Tóm tắt Luận án Phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt

. Một bản là của E. Maxwell gửi từ NBS, Washington D.C và một báo cáo khác là của C.A. Reynolds và các cộng sự gửi từ Rutgers University, New Jersey. Cả hai nhóm đều nhận thức được công việc của họ và đã viện dẫn lẫn nhau. Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là có một sự phù hợp đẹp đẽ của các phép đo cực kỳ cẩn thận và chính xác. Một nhóm đo được nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn của thủy ngân tự nhiên có khối lượng nguyên tử trung bình 200,6 là TC = 4, 156 K và của 198Hg là TC = 4, 177 K [16]. Nhóm khác [49] đã báo cáo với thủy ngân tự nhiên là TC = 4, 150 K và với đồng vị tiêu biểu 202Hg là TC = 4, 143 K. Các kết quả thí nghiệm trong vòng mỗi chuỗi các đồng vị có thể được làm khớp với hệ thức M1/2TC = const. • Trong suốt mấy thập kỉ sự hiểu biết đầy đủ của cơ học lượng tử về siêu dẫn tiến triển khá chậm chạp luôn đi sau thực nghiệm, nhưng cuối cùng một đột phá đạt được trong năm 1950 khi lý thuyết GL được đề suất trên nền hiện tượng học, bắt đầu từ lý thuyết Landau tổng quát về chuyển pha loại hai như chúng ta sẽ thấy chi tiết hơn trong mục 1.4. • Bảy năm sau đó một lý thuyết vi mô, gọi là lý thuyết BCS, được phát triển bởi Bardeen, Cooper và Schrieffer [9, 8]. Họ đã nhận thấy rằng sự xuất hiện của tính siêu dẫn được trợ giúp bởi sự hình thành các cặp Cooper, loại phân tử hai điện tử liên kết lỏng lẻo. Tương tác hút cần để liên kết các điện tử được nhận thấy có nguồn gốc trong tương tác electron-phonon. Các cặp Cooper không còn được mô tả bởi thống kê fermi nữa và như các boson chúng có thể chiếm một trạng thái lượng tử cố kết được mô tả bởi một hàm sóng vĩ mô Ψ. Chúng ta sẽ phác họa những điểm chính của lý thuyết BCS trong mục 1.3.2. • Một điều quan trọng là hai năm sau khi lý thuyết BCS ra đời Gor’kov [24] đã chỉ ra rằng lý thuyết hiện tượng luận GL thực tế có thể được suy ra một cách chính xác từ lý thuyết BCS và các hệ số của nó có thể vì vậy liên quan tới các tham số vật liệu vi mô chẳng hạn như vận tốc Fermi vF và mật độ trạng thái ở mức Fermi N(0). Thêm vào đó Gor’kov chứng minh rằng các đại lượng nhiệt động của hai lý thuyết, nghĩa là tham số khe BCS, 4 và hàm sóng GL, Ψ có liên hệ với nhau bởi một hằng số tỉ lệ và Ψ có thể được coi như hàm sóng cặp Cooper trong cấu trúc khối tâm. • Một bước tiến nhảy vọt quan trọng khác được tạo bởi Abrikosov năm 1957 [3], người đã nhận thấy rằng các phương trình GL cho phép sự tồn tại các chất siêu dẫn với trị số năng lượng bề mặt phân giới siêu dẫn - dẫn thường âm. Ông đặt tên lớp mới này là siêu dẫn loại II, các vật liệu tạo ra bề mặt phân giới nhiều nhất có thể, dẫn tới sự xuyên sâu của từ thông trong mẫu theo các đơn vị nhỏ nhất được phép về mặt cơ lượng tử -lượng tử từ thông Φ0 = hc2e . Mỗi ống từ thông riêng lẻ có các siêu dòng lưu thông bao quanh nó che chắn từ trường và ngăn cản nó lan ra phần còn lại của mẫu. Các siêu dòng lưu số này là lí do tại sao cấu trúc từ này có tên là xoáy. Do bởi năng lượng bề mặt âm, các xoáy đẩy nhau ở mọi khoảng cách và như một hệ quả là