Tóm tắt Luận án Tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng

1.5 Ap dụng cho bất đẳng thức tựa biến phân

Già sử X. z. J4, B. c. K. T và các ký hiệu như trong Mục 1.2. L(X:Z) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào z VA g : A X r —* .4 là một hãm véctơ. ụ.x) biểu thị giá trị cùa toán tử tuyến tính t € L(X:Z) tại X € X. Chúng ta luôn già sử rằng : £(X:Z) X X -> z là liên tục.

Với mọi 7 € r. chúng ta xét hai bắt đáng thức tựa biền phàn véctđ loại Minty và Stampacchia sau.

(MQVI) Tìm X e A'(x.7) sao cho

y - -r- 7)) € C, Vi/ € A?(®, 7), Vỉ € T(ỉ/, 7).

10

(SQVI) Tun X € A^(z, 7) sao cho tồn tại t € T(®,7) thỏa mãn

(t. y - g(x, 7)} € c. Vy € A'(x, 7).

Dặt bài toán (MQVI) và (SQVI) tương ứng trở thành các trường hợp đặc biệt của (QEP1) rà (QEP2). Với mòi 7 e r. chúng ta ký hiệu (7) và 4,(7) tương ứng Là các tập nghiệm cùa bài toán (MQVI) và (SQVI). Chúng ta già sử rằng các tập nghiệm này là khác ròng trong một Lãn cận cùa 7o € r.

Các kết quà sau đây được suy ra từ các kết quà chính cùa Mục |Ĩ~ĨỊ

Hộ quả 1.5.1. làh’ bài toán (MQVI) và (SQVI), ta giã sử rửng .4 ỉà compẩc. K vã T là liên tục trong .4 X r và có giá trị compắc và g là hên tục trong .4 X r. Khi đó.

(i) <ỉ» là nửa liên tục dưới Hausdorff trong r khi và chi khi thỏa mãn.

(ii) 'P là nửa liên tục dưới Hausdorff trong r khi vã chi khi (Hh(7b)) thỏa mãn.

Hộ quả 1.5.3. Già sử rửng tất cà các điều kiện trong Hệ quá 1.5.1 là thỏa mãn. Khi đó.

(i) 4> là hên tục Hausdorff với giá trị compắc trong r khi và chỉ khi (Hp(*fo)) thỏa mãn.

(ii) 'P là liên tục Hausdorff với giá trị compÁc trong r khi và chi khi (//h(7o)) thóa mãn.