Tóm tắt Luận văn Một số vấn đề chọn lọc về dãy số

hệ thống các phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát và bài toán về giới hạn của dãy số. Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi chọn “Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phương pháp hiệu quả để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và 2 chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dãy số. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu về xác định công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ thống lại kiến thức. Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp. 5. Bố cục đề tài Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số Chương 3: Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số 6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Dãy số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về Dãy số. Đưa ra một số bài toán, cũng như một số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập. 3 CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số). Dãy số với các phần tử nu thường được kí hiệu là  , 1,2,...nu n  hoặc  nu . Giả sử cho  và cho hai dãy số: 1 2( ) ( , ,..., ,...);n na a a a 1 2( ) ( , ,..., ,...);n nb b b b Định nghĩa 1.1.2.[3] a. Dãy      1 1 2 2: , ,..., ,...n n n n nc a b a b a b a b      được gọi là tổng của 2 dãy  na và  nb ; b. Dãy      1 1 2 2: , ,..., ,...n n n n nd a b a b a b a b      được gọi là hiệu của 2 dãy  na và  nb ; c. Dãy    1 2, ,..., ,...n nb b b b    được gọi là tích của hằng số  và dãy  nb . 1.2. DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số  nu được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: *, nn u M   . Dãy số  nu được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho: *, nn u m   . Dãy số  nu được gọi là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho: *,m nn u M    . 4 1.3. DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU Dãy số  nu được gọi là dãy số tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) nếu với mọi *n ta có: 1n nu u  (tương ứng * 1,n nu u n   ). Dãy số  nu được gọi là dãy số giảm (tương ứng giảm nghiêm ngặt) nếu với mọi *n ta có: 1n nu u  (tương ứng * 1,n nu u n   ). Dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy số đơn điệu. 1.4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy  nu được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi. Số không đổi được gọi là công sai của cấp số cộng. Tính chất 1.4.1.[3] a. Công thức của số hạng tổng quát: * 1 ( 1) ,nu u n d n     . b. *2 1 , 2 n n n u u u n     . c. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:  11 1 2 2 1( ) ... 2 2 n n n n u n dn u u S u u u            . Định nghĩa 1.4.2.[3] Dãy số  nu được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi. Số không đổi được gọi là công bội của cấp số nhân. Tính chất 1.4.2.[3] a. Công thức của số hạng tổng quát: 1 * 1. , n nu u q n    . 5 b. 2 * 1 2. ,n n nu u u n    . c. Tổng của n số hạng đầu tiên: 1 2 1 1 ... ,( 1) 1 n n n q S u u u u q q         . d. Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 2 ... 1 u S u u q      . 1.5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN Định nghĩa.[4] Dãy số    1 2, ,..., ,...n nu u u u có giới hạn là số (điểm) a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng nu đều nằm trong  -lân cận bất kì  ,U a  của điểm a , tức là ở ngoài  ,U a  hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu: lim n n u a   hay nu a khi n . Định lí 1.5.1.[4] Nếu dãy ( nu ) có giới hạn thì nó bị chặn. Định lí 1.5.2.