hình thành một mạng đặc trưng có dạng hình tam giác (được gọi là mạng Abrikosov). • Năm 1979, Frank Steglich và những cộng sự đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn dưới nhiệt độ TC ≈ 0, 5K trong CeCu2Si2[58]. Vật liệu này không là một kim loại thông thường trong trạng thái thường của nó. Thay vào đó là một kim loại fermion nặng. Các điện tử ở mức năng lượng Fermi có đặc tính orbital-f của Ce mạnh. Lực đẩy Coulomb rất mạnh giữa các điện tử trong lớp vỏ - f dẫn tới một khối lượng hiệu dụng cao m∗  me tại mức năng lượng Fermi, vì vậy nó có tên như trên. Từ đó về sau, hiện tượng siêu dẫn được tìm thấy trong nhiều hợp chất fermion nặng khác. • Cũng trong năm 1979, D. Jérome et al. [32] (nhóm của Klaus Bechgaard) đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn trong một muối hữu cơ gọi là (TMTSF)2PF2 với TC = 1, 1K. Hiện tượng siêu dẫn từ đó được tìm thấy trong các vật liệu hữu cơ khác nhau với nhiệt độ chuyển pha lớn nhất khoảng 18K. • Năm 1986, J. G. Bednorz và K. A. Mu¨ller [10] đã quan sát hiện tượng siêu dẫn trong La2−xBaxCuO4 với TC khoảng chừng trên 35 K. Trong các năm tiếp theo, nhiều chất siêu dẫn khác dựa trên cùng loại các mặt gần như phẳng CuO2 đã được khám phá. Nhiệt độ chuyển pha kỉ lục với các ion đồng và với tất cả các chất siêu dẫn là TC = 138K đối với Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8+δ ở áp suất thường và TC = 164K đối với HgBa2Ca2Cu3O8+δ dưới áp suất cao. • Năm 1991, A. F. Hebard [26] và các cộng sự đã nhận thấy rằng hợp chất các bon (fullerite) (K−)3C3−60 trở thành siêu dẫn ở dưới TC = 18K. TC trong lớp này đã được đẩy lên tới TC = 33K với Cs2RbC60 ở áp suất thường và TC = 38K đối với (mạng b.c.c., trong khi đó tất cả các hợp chất các bon siêu dẫn khác đã biết là mạng f.c.c) Cs3C60 dưới áp suất cao. • Năm 2001, Nagamatsu và các cộng sự đã báo cáo hiện tượng siêu dẫn trong MgB2 [46] với TC = 39K. 7 1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS • Một chuỗi các khám phá quan trọng gần đây nhất bắt đầu từ năm 2008, khi Kamihara và các cộng sự [33] đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn với TC ≈ 4K trong LaFePO, một hợp chất xếp lớp khác. Trong khi kết quả này đã thêm vào một lớp vật liệu mới dựa vào Fe2+để lập danh sách các chất siêu dẫn, thì nó đã không gây ra nhiều xáo trộn do bởi nhiệt độ tới hạn thấp. Tuy nhiên, năm 2008, Kamihara và các cộng sự đã tìm thấy hiện tượng siêu dẫn với TC ≈ 26K trong LaFeAsO1−xFx. Ngay sau đó, nhiệt độ tới hạn TC lớn nhất trong lớp pnictide sắt này được đẩy lên tới 55 K. Hiện tượng siêu dẫn cũng được quan sát trong nhiều lớp vật liệu có liên quan, một số trong chúng không chứa oxygen (chẳng hạn, LiFeAs) và một số với pnictogen (As) thay thế bởi một chalcogen (ví dụ, FeSe). Nhân tố cấu trúc chung là một lớp Fe2+phẳng, vuông với một pnictogen hoặc chalcogen đặt luân phiên nhau bên trên và dưới trung tâm của các mặt vuông Fe. Hiện tượng siêu dẫn này được coi là không theo lệ thường. 