. (2.3.8) 2.4. Lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình thú-mồi tổng quát Trong mục này, chúng tôi xây dựng LĐSPKT bảo toàn tính dương và tính ổn định tiệm cận của một mô hình thú-mồi tổng quát. Đáng chú ý là tính chất ÔĐTCTC của LĐSPKT được chứng minh bằng cách sử dụng định lý ổn định Lyapunov. Các mô phỏng số chỉ rằng các LĐSPBT như lược đồ Euler và Rung-Kutta bốn nấc kinh điển (RK4) không thể bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình liên tục. 11 2.4.1. Mô hình liên tục và các tính chất Chúng ta xét một mô hình thú-mồi tổng quá được xây dựng trong Ladino et al. (2015) x˙(t) = x(t) f (x(t),y(t)) = x(t) [ r(x(t))− y(t)φ(x(t))−m1 ] , y˙(t) = y(t)g(x(t),y(t)) = y(t) [ s(y(t))+ cx(t)φ(x(t))−m2 ] , (2.4.1) trong đó x(t) và y(t) biểu thị số lượng con mồi và động vật ăn thịt tại thời điểm t, tương ứng. Chi tiết về mô hình này được tình bày chi tiết trong Ladino et al. (2015). Dễ dàng kiểm tra rằng tập Ω= { (x,y) ∈ R2∣∣x≥ 0, y≥ 0} là một tập bất biến dương của mô hình (2.4.1). Định lý 2.9 (Ladino et. al 2015). (i) Mô hình (2.4.1) luôn luôn có điểm cân bằng P∗0 = (x ∗ 0,y ∗ 0) = (0,0) với mọi giá trị của tham số. (ii) Mô hình (2.4.1) có một điểm cân bằng P∗1 = (x ∗ 1,y ∗ 1) = (K,0), với r(K) = m1, nếu và chỉ nếu m1 < r(0). (iii) Mô hình (2.4.1) có một điểm cân bằng P∗2 = (x ∗ 2,y ∗ 2) = (0,M), với s(M) = m2, nếu và chỉ nếu m2 < s(0). (iv) Mô hình (2.4.1) có một điểm cân bằng P∗3 = (x ∗ 3,y ∗ 3) = (x ∗,y∗), trong đó x∗ là nghiệm của phương trình cx∗φ(x∗)+ s (r(x∗)−m1 φ(x∗) ) −m2 = 0, và y∗ được xác định bởi y∗ = r(x∗)−m1 φ(x∗) , nếu và chỉ nếu (m1,m2) thỏa mãn m1 < r(0)−Mφ(0) và m2 < s(0) hoặc m1 < r(0) và s(0) < m2 < s(0)+ cKφ(K). Tính chất ổn định tiệm cận của mô hình đã được thiết lập hoàn chỉnh trong Ladino et al. (2015). 2.4.2. Xây dựng lược đồ sai phân khác thường Chúng tôi đề xuất LĐSPKT tổng quát cho mô hình (2.4.1) ở dạng xk+1− xk ϕ(h) = α1xkr(xk)+α2xk+1r(xk)−α3xkykφ(xk)−α4xk+1ykφ(xk)−α5m1xk−α6m1xk+1, yk+1− yk ϕ(h) = β1yks(yk)+β2yk+1s(yk)+ cβ3xkykφ(xk)+ cβ4xkyk+1φ(xk)−β5m2yk−β6m2yk+1, α j+α j+1 = β j+β j+1 = 1, j = 1,3,5; ϕ(h) = h+O(h2), h→ 0. (2.4.2) Mệnh đề 2.1. Tập Ω= { (x,y) ∈ R2∣∣x≥ 0, y≥ 0} là một tập bất biến dương của mô hình (2.4.2) nếu α1 ≥ 0, α2 ≤ 0, α3 ≤ 0, α4 ≥ 0, α5 ≤ 0, α6 ≥ 0, β1 ≥ 0, β2 ≤ 0, β3 ≥ 0, β4 ≤ 0, β5 ≤ 0, β6 ≥ 0. (2.4.3) Mệnh đề 2.2. Lược đồ (2.4.2) bảo toàn tập hợp điểm cân bằng của mô hình (2.4.1). 