[4] Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn. Định lí 1.5.3.[4] Nếu lim n n u a   , lim n n v b   và ,n nu v n   thì a b . Định lí 1.5.4.[4] (Giới hạn kẹp) Giả sử: a. lim limn n n n u v      ; b. ,n n nu z v n    ; Khi đó lim n n z    . Định lí 1.5.5.[4] Nếu lim n n u a   thì lim | u | | |n n a   . Định lí 1.5.6.[4] 6 Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới). Định lí 1.5.7.[4] Giả sử các dãy    ,n nu v hội tụ và lim n n u a   , lim n n v b   ; Khi đó: a. lim( ) lim limn n n n n n n u v u v a b         ; b. lim( ) lim limn n n n n n n u v u v ab      ; c. Nếu 0,nu n  và lim 0n n u   thì 1 1 1 lim limn n n n u u a    . 7 CHƢƠNG II XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 2.1. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chương trình toán THPT là cấp số cộng và cấp số nhân. Xét một số bài toán sau: Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  nu xác định bởi: 1 1n n u c u au b     với , ,a b c . Phƣơng pháp giải. Trường hợp 1: Nếu 1a  thì dãy  nu là một cấp số cộng với công sai là b . Dựa vào tính chất của cấp số cộng ta tìm được số hạng tổng quát của dãy là: 1 ( 1) ( 1) .nu u n b c n b      Trường hợp 2: Nếu 1a  , ta qui dãy  nu về dãy  nv bằng cách đặt ,n nv u k k   ; trong đó số k được xác định sao cho thỏa mãn 1n nv av  (ta sẽ xác định được 1 b k a   ). Với cách đặt như trên ta được  nv là một cấp số nhân, công bội a. Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng quát của dãy  nv . Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy  nu . Bài toán 2.1.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  nu xác định bởi: 1 1 ( )n n u c u au f n     với ,a c , ( )f n là một đa thức bậc k theo n . Phƣơng pháp giải. Ta phân tích ( ) ( ) ( 1)f n g n ag n   với ( )g n cũng là một đa thức theo n . 8 Trường hợp 1: Nếu 1a  , ta thấy đa thức ( ) ( 1)g n ag n  có bậc nhỏ hơn đa thức ( )g n một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của ( )g n . Vì f( )n là đa thức bậc k nên để ( ) ( ) ( 1)(*)f n g n ag n   ta cần chọn ( )g n là đa thức bậc 1k  và nên chọn hệ số tự do của ( )g n bằng không. Khi đó để xác định các hệ số của ( )g n ta chỉ cần thay 1k  giá trị bất kỳ của n vào (*) và giải hệ gồm 1k  phương trình này. Lúc này ta có 1 1( ) u g(n 1) ... u (1)n nu g n g       . Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy  nu . Trường hợp 2: Nếu 1a  , ta thấy ( ) ( 1)g n ag n  và ( )g n là hai đa thức cùng bậc. Vì vậy ta chọn ( )g n là đa thức bậc k và các hệ số của ( )g n được xác định tương tự như trường hợp 1. Lúc này ta có 1( ) ( ( 1)).n nu g n a u g n    Đặt ( )n nv u g n  thì ta có dãy (v )n là một cấp số nhân, công bội a. Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng quát của dãy (v )n . Từ đó tìm được công thức tổng quát của dãy  nu . Bài toán 2.1.3.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  nu xác định bởi: 1 1 n n n u c u au b     với ,b,c , 0a   . Phƣơng pháp giải. Trường hợp 1: Nếu a  . Ta phân tích: 1n n nk ak     k a          . Khi đó ta có: 1 1 1 1( ) ... ( ); n n n n nu bk a u kb a u bk           1 1( ) . n n nu a u bk bk      Trường hợp 2: Nếu a  Ta phân tích: 1( 1)n n nn n       . Khi đó: 9  1 11 1 1 1 ( 1) ... ( ); ( 1) . n n n n n n n n u bn u b n u b u b n u                       2.2. DÙNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các công thức lượng giác thì ta có thể thử với phép thế lượng giác. Ta xét một số bài toán sau: Bài toán 2.2.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  nu xác định bởi: 1 2 12 1n n u k u u      với , 2k n  . Phƣơng pháp giải. Trường hợp 1: 1k  . Khi đó   10; :cos k u .      