1.3.2 Lý thuyết BSC của siêu dẫn 1.3.2.1 Trạng thái cơ bản BCS Trạng thái cơ bản BCS là một sự siêu chồng chập các trạng thái được xây dựng từ các cặp Cooper mà mỗi cặp được tạo thành từ hai điện tử ở các trạng thái |k, ↑〉 và |−k, ↓〉 |ψBCS〉 = ∏ k ( uk + vkc†k,↑c † −k,↓ ) |0〉 , (1.14) trong đó |0〉 là trạng thái chân không không có bất kì điện tử nào và uk, vk là các hệ số phức chưa biết thỏa mãn điều kiện |uk|2 + |vk|2 = 1 đối với mọi k. Lưu ý rằng sự chiếm các trạng thái |k, ↑〉 và |−k, ↓〉 là tương quan cực đại; hoặc cả hai bị chiếm hoặc cả hai đều trống. Các hệ số uk, vk cho biết biên độ không bị chiếm, bị chiếm bởi cặp điện tử có k, ↑ và −k, ↓. 1.3.2.2 Sự hút qua phonon trung gian H.Frohlich đã chứng minh được rằng, các điện tử có thể hút nhau thực sự, khi có một mạng ion biến dạng được, mạng này trong thực tế luôn luôn tồn tại như một cái nền. Cơ chế H.Frohlich [20] như sau: Một điện tử hút các ion gần nó nhất. Các ion đáp lại bằng cách chuyển động, dẫu chỉ một chút về phía nó, do đó tạo ra một sự dôi điện tích dương quanh nó. Ta nói rằng điện tử đã làm cho mạng bị phân cực. Một điện tử khác lại bị hút về phía sự phân cực ở xung quanh điện tử thứ nhất, và khi làm như vậy, nó đã thực sự bị hút về phía điện tử thứ nhất. Hình 1.3: Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [28] Theo cách nói của hệ vật lý nhiều hạt thì sự hút tương hỗ này được coi như phải qua sự trung gian của phonon, tức là do sự trao đổi lượng tử dao động mạng ảo. Một điện tử phát ra một phonon, phonon này bị hấp thụ bởi một điện tử khác. Kết quả là sự hút nhau thông qua sự trao đổi phonon là cực đại khi hai điện tử có động lượng bằng nhau và ngược chiều. Điều này giúp cho hai điện tử có được sự thuận lợi tối đa của sự phân cực do hạt nọ tạo cho hạt kia. 8 1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS 1.3.2.3 Cặp Cooper Lý thuyết BCS dựa vào giả thuyết rằng tính siêu dẫn xuất hiện khi tương tác hút cặp Cooper vượt trội hơn lực đẩy Coulomb [36]. Một cặp Cooper là cặp liên kết electron-electron yếu gián tiếp tạo thành bởi một tương tác phonon. Một electron “được cặp đôi” là electron có mô men và spin đối song mà nó được hút bởi ảnh hưởng này. Năng lượng của cặp thỏa mãn E = 2F − 2~ωce−2/N0V < 2F . (1.15) 1.3.2.4 Mô hình Bây giờ ta đi đến việc tìm kiếm mô hình Hamiltonian cho lý thuyết. Việc này thực hiện dễ dàng nhất trong ngôn ngữ lượng tử hóa lần hai. Gọi ckσ và c†kσ là các toán tử hủy và sinh electron có xung lượng k và spin σ =↑ hoặc σ =↓. Hamiltonian được đề xuất có dạng H = ∑ k,σ ξkc † kσckσ + ∑ k,l Vkl c†k↑c † −k↓c−l↓cl↑. (1.16) trong đó ξk = k − µ và µ là thế hóa học. Hamiltonian này có thể được chéo hóa sau phép biến đổi Bogoliubov, và có dạng HBCS = ∑ kσ Ekγ † kσγkσ (1.17) trong đó Ek = √ ξ2k + |4k|2. (1.18) Từ hệ thức này ta nhận thấy rằng khe năng lượng 4k là tham số trật tự đối với lý thuyết tương tác này. 1.3.3 Lý thuyết BCS tổng quát 1.3.3.1 Các trạng thái singlet và triplet Sự xắp xếp các spin kết cặp sao cho spin của cặp bằng không được gọi là một singlet. Trạng thái spin của nó là σa(1, 2) = 1√ 2 [α(1)β(2)− β(1)α(2)] (1.19) Các spin xắp xếp song song đưa đến một spin toàn phần khác không được gọi là một triplet. Có ba cách để đạt được một trạng thái spin toàn phần