2.4.3. Phân tích ổn định Trong mục này, chúng ta luôn giả thiết rằng (2.4.3) được thỏa mãn. Trong [A5], nhờ lý thuyết ổn định Lyapunov, chúng tôi đã thiết lập được tính chất ổn định tiệm cận của LĐSPKT (2.4.2) như hai định lý dưới đây. 12 Định lý 2.10 (Tính chất ÔĐTCĐP của LĐSPKT). (i) Điểm cân bằng P∗0 = (x ∗ 0,y ∗ 0) = (0,0) của lược đồ (2.4.2) là ÔĐTCĐP nếu m1 > r(0) và m2 > s(0), và không ổn định nếu m1 < r(0) hoặc m2 < s(0). (ii) Xét lược đồ (2.4.2) trong trường hợp m1 s(0)+ cKφ(K) và giả thiết rằng T1 := 2α6m1−2α2r(K)+Kr′(K)> 0, T2 := s(0)−m2+ cKφ(K)−2β2s(0)−2β4cKφ(K)+2β6m2 > 0. (2.4.4) Khi đó, điểm cân bằng P∗1 = (K,0) là ÔĐTCĐP. Hơn nữa, P ∗ 1 là không ổn định nếu m1 ≥ r(0) hoặc m2 < s(0)+ cKφ(K). (iii) Xét lược đồ (2.4.2) trong trường hợp m1 > r(0)−Mφ(0) và m2 < s(0) và giả thiết rằng T3 := r(0)−Mφ(0)−m1−2α2r(0)+2α4Mφ(0)+2α6m1 > 0, T4 :=Ms′(M)−2β2s(M)+2β6m2 > 0. (2.4.5) Khi đó, điểm cân bằng P∗2 = (0,M) là ÔĐTCĐP. Hơn nữa, P ∗ 2 là không ổn định nếu m1 < r(0)−Mφ(0) hoặc m2 ≥ s(0). (iv) Giả sử rằng điểm cân bằng P∗3 = (x ∗,y∗) nằm trong tập Ω. Xét lược đồ (2.4.2) dưới giả thiết T5 :=− x∗[r′(x∗)− y∗φ ′(x∗)][−β2s(y∗)−β4cx∗φ(x∗)+β6m2] − y∗s′(y∗)[−α2r(x∗)+α4y∗φ(x∗)+α6m1] − x∗y∗s′(y∗)[r′(x∗)− y∗φ ′(x∗)]− cx∗y∗φ(x∗)[φ(x∗)+ x∗φ ′(x∗)]> 0, T6 :=−α2r(x∗)+α4y∗φ(x∗)+α6m1+ x∗[r′(x∗)− y∗φ ′(x∗)]> 0, T7 :=−β2s(y∗)−β4cx∗φ(x∗)+β6m2+ y∗s′(y∗)> 0. (2.4.6) Khi đó, P∗3 = (x ∗,y∗) là ÔĐTCĐP. Định lý 2.11. Xét LĐSPKT (2.4.2) trong trường hợp m1 ≥ r(0) và m2 ≥ s(0), và giả thiết thêm rằng α4+β4 < 0. (2.4.7) Khi đó, điểm cân bằng P∗0 = (0,0) là ÔĐTCTC. 2.4.4. Lược đồ sai phân khác thường tương thích động lực Định lý 2.12. LĐSPTK (2.4.2) là tương thích động lực với mô hình (2.4.1) nếu các tham số α j, β j ( j= 1, . . . ,6) thỏa mãn các điều kiện liệt kê trong Bảng 2.2, trong đó các cột liệt kê các điều kiện đảm bảo rằng lược đồ (2.4.2) bảo toàn các tính chất tương ứng của mô hình (2.4.1). Ký hiệu ′′∗′′ có nghĩa rằng tập hợp điểm cân bằng của mô hình (2.4.1) luôn luôn được bảo toàn bởi lược đồ (2.4.2). 13 Bảng 2.2. Các điều kiện cho sự tương thích động lực của các LĐSPKT Tham số (m1,m2) Điểm cân bằng Tính dương Tính ổn định m1 ≥ r(0) and m2 ≥ s(0) * (2.4.3) (2.4.7) m1 s(0)+ cKφ(K) * (2.4.3) (2.4.4) m1 > r(0)−Mφ(0) and m2 < s(0) * (2.4.3) (2.4.5) m1 < r(0)−Mφ(0) and m2 < s(0) * (2.4.3) (2.4.6) m1 < r(0) and s(0)< m2 < s(0)+ cKφ(K) * (2.4.3) (2.4.6) 2.5. Một cách tiếp cận mới nghiên cứu tính chất ổn định của lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình lan truyền virus máy tính Trong mục này, các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng bao gồm tính dương và tính chất ÔĐTCTC của một mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất và nghiên cứu. Đặc biệt, chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận mới để chứng minh rằng tính chất ÔĐTCTC của mô hình liên tục được bảo