Từ công thức truy hồi của dãy ta có thể liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin: 2cos2 2cos 1.   Ta có: 2 2 12 1 cos2 ;u u    2 3 22 1 cos4 ;u u    2 4 32 1 cos8 ;u u    Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được 1cos2nnu   . Trường hợp 2: 1.k  Ta đặt 1 1 1 2 u a a        . Bằng qui nạp ta chứng minh được: 1 1 2 2 1 1 , 2. 2 n nnu a n a            10 Bài toán 2.2.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  nu xác định bởi: 1 3 1 14 3n n n u k u u u      với , 2k n  . Phƣơng pháp giải. Trường hợp 1: 1k  . Khi đó   10; :cos k u .      Từ công thức truy hồi của dãy ta có thể liên tưởng đến công thức nhân ba của hàm số côsin: 3cos3 4cos 3cos .    Ta có: 3 2 1 14 3 cos3 ;u u u    3 3 2 24 3 cos9 ;u u u    3 4 3 34 3 cos27 ;u u u    Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được 1cos3nnu   . Trường hợp 2: 1.k  Ta đặt 1 1 1 2 u a a        . Bằng qui nạp ta chứng minh được 1 1 3 3 1 1 , 2. 2 n nnu a n a            Bài toán 2.2.3. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 1 1 11 . n n n u a u b u b u        với 2n  . Phƣơng pháp giải. Ta đặt  tan , tan tan 1 .na b u n            11 Bài toán 2.2.4. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 1 2 1n n u u a bu       với 2, 1, 2n ab a     . Phƣơng pháp giải. Đặt: 1 cos ;u a    Bằng qui nạp ta chứng minh được 1cos2 , 2nnu a n    . 2.3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Ở đây tôi chỉ trình bày ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai trong một số dạng bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số (chỉ nêu phương pháp giải mà không chứng minh). Định nghĩa 2.3.1.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình dạng: *1 1,au ,n n nu bu f n     ;  1 Trong đó , ,a b  là các hằng số, 0a  và nf là biểu thức của n cho trước. Phƣơng pháp giải. Bước 1: Giải phương trình đặc trưng 0a b   để tìm ; Bước 2: Tìm nghiệm nu của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng: 1 0n nau bu   (nghiệm này có dạng 1n nu c  , trong đó c được xác định dựa vào 1u ); Bước 3: Tìm một nghiệm riêng *nu của phương trình không thuần nhất; Bước 4: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là * n n nu u u  . 12 Bài toán 2.3.1. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 1 1 0n n u au bu       với 1n  . Phƣơng pháp giải. Từ công thức truy hồi ta có: 2 1 1 2 1... . n n n n b b b u u u u a a a                            Bài toán 2.3.2. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 1 1 ( )n n u au bu f n       với 1n  , ( )f n là đa thức bậc k của n . Phƣơng pháp giải. Xét phương trình đặc trưng: 0 . b a b a       Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định 1 *.nn nu c u   Trong đó *nu được xác định như sau: + Nếu 0a b  thì * (n)nu g , thay vào phương trình ta được: ( 1) ( ) ( )ag n bg n f n   . Đồng nhất hệ số ta tìm được *nu . + Nếu 0a b  thì * . (n)nu n g , thay vào phương trình ta được: ( 1) ( 1) ( ) ( )a n g n bng n f n    . Đồng nhất hệ số ta tìm được * nu . Với ( )g n là đa thức bậc k của n và c là hằng số được xác định dựa vào 1u . Bài toán 2.3.3. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 1 1 . n n n u au bu d       với 1n  . 13 Phƣơng pháp giải. Xét phương trình đặc trưng: 0 . b a b a       Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định: 1 *;nn nu c u   trong đó *nu được xác định như sau: + Nếu   thì * . nnu A , thay vào phương trình ta được: 1. .n n n d a A b A d A a b           ; Vậy * . ( ) n n n d d u a b a          + Nếu   thì * nnu An , thay vào phương trình ta được: 1. ( 1) . ; . ( 1) ( 1) n n na A n b An d d d d A a n bn a n a n a                   Vậy 1 * . n n dn u a    Với c là hằng số sẽ được xác định dựa vào 1u . Định nghĩa 2.3.2.