khác không σs(1, 2) = { α(1)α(2); 1√ 2 [α(1)β(2) + β(1)α(2)] ;β(1)β(2) } (1.20) 9 1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 1.3.3.2 Hàm khe năng lượng Lý thuyết BCS tổng quát dựa vào một dạng mở rộng của tương tác vi mô trong đó chỉ xét sự tán xạ của cặp điện tử với xung lượng toàn phần bằng không và tương tác giữa chúng là tương tác hút. Hamiltonian tương ứng có thể được viết như sau H = ∑ k,σ kc † kσckσ + 1 2 ∑ k,l ∑ σ1,σ2,σ3,σ4 Vk,l;σ1σ2σ3σ4 c†kσ1c † −kσ2c−lσ3clσ4 , (1.21) Hamiltonian này có thể được biến đổi thành Hamiltonian trường trung bình thông qua các hàm khe H ' ∑ k,σ kc † kσckσ − 1 2 ∑ k,σ1,σ2 [ 4k,σ1,σ2c†kσ1c † −kσ2 +4∗k,σ1,σ2ckσ1c−kσ2 ] +K (1.22) Hàm khe tổng quát được định nghĩa như một hàm của k và spin (σ, σ′) bởi các phương trình tự hợp 4k,σ,σ′ = − ∑ l,σ3,σ4 Vk,l;σσ′σ3σ4bk,σ3σ4 ;4∗k,σ,σ′ = − ∑ l,σ1,σ2 Vk,l;σ1σ2σ′σb ∗ k,σ1σ2 . (1.23) Đối với tính chất chẵn (spin singlet), hàm khe có thể biểu diễn theo một hàm vô hướng Ψ(k), 4ˆk = ( 4k↑↑ 4k↑↓ 4k↓↑ 4k↓↓ ) = ( 0 Ψ(k) −Ψ(k) 0 ) = iσˆyΨ(k), (1.24) Đối với trường hợp tính lẻ, cấu hình spin triplet được biểu diễn bởi ba thành phần của hàm véc tơ d(k) 4ˆk = ( 4k↑↑ 4k↑↓ 4k↓↑ 4k↓↓ ) = ( −dx(k) + idy(k) dz(k) dz(k) dx(k) + idy(k) ) = i (d(k).σˆ) σˆy (1.25) 1.3.3.3 Chuẩn hạt Bogolyubov và các phương trình tự hợp Hamiltonian trung bình (1.22) có thể được chéo hóa bằng phép biến đổi Bogolyubov với năng lượng chéo hóa bằng Ek = √ 2k + |4k|2 trong đó |4k|2 = 1 2 tr ( 4ˆ†k4ˆk ) . (1.26) Hàm khe (1.23) có thể được xác định dưới dạng phương trình tự hợp 4k,σ1σ2 = − ∑ l,σ3,σ4 Vk,l;σ1σ2σ3σ4 4l,σ4σ3 2Ek tanh ( Ek 2kBT ) . (1.27) 1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 1.4.1 Lý thuyết Landau 1.4.1.1 Khái niệm tham số trật tự Landau đã đưa ra khái niệm tham số trật tự năm 1937 [37] như một phương tiện để xác định sự biến đổi đầy ấn tượng của vật chất trong sự chuyển pha. Lý thuyết Landau kết hợp mỗi sự chuyển pha với sự phát triển của một “tham số trật tự” ψ ngay khi nhiệt độ sụt xuống dưới nhiệt độ chuyển pha TC : |ψ| = { 0 (T > TC) |ψ0| > 0 (T < TC) (1.28) Tham số trật tự có thể là một số thực hoặc phức, một véc tơ hay một spinor mà nói chung, có quan hệ với một véc tơ thực n thành phần ψ(x) = (ψ1, ψ2, · · ·ψn). 10 1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 1.4.1.2 Năng lượng tự do Landau Lý thuyết Landau tập trung vào miền ψ nhỏ, khai triển năng lượng tự do (tính trên một đơn vị thể tích) của hệ nhiều hạt như một đa thức đơn giản: f = f0 + αψ + r 2ψ 2 + β3ψ 3 + u4ψ 4 + · · · (1.29) Phiếm hàm mật độ năng lượng tự do f , theo giả thiết của Landau thì phải có đầy đủ các tính chất đối xứng của hệ đối với tham số trật tự và phải có cực tiểu, nghĩa là ∂f ∂ψ = 0 và ∂ 2f ∂ψ2 > 0 (1.30) 1.4.2 Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising Lý thuyết Ginzburg Landau [23] đưa vào một sự bổ sung năng lượng hao phí δf ∝ |∇ψ|2 gắn liền với gradients của tham số trật tự fGL [ψ,∇ψ] = s2 |∇ψ|2 + fL [ψ(x)]. Với trường hợp riêng, tham số trật tự Ising, năng lượng tự do (trong d chiều) được cho bởi FGL [ψ] = ∫ ddxfGL [ψ(x),∇ψ(x), h(x)] fGL [ψ,∇ψ, h] = s2(∇ψ) 