toàn bởi các LĐSPKT. Cách tiếp cận này dựa trên định lý ổn định Lyapunov, một mở rộng của nó cùng một định lý về sự ổn định của các hệ bậc thang (cascade systems). Kết quả chính là chúng tôi thu được các LĐSPKT tương thích động lực với mô hình liên tục. Các mô phỏng số chỉ ra rằng các LĐSPKT là hiệu quả và phù hợp để mô phỏng mô hình liên tục, trong khi đó, các LĐSPBT như lược đồ Euler và lược đồ RK4 là không thể bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình liên tục. 2.5.1. Mô hình toán học Xét mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất trong Zhu et al. (2013) S˙= λ −β1SI−β2SC+ γ1I+ γ2C−µS, I˙ = β1SI−β2IC− (γ1+µ)I, C˙ = β2(S+ I)C− (γ2+µ)C, (2.5.1) Chúng ta nhắc lại các kết hiệu sau đây (Zhu et al. 2013) Γ1 := { (S, I,C) ∈ R3+ : S+ I+C ≤ λ µ } , E1 := (S1, I1,C1), S1 = λ µ , I1 =C1 = 0, E2 := (S2, I2,C2), S2 = γ2+µ β2 , I2 = 0, C2 = λβ2−µ(µ+ γ2) µβ2 , E3 := (S3, I3,C3), S3 = γ1+µ β1 , I3 = λβ1−µ(µ+ γ1) µβ1 , C3 = 0, E4 := (S4, I4,C4), S4 = λβ2+µ(γ1− γ2) µβ1 , I4 = µβ1(γ2+µ)−β2[λβ2+µ(γ1− γ2)] µβ1β2 ,C4 =C2. (2.5.2) 14 Chi tiết về mô hình cùng các kết quả về sự tồn tại của các điểm cân bằng và tính chất ổn định của chúng đã được thiết lập hoàn chỉnh trong Zhu et al. (2013). 2.5.2. Lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính dương cho mô hình (2.5.1) Chúng tôi đề xuất họ các LĐSPKT dương sau đây cho mô hình (2.5.1) Sk+1−Sk ϕ(h) = λ −β1Sk+1Ik−β2Sk+1Ck+ γ1Ik+ γ2Ck−µSk, Ik+1− Ik ϕ(h) = β1Sk+1Ik−β2Ik+1Ck− (γ1+µ)Ik, Ck+1−Ck ϕ(h) = β2(Sk+1+ Ik+1)Ck− (γ2+µ)Ck, (2.5.3) trong đó ϕ(h) = h+O(h2) khi h→ 0. Định lý 2.13. Tập R3+ là một tập bất biến dương của mô hình (2.5.3) nếu ϕ(h)< ϕ∗ := min { 1 µ+ γ1 , 1 µ+ γ2 } , ∀h> 0. (2.5.4) Hệ quả 2.1. Xét lược đồ (2.5.3). (A1) Lược đồ chỉ có duy nhất một điểm cân bằng, E1, nếu λβ1 < µ(µ+ γ1) và λβ2 < µ(µ+ γ2). (A2) Lược đồ chỉ có đúng hai điểm cân bằng, E1 và E2, nếu λβ1 µ(µ+ γ2). (A3) Lược đồ chỉ có đúng hai điểm cân bằng, E1 và E3, nếu λβ1 > µ(µ+ γ1) và λβ2 < µ(µ+ γ2). (A4) Lược đồ chỉ có đúng ba điểm cân bằng, E1, E2 và E3, nếu λβ1 > µ(µ + γ1), λβ2 > µ(µ + γ2) và µβ1(µ+ γ2)< β2[λβ2+µ(γ1− γ2)]. (A5) Lược đồ có bốn điểm cân bằng, E1, E2, E3 và E4, nếu λβ1 > µ(µ+γ1), λβ2 > µ(µ+γ2) và µβ1(µ+γ2)> β2[λβ2+µ(γ1− γ2)]. Định lý 2.14. Xét mô hình (2.5.3) dưới giả thiết (2.5.4), và đặt Nk := Sk+ Ik+Ck. Khi đó, dãy {Nk} hội tụ đơn điệu tới N∗ = λ/µ khi k→ ∞. 