Tóm tắt Luận án Số học, hình học của nhóm đại số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học

Định nghĩa 3.1.2. Ta nói V E V là một vectơ trọng cao nhất cùa biển (liền nói trên, nếu khi xem V như một G°/7ĩM(G)-môđun bất khả quy thì V E V là vectơ trọng cao nhất.

Từ (ló chúng ta có những (lịnh nghĩa sau.

Định nghĩa 3.1.3 ([2,4])• Giả sử G là một nhóm đại số tuyến tính.

a) Cho Q là một nhóm con đóng của G°. Khi đó, ta nói Q là một nhóm con k-tựa parabolic của G nếu Q = (G°)v, với V G V(/c) là một vectư trọng cao nhất cùa một k — G-môđun V bất khả quy nào (ló.

b) Ta định nghĩa một nhóm con đóng H cùa G là k-dưới parabolic (sub- parabolic) nếu H là xác (lịnh trên k, và tồn tại một nhóm con /c-tựa parabolic Q cùa G°, sao cho c Q và Ruựỉ) Q Ru(QỴ

a’) Ta định nghĩa nhóm con Q của G° là tựa parabolic trên k (hoặc Ar-nhóm con tựa parabolic) nếu nó là tựa parabolic và xác (lịnh trên k.

!)■) Ta nói nhóm con H của G là. dưới parabolic trên k (hoặc />11110111 con (lưới parabolic) nếu nó xác (lịnh trên k và là (lưới parabolic. Một />nhóm con đóng H của G (lược gọi là dưới parabolic mạnh trên k (strongly subparabolic over k) nếu tồn tại một /c-nhóm con tựa parabolic Q cùa G() sao cho c Q và RuW C Hn(Ọ).

Chúng tôi lưu ý là trong chương này, một nhóm con (lóng Q cùa. G được gọi là tựa parabolic nếu nó là fc-tựa parabolic và một nhóm con (lóng Q của G là dưới parabolic nếu nó là Ar-dưới parabolic. Vì thế, ta thu lại (lưực những khái niệm thông thường về những nhóm con nói trên và chúng đã được (lưa ra ở Grosshans (1997). Hơn nữa, rỏ ràng tính chất dưói parabolic mạnh trên k là chặt hơn tính chất dưới parabolic trên k.

Kết quả chính dầu tiên của chương này là Định lý 3.1.5 cho liên hệ giữa nhóm dừng cùa một vectơ thiếu ổn (hull V G V(fc) với các nhóm con fc-tựa parabolic trong trường hợp k là một trường hoàn thiện bất kỳ.