2 + r2ψ 2 + u4ψ 4 − hψ (1.31) Năng lượng tự do Ginzburg Landau: trật tự một thành phần 1.4.2.1 Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg Landau Có hai loại nghiệm không đồng đều được chi phối bởi phương trình [(−s∇2 + r)+ uψ2]ψ(x)− h(x) = 0 (1.32) 1.4.2.2 Độ cảm từ Từ phương trình (1.38) có thể rút ra độ cảm phụ thuộc xung lượng q và độ dài tương quan ξ χq = 1 sq2 + r = 1 s(q2 + ξ−2) (1.33) 1.4.2.3 Các vách miền Trong không gian một chiều, ở đó phương trình Ginzburg Landau trở thành sψ′′ = dfL [ψ] dψ (1.34) Nghiệm “sóng đơn” của phương trình Ginzburg Landau định vị tại x = x0 là ψ(x) = ψ0 tanh ( x− x0√ 2ξ ) “sóng đơn” (1.35) 11 1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 1.4.3 Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức và siêu chảy 1.4.3.1 “Một hàm sóng vĩ mô” “Hàm sóng vĩ mô” là giá trị trung bình các toán tử trường vi mô ψˆ(x) của chất lỏng lượng tử〈 ψˆ(x) 〉 ≡ ψ(x) = |ψ(x)| eiφ(x) “hàm sóng vĩ mô” (1.36) bao gồm cả pha. Độ lớn của tham số trật tự này xác định mật độ các hạt trong chất siêu lỏng |ψ(x)|2 = ns(x), trong khi đó sự xoắn, hay gradien của pha xác định vận tốc siêu lỏng vs(x) = ~m∇φ(x). 1.4.3.2 Tính chất cứng pha và tính siêu chảy Trong lý thuyết GL năng lượng rất nhạy cảm đối với một sự “xoắn” pha. Nếu ta thay thế ψ = |ψ| eiφ vào trong năng lượng tự do GL, thì số hạng gradient trở thành ∇ψ = (∇ |ψ|+ i∇φ |ψ|)eiφ, vì vậy fGL = độ cứng pha︷ ︸︸ ︷ ~2 2m |ψ| 2 (∇φ)2 + các thăng giáng biên độ︷ ︸︸ ︷ ~2 2m (∇ |ψ|) 2 + r |ψ|2 + u2 |ψ| 4 (1.37) Số hạng thứ hai tương tự phiếm hàm Ginzburg Landau đối với một tham số trật tự Ising, và mô tả chi phí năng lượng của những biến đổi trong biên độ của tham số trật tự. Số hạng thứ nhất là một số hạng mới. Số hạng này mô tả “tính chất cứng pha”. 1.4.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn 1.4.4.1 Bất biến Gauge Trong lý thuyết Ginzburg Landau của một chất lỏng lượng tử mang điện, các đạo hàm thông thường của trường được thay thế bằng các đạo hàm bất biến gauge ∇ → D = ∇− ie∗~ A, trong đó e∗ là điện tích của trường ngưng tụ. Theo đó năng lượng tự do GL cho siêu dẫn được viết lại như sau F [ψ,A] = ∫ ddx  fψ︷ ︸︸ ︷ ~2 2M ∣∣∣∣(∇− ie∗~ A ) ψ ∣∣∣∣2 + r |ψ|2 + u2 |ψ|4 + (∇×A)22µ0︸ ︷︷ ︸ fEM  (1.38) Năng lượng tự do GL : siêu lỏng mang điện tích. trong đó M là khối lượng của trường ngưng tụ và ∇×A = B là từ trường. 1.4.4.2 Các phương trình Ginzburg Landau Để nhận được các phương trình chuyển động ta cần lấy biến phân của năng lượng tự do (1.44) theo thế véc tơ và tham số trật tự ψ. Các biến phân theo thế véc tơ đem lại phương trình Amperes, trong khi các biến phân theo tham số trật tự dẫn tới một sự tổng quát hóa phương trình Schrodinger không tuyến tính. i~e∗ 2M ( ψ∗~∇ψ −∇ψ∗ψ ) + e ∗2 M |ψ|2A+ ∇×B µ0 = −J(x) + ∇×B µ0 = 0 (1.39) ~2 2M ( ∇− ie ∗ ~ A )2 ψ(x) + rψ(x) + u |ψ(x)|2 ψ(x) = 0 (1.40) 12 1.5 Thảo luận 1.4.4.3 Hiệu ứng Meissner ∇2B = 1 λ2L B, với 1 λ2L = µ0 nee 2 me Hiệu ứng Meissner (1.41) Phương trình này, được rút ra đầu tiên bởi Fritz London trên nền tảng hiện tượng học [39], biểu diễn tính chất kinh ngạc là các từ trường bị đẩy mạnh mẽ ra khỏi chất siêu dẫn. Các nghiệm đồng đều duy nhất khả dĩ là B = 0,ns > 0, trạng thái siêu dẫn B 6= 0,ns = 0, trạng thái dẫn thường (1.42) 1.5 Thảo luận 13 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VI MÔ GINZBURG-LANDAU Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu hai phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau: phương pháp hàm Green và phương pháp tích phân phiếm hàm. Trong mục 2.1 chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về phương pháp hàm Green cùng với ứng dụng của nó cho hệ sắt từ và siêu dẫn. Trong mục 2.2, chúng tôi sẽ phát triển bài toán siêu dẫn BCS bằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ, thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau một thành phần cho siêu dẫn BCS. 2.1 Phương pháp hàm Green 2.1.1 Các hàm Green Mục này chúng tôi chỉ đề cập đến các loại hàm Green như hàm Green nhân quả hai thời điểm Gc(t, t′), được định nghĩa dưới dạng giá trị trung bình của T tích các toán tử, hàm Green trễ Gr(t, t′) và hàm Green sớm Ga(t, t′) Gc(t, t′) = 〈〈A(t);B(t′)〉〉c = −i 〈T (A(t)B(t′))〉 (2.1) Gr(t, t′) = 〈〈A(t);B(t′)〉〉r = −iθ(t− t′) 〈[A(t), B(t′)]〉 (2.2) Ga(t, t′) = 〈〈A(t);B(t′)〉〉a = iθ(t′ − t) 〈[A(t), B(t′)]〉 (2.3) trong đó 〈. . .〉 ký hiệu trung bình theo một tập hợp chính tắc lớn, và 〈〈A(t);B(t′)〉〉c,r,a ký hiệu rút gọn cho các hàm Green tương ứng. A(t) và B(t) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, T là toán tử tích được định nghĩa theo cách thông thường T (A(t)B(t′)) = θ(t− t′)A(t)B(t′) + ηθ(t′ − t)B(t′)A(t) (2.4) trong đó θ(t) = { 1 nếu t > 0 0 nếu t < 0 (2.5) Cuối cùng [A,B] biểu thị các hệ thức giao hoán hoặc phản giao hoán [A,B] = AB − ηBA (2.6) với η = ±1. Dấu của η trong (2.4) và (2.6) được chọn là dương hay âm tùy thuộc vào mỗi bài toán. Sử dụng các hệ thức (2.4) và (2.6) ta viết lại các hàm Green như sau Gc(t, t′) = −iθ(t− t′) 〈A(t)B(t′)〉 − iηθ(t′ − t) 〈B(t′)A(t)〉 (2.7) Gr(t, t′) = −iθ(t− t′) {〈A(t)B(t′)〉 − η 〈B(t′)A(t)〉} (2.8) Ga(t, t′) = iθ(t′ − t) {〈A(t)B(t′)〉 − η 〈B(t′)A(t)〉} (2.9) 14 2.1 Phương pháp hàm Green 2.1.2 Phương trình chuyển động cho các hàm Green Chúng ta sẽ nhận được một tập hợp các phương trình chuyển động cho các hàm Green (2.1), (2.2) và (2.3). Các toán tử A(t) và B(t) thỏa mãn các phương trình chuyển động có dạng i dA dt = AH −HA (2.10) vế bên phải của (2.10) có thể được viết lại cho chi tiết hơn bằng cách sử dụng dạng tường minh của Hamiltonian và các hệ thức giao hoán cho các toán tử. Lấy vi phân các hàm Green (2.1), (2.2) và (2.3) theo thời gian t ta nhận được phương trình i dG dt = δ(t− t′) 〈[A(t), B(t′)]〉+ 〈〈A(t)H(t)−H(t)A(t);B(t′)〉〉 (2.11) Từ số hạng cuối cùng trong phương trình (2.11), chúng ta có được một hàm Green khác mà chúng ta có thể viết ra được phương trình chuyển động; quá trình tuần tự này sẽ dẫn chúng ta đến một hàm Green thậm chí còn phức tạp hơn. Theo cách này, chúng ta có được một chuỗi các phương trình kết hợp. Để có được một nghiệm cho tập hợp các phương trình này, ngoại trừ trong những trường hợp rất đơn giản, người ta cần phải phá vỡ chuỗi bằng cách thực hiện một số phép tính gần đúng, nghĩa là biến đổi nó thành một tập hợp hữu hạn các phương trình, mà sau đó có thể giải được. Các phương trình (2.11) là chính xác và lời giải của chuỗi phương trình này là cực kỳ phức tạp để tổng quát hóa bài toán. Hiện thời không có một sự mô tả chung cho một sự tách chuỗi như vậy. Chỉ trong một số trường hợp giới hạn của các mô hình Hamiltonian mới khả dĩ để thực hiện trên chuỗi các phương trình đó một sự tách chuỗi tiệm cận với độ chính xác khi V →∞. 