2.5.3. Phân tích ổn định Trong suốt mục này, chúng ta luôn luôn giả thiết rằng (2.5.4) được thỏa mãn. Trước hết, nhờ một mở rộng của định lý ổn định Lyapunov cổ điển (Iggidr & Bensoubaya 1998), chúng ta chỉ cần xét hệ sau đây Ik+1− Ik ϕ(h) = β1 ( λ µ − Ik+1−Ck+1 ) Ik−β2Ik+1Ck− (γ1+µ)Ik, Ck+1−Ck ϕ(h) = β2 ( λ µ −Ck+1 ) Ck− (γ2+µ)Ck, (2.5.5) trên tập Γ2 = { (I,C) ∈ R+2 : I+C ≤ λ µ } . (2.5.6) Sử dụng định lý về sự ổn định toàn cục của các hệ bậc thang (Seibert & Suarez 1990) chúng ta thu được kết quả sau đây. 15 Hệ quả 2.2. Xét LĐSPKT (2.5.5). (i) Nếu λβ2 < µ(µ+ γ2), thì tính chất ÔĐTCTC của phương trình Ik+1− Ik ϕ(h) = β1 ( λ µ − Ik+1 ) Ik− (γ1+µ)Ik (2.5.7) kéo theo tính chất ÔĐTCTC của mô hình (2.5.5) đối với Γ2. (ii) Nếu λβ2 > µ(µ+ γ2), thì tính chất ÔĐTCTC của phương trình Ik+1− Ik ϕ(h) = β1 ( λ µ − Ik+1−C2 ) Ik−β2C2Ik+1− (γ1+µ)Ik (2.5.8) kéo theo tính chất ÔĐTCTC của mô hình (2.5.5) đối với Γ2. Nhờ các hàm Lyapunov phù hợp, chúng tôi thiết lập được tính chất ổn định của LĐSPKT như dưới đây. Định lý 2.15. Xét LĐSPKT (2.5.3) và giả thiết λβ2 < µ(µ+ γ2). (i) E1 là ÔĐTCTC đối với Γ1 nếu λβ1 < µ(µ+ γ1). (ii) E3 là ÔĐTCTC đối với Γ1 nếu λβ1 > µ(µ+ γ1). Định lý 2.16. Xét LĐSPKT (2.5.3) và giả thiết λβ2 > µ(µ+ γ2). (i) E2 là ÔĐTCTC đối với Γ1 nếu µβ1(µ+ γ2)< β2[λβ2+µ(γ1− γ2)]. (ii) E4 là ÔĐTCTC đối với Γ1 nếu µβ1(µ+ γ2)> β2[λβ2+µ(γ1− γ2)]. Bảng 2.5. Tính chất hệ động lực của mô hình (2.5.3) với giả thiết (2.5.4) TH Tham số Điểm cân bằng Định lý ÔĐTCTC 1 λβ1 < µ(µ+ γ1), λβ2 < µ(µ+ γ2) E1 ∈ Γ1, E2,E3,E4 /∈ Γ1 2.15-(i) E1 2 λβ1 µ(µ+ γ2) E1,E2 ∈ Γ1, E3,E4 /∈ Γ1 2.16-(i) E2 3 λβ1 > µ(µ+ γ1), λβ2 < µ(µ+ γ2) E1,E3 ∈ Γ1 E2,E4 /∈ Γ1 2.15-(ii) E3 4 λβ1 > µ(µ+ γ1), λβ2 > µ(µ+ γ2), E1,E2,E3 ∈ Γ1, E4 /∈ Γ1 2.16-(i) E2 µβ1(µ+ γ2)< β2[λβ2+µ(γ1− γ2)] 5 λβ1 > µ(µ+ γ1), λβ2 > µ(µ+ γ2), E1,E2,E3,E4 ∈ Γ1 2.16-(ii) E4 µβ1(µ+ γ2)> β2[λβ2+µ(γ1− γ2)] Định lý 2.17. LĐSPKT (2.5.3) bảo toàn tính dương và tính ÔĐTCTC của mô hình (2.5.1) với mọi bước lưới hữu hạn nếu hàm mẫu số ϕ(h) thỏa mãn điều kiện (2.5.4). 2.5.4. Tính chất ổn định toàn cục của một mô hình thú-mồi Trong [A7], chúng tôi đã sử dụng cách tiếp cận trong Mục 2.5.2 để thiết lập lại tính chất ÔĐTCĐP và ÔĐTCTC của một mô hình thú-mồi được đề xuất trong Meng et al. (2014). Chúng tôi chứng minh rằng nếu điểm cân bằng dương của mô hình tồn tại thì nó là ÔĐTCTC. Điều đó có nghĩa là các điều kiện đủ được đề xuất trước đó được giải phóng hoàn toàn. Cần nhấn mạnh rằng cách tiếp cận của chúng tôi là đơn giản và hiệu quả hơn cách tiếp cận trước đó và có thể được áp dụng cho nhiều mô hình khác. Mặt khác, cách tiếp cận mới không những hiệu quả đối với các mô hình rời rạc mà còn hiệu quả với các mô hình liên tục. 16 2.6. Kết luận Chương 2 Trong chương này, bằng các cách tiếp cận và kỹ thuật mới và hiệu quả, chúng tôi đã xây dựng thành công LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng của một số mô hình vi phân nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Các LĐSPKT tương thích động lực học với các mô hình vi phân, dễ dàng được thực hiện và có thể được áp dụng cho một lớp rất lớn các bài toán của khoa học và công nghệ. Hơn nữa, các cách tiếp cận và kỹ thuật đề xuất trong chương này còn có thể áp dụng cho các phương trình PTVPĐHR và PTVPPT. 