Tóm tắt Luận án Tính liên tục Holder và sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampere

2.1 Nguyên lý so sánh cho các hàm lớp Cegrell

Dầu tiên, ta có khái niệm về sự hội tụ theo (lung lượng của một dày hàm đa diều hòa dưới như sau.

Định nghĩa 2.1.1. Một dãy hàm {ừj} c P 4-00, nếu

lim Cn ({|uj - u\ > ò'}, Q) = 0, Vổ > 0.

j->+oo

Tiếp theo, ta có khái niệm về các lớp hàm quan trọng đâ dược Ư. Cegrell giới thiệu.

Định nghĩa 2.1.2. Cho Q là một miền siêu lồi bị chặn trong C". Ta nói một hàm da diều hòa dưới âm, bị chặn trong Q thuộc lớp 5o(Q) nếu {ự? < — £•} Í2 vói mọi € > 0 và Ị(ddcip)n < 4-00.

ĩì

Lớp J-’(Q) dược ký hiệu là họ các hàm da diều hòa dưới {Ọ xác định trên Q, mà tồn tại một dày giảm {<£j} c £o(Q) để nó hội tụ diem tới

4-00 và Slip í (ddc(pj)n <4-00.

j í

11

12

Ta ký hiệu 5(Í2) là họ các hàm da diều hòa dưới

trong G.

Tiếp theo là lóp yV(Q) được giới thiệu bói Ư. Cegrell năm 2008.

Định nghĩa 2.1.3. Cho Q là một miền giả lồi trong CM. Cho {í2ỹ} là dày tăng các miền siêu lồi thỏa mãn (ễ Qj+1 <ễ Q và UJ=Ì ty = Với m(S)i u £ £(Í2), ta đặt

Uj := sup {

và khi đó,

A/"(Q) := {u e 8 (Q) : Uj 0 a.e trong Q} .

Ta dễ dàng thấy rằng £0 (Q) c (Í2) c A/* (Q) c £ (Í2).

Cho /c € £}. Ta kí hiệu K?(Q) là lóp con của /C(Q) sao cho dộ đo Monge-

Ampère (ddc.)n triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực của Q.

Cho f E £(Í2) và K, € {J-aEa, £}. Khi dó ta nói rằng một hàm đa diều hòa dưới 92 được định nghĩa trên Q thuộc lớp /C(Í2, f) nếu tồn tại một hàm 0 € /C(Í2) thỏa mãn

ý + f < ự? < f trong Q.

Bây giờ, ta sẽ thấy rằng u € Afa(Q,/) thì phần da cực của (ddrư)n luôn dược mang bởi {/ = — 00}.

Mệnh đề 2.1.4. Cho Q c C” là miền siêu lồi bị chặn. Giả sử f 6 £(Q) và u E jVa(Q, /) sao cho I(—p)(ddcu)n <4-00 với p 6 £o(Q). Khi đó

Q

l{u=-oo}(^)" = l{f=^d(rfr trong Q.

Mệnh đề 2.1.5. Cho Q c c;ỉ là miền siêu lồi bị chặn. Cho f 6 £(Q) và u E jVa (í 2, f) th ỏa m ăn .í(—p)(ddeu)n < +00 với p € £o(íl). Giả sử V € £(Q) sao cho ữ

V < f và (ddcv)n > (ddcu)n trong Q. Khi đó V < u trên Q.