2.1.3 Ứng dụng của hàm Green cho lý thuyết siêu dẫn và sắt từ 2.1.3.1 Áp dụng cho lý thuyết siêu dẫn Hamiltonian được xem xét có dạng H = ∑ f Tfa † faf − 1 2V ∑ f,f ′ J(f, f ′)a†fa † −fa−f ′af ′ (2.12) trong đó f = (k, σ), −f = (−k,−σ), σ là chỉ số spin lấy hai giá trị + 12 và − 12 , k là xung lượng, Tf = k2/2m− µ, µ là thế hóa học, a†f và af là các toán tử sinh và hủy điện tử thỏa mãn các hệ thức giao hoán tuân theo thống kê Fermi-Dirac. J(f, f ′) là hàm thực có các tính chất J(f, f ′) = 12 {J(k,k ′)δσ−σ′ − J(k,−k′)δσ+σ′} (2.13) Đưa vào hàm Green Gf (t− t′) = 〈〈 af (t); a†f (t ′) 〉〉 ;(η = −1), (2.14) và viết phương trình chuyển động cho nó ta nhận được i dGf dt = δ(t− t′) + TfGf − 1 V ∑ f ′ J(f, f ′) 〈〈 a†−fa−f ′af ′ ; a † f (t ′) 〉〉 . (2.15) Phương trình này cũng chứa cả hàm Green hai thời điểm mới Γff ′(t− t′) = 〈〈 a†−f (t)a−f ′(t)af ′(t); a † f (t ′) 〉〉 . (2.16) 15 2.1 Phương pháp hàm Green Xây dựng phương trình chuyển động cho hàm Green mới này, bỏ qua tính chính xác tiệm cận trong phương trình này, và đồng thời thực hiện phép biến đổi Fourier cho hai hàm Green Gf (t − t′) và Γff ′(t − t′), ta nhận được hệ phương trình cho Gf (E) và Γff ′(E) EGf = 1 2pi + TfGf − 1 V ∑ f ′ J(f, f ′)Γff ′ EΓff ′ = (2Tf ′ − Tf )Γff ′ − 1 V ∑ g J(f, g) 〈 a†ga † −ga−f ′af ′ 〉 Gf − 1 V ∑ g J(f ′, g) (1− n¯−f ′ − n¯f ′) Γfg. (2.17) Giải hệ phương trình này ta sẽ nhận được biểu diễn phổ các kích thích cơ bản, hàm khe trong phổ các kích thích cơ bản, số chiếm trung bình và năng lượng trung bình của hệ được xem xét. 2.1.3.2 Áp dụng cho lý thuyết sắt từ Theo như mô hình Heisenberg, một tinh thể sắt từ trong từ trường có thể được mô tả bởi Hamiltonian được biểu diễn dưới dạng các toán tử spin H = −µBH ∑ f Szf − 1 2 ∑ f1f2α J(f1 − f2)Sαf1Sαf2 (2.18) trong đó Sαf là thành phần α của spin của điện tử nằm ở nút mạng f . J(f1 − f2) là tích phân trao đổi được giả thiết có giá trị dương. H là từ trường ngoài hướng theo trục z, và µB là Bohr magneton. Tổng được lấy theo tất cả các nút khác với f , vì thế có thể đặt J(0) = 0. Ta giả sử thêm rằng mỗi nút mạng chỉ có một điện tử. Hamiltonian (2.18) có thể viết lại được theo các toán tử Pauli, trở thành H = −N ( µBH + J(0) 2 ) + (2µBH + 2J(0)) ∑ f b†fbf − ∑ f1f2 2J(f1 − f2)b†f1bf2 − ∑ f1f2 2J(f1 − f2)nf1nf2 (2.19) trong đó J(0) = ∑ f J(f), và N là số nút mạng tinh thể. Toán tử nf nf = b†fbf (2.20) là số điện tử với các spin bên trái tại nút f . Đưa vào các hàm Green (η = 1) Gg,f (t− t′) = 〈〈 bg(t); b†f (t ′) 〉〉 , Gg1g2,f (t− t′) = 〈〈 ng1(t)bg2(t); b † f (t ′) 〉〉 . (2.21) Lấy đạo hàm các hàm Green này theo thời gian và sử dụng các phương trình chuyển động của các toán