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình dạng: * 1 2 2 1,u ,au , ;n n n nu bu cu g n          2 trong đó , ,c, ,a b   là các hằng số, 0a  và ng là biểu thức của n cho trước. Phƣơng pháp giải. Bước 1: Tìm nghiệm nu của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng: 2 1 0;n n nau bu cu    Bước 2: Tìm một nghiệm riêng *nu của phương trình không thuần nhất; Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là *n n nu u u  . 14 Bài toán 2.3.4. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 1 2 2 1 , 0n n n u u au bu cu           với 1n  . Phƣơng pháp giải. Xét phương trình đặc trưng 2 0.a b c    Trường hợp 1: Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt 1 2,  thì số hạng tổng quát của dãy có dạng 1 1 1 1 2 2 n n nu c c     ; trong đó 1 2,c c được xác định khi biết 1 2,u u . Trường hợp 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép 1 2    thì số hạng tổng quát của dãy có dạng 1 2( ) n nu c c n   ; trong đó 1 2,c c được xác định khi biết 1 2,u u . Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức x iy   thì x iy   cũng là nghiệm của phương trình đặc trưng. Ta đặt:  cos sin ;r i    Vậy số hạng tổng quát của dãy là 1 2( cos sin ) n nu r c n c n   ; trong đó 1 2,c c được xác định khi biết 1 2,u u . Bài toán 2.3.5. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 1 2 2 1 , n n n n u u au bu cu dq           với 1n  . Phƣơng pháp giải. Giải phương trình đặc trưng 2 0a b c    tìm nghiệm. Ta có số hạng tổng quát của dãy là *n n nu u u  ; trong đó: nu là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được xác định như ở bài toán 4, với 1 2,c c chưa được xác định. * nu được xác định như sau: + Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 q  và 2 q  thì * nnu kq , thay vào phương trình ta được: 15 2 1 2 ;n n n n d akq bkq ckq dq k aq bq c         + Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 q  hoặc 2 q  thì * n nu knq , thay vào phương trình ta được: 2 1 2 ( 2) ( 1) ; . ( 2) ( 1) n n n nak n q bk n q cknq dq d k a n q b n q cn             + Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 2 q   thì * 2 n nu kn q , thay vào phương trình ta được: 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 1) ; . ( 2) ( 1) 2 n n n nak n q bk n q ckn q dq d d k a n q b n q cn aq              Từ hệ thức *n n nu u u  ta tìm được 1 2,c c khi biết 1 2,u u . Bài toán 2.3.6. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 1 2 2 1 , ( )n n n u u au bu cu f n           , 1n  , ( )f n là đa thức bậc k theo n . Phƣơng pháp giải. Giải phương trình đặc trưng 2 0a b c    tìm nghiệm. Ta có số hạng tổng quát của dãy có dạng *n n nu u u  ; trong đó: nu là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được xác định như ở bài toán 4, với 1 2,c c chưa được xác định. *nu được xác định như sau: + Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 1  và 2 1  thì * ( )nu g n . + Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 1  hoặc 2 1  thì * ( )nu ng n . 16 + Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1 2 1   thì * 2 ( )nu n g n . Trong đó ( )g n là đa thức cùng bậc với ( )f n . Từ hệ thức * n n nu u u  ta tìm được 1 2,c c khi biết 1 2,u u . 2.4. ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Ta xét một số bài toán sau: Bài toán 2.4.1. Xác định số hạng tổng quát của hai dãy  nu và  nv thỏa mãn 0 0 1 1 , n n n n n n u v u au bv v cu dv             . Phƣơng pháp giải Đặt n n n u X v        , a b A c d        . Khi đó ta được: 1 0... n n nX AX A X   . Như vậy bài toán sẽ được giải quyết khi ta xác định được nA . Bài toán 2.4.2. Xác định số hạng tổng quát của các dãy    ,n nx y và  nz thỏa mãn: 0 0 0 1 1 1 1 * 1 2 2 2 1 3 3 3 , y , , n n n n n n n n n n n n x z x a x b y c z n y a x b y c z z a x b y c z                      . Phƣơng pháp giải. Đặt 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , n n n n a b c x A a b c X y a b c z                     . Khi đó ta được: 1 0... n n nX AX A X   . 17 2.5. PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Cơ sở lý thuyết Định nghĩa Hàm sinh thường của dãy số vô hạng   0n n a  là một chuỗi hình thức được xác định bởi: 2 0 1 2( ) ... ... n nG x a a x a x a x      Sau đây tôi sẽ tổng kết một số công thức thường dùng trong hàm sinh: a/ 2 3 1 1 ... 1 x x x x       ; b/ 2 3 2 1 1 2 3 4 ... (1 ) x x x x       ; c/ 2 3 *1 0 1 ( 1) ( 1)( 2) 1 ... , (1 ) 2! 3! i i i nn i n n n n n nx x x C x n x                 ; d/ 2 3 1 1 ... 1 x x x x       ; e/ 2 2 3 3 2 1 1 2 3 4 ... (1 ) ax a x a x ax       ; f/ 2 3 1 1 ... 1 r r r r x x x x       ; g/ 2 3 1 1 ... 1 r r r r x x x x       Ứng dụng hàm sinh vào xác định công thức tổng quát của dãy số Xét một vài bài toán sau: Bài toán 2.5.1. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 0 1 2 1 ,u n n n u a b u pu qu       với 0n  . Phƣơng pháp giải. Đặt ( )G x là hàm sinh cho dãy  nu , ta có: 18 2 3 0 1 2 3( ) ...G x u u x u x u x     ; 2 3 4 0 1 2 3( ) ...pxG x pu x pu x pu x pu x       ; 2 2 3 4 5 0 1 2 3( ) ...qx G x qu x qu x qu x qu x       ; Cộng 3 đẳng thức trên vế theo vế, kết hợp với hệ thức truy hồi đề cho ta được: 1 0 0 2 ( ) ( ) 1 u pu x u G x px qx       . Trường hợp 1: Nếu 2, :1 (1 )(1 )px qx x x          ; Do đó 1 0 0 ( ) ( ) (1 )(1 ) 1 1 u pu x u A B G x x x x x             ; Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được ,A B . 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 n n n n A B G x A x B x x x                  . Do đó hệ số của nx trong khai triển của ( )G x là n nA B  nên: , 0n nnu A B n    . Trường hợp 2: Nếu 2 2:1 (1 )px qx x       : Do đó 1 0 0 2 2 ( ) ( ) (1 ) 1 (1 ) u pu x u A B G x x x x           ; Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được ,A B . 2 0 0 ( ) ( ) (n 1)( ) 1 (1 ) n n n n A B G x A x B x x x                   . Do đó hệ số của nx trong khai triển của ( )G x là:  ( 1) ( 1)n n nA B n A B n       nên [ ( 1)] , 0nnu A B n n    . Trường hợp 3: Nếu    2, :1 1 1px qx i x i x                     Do đó : 19     1 0 0( )( ) 1 ( ) 1 ( )1 1 u pu x u A B G x i x i xi x i x                           Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được ,A B . 0 0 ( ) [( ) ] [( ) ] 1 ( ) 1 ( ) n n n n A B G x A i x B i x i x i x                          Do đó hệ số của nx trong khai triển của ( )G x là ( ) ( )n nA i B i      nên: ( ) ( ) , 0n nnu A i B i n        . Ta có thể chuyển i  về dạng lượng giác (cos sin )r i  để dễ tính lũy thừa. Bài toán 2.5.2. Tìm công thức tổng quát của dãy  nu xác định bởi: 0 1 2 1 ,u ( )n n n u a b u pu qu f n        với 0n  , (n)f là một biểu thức theo n . Phương pháp sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số có dạng đã cho tương tự như bài toán ở trên. 20 CHƢƠNG III MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN Phương pháp chung. Bước 1: Chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên bởi số M (hoặc giảm và bị chặn dưới bởi số m). Bước 2: Tính