17 CHƯƠNG 3. LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG CÓ CẤP CHÍNH XÁC CAO CHOMỘT SỐ LỚP HỆ ĐỘNG LỰC TỔNG QUÁT Trong chương này, chúng tôi xét một số lớp hệ động lực tổng quát được mô tả bởi các hệ PTVPĐHT cấp một. Đầu tiên, chúng tôi xây dựng LĐSPCX cho hệ ba PTVP tuyến tính với hệ số hằng số. Các kết quả thu được không những giải quyết câu hỏi mở được đặt ra trong Roeger (2008) mà còn tổng quát nhiều kết quả trước đó. Tiếp theo, chúng tôi đề xuất các LĐSPKT có cấp chính xác cao và bảo toàn tính dương và tính chất ổn định tiệm cận cho một lớp các hệ động lực học tổng quát. Kết quả này đã giải quyết được mâu thuẫn giữa tính tương thích động lực và cấp chính cao của các LĐSPKT. Chương này được viết dựa trên các công trình [A8] và [A9] trong "Danh mục các công trình đã công bố", trang 24. 3.1. Lược đồ sai phân chính xác cho hệ ba PTVP tuyến tính với hệ số hằng số 3.1.1. Xây dựng lược đồ sai phân chính xác Trong Roeger (2008), Roeger đã xây dựng LĐSPCX cho hệ hai PTVP tuyến tính với hệ số hằng x′(t) = Ax(t), x(t) = ( x(t),y(t) )T , A ∈M2×2(R), (3.1.1) ở dạng xk+1−xk φ(h) = A [ θxk+1+(1−θ)xk ] , (3.1.2) trong đó θ ∈ R và φ(h) = h+O(h2) khi h→ 0. Trong mục này, chúng tôi sẽ xây dựng LĐSPCX cho hệ ba PTVP tuyến tính với hệ số hằng x′(t) = Ax(t), x(t) = ( x(t),y(t),z(t) )T , A ∈M3×3(R). (3.1.3) Khác với cách tiếp cận của Roeger, chúng tôi sử dụng lược đồ sau đây thay vì lược đồ (3.1.2) xk+1−ψ(h)xk φ(h) = A [ θxk+1+(1−θ)xk ] , (3.1.4) trong đó ψ(h) = 1+O(h2) khi h→ 0. Cùng với lược đồ (3.1.4), chúng tôi sử dụng lược đồ dạng hiển sau đây cho hệ (3.1.3) xk+1−ψ(h)xk φ = Axk+α2φA2xk. (3.1.5) 3.1.2. Các lược đồ ẩn Định lý 3.1. Cho A là ma trận cỡ 3×3 bất kỳ và J là dạng chuẩn Jordan của A. Nếu lược đồ uk+1−ψuk φ = J [ θuk+1+(1−θ)uk ] (3.1.6) là chính xác cho hệ u′ = Ju, thì lược đồ (3.1.4) với các tham số ψ , φ , θ tương tự cũng là chính xác cho x′ = Ax. 18 Trường hợp 1: A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 6= λ2 6= λ3 Chúng ta ký hiệu C1 := λ2−λ1+λ1eλ1h−λ2eλ2h, (3.1.7) và đưa ra hai giả thiết sau đây θ = T1 T2 , T1 = λ1(eλ2h− eλ3h)+λ2(eλ3h− eλ1h)+λ3(eλ1h− eλ2h), T2 = λ1(1− eλ1h)(eλ2h− eλ3h)+λ2(1− eλ2h)(eλ3h− eλ1h)+λ3(1− eλ3h)(eλ1h− eλ2h). (3.1.8) φ = eλ1h− eλ2h λ1−λ2+θC1 , ψ = e λ3h−φλ3(eλ3hθ +1−θ). (3.1.9) Định lý 3.2. Nếu ma