tử bg, ng ta nhận được phương trình chuyển động của các hàm Green Gg,f i dGg,f dt = (1− 2n¯) δ(t− t′) + [2µBH + 2J(0)]Gg,f − ∑ p 2J(g − p)Gp,f + ∑ p 4J(g − p) (Ggp,f −Gpg,f ) (2.22) 16 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm Tiếp theo ta giới hạn ở gần đúng bậc nhất, và tách chuỗi các phương trình Green như sau Ggp,f (t− t′) = 〈〈 ng(t)bp(t); b†f (t ′) 〉〉 = 〈ng〉 〈〈 bp(t); b†f (t ′) 〉〉 = n¯gGp,f (t− t′) (2.23) khi đó phương trình (2.22) có dạng i dGg,f dt = [2µBH + (1− 2n¯) 2J(0)]Gg,f − ∑ p (1− 2n¯) 2J(g − p)Gp,f + (1− 2n¯) δ(t− t′)δgf , (2.24) phương trình này không còn chứa hàm Green bậc cao hơn nữa. Thực hiện phép biến đổi Fourier đối với hàm Green Gg,f (t) = ∫ +∞ −∞ Gg,f (E)e−iEtdE, (2.25) và viết lại phương trình (2.24) dưới dạng EGg,f = 1 2pi (1− 2n¯) δgf + [2µBH + (1− 2n¯) 2J(0)]Gg,f − ∑ p (1− 2n¯) 2J(g − p)Gp,f (2.26) Giải phương trình này ta nhận được hàm Green Gq(E), hàm tương quan 〈 b†f (t′), bg(t) 〉 , và phương trình tham số độ từ hóa σ. 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm 2.2.1 Biến số Grassmann Theo đòi hỏi của thống kê Fermi-Dirac tích phân phiếm hàm cho các hệ fermion phải chứa các hàm phản giao hoán. Để phù hợp với đặc điểm này ta cần thiết phải đưa vào các biến phản giao hoán gọi là các biến số Grassmann, chúng thỏa mãn ψαψβ = −ψβψα, (2.27) Toán tử đạo hàm ∂ψ và phép lấy tích phân theo các biến Grassmann được định nghĩa như sau ∂ ∂ψ ψ = 1 và ∫ dψ1 = 0; ∫ dψψ = 1 (2.28) Dễ dàng chứng minh được tích phân Gaussian cho các biến Grassmann được cho bởi biểu thức∫ dψ∗dψe−ψ ∗Aψ = detA (2.29) trong đó A là một ma trận Hecmit. 17 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm 2.2.2 Hamiltonian và hình thức luận Trong hình thức luận tích phân phiếm hàm, hàm phân bố của hệ nhiều hạt tại nhiệt độ tuyệt đối T có dạng tổng quát: Z = Tr exp {−β [H − µN ]} = ∫ DψDψ¯ exp − β∫ 0 dτdx ∑ σ ψ¯σ(x) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x)  × exp − β∫ 0 Hint [ ψ¯α(x), ψβ(x) ] dτ  . (2.30) Gọi F0 là hàm phân bố của hệ fermions tự do, F0 = ∫ DψDψ¯ exp { − ∫ dx ∑ σ ψ¯σ(x) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x) } , (2.31) và F0 [η, η¯] là phiếm hàm sinh F0 [η, η¯] = ∫ DψDψ¯ exp { − ∫ dx ∑ σ ψ¯σ(x) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x) } × exp [∫ dx ∑ σ ( ψ¯σ(x)ησ(x) + η¯σ(x)ψσ(x) )] . (2.32) Hàm phân bố của hệ fermion có tương tác khi đó được biểu diễn qua phiếm hàm sinh của hệ fermion tự do như sau Z = exp − β∫ 0 Hint [ δ δηβ(x) , δ δη¯α(x) ] dτ F0 [η, η¯] |η=η¯=0 (2.33) 2.2.3 Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS Hàm phân bố của hệ siêu dẫn được cho bởi Z = ∫ DψDψ¯ exp − β∫ 0 dτdx ∑ σ ψ¯σ(x, τ) [ ∂ ∂τ − ∇ 2 2m − µ ] ψσ(x, τ)  × exp g2∑ αβ β∫ 0 dτ ∫ dy ∫ dz ψ¯α(y, τ)ψ¯β(z, τ)ψβ(z, τ)ψα(y, τ)  . (2.34) trong đó g2 là một hằng số tương tác dương (tương tác hút) giữa các điện tử có spin hướng lên (↑) và hướng xuống (↓) còn µ là thế hóa học. Đưa vào trường phụ vô hướng phức Φβα(z,y, τ),Φ∗αβ(y, z, τ) phản đối xứng dưới sự hoán vị đồng thời các tọa độ không gian và các chỉ số spin Φβα(z,y, τ) = −Φαβ(y, z, τ),Φ∗αβ(y, z, τ) = −Φ∗βα(z,y, τ), (2.35)