giới hạn của dãy số theo một trong hai cách sau: *Cách 1: - Đặt lim n n u a   ; - Từ hệ thức truy hồi ta được một phương trình theo ẩn a ; - Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy ( )nu là một trong các nghiệm của phương trình trên. *Cách 2: - Tìm công thức tổng quát của dãy số; - Tính giới hạn của dãy số dựa vào công thức tổng quát vừa tìm. 3.2. DÙNG HÀM CO VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE Hàm số co. Hàm số : D Df  được gọi là một hàm số co trên D nếu tồn tại số thực 0 1q  sao cho ( ) ( ) , ,f x f y q x y x y D     . Định lý. Nếu ( )f x là 1 hàm số co trên D thì dãy số (x )n xác định bởi 0 1, ( )n nx a D x f x   hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của phương trình ( )x f x . Phương pháp này thường dùng đối với dạng bài toán: Cho dãy số thực ( )nu xác định bởi 1 * 1 , ( )n n u a n u f u     . 21 Khi đó nếu ( )f u là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa a và ' ( ) 1,f u q u D    thì ( )nu có giới hạn hữu hạn khi n . Ngược lại nếu ( )f u là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa a , ( ) 0f a  và ' ( ) 1,f u q u D    thì ( )nu dần về dương vô cùng khi n . Trường hợp ( )nu có giới hạn thì giới hạn đó chính là nghiệm của phương trình ( )f u u . Trong phương pháp này ta cũng thường dùng định lý Lagrange Định lý Lagrange. Nếu f là hàm số liên tục trên  ;a b và khả vi trên (a;b) thì khi đó luôn tồn tại  ;c a b sao cho '( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a   . 3.3. PHƢƠNG PHÁP DÃY PHỤ Trong phương pháp này ta sẽ thông qua giới hạn của một dãy số khác để tìm giới hạn của dãy số đã cho bằng cách đặt thêm một dãy số phụ. 3.4. DÙNG GIỚI HẠN HÀM SỐ Đối với một vài dãy số có dạng *( ),nu f n n  , nếu ta có lim ( ) x f x l   thì lim nu l . Như vậy, ta đã chuyển việc tính giới hạn dãy số sang tính giới hạn hàm số. Khi tính giới hạn hàm số, ta có thể sử dụng nhiều tính chất liên quan đến hàm số hơn. Và ta cũng có thể sử dụng qui tắc L’Hospital để tính giới hạn đơn giản hơn, đó là điều mà khi tính giới hạn dãy ta không dùng được. 3.5. SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP Kết hợp giữa việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử dụng nguyên lý kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sử dụng phương pháp này ta có thể đưa bài toán tìm giới hạn của dãy đã cho về bài toán tìm giới hạn của những dãy đơn giản hơn. 22 3.6. DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO Định lý trung bình Cesaro. Nếu dãy số  nu có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng 1 2 ... nu u u n         cũng có giới hạn là a . Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau: Nếu  1lim n n n u u a    thì lim n n u a n  . Định lý Stolz . Cho 2 dãy    ,n nu v thỏa mãn: i/  nv tăng thực sự đến  ; ii/ 1 1 lim n n n n n u u a v v       ; Khi đó lim n n n u a v  . Định lý trung bình Cesaro và định lý Stolz có nhiều ứng dụng trong việc tìm giới hạn của dãy số, đặc biệt là các dãy số có dạng  1n n nu u u     . 3.7. SỬ DỤNG TỔNG TÍCH PHÂN Để tìm giới hạn của một tổng phụ thuộc vào n , trong nhiều trường hợp ta gặp khó khăn trong việc phân tích để tính tổng đó. Tuy nhiên, ta lại có thể phân tích tổng này về dạng tổng của tích phân, rồi chuyển bài toán tính giới hạn về bài toán tính tích phân tương ứng. Theo định nghĩa tích phân xác định thì ta có : Nếu hàm ( )f x khả tích trên đoạn  ;a b thì với mọi phép phân hoạch  của đoạn  ;a b và mọi cách chọn các điểm  1; , 1,2,...,i i ix x i n   ta luôn có 1 0 1 ( ) lim ( )( ) b n i i i d ia f x dx f x x      . Tron